10.2: Vigezo vya Mzunguko

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176904

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Eleza maana ya kimwili ya vigezo vya mzunguko kama inatumika kwa mzunguko wa mhimili wa kudumu
Eleza jinsi kasi ya angular inahusiana na kasi ya tangential
Tumia kasi ya angular ya papo hapo, kutokana na kazi ya nafasi ya angular
Pata kasi ya angular na kasi ya angular katika mfumo unaozunguka
Tumia kasi ya kasi ya angular wakati kasi ya angular inabadilika
Tumia kasi ya angular instantaneous, kutokana na kazi ya kasi ya angular

Hadi sasa katika maandishi haya, tuna hasa alisoma translational mwendo, ikiwa ni pamoja na vigezo kwamba kuelezea ni: makazi yao, kasi, na kuongeza kasi. Sasa sisi kupanua maelezo yetu ya mwendo wa mzunguko - hasa, rotational mwendo kuhusu mhimili fasta. Tutaona kwamba mwendo wa mzunguko unaelezewa na seti ya vigezo vinavyohusiana sawa na yale tuliyotumia katika mwendo wa kutafsiri.

Angular kasi

Sare mviringo mwendo (kujadiliwa hapo awali katika Motion in Mbili na Tatu Vipimo) ni mwendo katika mduara kwa kasi ya mara kwa mara. Ingawa hii ni kesi rahisi ya mwendo wa mzunguko, ni muhimu sana kwa hali nyingi, na tunatumia hapa kuanzisha vigezo vya mzunguko.

Katika Kielelezo$\PageIndex{1}$, tunaonyesha chembe inayohamia kwenye mduara. Mfumo wa kuratibu ni fasta na hutumika kama sura ya kumbukumbu ili kufafanua msimamo wa chembe. Msimamo wake vector kutoka asili ya mduara hadi chembe inafuta nje angle$\theta$, ambayo huongezeka katika mwelekeo kinyume kama chembe inakwenda kwenye njia yake ya mviringo. Pembe$\theta$ inaitwa nafasi ya angular ya chembe. Kama chembe inakwenda katika njia yake ya mviringo, pia inaonyesha urefu wa arc s.

Kielelezo ni grafu inayoonyesha chembe inayohamia kinyume chake. Vector r kutoka asili ya mfumo wa kuratibu hadi hatua s juu ya kupita kwa chembe huunda theta ya angle na mhimili X. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: Chembe ifuatavyo njia ya mviringo. Kama hatua kinyume chake, ni sweeps nje angle chanya$\theta$ kwa heshima na x-axis na athari nje safu urefu s.

Pembe ni kuhusiana na radius ya mduara na urefu wa arc

\[\theta = \frac{s}{r} \ldotp \label{10.1}\]

Pembe$\theta$, nafasi ya angular ya chembe kando ya njia yake, ina vitengo vya radians (rad). Kuna$2\pi$ radians katika 360°. Kumbuka kuwa kipimo cha radian ni uwiano wa vipimo vya urefu, na kwa hiyo ni kiasi cha dimensionless. Kama chembe inakwenda kwenye njia yake ya mviringo, nafasi yake ya angular inabadilika na inakabiliwa na uhamisho wa angular$\Delta \theta$.

Tunaweza kuwapa wadudu kwa wingi katika Equation\ ref {10.1}. Pembe$\vec{\theta}$ ni vector nje ya ukurasa katika Kielelezo$\PageIndex{1}$. Vector nafasi ya angular$\vec{r}$ na urefu wa arc$\vec{s}$ wote hulala katika ndege ya ukurasa. Vectors hizi tatu zinahusiana na kila mmoja

\[\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r} \ldotp \label{10.2}\]

Hiyo ni, urefu wa arc ni bidhaa ya msalaba wa vector angle na vector nafasi, kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{2}$.

Kielelezo ni XYZ kuratibu mfumo inayoonyesha wadudu tatu. Vector Theta anasema katika mwelekeo mzuri wa Z. Vector s iko katika ndege ya XY. Vector r inaongozwa kutoka asili ya mfumo wa kuratibu hadi mwanzo wa vector s. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: Vector ya angle inaelezea kando ya mhimili wa z-na vector ya msimamo na vector urefu wa arc wote wamelala katika ndege ya xy. Tunaona kwamba$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$. Vectors zote tatu ni perpendicular kwa kila mmoja.

Ukubwa wa kasi ya angular, iliyoashiria$\omega$, ni kiwango cha wakati wa mabadiliko ya angle$\theta$ kama chembe inakwenda katika njia yake ya mviringo. Kasi ya angular instantaneous inaelezwa kama kikomo ambacho$\Delta$ t → 0 kwa kasi ya angular wastani$\bar{\omega} = \frac{\Delta \theta}{\Delta t}$:

\[\omega = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \theta}{\Delta t} = \frac{d \theta}{dt}, \label{10.3}\]

$\theta$wapi angle ya mzunguko (Kielelezo$\PageIndex{2}$). Vitengo vya kasi ya angular ni radians kwa pili (rad/s). Kasi ya angular inaweza pia kutajwa kama kiwango cha mzunguko katika radians kwa sekunde. Katika hali nyingi, tunapewa kiwango cha mzunguko katika mapinduzi/s au mizunguko/s Ili kupata kasi ya angular, tunapaswa kuzidisha mapinduzi/s na 2$\pi$, kwa kuwa kuna$\pi$ radians 2 katika mapinduzi kamili. Kwa kuwa mwelekeo wa angle nzuri katika mduara ni kinyume chake, tunachukua mzunguko wa kinyume cha saa kama kuwa mzunguko mzuri na wa saa kama hasi.

Tunaweza kuona jinsi kasi ya angular inahusiana na kasi ya tangential ya chembe kwa kutofautisha Ulinganisho\ ref {10.1} kwa heshima ya wakati. Tunaandika upya Equation\ ref {10.1} kama

\[s = r \theta \ldotp\]

Kuchukua derivative kwa heshima na wakati na kubainisha kuwa r radius ni mara kwa mara, tuna

\[\frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt} (r \theta) = \theta \frac{dr}{dt} + r \frac{d \theta}{dt} = r \frac{d \theta}{dt}\]

ambapo$\theta \frac{dr}{dt}$ = 0. Hapa,$\frac{ds}{dt}$ ni tu tangential kasi v _t ya chembe katika Kielelezo$\PageIndex{1}$. Hivyo, kwa kutumia Equation\ ref {10.3}, tunawasili

\[v_{t} = r \omega \ldotp \label{10.4}\]

Hiyo ni, kasi ya tangential ya chembe ni kasi yake ya angular mara radius ya mduara. Kutoka Equation\ ref {10.4}, tunaona kwamba kasi ya tangential ya chembe huongezeka kwa umbali wake kutoka kwa mhimili wa mzunguko kwa kasi ya angular ya mara kwa mara. Athari hii inavyoonekana kwenye Kielelezo$\PageIndex{3}$. Chembe mbili zinawekwa kwenye radii tofauti kwenye diski inayozunguka na kasi ya angular ya mara kwa mara. Kama disk inavyozunguka, kasi ya tangential huongezeka kwa mstari na radius kutoka kwa mzunguko wa mzunguko. Katika Kielelezo$\PageIndex{3}$, tunaona kwamba v ₁ = r ₁$\omega_{1}$ na v ₂ = r ₂$\omega_{2}$. Lakini disk ina kasi ya angular ya mara kwa mara, hivyo$\omega_{1} = \omega_{2}$. Hii ina maana$\frac{v_{1}}{r_{1}} = \frac{v_{2}}{r_{2}}$ au v ₂ =$\left(\dfrac{r_{2}}{r_{1}}\right)$ v ₁. Hivyo, tangu r _2> r ₁, v ₂ > v ₁.

Kielelezo kinaonyesha chembe mbili kwenye diski inayozunguka. Chembe 1 iko umbali wa r1 kutoka kwa mhimili wa mzunguko na kuhamia kwa kasi v1. Chembe 2 iko umbali wa r2 kutoka kwa mhimili wa mzunguko na huenda kwa kasi v2. — Kielelezo$\PageIndex{3}$: Chembe mbili kwenye diski inayozunguka zina kasi tofauti za tangential, kulingana na umbali wao kwa mhimili wa mzunguko.

Hadi sasa, tumejadili ukubwa wa kasi ya angular$\omega = \frac{d \theta}{dt}$, ambayo ni kiasi kikubwa - mabadiliko katika nafasi ya angular kwa heshima na wakati. Vector$\vec{\omega}$ ni vector inayohusishwa na kasi ya angular na pointi pamoja na mhimili wa mzunguko. Hii ni muhimu kwa sababu wakati mwili mgumu unapozunguka, tunataka kujua mhimili wa mzunguko na mwelekeo ambao mwili unazunguka juu ya mhimili, saa moja kwa moja au kinyume chake. Kasi ya angular$\vec{\omega}$ inatupa habari hii. Kasi ya angular$\vec{\omega}$ ina mwelekeo uliowekwa na kile kinachoitwa utawala wa mkono wa kulia. Utawala wa mkono wa kulia ni kwamba kama vidole vya mkono wako wa kulia vimefunga kinyume chake kutoka kwa x-axis (mwelekeo$\theta$ unaoongezeka) kuelekea mhimili wa y, pointi zako za kidole katika mwelekeo wa mhimili wa z-mhimili (Kielelezo$\PageIndex{4}$). Kasi ya angular$\vec{\omega}$ ambayo inaelezea kando ya mhimili wa z-mhimili kwa hiyo inalingana na mzunguko wa kinyume, wakati kasi ya angular$\vec{\omega}$ inayoelezea kando ya mhimili wa z-hasi inalingana na mzunguko wa saa.

Kielelezo ni grafu inayoonyesha mfumo wa kuratibu XYZ na mzunguko wa kinyume chake katika ndege ya XY. Upeo wa angular unasema katika mwelekeo mzuri wa Z. — Kielelezo$\PageIndex{4}$: Kwa mzunguko kinyume cha saa katika mfumo wa kuratibu umeonyeshwa, kasi ya angular inaonyesha katika mwelekeo mzuri wa z na utawala wa mkono wa kulia.

Tunaweza kuthibitisha utawala wa mkono wa kulia kwa kutumia kujieleza kwa vector kwa urefu wa arc$\vec{s} = \vec{\theta} \times \vec{r}$, Equation\ ref {10.2}. Kama sisi kutofautisha equation hii kwa heshima na wakati, tunaona

\[\frac{d \vec{s}}{dt} = \frac{d}{dt}(\vec{\theta} \times \vec{r}) = \left(\dfrac{d \theta}{dt} \times \vec{r}\right) + \left(\vec{\theta} \times \dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) = \frac{d \theta}{dt} \times \vec{r} \ldotp\]

Kwa kuwa$\vec{r}$ ni mara kwa mara, neno$\vec{\theta} \times \frac{d \vec{r}}{dt}$ = 0. Tangu$\vec{v} = \frac{d \vec{s}}{dt}$ ni kasi tangential na$\omega = \frac{d \vec{\theta}}{dt}$ ni kasi angular, tuna

\[\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r} \ldotp \label{10.5}\]

Hiyo ni, kasi ya tangential ni bidhaa ya msalaba wa kasi ya angular na vector nafasi, kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{5}$. Kutoka sehemu (a) ya takwimu hii, tunaona kwamba kwa kasi ya angular katika mwelekeo mzuri wa z-mzunguko katika ndege ya xy ni kinyume chake. Kwa sehemu (b), kasi ya angular iko katika mwelekeo wa z-hasi, kutoa mzunguko wa saa moja kwa moja katika ndege ya xy.

Kielelezo A ni mfumo wa kuratibu wa XYZ unaoonyesha wadudu watatu. Vector Omega anasema katika mwelekeo mzuri wa Z. Vector v iko katika ndege ya XY. Vector r inaongozwa kutoka kwa asili ya mfumo wa kuratibu hadi mwanzo wa vector v. Kielelezo B ni mfumo wa kuratibu wa XYZ unaoonyesha wadudu watatu. Vector Omega pointi katika mwelekeo hasi Z. Vector v iko katika ndege ya XY. Vector r inaongozwa kutoka kwa asili ya mfumo wa kuratibu hadi mwanzo wa vector v. — Kielelezo$\PageIndex{5}$: wadudu umeonyeshwa ni kasi ya angular, nafasi, na kasi ya tangential. (a) Kasi ya angular inaonyesha katika mwelekeo mzuri wa z-, kutoa mzunguko wa kinyume cha saa katika ndege ya xy. (b) Upeo wa angular unasema katika mwelekeo wa z-hasi, kutoa mzunguko wa saa.

Mfano$\PageIndex{1}$: Rotation of a Flywheel

Flywheel huzunguka kama vile inafuta angle kwa kiwango cha$\theta$ =$\omega$ t = (45.0 rad/s) t radians. Gurudumu huzunguka kinyume wakati wa kutazamwa katika ndege ya ukurasa. (a) kasi ya angular ya flywheel ni nini? (b) Ni mwelekeo gani wa kasi ya angular? (c) Ni radians ngapi ambayo flywheel inazunguka kupitia katika 30 s? (d) Kasi ya tangential ya uhakika juu ya flywheel 10 cm kutoka mhimili wa mzunguko ni nini?

Mkakati

Fomu ya kazi ya nafasi ya angular ya flywheel hutolewa katika tatizo kama$\theta$ (t) =$\omega$ t, hivyo kwa kuchukua derivative kwa heshima ya muda, tunaweza kupata kasi ya angular. Tunatumia utawala wa mkono wa kulia ili kupata kasi ya angular. Ili kupata makazi ya angular ya flywheel wakati wa 30 s, tunatafuta makazi ya angular$\Delta \theta$, ambapo mabadiliko katika nafasi ya angular ni kati ya 0 na 30 s Ili kupata kasi ya tangential ya hatua kwa umbali kutoka mhimili wa mzunguko, tunazidisha umbali wake mara kasi ya angular ya flywheel.

Suluhisho

$\omega$$\frac{d \theta}{dt}$= 45 rad/s Tunaona kwamba kasi ya angular ni mara kwa mara.
Kwa utawala wa mkono wa kulia, tunapunguza vidole katika mwelekeo wa mzunguko, ambayo ni kinyume chake katika ndege ya ukurasa, na pointi za kidole kwa uongozi wa kasi ya angular, ambayo iko nje ya ukurasa.
$\Delta \theta$=$\theta$ (30 s) -$\theta$ (0 s) = 45.0 (30.0 s) - 45.0 (0 s) = 1350.0 rad.
v _t = r$\omega$ = (0.1 m) (45.0 rad/s) = 4.5 m/s.

Umuhimu

Katika 30 s, flywheel imezunguka kwa njia ya mapinduzi kadhaa, kuhusu 215 ikiwa tunagawanya uhamisho wa angular na 2$\pi$. Flywheel kubwa inaweza kutumika kuhifadhi nishati kwa njia hii, ikiwa hasara kutokana na msuguano ni ndogo. Utafiti wa hivi karibuni umezingatia fani za superconducting ambazo flywheel inakaa, na kupoteza nishati ya sifuri kutokana na msugu

Angular kuongeza kasi

Sisi tu kujadiliwa kasi angular kwa sare mviringo mwendo, lakini si wote mwendo ni sare. Tazama skater ya barafu inazunguka na mikono yake iliyopandwa-wakati anavuta mikono yake ndani, kasi yake ya angular huongezeka. Au fikiria juu ya disk ngumu ya kompyuta kupunguza kasi kama kasi ya angular inapungua. Sisi kuchunguza hali hizi baadaye, lakini tunaweza tayari kuona haja ya kufafanua kuongeza kasi angular kwa kuelezea hali ambapo$\omega$ mabadiliko. Haraka mabadiliko katika$\omega$, zaidi ya kasi ya angular. Tunafafanua kasi ya angular ya papo hapo$\alpha$ kama derivative ya kasi ya angular kwa heshima na wakati:

\[\alpha = \lim_{\Delta t \rightarrow 0} \frac{\Delta \omega}{\Delta t} = \frac{d \omega}{dt} = \frac{d^{2} \theta}{dt^{2}}, \label{10.6}\]

ambapo tumechukua kikomo ya kuongeza kasi ya wastani angular,$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ kama$\Delta t → 0$. Vitengo vya kuongeza kasi ya angular ni (rad/s) /s, au rad/s ².

Kwa njia sawa na tulivyofafanua vector inayohusishwa na kasi ya angular$\vec{\omega}$, tunaweza kufafanua$\vec{\alpha}$, vector inayohusishwa na kuongeza kasi ya angular (Kielelezo$\PageIndex{6}$). Ikiwa kasi ya angular iko pamoja na mhimili wa z-mhimili, kama ilivyo kwenye Mchoro$\PageIndex{4}$, na$\frac{d \omega}{dt}$ ni chanya, basi kasi ya angular$\vec{\alpha}$ ni chanya na inaonyesha kando ya+z- mhimili. Vile vile, ikiwa kasi ya angular$\vec{\omega}$ iko pamoja na mhimili wa z-mhimili na$\frac{d \omega}{dt}$ ni hasi, basi kasi ya angular ni hasi na inaonyesha kando ya mhimili +z.

Kielelezo A kinaonyesha mzunguko katika mwelekeo kinyume. Kuongeza kasi ya angular iko katika mwelekeo sawa na kasi ya angular. Nakala chini ya takwimu inasema “Kiwango cha mzunguko kinyume na kuongezeka. Kielelezo B kinaonyesha mzunguko katika mwelekeo wa saa. Kuongeza kasi ya angular iko katika mwelekeo kinyume na kasi ya angular. Nakala chini ya takwimu inasema “Kiwango cha mzunguko wa saa moja kwa moja na kupungua. — Kielelezo$\PageIndex{6}$: Mzunguko ni kinyume chake katika wote (a) na (b) na kasi ya angular katika mwelekeo huo. (a) Kasi ya angular iko katika mwelekeo sawa na kasi ya angular, ambayo huongeza kiwango cha mzunguko. (b) Kasi ya angular iko katika mwelekeo kinyume na kasi ya angular, ambayo inapungua kiwango cha mzunguko.

Tunaweza kueleza vector tangential kuongeza kasi kama bidhaa msalaba wa kuongeza kasi angular na vector nafasi. Maneno haya yanaweza kupatikana kwa kuchukua muda derivative ya$\vec{v} = \vec{\omega} \times \vec{r}$ na ni kushoto kama zoezi:

\[\vec{a} = \vec{\alpha} \times \vec{r} \ldotp \label{10.7}\]

Mahusiano ya vector kwa kasi ya angular na kuongeza kasi ya tangential yanaonyeshwa kwenye Kielelezo$\PageIndex{7}$.

Kielelezo A ni mfumo wa kuratibu wa XYZ unaoonyesha wadudu watatu. Vector Alpha anasema katika mwelekeo mzuri wa Z. Vector a iko katika ndege ya XY. Vector r inaelekezwa kutoka asili ya mfumo wa kuratibu hadi mwanzo wa vector a. Vector Alpha pointi katika mwelekeo hasi Z. Vector a iko katika ndege ya XY. Vector r inaongozwa kutoka asili ya mfumo wa kuratibu hadi mwanzo wa vector a. — Kielelezo$\PageIndex{7}$: (a) Kuongeza kasi ya angular ni mwelekeo mzuri wa z-na hutoa kasi ya tangential kwa maana ya kinyume. (b) Kuongeza kasi ya angular iko katika mwelekeo wa z-hasi na hutoa kasi ya tangential kwa maana ya saa moja kwa moja.

Tunaweza kuhusisha kasi ya tangential ya hatua kwenye mwili unaozunguka umbali kutoka kwa mhimili wa mzunguko kwa njia ile ile ambayo sisi kuhusiana kasi ya tangential kwa kasi ya angular. Ikiwa tunatofautisha Equation\ ref {10.4} kwa heshima na wakati, akibainisha kuwa r radius ni mara kwa mara, tunapata

\[a_{t} = r \alpha \ldotp \label{10.8}\]

Hivyo, kasi ya tangential a _t ni radius mara kuongeza kasi ya angular. Ulinganifu\ ref {10.4} na\ ref {10.8} ni muhimu kwa majadiliano ya mwendo unaoendelea (angalia Angular Momentum).

Hebu tufanye mawazo haya kwa uchambuzi wa matukio machache ya mzunguko wa mzunguko wa fasta. Kabla ya kufanya hivyo, tunawasilisha mkakati wa kutatua matatizo ambayo inaweza kutumika kwa kinematics ya mzunguko: maelezo ya mwendo wa mzunguko.

Mkakati wa Kutatua matatizo: Kinematics ya mzunguko

Kuchunguza hali ili kuamua kwamba kinematics ya mzunguko (mwendo wa mzunguko) inahusika.
Tambua hasa kile kinachohitajika kuamua katika tatizo (kutambua haijulikani). Mchoro wa hali hiyo ni muhimu.
Fanya orodha kamili ya kile kinachopewa au kinaweza kuhitimishwa kutokana na tatizo kama ilivyoelezwa (kutambua maarifa).
Tatua equation sahihi au equations kwa wingi kuamua (haijulikani). Inaweza kuwa na manufaa kufikiri kwa suala la analog ya kutafsiri, kwa sababu kwa sasa unajua na usawa wa mwendo wa kutafsiri.
Badilisha maadili inayojulikana pamoja na vitengo vyao katika equation sahihi na kupata ufumbuzi wa namba kamili na vitengo. Hakikisha kutumia vitengo vya radians kwa pembe.
Angalia jibu lako ili uone ikiwa ni busara: Je, jibu lako lina maana?

Sasa hebu tumia mkakati huu wa kutatua matatizo kwa mifano machache maalum.

Mfano$\PageIndex{2}$: A Spinning Bicycle Wheel

fundi baiskeli milimani baiskeli juu ya kusimama kukarabati na kuanza nyuma gurudumu inazunguka kutoka mapumziko kwa mwisho angular kasi ya 250 rpm katika 5.00 s. (a) Mahesabu ya wastani angular kuongeza kasi katika rad/s ². (b) Ikiwa yeye sasa anapiga breki, na kusababisha kasi ya angular ya -87.3 rad/s ², inachukua muda gani gurudumu kuacha?

Mkakati

Kiwango cha wastani cha angular kinaweza kupatikana moja kwa moja kutoka$\bar{\alpha} = \frac{\Delta \omega}{\Delta t}$ kwa ufafanuzi wake kwa sababu kasi ya mwisho ya angular na wakati hutolewa. Tunaona kwamba$\Delta \omega$ =$\omega_{final}$ -$\omega_{initial}$ = 250 rev/min na$\Delta$ t ni 5.00 s Kwa sehemu (b), tunajua kasi ya angular na kasi ya awali ya angular. Tunaweza kupata muda wa kuacha kwa kutumia ufafanuzi wa kuongeza kasi ya angular na kutatua kwa$\Delta$ t, kujitoa

\[\Delta t = \frac{\Delta \omega}{\alpha} \ldotp\]

Suluhisho

Kuingia habari inayojulikana katika ufafanuzi wa kuongeza kasi ya angular, tunapata $$\ bar {\ alpha} =\ Frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {250\; rpm} {5.00\; s}\ LdOTP $Kwa sababu$\Delta \omega$ iko katika mapinduzi kwa dakika (rpm) na tunataka vitengo vya kawaida vya rad/s ² kwa kasi ya angular, tunahitaji kubadilisha kutoka rpm kwa rad/s: $$\ Delta\ omega = 250\ Frac {rev} {min}\;\ cdotp\ frac {2\ pi\; rad} {rev}\;\ cdotp\ Frac {1\; min} {60\; s} = 26.2\; rad/s\ LdOTP $Kuingia kiasi hiki katika kujieleza kwa$\alpha$, tunapata $$bar\ alpha} =\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ Frac {26.2\; rpm} {5.00\; s} = 5.24\; rad/s^ {2 }\ ldotp $$
Hapa kasi ya angular inapungua kutoka 26.2 rad/s (250 rpm) hadi sifuri, hivyo$\Delta \omega$ ni -26.2 rad/s, na$\alpha$ inapewa kuwa —87.3 rad/s ². Hivyo $$\ Delta t =\ frac {-26.2\; rad/s} {-87.3\; rad/s^ {2}} = 0.300\; s\ ldotp$$

Umuhimu

Kumbuka kuwa kasi ya angular kama fundi huzunguka gurudumu ni ndogo na chanya; inachukua 5 s kuzalisha kasi ya angular appreciable. Wakati anapiga breki, kasi ya angular ni kubwa na hasi. Kasi ya angular haraka inakwenda sifuri.

Zoezi$\PageIndex{1}$

Vile vya shabiki kwenye inji ya ndege ya turbofan (inavyoonyeshwa hapa chini) huharakisha kutoka kupumzika hadi kiwango cha mzunguko wa 40.0 rev/s katika 20 s. ongezeko la kasi ya angular ya shabiki ni mara kwa mara kwa wakati. (Injini ya turbofan GE90-110B1 imewekwa kwenye Boeing 777, kama inavyoonekana, kwa sasa ni inja kubwa zaidi duniani ya turbofan, yenye uwezo wa kusonga kwa 330—510 kN.) (a) Je, ni wastani wa kasi ya angular? (b) Je, ni kasi ya angular ya papo hapo wakati wowote wakati wa kwanza 20 s?

Picha ni picha ya turbine ya hewa chini ya mrengo wa ndege.

Mfano$\PageIndex{3}$: Wind Turbine

Turbine ya upepo (Kielelezo$\PageIndex{9}$) katika shamba la upepo imefungwa kwa ajili ya matengenezo. Inachukua 30 s kwa turbine kwenda kutoka kasi yake ya uendeshaji angular hadi kuacha kamili ambayo kazi ya kasi ya angular ni$\omega$ (t) =$\Big[\frac{(ts^{−1} −30.0)^{2}}{100.0} \Big]$ rad/s Kama turbine inazunguka kinyume chake kuangalia ndani ya ukurasa, (a) ni maelekezo gani ya kasi ya angular na vectors kasi? (b) Je, ni wastani wa kasi ya angular? (c) Ni kasi gani ya angular ya haraka katika t = 0.0, 15.0, 30.0 s?

Kielelezo ni kuchora ya turbine upepo kwamba ni kupokezana counterclockwise, kama inavyoonekana kichwa juu ya. — Kielelezo$\PageIndex{9}$: turbine upepo kwamba ni kupokezana kinyume, kama inavyoonekana kichwa juu ya.

Mkakati

Tunapewa hisia ya mzunguko wa turbine, ambayo ni kinyume chake katika ndege ya ukurasa. Kutumia utawala wa mkono wa kulia (Kielelezo 10.5), tunaweza kuanzisha maelekezo ya kasi ya angular na vectors ya kuongeza kasi.
Tunahesabu kasi ya awali na ya mwisho ya angular ili kupata kasi ya kasi ya angular. Tunaanzisha ishara ya kuongeza kasi ya angular kutoka kwa matokeo katika (a).
Tunapewa fomu ya kazi ya kasi ya angular, hivyo tunaweza kupata fomu ya kazi ya kazi ya kuongeza kasi ya angular kwa kuchukua derivative yake kwa heshima na wakati.

Suluhisho

Tangu turbine inazunguka kinyume chake, kasi ya angular$\vec{\omega}$ inaonyesha nje ya ukurasa. Lakini tangu kasi ya angular inapungua, kasi$\vec{\alpha}$ ya angular inaingia kwenye ukurasa, kwa maana tofauti na kasi ya angular.
Kasi ya awali ya angular ya turbine, kuweka t = 0, ni$\omega$ = 9.0 rad/s. mwisho angular kasi ni sifuri, hivyo wastani angular kuongeza kasi ni $$\ bar {\ alpha}\ frac {\ Delta\ omega} {\ Delta t} =\ frac {\ omega -\ omega_ {0}} {t - t_ {0}} =\ frac {0 - 9.0\; rad/s} {30.0 - 0\; s} = -0.3\; rad/s^ {2}\ ldotp$ $
Kuchukua derivative ya kasi ya angular kwa heshima na wakati hutoa$\alpha = \frac{d \omega}{dt} = \frac{(t − 30.0)}{50.0}$ rad/s ² $$\ alpha (0.0; s) = -0.6\; rad/s^ {2},\ alpha (15.0\; s) = -0.3\; rad/s {2}, na\;\ alpha (30.0\; s) = 0\; rad/s\ ldotp $$

Umuhimu

Tuligundua kutoka kwa mahesabu katika (a) na (b) kwamba kasi ya angular α na kuongeza kasi ya angular$\bar{\alpha}$ ni hasi. Turbine ina kasi ya angular kwa maana tofauti na kasi yake ya angular.

Sasa tuna msamiati wa msingi wa kujadili kinematics ya mzunguko wa fasta na mahusiano kati ya vigezo vya mzunguko. Tunajadili ufafanuzi zaidi na uhusiano katika sehemu inayofuata.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Rotation of a Flywheel

Suluhisho

Mkakati wa Kutatua matatizo: Kinematics ya mzunguko

Mfano\(\PageIndex{2}\): A Spinning Bicycle Wheel

Suluhisho

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\): Wind Turbine

Suluhisho