9.10: Kituo cha Misa (Sehemu ya 2)
- Page ID
- 176902
Kituo cha Misa ya vitu vinavyoendelea
Ikiwa kitu kilicho katika swali kina umesambazwa kwa usawa katika nafasi, badala ya kuwa mkusanyiko wa chembe za kipekee, basi m j → dm, na summation inakuwa muhimu:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int \vec{r} dm \ldotp \label{9.34}\]
Katika muktadha huu, r ni mwelekeo wa tabia ya kitu (radius ya nyanja, urefu wa fimbo ndefu). Kuzalisha integrand ambayo inaweza kweli kuwa mahesabu, unahitaji kueleza tofauti molekuli kipengele dm kama kazi ya wingi wiani wa kitu kuendelea, na r mwelekeo. mfano kufafanua hili.
Pata katikati ya wingi wa hoop nyembamba sare (au pete) ya wingi\(M\) na radius\(r\).
Mkakati
Kwanza, ulinganifu wa hoop unaonyesha katikati ya wingi lazima iwe katikati ya kijiometri. Ikiwa tunafafanua mfumo wetu wa kuratibu kama vile asili iko katikati ya hoop, muhimu inapaswa kutathmini hadi sifuri.
Sisi kuchukua nafasi ya dm na kujieleza kuhusisha wiani wa hoop na radius ya hoop. Sisi kisha kuwa na kujieleza tunaweza kweli kuunganisha. Kwa kuwa hoop inaelezewa kama “nyembamba,” tunaichukua kama kitu kimoja, kukataa unene wa hoop. Kwa hiyo, wiani wake unaonyeshwa kama idadi ya kilo ya nyenzo kwa mita. Uzito huo huitwa wiani wa molekuli linear, na hupewa alama\(\lambda\); hii ni herufi ya Kigiriki “lambda,” ambayo ni sawa na herufi ya Kiingereza “l” (kwa “linear”).
Kwa kuwa hoop inaelezewa kama sare, hii inamaanisha kuwa wiani wa molekuli wa mstari\(\lambda\) ni mara kwa mara. Hivyo, ili kupata maelezo yetu kwa kipengele tofauti cha molekuli dm, tunazidisha\(\lambda\) kwa urefu tofauti wa hoop, mbadala, na kuunganisha (pamoja na mipaka inayofaa kwa umuhimu wa uhakika).
Suluhisho
Kwanza, fafanua mfumo wetu wa kuratibu na vigezo husika (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)).
Katikati ya molekuli huhesabiwa kwa Equation\ ref {9.34}:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \vec{r} dm \ldotp\]
Tuna kuamua mipaka ya ushirikiano a na b Kuonyesha\(\vec{r}\) katika fomu sehemu inatupa
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] dm \ldotp\]
Katika mchoro, tulionyesha kipande cha hoop ambayo ni ya urefu tofauti ds; kwa hiyo ina tofauti ya molekuli dm =\(\lambda\) ds. Kubadilisha:
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda ds \ldotp\]
Hata hivyo, urefu wa arc ds subtends tofauti angle d\(theta\), hivyo tuna
\[ds = rd \theta\]
na hivyo
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \lambda rd \theta \ldotp\]
Hatua moja zaidi: Kwa kuwa\(\lambda\) ni wiani wa wingi wa mstari, ni computed kwa kugawanya molekuli jumla kwa urefu wa hoop:
\[\lambda = \frac{M}{2 \pi r}\]
kutupa
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = \frac{1}{M} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] \left(\dfrac{M}{2 \pi r}\right) rd \theta \\ & = \frac{1}{2 \pi} \int_{a}^{b} \big[ (r \cos \theta) \hat{i} + (R \sin \theta) \hat{j} \big] d \theta \ldotp \end{split}\]
Kumbuka kwamba kutofautiana kwa ushirikiano sasa ni angle\(\theta\). Hii inatuambia kwamba mipaka ya ushirikiano (karibu na kitanzi cha mviringo) ni ρ\(\theta\) = 0 kwa = 2\(\pi\), hivyo = 0 na b = 2\(\pi\). Pia, kwa urahisi, tunatenganisha muhimu katika vipengele vya x- na y vya\(\vec{r}_{CM}\). Maneno muhimu ya mwisho ni
\[\begin{split} \vec{r}_{CM} & = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} \\ & = \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \cos \theta d \theta \Big] \hat{i} + \Big[ \frac{1}{2 \pi} \int_{0}^{2 \pi} (2 \sin \theta d \theta \Big] \hat{j} \\ & = 0 \hat{i} + 0 \hat{j} = \vec{0} \end{split}\]
kama ilivyotarajiwa.
Kituo cha Misa na Uhifadhi wa kasi
Je! Haya yote yanaunganishaje na uhifadhi wa kasi?
Tuseme una vitu N na raia m 1, m 2, m 3,... m N na kasi ya awali\(\vec{v}_{1}\),\(\vec{v}_{2}\),\(\vec{v}_{3}\),...,\(\vec{v}_{N}\). Katikati ya wingi wa vitu ni
\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]
Kasi yake ni
\[\vec{v}_{CM} = \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \label{9.35}\]
na hivyo kasi ya awali ya katikati ya molekuli ni
\[\begin{split} \Big[ M \frac{d \vec{r}_{CM}}{dt} \Big]_{i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j,i}}{dt} \\ M \vec{v}_{CM,i} & = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,i} \ldotp \end{split}\]
Baada ya raia hawa kuhamia na kuingiliana, kasi ya katikati ya wingi ni
\[M \vec{v}_{CM,f} = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j,f} \ldotp\]
Lakini uhifadhi wa kasi inatuambia kwamba upande wa kulia wa equations zote mbili lazima iwe sawa, ambayo inasema
\[M \vec{v}_{CM,f} = M \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.36}\]
Matokeo haya yanamaanisha kuwa uhifadhi wa kasi unaonyeshwa kulingana na katikati ya wingi wa mfumo. Kumbuka kwamba kama kitu kinachotembea kupitia nafasi bila nguvu ya nje ya nje inayofanya juu yake, chembe ya mtu binafsi ya kitu inaweza kuharakisha kwa njia mbalimbali, na ukubwa mbalimbali, kulingana na nguvu ya ndani ya wavu inayofanya kitu hicho wakati wowote. (Kumbuka, ni tu vector jumla ya vikosi vyote vya ndani kwamba hutoweka, si nguvu ya ndani juu ya chembe moja.) Hivyo, kasi ya chembe hiyo haitakuwa mara kwa mara-lakini kasi ya kitu chote kilichopanuliwa kitakuwa, kulingana na Equation\ ref {9.36}.
Equation\ ref {9.36} inamaanisha matokeo mengine muhimu: Kwa kuwa M inawakilisha wingi wa mfumo mzima wa chembe, ni lazima mara kwa mara. (Kama sivyo, hatuna mfumo uliofungwa, kwa hivyo hatuwezi kutarajia kasi ya mfumo kuhifadhiwa.) Matokeo yake, Equation\ ref {9.36} ina maana kwamba, kwa mfumo uliofungwa,
\[\vec{v}_{CM,f} = \vec{v}_{CM,i} \ldotp \label{9.37}\]
Hiyo ni kusema, kwa kutokuwepo kwa nguvu ya nje, kasi ya katikati ya molekuli haibadilika.
Unaweza kujaribiwa kupuuza na kusema, “Naam ndiyo, hiyo ni sheria ya kwanza ya Newton,” lakini kumbuka kwamba sheria ya kwanza ya Newton inazungumzia kasi ya mara kwa mara ya chembe, ambapo Equation\ ref {9.37} inatumika kwa katikati ya mkusanyiko wa mkusanyiko (labda mkubwa) wa chembe zinazoingiliana, na kwamba kunaweza kuwa hakuna chembe katikati ya molekuli wakati wote! Kwa hiyo, hii ni matokeo ya ajabu.
Wakati roketi ya fireworks inapuka, maelfu ya vipande inang'aa kuruka nje katika pande zote, na kuanguka duniani katika kuonyesha kifahari na nzuri (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Eleza kinachotokea, kwa upande wa uhifadhi wa kasi na katikati ya wingi.
Picha inaonyesha ulinganifu wa radial kuhusu pointi kuu za milipuko; hii inaonyesha wazo la katikati ya molekuli. Pia tunaweza kuona mwendo parabolic ya chembe inang'aa; hii huleta akilini mawazo projectile mwendo.
Suluhisho
Awali, roketi ya fireworks imezinduliwa na inaruka zaidi au chini ya moja kwa moja juu; hii ndiyo sababu ya uchaguzi mweupe zaidi au chini-sawa, nyeupe kwenda juu angani chini ya mlipuko katika haki ya juu ya picha (mlipuko wa njano). Njia hii sio parabolic kwa sababu shell ya kulipuka, wakati wa awamu yake ya uzinduzi, ni kweli roketi; msukumo unaotumiwa nayo na ejection ya mafuta ya moto hutumika nguvu kwenye shell wakati wa kipindi cha kupanda. (Hii ni jambo ambalo tutajifunza katika sehemu inayofuata.) Ganda lina vikosi vingi juu yake; hivyo, haipo katika kuanguka kwa bure kabla ya mlipuko.
Wakati wa mlipuko, maelfu ya vipande vinavyowaka huondoka nje katika muundo wa radially symmetrical. Ulinganifu wa mlipuko ni matokeo ya vikosi vyote vya ndani vinavyolingana na sifuri\((\sum_{j} \vec{f}_{j}^{int} = 0)\); kwa kila nguvu ya ndani, kuna mwingine ambao ni sawa na ukubwa na kinyume na mwelekeo.
Hata hivyo, kama tulivyojifunza hapo juu, majeshi haya ya ndani hayawezi kubadilisha kasi ya katikati ya wingi wa shell (sasa ilipuka). Kwa kuwa nguvu ya roketi imetoweka sasa, katikati ya wingi wa shell sasa ni projectile (nguvu pekee juu yake ni mvuto), hivyo trajectory yake haina kuwa parabolic. Milipuko miwili nyekundu upande wa kushoto inaonyesha njia ya vituo vyao vya molekuli kwa muda mrefu kidogo baada ya mlipuko ikilinganishwa na mlipuko wa njano upande wa juu wa kulia.
Kwa kweli, ukiangalia kwa makini milipuko yote mitatu, unaweza kuona kwamba trails inang'aa si kweli radially symmetric; badala yake, wao ni kiasi fulani denser upande mmoja kuliko nyingine. Hasa, mlipuko wa njano na mlipuko wa chini wa katikati ni denser kidogo kwenye pande zao za kulia, na mlipuko wa juu wa kushoto ni denser upande wake wa kushoto. Hii ni kwa sababu ya kasi ya vituo vyao vya molekuli; msongamano tofauti wa uchaguzi ni kutokana na kasi kila kipande cha ganda kilikuwa na wakati wa mlipuko wake. kipande kwa mlipuko upande wa kushoto wa juu wa picha na kasi kwamba alisema juu na kushoto; kasi katikati kipande alisema zaidi na kidogo na haki; na mlipuko wa upande wa kulia wazi zaidi na kulia (kama inavyothibitishwa na nyeupe roketi kutolea nje uchaguzi inayoonekana chini mlipuko njano).
Hatimaye, kila kipande ni projectile peke yake, hivyo kufuatilia maelfu ya parabolas inang'aa.
Umuhimu
Katika majadiliano hapo juu, tulisema, “... katikati ya wingi wa shell sasa ni projectile (nguvu pekee juu yake ni mvuto)...” Hii si sahihi kabisa, kwa sababu kunaweza kuwa na wingi wowote katikati ya wingi; katika hali hiyo, hakuweza kuwa na nguvu inayofanya juu yake. Hii ni kweli tu ya maneno ya kuelezea ukweli kwamba nguvu za mvuto kwenye chembe zote zinafanya ili katikati ya mabadiliko ya molekuli husimamia hasa kama molekuli yote ya shell ilikuwa daima iko katika nafasi ya katikati ya wingi.
Je, maonyesho ya moto yanabadilikaje katika nafasi ya kina, mbali na chanzo chochote cha mvuto?
Wakati mwingine unaweza kusikia mtu anaelezea mlipuko kwa kusema kitu kama, “vipande vya kitu kilicholipuka daima huhamia kwa njia inayohakikisha kuwa katikati ya molekuli inaendelea kusonga kwenye trajectory yake ya awali.” Hii inafanya kuwa sauti kama mchakato ni kiasi fulani cha kichawi: inawezaje kuwa, katika kila mlipuko, daima hufanya kazi nje kwamba vipande vinahamia kwa njia sahihi ili katikati ya mwendo wa wingi haubadilika? Maneno kwa njia hii, itakuwa vigumu kuamini hakuna mlipuko milele anafanya kitu chochote tofauti.
Maelezo ya bahati mbaya hii inaonekana kushangaza ni: Sisi defined katikati ya wingi kwa usahihi hivyo hii ni nini hasa tungepata. Kumbuka kwamba kwanza tulifafanua kasi ya mfumo:
\[\vec{p}_{CM} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp\]
Sisi kisha alihitimisha kuwa wavu nje nguvu juu ya mfumo (kama ipo) iliyopita kasi hii:
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]
na halafu - na hapa ndio hatua-tulifafanua kasi ambayo ingeweza kutii sheria ya pili ya Newton. Hiyo ni, sisi alidai kwamba tunapaswa kuwa na uwezo wa kuandika
\[\vec{a} = \frac{\vec{F}}{M}\]
ambayo inahitaji
\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp\]
ambapo wingi ndani ya mabano ni katikati ya wingi wa mfumo wetu. Kwa hiyo, haishangazi kwamba katikati ya wingi hutii sheria ya pili ya Newton; tuliifafanua ili ingekuwa.