10.3: Mzunguko na Kuongeza kasi ya Angular

Malengo ya kujifunza

• Pata equations kinematic kwa mwendo wa mzunguko na kasi ya angular mara kwa mara
• Chagua kutoka kwa usawa wa kinematic kwa mwendo wa mzunguko na kuongeza kasi ya angular mara kwa mara milinganyo sahihi ya kutatua kwa haijulikani katika uchambuzi wa mifumo inayoendelea mzunguko wa mhimili wa kudumu.
• Tumia ufumbuzi uliopatikana na usawa wa kinematic ili kuthibitisha uchambuzi wa graphical wa mzunguko wa fasta na kasi ya angular ya mara kwa mara

Katika sehemu iliyotangulia, tulifafanua vigezo vya mzunguko wa makazi ya angular, kasi ya angular, na kasi ya angular. Katika sehemu hii, tunafanya kazi na ufafanuzi huu ili kupata uhusiano kati ya vigezo hivi na kutumia mahusiano haya kuchambua mwendo wa mzunguko kwa mwili mgumu kuhusu mhimili uliowekwa chini ya kasi ya kasi ya angular. Uchunguzi huu huunda msingi wa kinematics ya mzunguko. Ikiwa kasi ya angular ni ya mara kwa mara, equations ya kinematics ya mzunguko hurahisisha, sawa na equations ya kinematics linear iliyojadiliwa katika Motion pamoja na Mstari wa Moja kwa moja na Mwendo katika Vipimo viwili na vitatu. Tunaweza kutumia seti hii iliyorahisishwa ya equations kuelezea maombi mengi katika fizikia na uhandisi ambapo kasi ya angular ya mfumo ni mara kwa mara. Kinematics ya mzunguko pia ni sharti la majadiliano ya mienendo ya mzunguko baadaye katika sura hii.

Kinematics ya Mzunguko wa Mzunguko

Kutumia intuition yetu, tunaweza kuanza kuona jinsi kiasi cha mzunguko\(\theta\)\(\omega\),\(\alpha\), na t vinahusiana na kila mmoja. Kwa mfano, tuliona katika sehemu iliyotangulia kwamba ikiwa flywheel ina kasi ya angular katika mwelekeo sawa na vector yake ya kasi ya angular, kasi yake ya angular huongezeka kwa wakati na uhamisho wake wa angular pia huongezeka. Kinyume chake, ikiwa kasi ya angular ni kinyume na vector ya kasi ya angular, kasi yake ya angular inapungua kwa wakati. Tunaweza kuelezea hali hizi za kimwili na wengine wengi na seti thabiti ya equations ya mzunguko wa kinematic chini ya kasi ya kasi ya angular. Njia ya kuchunguza mwendo wa mzunguko kwa njia hii inaitwa kinematics ya mwendo wa mzunguko.

Kuanza, tunaona kwamba ikiwa mfumo unazunguka chini ya kuongeza kasi ya mara kwa mara, basi kasi ya angular inafuata uhusiano rahisi kwa sababu kasi ya angular inaongezeka kwa mstari na wakati. Kasi ya angular wastani ni nusu tu ya jumla ya maadili ya awali na ya mwisho:

\[\bar{\omega} = \frac{\omega_{0} + \omega_{f}}{2} \ldotp \label{10.9}\]

Kutoka kwa ufafanuzi wa kasi ya angular wastani, tunaweza kupata equation inayohusiana na nafasi ya angular, kasi ya angular wastani, na wakati:

\[\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t} \ldotp\]

Kutatua kwa\(\theta\), tuna

\[\theta_{f} = \theta_{0} + \bar{\omega} t, \label{10.10}\]

ambapo tumeweka t ₀ = 0. Equation hii inaweza kuwa muhimu sana ikiwa tunajua kasi ya angular ya mfumo. Kisha tunaweza kupata makazi yao angular juu ya kipindi fulani wakati. Kisha, tunapata equation inayohusiana\(\omega\),\(\alpha\), na t Ili kuamua equation hii, tunaanza na ufafanuzi wa kuongeza kasi ya angular:

\[\alpha = \frac{d \omega}{dt} \ldotp\]

Sisi upya hii kupata\(\alpha\) dt = d\(\omega\) na kisha sisi kuunganisha pande zote mbili za equation hii kutoka maadili ya awali kwa maadili ya mwisho, yaani, kutoka t ₀ kwa t na\(\omega_{0}\) kwa\(\omega_{f}\). Katika mwendo wa mzunguko wa sare, kasi ya angular ni mara kwa mara ili iweze kuvutwa nje ya muhimu, ikitoa viungo viwili vya uhakika:

\[\alpha \int_{t_{0}}^{t} dt' = \int_{\omega_{0}}^{\omega_{f}} d \omega \ldotp\]

Kuweka t ₀ = 0, tuna

\[\alpha t = \omega_{f} - \omega_{0} \ldotp\]

Sisi upya hii ili kupata

\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t, \label{10.11}\]

\(\omega_{0}\)wapi kasi ya angular ya awali. Equation\ ref {10.11} ni mwenzake wa mzunguko kwa equation ya kinematiki ya mstari v _f = v ₀ + katika. Kwa Equation\ ref {10.11}, tunaweza kupata kasi ya angular ya kitu wakati wowote maalum t kutokana na kasi ya awali ya angular na kasi ya angular.

Hebu sasa tufanye matibabu sawa kuanzia na equation\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\). Tunaipanga upya ili kupata\(\omega\) dt = d\(\theta\) na kuunganisha pande zote mbili kutoka kwa maadili ya awali hadi ya mwisho tena, akibainisha kuwa kasi ya angular ni mara kwa mara na haina utegemezi wa wakati. Hata hivyo, wakati huu, kasi ya angular sio mara kwa mara (kwa ujumla), kwa hiyo tunabadilisha kile tulichotokana hapo juu:

\[\begin{split} \int_{t_{0}}^{t_{f}} (\omega_{0} + \alpha t') dt' & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta; \\ \int_{t_{0}}^{t} \omega_{0} dt + \int_{t_{0}}^{t} \alpha tdt & = \int_{\theta_{0}}^{\theta_{f}} d \theta = \Bigg[ \omega_{0} t' + \alpha \left(\dfrac{(t')^{2}}{2}\right)^{2} \Bigg]_{t_{0}}^{t} = \omega_{0} t + \alpha \left(\dfrac{t^{2}}{2}\right) = \theta_{f} - \theta_{0} \ldotp \end{split}\]

ambapo tumeweka t ₀ = 0. Sasa sisi upya ili kupata

\[\theta_{f} = \theta_{0} + \omega_{0} t + \frac{1}{2} \alpha t^{2} \ldotp \label{10.12}\]

Equation\ ref {10.12} ni mwenzake wa mzunguko kwa equation linear kinematiki inayopatikana katika Motion Along a Straight Line kwa nafasi kama kazi ya muda. Equation hii inatupa nafasi ya angular ya mwili unaozunguka wakati wowote t kutokana na hali ya awali (nafasi ya awali ya angular na kasi ya awali ya angular) na kuongeza kasi ya angular.

Tunaweza kupata equation ambayo ni huru ya muda kwa kutatua kwa t katika Equation\ ref {10.11} na kubadilisha katika Equation\ ref {10.12}. Equation\ ref {10.12} inakuwa

\[\begin{split} \theta_{f} & = \theta_{0} + \omega_{0} \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right) + \frac{1}{2} \alpha \left(\dfrac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha}\right)^{2} \\ & = \theta_{0} + \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} - \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{\omega_{0} \omega_{f}}{\alpha} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha} \\ & = \theta_{0} + \frac{1}{2} \frac{\omega_{f}^{2}}{\alpha} - \frac{1}{2} \frac{\omega_{0}^{2}}{\alpha}, \\ \theta_{f} - \theta_{0} & = \frac{\omega_{f}^{2} - \omega_{0}^{2}}{2 \alpha} \end{split}\]

au

\[\omega_{f}^{2} = \omega_{0}^{2} + 2 \alpha (\Delta \theta) \ldotp \label{10.13}\]

Equation\ ref {10.10} kupitia Equation\ ref {10.13} kuelezea mzunguko fasta mhimili kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara na ni muhtasari katika Jedwali 10.1.

Jedwali 10.1 - Ulinganisho wa Kinematic

Uhamisho wa angular kutoka kasi ya angular wastani	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ bar {\ omega} t$$
Upeo wa angular kutoka kasi ya angular	$$\ omega_ {f} =\ omega_ {0} +\ alpha t$$
Uhamisho wa angular kutoka kasi ya angular na kasi ya angular	$$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} {2}\ alpha t^ {2} $$
Upeo wa angular kutoka uhamisho wa angular na kasi ya angular	$$\ omega_ {f} ^ {2} =\ omega_ {0} ^ {2} + 2\ alpha (\ Delta\ theta) $$

Kutumia Equations kwa Mzunguko wa Mzunguko

Sasa tunaweza kutumia mahusiano muhimu ya kinematic kwa mwendo wa mzunguko kwa mifano rahisi ili kupata hisia kwa jinsi equations inaweza kutumika kwa hali ya kila siku.

Mfano 10.4: Kuhesabu kasi ya Reel ya Uvuvi

Mvuvi wa kina wa bahari anakula samaki kubwa ambayo huogelea mbali na mashua, akiunganisha mstari wa uvuvi kutoka kwenye reel yake ya uvuvi. Mfumo wote ni wa awali unapumzika, na mstari wa uvuvi unasimama kutoka kwenye reel kwenye eneo la 4.50 cm kutoka kwa mzunguko wake wa mzunguko. Reel inapewa kasi ya angular ya 110 rad/s ² kwa 2.00 s (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)).

1. Je, ni kasi ya mwisho ya angular ya reel baada ya 2 s?
2. Je, reel hufanya mapinduzi ngapi?

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Uvuvi line kuja mbali reel kupokezana hatua linearly

Mkakati

Tambua ujuzi na ulinganishe na equations ya kinematic kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara. Angalia kwa equation sahihi ambayo inaweza kutatuliwa kwa haijulikani, kwa kutumia knowns iliyotolewa katika maelezo ya tatizo.

Suluhisho

1. Tunapewa\(\alpha\) na t na unataka kuamua\(\omega\). equation moja kwa moja kutumia ni\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\), tangu maneno yote yanajulikana badala ya kutofautiana haijulikani sisi ni kuangalia kwa. Tunapewa kwamba\(\omega_{0}\) = 0 (huanza kutoka kupumzika), hivyo $$\ omega_ {f} = 0 + (110\; rad/s^ {2}) (2.00\; s) = 220\; rad/s\ ldotp $$
2. Tunaulizwa kupata idadi ya mapinduzi. Kwa sababu 1 rev = 2\(\pi\) rad, tunaweza kupata idadi ya mapinduzi kwa kutafuta ρ katika radians. Tunapewa\(\alpha\) na t, na tunajua\(\omega_{0}\) ni sifuri, ili tuweze kupata\(\theta\) kwa kutumia $$\ kuanza {mgawanyiko}\ theta_ {f} & =\ theta_ {i} +\ omega_ {i} t +\ Frac {1} {2}\ alpha t^ {2}\\ & = 0 + 0 + (0.500) (110\; rad/s^ {2}) (2.00) (2.00)\; s) ^ {2} = 220\; rad\ ldotp\ mwisho {mgawanyiko} $$Kubadilisha radians kwa mapinduzi anatoa $$Idadi\; ya\; rev = (220\; rad)\ kushoto (\ dfrac {1\; rev} {2\ pi\; rad}\ haki) = 35.0\; rev\ ldotp $$

Umuhimu

Mfano huu unaonyesha kwamba uhusiano kati ya wingi wa mzunguko ni sawa na wale kati ya wingi linear. Majibu ya maswali ni ya kweli. Baada ya kufungua kwa sekunde mbili, reel inapatikana kwa spin saa 220 rad/s, ambayo ni 2100 rpm. (Hakuna reels ajabu wakati mwingine kufanya sauti high-akapiga.)

Katika mfano uliotangulia, tulizingatia reel ya uvuvi na kuongeza kasi ya angular. Sasa hebu tuchunguze kinachotokea kwa kasi ya angular hasi.

mfano 10.5: Kuhesabu Muda Wakati Reel ya Uvuvi Inapungua na Kuacha

Sasa mvuvi hutumia kuvunja kwenye reel inayozunguka, kufikia kasi ya angular ya -300 rad/s ². Muda gani kuchukua reel kuja kuacha?

Mkakati

Tunaulizwa kupata wakati t kwa reel kuja kuacha. Hali ya awali na ya mwisho ni tofauti na yale yaliyo katika tatizo la awali, ambalo lilihusisha reel sawa ya uvuvi. Sasa tunaona kwamba kasi ya angular ya awali ni\(\omega_{0}\) = 220 rad/s na kasi ya mwisho ya angular\(\omega\) ni sifuri. Kuongeza kasi ya angular hutolewa kama\(\alpha\) = -300 rad/s ². Kuchunguza milinganyo inapatikana, tunaona wingi wote lakini t wanajulikana katika\(\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t\), na kuifanya rahisi kutumia equation hii.

Suluhisho

Majimbo ya equation

\[\omega_{f} = \omega_{0} + \alpha t \ldotp\]

Sisi kutatua equation algebraically kwa t na kisha mbadala maadili inayojulikana kama kawaida, kujitoa

\[t = \frac{\omega_{f} - \omega_{0}}{\alpha} = \frac{0 - 220.0\; rad/s}{-300.0\; rad/s^{2}} = 0.733\; s \ldotp\]

Umuhimu

Kumbuka kuwa utunzaji lazima uchukuliwe na ishara zinazoonyesha maelekezo ya kiasi mbalimbali. Pia, kumbuka kuwa wakati wa kuacha reel ni ndogo sana kwa sababu kasi ni kubwa sana. Uvuvi mistari wakati mwingine snap kwa sababu ya accelerations kushiriki, na wavuvi mara nyingi basi samaki kuogelea kwa muda kabla ya kutumia breki juu ya reel. Samaki amechoka ni polepole, inahitaji kasi ndogo.

Zoezi 10.2

Centrifuge inayotumiwa katika uchimbaji wa DNA huzunguka kwa kiwango cha juu cha 7000 rpm, huzalisha “g-force” kwenye sampuli ambayo ni mara 6000 nguvu ya mvuto. Ikiwa centrifuge inachukua sekunde 10 kuja kupumzika kutoka kiwango cha juu cha spin: (a) Ni kasi gani ya angular ya centrifuge? (b) Je, ni uhamisho wa angular wa centrifuge wakati huu?

Mfano 10.6: Kuongeza kasi ya Angular ya Propeller

Kielelezo\(\PageIndex{2}\) kinaonyesha grafu ya kasi ya angular ya propeller kwenye ndege kama kazi ya wakati. Kasi yake ya angular huanza saa 30 rad/s na matone linearly kwa 0 rad/s katika kipindi cha sekunde 5. (a) Pata kasi ya angular ya kitu na uhakikishe matokeo kwa kutumia usawa wa kinematic. (b) Pata angle ambayo propeller huzunguka wakati wa sekunde hizi 5 na kuthibitisha matokeo yako kwa kutumia equations kinematic.

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Grafu ya kasi ya angular ya propeller dhidi ya wakati.

Mkakati

1. Kwa kuwa kasi ya angular inatofautiana kwa mstari na wakati, tunajua kwamba kasi ya angular ni mara kwa mara na haitegemei kutofautiana wakati. Kuongeza kasi ya angular ni mteremko wa kasi ya angular vs grafu wakati,\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\). Ili kuhesabu mteremko, tunasoma moja kwa moja kutoka Kielelezo\(\PageIndex{2}\), na kuona kwamba\(\omega_{0}\) = 30 rad/s saa t\(\omega_{f}\) = 0 s na = 0 rad/s saa t = 5 s Kisha, tunaweza kuthibitisha matokeo kwa kutumia\(\omega = \omega_{0} + \alpha t\).
2. Tunatumia equation\(\omega = \frac{d \theta}{dt}\); tangu wakati derivative ya angle ni kasi ya angular, tunaweza kupata makazi ya angular kwa kuunganisha kasi ya angular, ambayo kutoka kwa takwimu ina maana kuchukua eneo chini ya grafu ya kasi ya angular. Kwa maneno mengine: $$\ int_ {\ theta_ {0}} ^ {\ theta_ {f} d\ theta =\ theta_ {f} -\ theta_ {0} =\ int_ {t_ {0}} ^ {t_ {f}}\ omega (t) dt\ ldOTP $Kisha tunatumia equations kinematic kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara ili kuthibitisha matokeo.

Suluhisho

1. Kuhesabu mteremko, tunapata $$\ alpha =\ frac {\ omega -\ omega_ {0}} {t - t_ {0}} =\ frac {(0 - 30.0)\; rad/s} {(5.0 - 0)\; s} = -6.0\; rad/s^ {2}\ ldOTP $Tunaona kwamba hii ni sawa Equation\ ref {10.11} na rearranging kidogo ya masharti.
2. Tunaweza kupata eneo chini ya pembe kwa kuhesabu eneo la pembetatu sahihi, kama inavyoonekana kwenye Mchoro\(\PageIndex{3}\).

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Eneo chini ya pembe ni eneo la pembetatu sahihi.

\ [Delta\ theta = eneo (pembetatu) =\ frac {1} {2} (30\; rad/s) (5\; s) = 75\; rad\ ldOTP $Sisi kuthibitisha ufumbuzi kwa kutumia Equation\ ref {10.12}: $$\ theta_ {f} =\ theta_ {0} +\ omega_ {0} t +\ frac {1} 2 {1}}\ alpha t^ {2}\ LDOTP $Setting\(\theta_{0}\) = 0, tuna $$\ theta_ {0} = (30.0\; rad/s) (5.0\; s) +\ frac {1} {2} (-6.0\; rad/s^ { 2}) (5.0\; s) ^ {2} = 150.0 - 75.0 = 75.0\; rad\ lDotP$Hii inathibitisha ufumbuzi uliopatikana kutoka kutafuta eneo chini ya Curve.

Umuhimu

Tunaona kutoka sehemu (b) kwamba kuna mbinu mbadala za kuchunguza mzunguko wa mhimili wa kudumu na kuongeza kasi ya mara kwa mara. Tulianza kwa mbinu ya kielelezo na kuthibitisha suluhisho kwa kutumia usawa wa kinematic wa mzunguko. Tangu\(\alpha = \frac{d \omega}{dt}\), tunaweza kufanya uchambuzi huo wa graphical kwenye kasi ya angular - vs. wakati Curve. Eneo chini ya\(\alpha\) -vs. -t Curve inatupa mabadiliko katika kasi angular. Kwa kuwa kasi ya angular ni mara kwa mara katika sehemu hii, hii ni zoezi moja kwa moja.