10.4: Kuhusiana na Kiasi cha Angular na Tafsiri

Malengo ya kujifunza

• Kutokana na equation linear kinematic, kuandika sambamba rotational kinematic equation
• Tumia umbali wa mstari, kasi, na kasi ya pointi kwenye mfumo unaozunguka, kutokana na kasi ya angular na kasi

Katika sehemu hii, sisi kuhusiana kila moja ya vigezo rotational kwa vigezo tafsiri inavyoelezwa katika Motion Pamoja Line moja kwa moja na Motion katika mbili na Tatu Vipimo. Hii itamaliza uwezo wetu wa kuelezea mzunguko wa mwili.

Angular vs Vigezo vya mstari

Katika Vigezo vya Mzunguko, tulianzisha vigezo vya angular. Ikiwa tunalinganisha ufafanuzi wa mzunguko na ufafanuzi wa vigezo vya mstari wa kinematic kutoka kwa Motion Pamoja na Mstari wa Moja kwa moja na Mwendo katika Vipimo viwili na vitatu, tunaona kwamba kuna ramani ya vigezo vya mstari kwa wale wa mzunguko. Msimamo wa mstari, kasi, na kuongeza kasi huwa na wenzao wa mzunguko, kama tunavyoweza kuona wakati tunawaandika kwa upande mmoja:

	Linear	Mzunguko
Nafasi	$x $$	$$\ theta $$
Velocity	$$v =\ frac {dx} {dt} $$	$$\ omega =\ frac {d\ theta} {dt} $$
Kuharakisha	$$a =\ frac {dv} {dt} $$	$$a =\ frac {d\ omega} {dt} $$

Hebu tulinganishe vigezo vya mstari na mzunguko mmoja mmoja. Variable linear ya nafasi ina vitengo kimwili ya mita, ambapo angular nafasi variable ina vitengo dimensionless ya radians, kama inavyoonekana kutoka ufafanuzi wa\(\theta = \frac{s}{r}\), ambayo ni uwiano wa urefu mbili. Kasi ya mstari ina vitengo vya m/s, na mwenzake, kasi ya angular, ina vitengo vya rad/s. vigezo Rotational tuliona katika kesi ya mwendo mviringo kwamba linear tangential kasi ya chembe katika radius r kutoka mhimili wa mzunguko ni kuhusiana na kasi angular na uhusiano v _t = r\(\omega\). Hii inaweza pia kutumika kwa pointi kwenye mwili mgumu unaozunguka kuhusu mhimili uliowekwa. Hapa, tunazingatia mwendo wa mviringo tu. Katika mwendo wa mviringo, sare na isiyo ya kawaida, kuna kasi ya centripetal (Mwendo katika Vipimo viwili na vitatu). Vector centripetal kuongeza kasi pointi ndani kutoka chembe kutekeleza mwendo mviringo kuelekea mhimili wa mzunguko. Kupatikana kwa ukubwa wa kasi ya centripetal hutolewa katika Mwendo katika Vipimo viwili na vitatu. Kutokana na derivation kwamba, ukubwa wa kuongeza kasi centripetal ilionekana kuwa

\[a_{c} = \frac{v_{t}^{2}}{r}, \label{10.14}\]

ambapo r ni radius ya mduara.

Kwa hiyo, katika mwendo wa mviringo sare wakati kasi ya angular ni mara kwa mara na kasi ya angular ni sifuri, tuna kasi ya kasi ya mstari - yaani, kasi ya centripetal-tangu kasi ya tangential katika Equation\ ref {10.14} ni mara kwa mara. Kama nonuniform mviringo mwendo ni sasa, mfumo kupokezana ina kuongeza kasi angular, na tuna wote linear centripetal kuongeza kasi kwamba ni kubadilisha (kwa sababu v _t inabadilika) pamoja na linear tangential kuongeza kasi. Mahusiano haya ni inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), ambapo sisi kuonyesha kasi centripetal na tangential kwa sare na nonuniform mzunguko mwendo.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): (a) Sare mviringo mwendo: centripetal kuongeza kasi _c ina vector yake ndani kuelekea mhimili wa mzunguko. Hakuna kasi ya tangential. (b) Mzunguko usio wa kawaida wa mviringo: Kuongeza kasi ya angular inazalisha kasi ya ndani ya centripetal inayobadilika kwa ukubwa, pamoja na kuongeza kasi ya tangential _t.

Kuongeza kasi ya centripetal ni kutokana na mabadiliko katika mwelekeo wa kasi ya tangential, wakati kasi ya kasi ya tangential ni kutokana na mabadiliko yoyote katika ukubwa wa kasi ya tangential. Vectors tangential na centripetal kuongeza kasi\(\vec{a}_{t}\) na\(\vec{a}_{c}\) daima perpendicular kwa kila mmoja, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Kukamilisha maelezo haya, tunaweza hawawajui jumla linear kuongeza kasi vector kwa uhakika juu ya kupokezana mwili rigid au chembe kutekeleza mzunguko mviringo katika r Radius kutoka mhimili fasta. Vector jumla ya kuongeza kasi ya mstari\(\vec{a}\) ni jumla ya vector ya kasi ya centripetal na tangential,

\[\vec{a} = \vec{a}_{c} + \vec{a}_{t} \ldotp \label{10.15}\]

Jumla linear kuongeza kasi vector katika kesi ya nonuniform pointi mviringo mwendo kwa pembeni kati ya wadudu centripetal na tangential kuongeza kasi, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Tangu\(\vec{a}_{c} \perp \vec{a}_{t}\), ukubwa wa kuongeza kasi ya jumla ya mstari ni

\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} \ldotp\]

Kumbuka kwamba ikiwa kasi ya angular ni sifuri, kasi ya jumla ya mstari ni sawa na kasi ya centripetal.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Chembe inatekeleza mwendo wa mviringo na ina kasi ya angular. Kuongeza kasi ya jumla ya chembe ni jumla ya vector ya kuongeza kasi ya centripetal na vectors tangential kuongeza kasi. Vector jumla ya kasi ya kasi ya mstari iko kwenye pembe kati ya kasi ya centripetal na tangential.

Uhusiano kati ya Mzunguko na Translational Motion

Tunaweza kuangalia mahusiano mawili kati ya mwendo wa mzunguko na wa kutafsiri.

1. Kwa ujumla, equations ya kinematic ya mstari ina wenzao wa mzunguko. Jedwali 10.2 linaorodhesha equations nne za mstari wa kinematic na mwenzake wa mzunguko. Seti mbili za equations zinaonekana sawa, lakini kuelezea hali mbili tofauti za kimwili, yaani, mzunguko na tafsiri.

Jedwali 10.2 - Ulinganisho wa Kinematic wa mzunguko na wa kutafsiri

Mzunguko	Tafsiri
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$	$$x = x_ {0} +\ bar {v} t $$
$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$	$$v_ {f} = v_ {0} + saa $$
$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2} katika^ {2} $$	$x_ {f} = x_ {0} + v_ {0} t +\ frac {1} {2}\ omega t^ {2} $$
$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta) $$	$$v_ {f} ^ {2} = v_ {0} ^ {2} + 2a (\ Delta x) $$

2. Mawasiliano ya pili inahusiana na vigezo vinavyohusiana na mstari na mzunguko katika kesi maalum ya mwendo wa mviringo. Hii inavyoonekana katika Jedwali 10.3, ambapo katika safu ya tatu, tumeorodhesha equation ya kuunganisha inayohusiana na kutofautiana kwa mstari kwa kutofautiana kwa mzunguko. Vigezo vya mzunguko wa kasi ya angular na kuongeza kasi vina vifungo vinavyoonyesha ufafanuzi wao katika mwendo wa mviringo.

Jedwali 10.3 - Kiasi cha mzunguko na tafsiri: Mzunguko wa Mviringo

Mzunguko	Tafsiri	Uhusiano (r = radius
$$\ theta $$	$s $$	$$\ theta =\ frac {s} {r} $$
$$\ omega $$	$v_ {t} $$	$$\ omega =\ frac {v_ {t}} {r} $$
$$\ alpha $$	$a_ {t} $$	$$\ alpha =\ frac {a_ {t}} {r} $$
	$$a_ {c} $$	$$a_ {c} =\ frac {v_ {t} ^ {2}} {r} $$

Mfano 10.7: Kuongeza kasi ya mstari wa Centrifuge

Centrifuge ina radius ya cm 20 na huharakisha kutoka kiwango cha juu cha mzunguko wa 10,000 rpm ili kupumzika katika sekunde 30 chini ya kasi ya angular ya mara kwa mara. Inapokezana kinyume chake. Je! Ni ukubwa gani wa kasi ya jumla ya hatua kwenye ncha ya centrifuge saa t = 29.0s? Ni mwelekeo gani wa vector jumla ya kuongeza kasi?

Mkakati

Kwa habari iliyotolewa, tunaweza kuhesabu kasi ya angular, ambayo itatuwezesha kupata kasi ya tangential. Tunaweza kupata kasi ya centripetal saa t = 0 kwa kuhesabu kasi ya tangential kwa wakati huu. Kwa ukubwa wa kasi, tunaweza kuhesabu kasi ya jumla ya kasi. Kutoka kwa maelezo ya mzunguko katika tatizo, tunaweza kuchora mwelekeo wa vector jumla ya kuongeza kasi.

Suluhisho

Kuongeza kasi ya angular ni

\[\alpha = \frac{\omega - \omega_{0}}{t} = \frac{0 - (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right)}{30.0\; s} = -34.9\; rad/s^{2} \ldotp\]

Kwa hiyo, kuongeza kasi ya tangential ni

\[a_{t} = r \alpha = (0.2\; m)(-34.9\; rad/s^{2}) = -7.0\; m/s^{2} \ldotp\]

Kasi ya angular saa t = 29.0 s ni

\[\begin{split} \omega & = \omega_{0} + \alpha t = (1.0 \times 10^{4}) \left(\dfrac{2 \pi\; rad}{60.0\; s}\right) + (-39.49\; rad/s^{2})(29.0\; s) \\ & = 1047.2\; rad/s - 1012.71\; rad/s = 35.1\; rad/s \ldotp \end{split}\]

Hivyo, kasi ya tangential saa t = 29.0 s ni

\[v_{t} = r \omega = (0.2\; m)(35.1\; rad/s) = 7.0\; m/s \ldotp\]

Sasa tunaweza kuhesabu kasi ya centripetal saa t = 29.0 s:

\[a_{c} = \frac{v^{2}}{r} = \frac{(7.0\; m/s)^{2}}{0.2\; m} = 245.0\; m/s^{2} \ldotp\]

Kwa kuwa vectors mbili za kuongeza kasi ni perpendicular kwa kila mmoja, ukubwa wa jumla ya kuongeza kasi ya mstari ni

\[|\vec{a}| = \sqrt{a_{c}^{2} + a_{t}^{2}} = \sqrt{(245.0)^{2} + (-7.0)^{2}} = 245.1\; m/s^{2} \ldotp\]

Tangu centrifuge ina kasi ya angular hasi, inapunguza kasi. jumla ya kuongeza kasi vector ni kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\). Pembe kwa heshima na vector centripetal kuongeza kasi ni

\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{-7.0}{245.0}\right) = -1.6^{o} \ldotp\]

Ishara hasi ina maana kwamba vector jumla ya kuongeza kasi ni angled kuelekea mwelekeo clockwise.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): wadudu wa centripetal, tangential, na jumla ya kuongeza kasi. Centrifuge inapunguza kasi, hivyo kasi ya tangential ni saa moja kwa moja, kinyume na mwelekeo wa mzunguko (kinyume chake).

Umuhimu

Kutoka Kielelezo\(\PageIndex{3}\), tunaona kwamba vector ya kuongeza kasi ya tangential ni kinyume na mwelekeo wa mzunguko. Ukubwa wa kuongeza kasi ya tangential ni ndogo sana kuliko kasi ya centripetal, hivyo vector jumla ya kuongeza kasi ya mstari itafanya angle ndogo sana kuhusiana na vector centripetal kuongeza kasi.

Zoezi 10.3

Mvulana anaruka juu ya merry-kwenda pande zote na radius ya m 5 ambayo inapumzika. Inaanza kuharakisha kwa kiwango cha mara kwa mara hadi kasi ya angular ya 5 rad/s katika sekunde 20. Umbali unaotembelewa na mvulana ni nini?

Masimulizi

Angalia simulation hii ya Phet ili kubadilisha vigezo vya disk inayozunguka (angle ya awali, kasi ya angular, na kuongeza kasi ya angular), na mahali mende katika umbali tofauti wa radial kutoka kwa mhimili. simulation basi inakuwezesha kuchunguza jinsi mzunguko mviringo inahusiana na mende 'xy-nafasi, kasi, na kuongeza kasi kwa kutumia wadudu au grafu.