10.7: Moment
- Page ID
- 176893
- Eleza jinsi ukubwa wa wakati unategemea ukubwa wa mkono wa lever na angle vector nguvu hufanya kwa mkono wa lever.
- Kuamua ishara (chanya au hasi) ya wakati kwa kutumia utawala wa mkono wa kulia
- Tumia mahesabu ya mtu binafsi kuhusu mhimili wa kawaida na uwahesabu ili kupata wakati wa wavu
Kiasi muhimu kwa kuelezea mienendo ya mwili unaozunguka rigid ni wakati. Tunaona matumizi ya wakati kwa njia nyingi katika ulimwengu wetu. Sisi sote tuna intuition kuhusu wakati, kama tunapotumia wrench kubwa ili kufuta bolt mkaidi. Torque inafanya kazi kwa njia zisizoonekana, kama tunapopiga kasi ya kasi katika gari, na kusababisha inji kuweka wakati wa ziada kwenye treni ya gari. Au kila wakati tunapohamisha miili yetu kutoka nafasi ya kusimama, tunatumia wakati kwa miguu yetu. Katika sehemu hii, tunafafanua wakati na kufanya hoja kwa equation kwa kuhesabu wakati kwa mwili mgumu na mzunguko wa mhimili wa kudumu.
Kufafanua Torque
Hadi sasa tumeelezea vigezo vingi ambavyo ni sawa na mzunguko kwa wenzao wa kutafsiri. Hebu tuchunguze kile mwenzake wa kulazimisha lazima awe. Kwa kuwa nguvu zinabadilisha mwendo wa kutafsiri wa vitu, mwenzake wa mzunguko lazima awe na uhusiano na kubadilisha mwendo wa mzunguko wa kitu kuhusu mhimili. Tunaita mwenzake wa mzunguko wa mzunguko.
Katika maisha ya kila siku, tunazunguka vitu kuhusu mhimili wakati wote, kwa hiyo intuitively tunajua mengi kuhusu wakati. Fikiria, kwa mfano, jinsi tunavyozunguka mlango ili uifungue. Kwanza, tunajua kwamba mlango unafungua polepole ikiwa tunasubu karibu sana na vidole vyake; ni ufanisi zaidi kugeuza mlango wazi ikiwa tunasuasa mbali na vidole. Pili, tunajua kwamba tunapaswa kushinikiza perpendicular kwa ndege ya mlango; kama sisi kushinikiza sambamba na ndege ya mlango, hatuwezi kuizunguka. Tatu, nguvu kubwa, inafaa zaidi katika kufungua mlango; vigumu kushinikiza, haraka mlango unafungua. Hatua ya kwanza ina maana kwamba nguvu zaidi hutumiwa kutoka kwa mhimili wa mzunguko, kasi ya kasi ya angular; pili ina maana kwamba ufanisi inategemea angle ambayo nguvu hutumiwa; ya tatu ina maana kwamba ukubwa wa nguvu lazima pia uwe sehemu ya equation. Kumbuka kuwa kwa mzunguko katika ndege, wakati una maelekezo mawili iwezekanavyo. Torque ni ama clockwise au kinyume chake jamaa na kuchaguliwa egemeo uhakika. Kielelezo\(\PageIndex{1}\) kinaonyesha mzunguko wa kinyume cha saa.
Sasa hebu fikiria jinsi ya kufafanua torques katika kesi ya jumla tatu-dimensional.
Wakati nguvu\(\vec{F}\) inatumiwa kwa uhakika P ambao msimamo wake ni\(\vec{r}\) jamaa na O (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)), wakati\(\vec{\tau}\) unaozunguka O ni
\[\vec{\tau} = \vec{r} \times \vec{F} \ldotp \label{10.22}\]
Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Wakati huo ni perpendicular kwa ndege iliyoelezwa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) na na mwelekeo wake imedhamiriwa na utawala wa mkono wa kulia.
Kutoka kwa ufafanuzi wa bidhaa ya msalaba, wakati huo\(\vec{\tau}\) ni perpendicular kwa ndege iliyo\(\vec{r}\)\(\vec{F}\) na na ina ukubwa
\[|\vec{\tau}| = |\vec{r} \times \vec{F}| = rF \sin \theta,\]
\(\theta\)wapi angle kati ya wadudu\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\). SI kitengo cha moment ni newtons mara mita, kwa kawaida imeandikwa kama N • m. kiasi r \(\perp\)= rsin\(\theta\) ni umbali perpendicular kutoka O kwa mstari kuamua\(\vec{F}\) na vector na inaitwa mkono lever. Kumbuka kuwa mkono mkubwa wa lever, ukubwa mkubwa wa wakati huo. Kwa upande wa mkono wa lever, ukubwa wa wakati huo ni
\[|\vec{\tau}| = r_{\perp} F \ldotp \label{10.23}\]
Bidhaa ya msalaba\(\vec{r} \times \vec{F}\) pia inatuambia ishara ya wakati. Katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\), bidhaa ya msalaba\(\vec{r} \times \vec{F}\) iko pamoja na mhimili wa z-mhimili, ambayo kwa mkataba ni wakati mzuri. Ikiwa\(\vec{r} \times \vec{F}\) ni pamoja na mhimili wa z-hasi, hii inazalisha wakati usiofaa.
Ikiwa tunazingatia diski ambayo ni bure kugeuka juu ya mhimili kupitia kituo, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\), tunaweza kuona jinsi angle kati ya radius\(\vec{r}\) na nguvu\(\vec{F}\) huathiri ukubwa wa wakati. Ikiwa angle ni sifuri, moment ni sifuri; ikiwa angle ni 90°, moment ni upeo. Wakati katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\) ni chanya kwa sababu mwelekeo wa wakati na utawala wa mkono wa kulia ni nje ya ukurasa pamoja na z-axis chanya. Disk huzunguka kinyume chake kwa sababu ya wakati, katika mwelekeo huo kama kasi ya kasi ya angular.
Idadi yoyote ya torques inaweza kuhesabiwa kuhusu mhimili uliopewa. Torques ya mtu binafsi huongeza kuzalisha wakati wa wavu kuhusu mhimili. Wakati ishara sahihi (chanya au hasi) inapewa ukubwa wa torques ya mtu binafsi kuhusu mhimili maalum, wakati wa wavu kuhusu mhimili ni jumla ya torques ya mtu binafsi:
\[\vec{\tau}_{net} = \sum_{i} |\vec{\tau}_{i}| \ldotp \label{10.24}\]
Kuhesabu Torque Net kwa Miili Rigid juu ya Axis F
Katika mifano ifuatayo, tunahesabu wakati wote kwa usahihi na kama kutumika kwa mwili mgumu. Sisi kwanza kuanzisha mkakati wa kutatua matatizo.
- Chagua mfumo wa kuratibu na hatua ya pivot au mhimili wa mzunguko kama asili ya mfumo wa kuratibu uliochaguliwa.
- Kuamua angle kati ya mkono wa lever\(\vec{r}\) na vector nguvu.
- Kuchukua bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) kuamua kama moment ni chanya au hasi kuhusu pivot uhakika au mhimili.
- Tathmini ukubwa wa wakati kwa kutumia r \(\perp\)F.
- Weka ishara sahihi, chanya au hasi, kwa ukubwa.
- Jumla torques kupata moment wavu.
Vikosi vinne vinaonyeshwa\(\PageIndex{4}\) kwenye Kielelezo katika maeneo fulani na mwelekeo kwa heshima na mfumo uliotolewa wa kuratibu xy-. Pata wakati kutokana na kila nguvu kuhusu asili, kisha utumie matokeo yako ili upate wakati wa wavu kuhusu asili.
Mkakati
Tatizo hili linahitaji kuhesabu wakati. Vipimo vyote vinavyojulikana - vikosi vyenye maelekezo na silaha za lever - hutolewa katika takwimu. Lengo ni kupata kila wakati wa mtu binafsi na wakati wa wavu kwa kuhesabu torques ya mtu binafsi. Kuwa makini kuwapa ishara sahihi kwa kila moment kwa kutumia bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na nguvu vector\(\vec{F}\).
Suluhisho
Tumia\(\vec{\tau}\) | | = r \(\perp\)F = RFSin\(\theta\) kupata ukubwa na\(\vec{r} = \vec{r} \times \vec{F}\) kuamua ishara ya wakati.
Moment kutoka nguvu 40 N katika roboduara ya kwanza imetolewa na (4) (40) dhambi 90° = 160 N • m.
bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) ni nje ya ukurasa, chanya.
Moment kutoka nguvu 20 N katika roboduara ya tatu inatolewa na - (3) (20) dhambi 90° = - 60 N • m.
bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) ni katika ukurasa, hivyo ni hasi.
Moment kutoka nguvu 30 N katika roboduara ya tatu inatolewa na (5) (30) dhambi 53° = 120 N • m.
bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) ni nje ya ukurasa, chanya.
Moment kutoka nguvu 20 N katika roboduara ya pili hutolewa na (1) (20) dhambi 30° = 10 N • m.
bidhaa msalaba wa\(\vec{r}\) na\(\vec{F}\) ni nje ya ukurasa.
Kwa hiyo wakati wa wavu ni\(\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}|\) = 160 ÷ 60 + 120 + 10 = 230 N • m.
Umuhimu
Kumbuka kwamba kila nguvu inayofanya mwelekeo wa kinyume chake ina wakati mzuri, wakati kila nguvu inayofanya kazi katika mwelekeo wa saa ina wakati wa hasi. Wakati huo ni mkubwa wakati umbali, nguvu, au vipengele vya perpendicular ni kubwa zaidi.
Kielelezo\(\PageIndex{5}\) inaonyesha vikosi kadhaa kaimu katika maeneo tofauti na pembe juu ya flywheel. Tuna\(|\vec{F}_{1}|\) = 20 N,\(|\vec{F}_{2}|\) = 30 N,\(|\vec{F}_{3}|\) = 30 N, na r = 0.5 m Pata wakati wa wavu kwenye flywheel kuhusu mhimili kupitia katikati.
Mkakati
Tunahesabu kila wakati mmoja mmoja, kwa kutumia bidhaa ya msalaba, na kuamua ishara ya wakati huo. Kisha sisi jumla ya torques kupata moment wavu. Suluhisho Tunaanza na\(\vec{F}_{1}\). Kama sisi kuangalia Kielelezo\(\PageIndex{5}\), tunaona kwamba\(\vec{F}_{1}\) inafanya angle ya 90° + 60° na vector radius\(\vec{r}\). Kuchukua bidhaa ya msalaba, tunaona kwamba iko nje ya ukurasa na hivyo ni chanya. Pia tunaona hii kwa kuhesabu ukubwa wake:
\[|\vec{\tau}_{1}| = rF_{1} \sin 150^{o} = (0.5\; m)(20\; N)(0.5) = 5.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]
Ifuatayo tunaangalia\(\vec{F}_{2}\). Pembe kati\(\vec{F}_{2}\) na\(\vec{r}\) ni 90° na bidhaa ya msalaba iko kwenye ukurasa hivyo moment ni hasi. Thamani yake ni
\[|\vec{\tau}_{2}| = -rF_{2} \sin 90^{o} = (-0.5\; m)(30\; N) = -15.0\; N\; \cdotp m \ldotp\]
Wakati sisi kutathmini moment kutokana na\(\vec{F}_{3}\), tunaona kwamba angle inafanya na\(\vec{r}\) ni sifuri hivyo\(\vec{r} \times \vec{F}_{3}\) = 0. Kwa hiyo,\(\vec{F}_{3}\) haina kuzalisha wakati wowote kwenye flywheel.
Sisi kutathmini jumla ya torques:
\[\tau_{net} = \sum_{i} |\tau_{i}| = 5 - 15 = -10\; N\; \cdotp m \ldotp\]
Umuhimu
Mhimili wa mzunguko ni katikati ya wingi wa flywheel. Kwa kuwa flywheel iko kwenye mhimili uliowekwa, sio huru kutafsiri. Kama ni juu ya uso frictionless na si fasta katika nafasi,\(\vec{F}_{3}\) ingekuwa kusababisha flywheel kutafsiri, kama vile\(\vec{F}_{1}\). Mwendo wake ungekuwa mchanganyiko wa tafsiri na mzunguko.
Meli kubwa ya bahari inakwenda karibu na pwani ya pwani, sawa na hatima ya Costa Concordia, na iko kwenye pembe kama inavyoonyeshwa hapa chini. Salvage crews lazima kuomba moment na haki ya meli ili kuelea chombo kwa ajili ya usafiri. Nguvu ya 5.0 x 10 5 N kaimu katika hatua A lazima kutumika kwa haki ya meli. Je! Ni wakati gani kuhusu hatua ya kuwasiliana na meli na ardhi (Kielelezo\(\PageIndex{6}\))?