9.11: Propulsion ya roketi

Malengo ya kujifunza

• Eleza matumizi ya uhifadhi wa kasi wakati molekuli inabadilika na wakati, pamoja na kasi
• Tumia kasi ya roketi katika nafasi tupu, wakati fulani, kutokana na hali ya awali
• Tumia kasi ya roketi katika uwanja wa mvuto wa Dunia, wakati fulani, kutokana na hali ya awali

Sasa tunahusika na kesi ambapo wingi wa kitu unabadilika. Sisi kuchambua mwendo wa roketi, ambayo inabadilika kasi yake (na hivyo kasi yake) kwa ejecting gesi za mafuta ya moto, na hivyo kusababisha kuharakisha katika mwelekeo kinyume cha kasi ya mafuta ejected (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Hasa: meli ya roketi yenye fueled kikamilifu katika nafasi ya kina ina jumla ya molekuli m ₀ (molekuli hii inajumuisha molekuli ya awali ya mafuta). Kwa wakati fulani kwa wakati, roketi ina kasi\(\vec{v}\) na molekuli m; molekuli hii ni mchanganyiko wa wingi wa roketi tupu na wingi wa mafuta yaliyobaki yasiyochomwa yanayo nayo. (Sisi rejea m kama “molekuli instantaneous” na\(\vec{v}\) kama “kasi instantaneous.”) Roketi huharakisha kwa kuchoma mafuta ambayo hubeba na kutoa gesi za kutolea nje za kutolea nje. Ikiwa kiwango cha kuchomwa kwa mafuta ni mara kwa mara, na kasi ambayo kutolea nje hutolewa pia ni mara kwa mara, ni mabadiliko gani ya kasi ya roketi kutokana na kuchoma mafuta yake yote?

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): kuhamisha nafasi na idadi ya sehemu reusable. Nyongeza za mafuta zilizo imara kwa upande wowote zilipatikana na kuzalishwa baada ya kila kukimbia, na orbiter nzima ilirudi duniani kwa matumizi katika ndege zinazofuata. Tangi kubwa ya mafuta ya kioevu ilitumiwa. Kuhamisha nafasi ilikuwa mkusanyiko tata wa teknolojia, kuajiri wote mafuta imara na kioevu, na tiles pioneering kauri kama ngao reentry joto. Matokeo yake, iliruhusu uzinduzi mbalimbali kinyume na makombora ya kutumia moja. (mikopo: mabadiliko ya kazi na NASA)

Uchambuzi wa kimwili

Hapa ni maelezo ya nini kinatokea, ili kupata kujisikia kwa fizikia kushiriki.

• Kama inji za roketi zinafanya kazi, zinaendelea kutoa gesi za mafuta za kuchomwa moto, ambazo zina wingi na kasi, na kwa hiyo baadhi ya kasi. Kwa uhifadhi wa kasi, kasi ya roketi inabadilika kwa kiasi hiki (na ishara tofauti). Sisi kudhani mafuta ya kuchomwa moto ni kuwa ejected kwa kiwango cha mara kwa mara, ambayo ina maana kiwango cha mabadiliko ya kasi roketi pia ni mara kwa mara. Kwa Equation 9.4.17, hii inawakilisha nguvu ya mara kwa mara kwenye roketi.
• Hata hivyo, kama muda unavyoendelea, wingi wa roketi (ambayo ni pamoja na wingi wa mafuta iliyobaki) hupungua kwa kasi. Hivyo, ingawa nguvu juu ya roketi ni mara kwa mara, kuongeza kasi ya kusababisha si; inaendelea kuongezeka.
• Hivyo, mabadiliko ya jumla ya kasi ya roketi itategemea kiasi cha wingi wa mafuta ambayo ni kuchomwa moto, na utegemezi huo si linear.

Tatizo lina wingi na kasi ya roketi inayobadilika; pia, molekuli jumla ya gesi zilizoondolewa hubadilika. Ikiwa tunafafanua mfumo wetu kuwa mafuta ya roketi +, basi hii ni mfumo uliofungwa (tangu roketi iko katika nafasi kubwa, hakuna nguvu za nje zinazofanya mfumo huu); kwa matokeo, kasi huhifadhiwa kwa mfumo huu. Hivyo, tunaweza kutumia uhifadhi wa kasi ili kujibu swali (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).

Kielelezo\(\PageIndex{2}\): roketi huharakisha na haki kutokana na kufukuzwa kwa baadhi ya molekuli yake ya mafuta kwa upande wa kushoto. Hifadhi ya kasi inatuwezesha kuamua mabadiliko ya kusababisha kasi. Masi m ni molekuli ya jumla ya mara moja ya roketi (yaani, wingi wa mwili wa roketi pamoja na wingi wa mafuta wakati huo kwa wakati). (mikopo: muundo wa kazi na NASA/Bill Ingalls)

Wakati huo huo kwamba jumla ya molekuli ya roketi instantaneous ni m (yaani, m ni wingi wa mwili wa roketi pamoja na wingi wa mafuta wakati huo), tunafafanua kasi ya roketi ya instantaneous kuwa\(\vec{v}\) = v\(\hat{i}\) (katika+x-mwelekeo); kasi hii inapimwa jamaa na inertial mfumo wa kumbukumbu (Dunia, kwa mfano). Hivyo, kasi ya awali ya mfumo ni\(\vec{p}_{i}\) = mv\(\hat{i}\).

Injini za roketi zinawaka fueli kwa kiwango cha mara kwa mara na kutoa gesi za kutolea nje katika mwelekeo wa -x-direction. Wakati wa muda mdogo wa muda dt, inji hutoa (chanya) molekuli ndogo ya gesi dm _g kwa kasi\(\vec{u}\) = -u\(\hat{i}\); kumbuka kuwa ingawa kasi ya roketi v\(\hat{i}\) inapimwa kwa heshima na Dunia, kasi ya kutolea nje gesi inapimwa kwa heshima na (kusonga) roketi. Ilipimwa kwa heshima na Dunia, kwa hiyo, gesi ya kutolea nje ina kasi (v -u)\(\hat{i}\).

Kama matokeo ya ejection ya gesi ya mafuta, wingi wa roketi hupungua kwa dm _g, na kasi yake huongezeka kwa dv\(\hat{i}\). Kwa hiyo, ikiwa ni pamoja na mabadiliko ya roketi na mabadiliko ya gesi ya kutolea nje, kasi ya mwisho ya mfumo ni

\[\begin{split} \vec{p}_{f} & = \vec{p}_{rocket} + \vec{p}_{gas} \\ & = (m - dm_{g})(v + dv) \hat{i} + dm_{g} (v - u) \hat{i} \ldotp \end{split}\]

Kwa kuwa wadudu wote wako katika mwelekeo wa x, tunaacha alama ya vector. Kutumia uhifadhi wa kasi, tunapata

\[\begin{split} p_{i} & = p_{f} \\ mv & = (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g} (v - u) \\ mv & = mv + mdv - dm_{g} v - dm_{g} dv + dm_{g} v - dm_{g} u \\ mdv & = dm_{g} dv + dm_{g} u \ldotp \end{split}\]

Sasa, dm _g na dv ni kila ndogo sana; hivyo, bidhaa zao dm _g dv ni ndogo sana, ndogo sana kuliko maneno mengine mawili katika maneno haya. Tunapuuza neno hili, kwa hiyo, na kupata:

\[mdv = dm_{g} u \ldotp\]

Hatua yetu inayofuata ni kukumbuka kwamba, kwa kuwa dm _g inawakilisha ongezeko la wingi wa gesi zilizokatwa, lazima pia kuwakilisha kupungua kwa wingi wa roketi:

\[dm_{g} = - dm \ldotp\]

Kubadilisha hii, tuna

\[mdv = -dmu\]

au

\[dv = -u \frac{dm}{m} \ldotp\]

Kuunganisha kutoka kwa molekuli ya awali m ₀ hadi molekuli ya mwisho m ya roketi inatupa matokeo tunayofuata:

\[\begin{split} \int_{v_{i}}^{v} dv & = -u \int_{m_{0}}^{m} \frac{1}{m} dm \\ v - v_{i} & = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \end{split}\]

na hivyo jibu letu la mwisho ni

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) \ldotp \label{9.38}\]

Matokeo haya inaitwa equation roketi. Ilikuwa awali inayotokana na mwanafizikia wa Soviet Konstantin Tsiolkovsky mwaka 1897. Inatupa mabadiliko ya kasi kwamba roketi inapata kutoka kuchoma wingi wa mafuta ambayo itapungua jumla roketi molekuli kutoka m ₀ chini ya m. kama ilivyotarajiwa, uhusiano kati ya\(\Delta\) v na mabadiliko ya wingi wa roketi ni nonlinear.

Mkakati wa kutatua matatizo: Propulsion ya roketi

Katika matatizo ya roketi, maswali ya kawaida ni kutafuta mabadiliko ya kasi kutokana na kuchoma kiasi fulani cha mafuta kwa kiasi fulani cha muda; au kuamua kasi inayotokana na kuchoma mafuta.

1. Kuamua mabadiliko ya kasi, tumia equation equation ya roketi\ ref {9.38}.
2. Kuamua kuongeza kasi, tambua nguvu kwa kutumia theorem ya kasi ya msukumo, kwa kutumia equation ya roketi ili kuamua mabadiliko ya kasi

Mfano\(\PageIndex{1}\): Thrust on a Spacecraft

Chombo cha angani kinahamia katika nafasi isiyo na mvuto kwenye njia moja kwa moja wakati majaribio yake anaamua kuharakisha mbele. Yeye zamu juu thrusters, na kuchomwa mafuta ni ejected kwa kiwango cha mara kwa mara ya\(2.0 \times 10^2\, kg/s\), kwa kasi (jamaa na roketi) ya\(2.5 \times 10^2 \,m/s\). Masi ya awali ya spacecraft na mafuta yake yasiyochomwa ni\(2.0 \times 10^4\, kg\), na thrusters ni juu ya 30 s.

1. Ni nini kutia (nguvu kutumika kwa roketi na mafuta ejected) juu ya spacecraft?
2. Ni nini spacecraft ya kuongeza kasi kama kazi ya muda?
3. Je, kasi ya spacecraft katika t = 0, 15, 30, na 35 s ni nini?

Mkakati

1. Nguvu juu ya spacecraft ni sawa na kiwango cha mabadiliko ya kasi ya mafuta.
2. Kujua nguvu kutoka sehemu (a), tunaweza kutumia sheria ya pili ya Newton kuhesabu kasi ya matokeo. Kitu muhimu hapa ni kwamba, ingawa nguvu inayotumika kwa spacecraft ni mara kwa mara (mafuta yanatolewa kwa kiwango cha mara kwa mara), wingi wa spacecraft si; hivyo, kuongeza kasi inayosababishwa na nguvu haitakuwa mara kwa mara. Tunatarajia kupata kazi\(a(t)\), kwa hiyo.
3. Tutaweza kutumia kazi sisi kupata katika sehemu (b), na tu mbadala idadi aliyopewa. Muhimu: Tunatarajia kwamba kuongeza kasi kupata kubwa kama muda unaendelea, tangu molekuli kuwa kasi ni kuendelea kupungua (mafuta ni kuwa ejected kutoka roketi).

Suluhisho

1. Kasi ya gesi ya mafuta iliyokatwa ni $$p = m_ {g} v\ lDOTP $Kasi ya ejection v = 2.5 x 10 ² m/s ni mara kwa mara, na kwa hiyo nguvu ni $$F =\ frac {dt} {dt} = v\ frac {g} {dt} {dt}\ ldOTP $Sasa,\(\frac{dm_{g}}{dt}\) ni kiwango cha mabadiliko ya wingi wa mafuta; tatizo inasema kwamba hii ni 2.0 x 10 ² kg/s. badala, sisi kupata $$\ kuanza {mgawanyiko} F & = v\ Frac {dm_ {g}} {dt}\\ & = (2.5\ mara 10^ {2}\; m/s) (2.0\ mara 10^ {2}\ mara 10^ {4}\ mwisho {mgawanyiko} $$
2. Juu, sisi defined m kuwa wingi pamoja ya roketi tupu pamoja na hata hivyo kiasi unburned mafuta yaliyomo: m = m _R + m _g. Kutoka sheria ya pili ya Newton, $$a =\ frac {F} {m} =\ frac {F} {m_ {R} + m_ {g}}\ ldOTP $Nguvu ni ya mara kwa mara na molekuli tupu ya roketi m _R ni mara kwa mara, lakini molekuli ya mafuta m _g inapungua kwa kiwango cha sare; hasa: $$m_ {g} = m_ {g} (t) - m_ {g} (t) - m_ {g_ {0}} -\ kushoto (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ haki) t\ ldotp$$ Hii inatupa $$a (t) =\ frac {F} {m_ {g_ {1}} -\ kushoto (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ haki) t} =\ frac {F} {M -\ kushoto (\ dfrac {dm_ {g}} {dt}\ haki) t}\ LdOTP $$Taarifa kwamba, kama inavyotarajiwa, kuongeza kasi ni kazi ya muda. Kubadilisha namba zilizotolewa: $$a (t) =\ frac {5\ mara 10^ {4}\; N} {(2.0\ mara 10^ {4}\; kg) - (2.0\ mara 10^ {2}\; kg/s) t}\ ldotp$$
3. Katika t = 0 s: $$a (0\; s) =\ frac {5\ mara 10^ {4}\; N} {(2.0\ mara 10^ {4}\; kg) - (2.0\ mara 10^ {2}\; kg/s) (0\; s)} = 2.5\; m/s^ {2}\ ldotp $$

Katika t = 15 s, a (15 s) = 2.9 m/s ².

Katika t = 30 s, a (30 s) = 3.6 m/s ².

Kuharakisha inaongezeka, kama tulivyotarajia.

Umuhimu

Kumbuka kwamba kuongeza kasi sio mara kwa mara; Matokeo yake, kiasi chochote cha nguvu lazima kihesabiwe ama kutumia integrals, au (kwa urahisi zaidi) uhifadhi wa nishati ya jumla

Excerise:\(\PageIndex{1}\)

Ni tofauti gani ya kimwili (au uhusiano) kati\(\frac{dm}{dt}\) na\(\frac{dm_{g}}{dt}\) katika mfano huu?

roketi katika uwanja wa mvuto

Hebu sasa tuchambue mabadiliko ya kasi ya roketi wakati wa awamu ya uzinduzi, kutoka kwenye uso wa Dunia. Kuweka hesabu manageable, tutaweza kuzuia mawazo yetu kwa umbali ambayo kuongeza kasi unasababishwa na mvuto inaweza kutibiwa kama g mara kwa mara.

Uchunguzi huo ni sawa, isipokuwa kwamba sasa kuna nguvu ya nje ya\(\vec{F}\) = -mg\(\hat{j}\) inayofanya mfumo wetu. Nguvu hii inatumika msukumo d\(\vec{J}\) =\(\vec{F}\) dt = -mgdt\(\hat{j}\), ambayo ni sawa na mabadiliko ya kasi. Hii inatupa

\[\begin{split} d \vec{p} & = d \vec{J} \\ \vec{p}_{f} - \vec{p}_{i} & = -mgdt\; \hat{j} \\ \big[ (m - dm_{g})(v + dv) + dm_{g}(v - u) - mv \big] \hat{j} & = -mgdt\; \hat{j} \end{split}\]

na hivyo

\[mdv - dm_{g} u = -mgdt\]

ambapo sisi tena usahau mrefu dm _g dv na imeshuka nukuu vector. Kisha sisi kuchukua nafasi ya dm _g na -dm:

\[\begin{split} mdv + dmu & = -mgdt \\ mdv & = -dmu - mgdt \ldotp \end{split}\]

Kugawanyika kwa njia ya\(m\) anatoa

\[dv = -u \frac{dm}{m} - gdt\]

na kuunganisha, tuna

\[\Delta v = u \ln \left(\dfrac{m_{0}}{m}\right) - g \Delta t \ldotp \label{9.39}\]

Bila shaka, kasi ya roketi inathiriwa na kasi ya mvuto (mara kwa mara).

Kumbuka kwamba\(\Delta\) ni wakati wa kuchoma wa mafuta. Sasa, kwa kutokuwepo kwa mvuto, Equation\ ref {9.38} inamaanisha kuwa haitoi tofauti ni muda gani unachukua ili kuchoma molekuli mzima wa mafuta; mabadiliko ya kasi hayategemei\(\Delta\) t Hata hivyo, mbele ya mvuto, ni muhimu sana. Neno la -g\(\Delta\) t katika Equation\ ref {9.39} inatuambia kwamba muda mrefu wa kuchoma ni, ndogo mabadiliko ya kasi ya roketi yatakuwa. Hii ni sababu ya uzinduzi wa roketi ni ya kuvutia katika dakika ya kwanza ya liftoff: Ni muhimu kwa kuchoma mafuta haraka iwezekanavyo, kupata kubwa\(\Delta\) v iwezekanavyo.