9.9: Kituo cha Misa (Sehemu ya 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176862

\( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

Malengo ya kujifunza

Eleza maana na manufaa ya dhana ya katikati ya wingi
Tumia katikati ya wingi wa mfumo uliopewa
Tumia kituo cha dhana ya molekuli katika vipimo viwili na vitatu
Tumia kasi na kasi ya katikati ya wingi

Tumekuwa tukiepuka suala muhimu hadi sasa: Tunaposema kwamba kitu kinatembea (kwa usahihi zaidi, huharakisha) kwa njia inayoitii sheria ya pili ya Newton, tumekuwa tukipuuza ukweli kwamba vitu vyote vimefanywa kwa chembe nyingi za sehemu. Gari lina inji, usukani, viti, abiria; mpira wa miguu ni ngozi na mpira unaozunguka hewa; matofali hutengenezwa kwa atomi. Kuna aina nyingi za chembe, na kwa ujumla hazijasambazwa kwa usawa katika kitu. Je, sisi ni pamoja na ukweli huu katika mahesabu yetu?

Kisha pia, kitu kupanuliwa inaweza kubadilisha sura kama hatua, kama vile puto maji au paka kuanguka (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Hii ina maana kwamba chembe zilizojitokeza zinatumia nguvu za ndani kwa kila mmoja, pamoja na nguvu ya nje inayofanya kitu kwa ujumla. Tunataka kuwa na uwezo wa kushughulikia hili, pia.

Picha ya mfiduo nyingi ya paka inayoanguka. Katika picha ya kwanza, paka inafanyika kwa miguu yake, chini. Inatolewa kutoka nafasi hii na huanguka, lakini huzunguka kama inageuka ili katika picha chache zilizopita, ni upande wa kulia juu. — Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Kama paka inavyoanguka, mwili wake hufanya mwendo ngumu ili uweze kutua kwa miguu yake, lakini hatua moja katika mfumo huenda na kasi ya sare rahisi ya mvuto.

Tatizo mbele yetu, basi, ni kuamua ni sehemu gani ya kitu kilichopanuliwa kinachotii sheria ya pili ya Newton wakati nguvu ya nje inatumika na kuamua jinsi mwendo wa kitu kwa ujumla unaathiriwa na vikosi vya ndani na nje.

Kuonya: Ili kutibu hali hii mpya kwa usahihi, lazima tuwe na ukali na jumla kabisa. Hatuwezi kufanya mawazo yoyote kuhusu asili ya kitu, au ya chembe zake, au ama vikosi vya ndani au nje. Hivyo, hoja zitakuwa ngumu.

Vikosi vya ndani na vya nje

Tuseme tuna kitu kilichopanuliwa cha M, kilichofanywa na chembe za kuingiliana N. Hebu tuandike raia wao kama m _j, ambapo j = 1, 2, 3,..., N. kumbuka kuwa

\[M = \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \ldotp \label{9.19}\]

Kama sisi kuomba baadhi wavu nje nguvu\(\vec{F}_{ext}\) juu ya kitu, kila chembe uzoefu baadhi “kushiriki” au baadhi ya sehemu ya nguvu kwamba nje. Hebu:

\(\vec{f}_{j}^{ext}\)= sehemu ya nguvu ya nje ambayo chembe ya jth hupata

Angalia kwamba sehemu hizi za nguvu zote sio sawa; kwa kweli, wao hawajawahi kamwe. (Wanaweza kuwa, lakini kwa kawaida sio.) Kwa ujumla, kwa hiyo,

\[\vec{f}_{1}^{ext} \neq \vec{f}_{2}^{ext} \neq \cdots \neq \vec{f}_{N}^{ext} \ldotp\]

Kisha, tunadhani kwamba kila chembe zinazounda kitu chetu zinaweza kuingiliana (kutumia nguvu) kila chembe nyingine ya kitu. Hatutajaribu nadhani ni aina gani ya nguvu; lakini kwa kuwa majeshi haya ni matokeo ya chembe za kitu kinachotenda kwenye chembe nyingine za kitu kimoja, tunawaita kama vikosi vya ndani\(\vec{f}_{j}^{int}\); hivyo:

\(\vec{f}_{j}^{int}\)= nguvu ya ndani ya wavu ambayo chembe ya jth hupata kutoka kwa chembe nyingine zote zinazounda kitu.

Sasa, nguvu ya wavu, ndani pamoja na nje, kwenye chembe ya jth ni jumla ya vector ya haya:

\[\vec{f}_{j} = \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \label{9.20}\]

ambapo tena, hii ni kwa chembe zote N; j = 1, 2, 3,..., N. kutokana na nguvu hii ya sehemu, kasi ya kila chembe inabadilishwa:

\[\begin{split} \vec{f}_{j} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \\ \vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext} & = \dfrac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \end{split} \label{9.21}\]

Nguvu ya wavu\(\vec{F}\) juu ya kitu ni jumla ya vector ya majeshi haya:

\[\begin{split} \vec{F}_{net} & = \sum_{j = 1}^{N} (\vec{f}_{j}^{int} + \vec{f}_{j}^{ext}) \\ & = \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} \ldotp \end{split} \label{9.22}\]

Nguvu hii ya wavu inabadilisha kasi ya kitu kwa ujumla, na mabadiliko halisi ya kasi ya kitu lazima iwe jumla ya vector ya mabadiliko yote ya mtu binafsi ya kasi ya chembe zote:

\[\vec{F}_{net} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.23}\]

Kuchanganya Equation\ ref {9.22} na Equation\ ref {9.23} anatoa

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{int} + \sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.24}\]

Hebu sasa fikiria juu ya muhtasari huu. Kwanza fikiria neno la vikosi vya ndani; kumbuka kwamba kila mmoja\(\vec{f}_{j}^{int}\) ni nguvu kwenye chembe ya jth kutoka kwa chembe nyingine katika kitu. Lakini kwa sheria ya tatu ya Newton, kwa kila moja ya majeshi haya, kuna lazima iwe na nguvu nyingine ambayo ina ukubwa sawa, lakini ishara tofauti (inaonyesha kinyume chake). Majeshi haya hayawezi kufuta; hata hivyo, sio tunachofanya katika summation. Badala yake, sisi ni tu hesabu kuongeza juu ya wadudu wote ndani nguvu. Hiyo ni, kwa ujumla, majeshi ya ndani kwa sehemu yoyote ya mtu binafsi ya kitu haitafuta, lakini wakati nguvu zote za ndani zinaongezwa, majeshi ya ndani yanapaswa kufuta kwa jozi. Kwa hiyo, ifuatavyo, kwamba jumla ya majeshi yote ya ndani lazima iwe sifuri:

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = 0 \ldotp\]

(Hoja hii ni ya hila, lakini ni muhimu; kuchukua muda mwingi kuelewa kabisa.)

Kwa nguvu za nje, summation hii ni tu nguvu ya nje ya nje ambayo ilitumika kwa kitu kote:

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{f}_{j}^{ext} = \vec{F}_{ext} \ldotp\]

Matokeo yake,

\[\vec{F}_{ext} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} \ldotp \label{9.25}\]

Hii ni matokeo muhimu. Equation\ ref {9.25} inatuambia kwamba mabadiliko ya jumla ya kasi ya kitu chote (chembe zote N) ni kutokana na nguvu za nje tu; vikosi vya ndani havibadili kasi ya kitu kwa ujumla. Hii ndiyo sababu huwezi kujiinua hewani kwa kusimama kwenye kikapu na kuunganisha juu ya kushughulikia: Kwa mfumo wa wewe + kikapu, nguvu yako ya kuunganisha juu ni nguvu ya ndani.

Nguvu na kasi

Kumbuka kwamba lengo letu halisi ni kuamua equation ya mwendo kwa kitu nzima (mfumo mzima wa chembe). Ili kufikia mwisho huo, hebu tufafanue:

\(\vec{p}_{CM}\)= kasi ya jumla ya mfumo wa chembe za N (sababu ya usajili itakuwa wazi hivi karibuni)

Kisha tuna

\[\vec{p}_{CM} = \equiv \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]

na kwa hiyo Equation\ ref {9.25} inaweza kuandikwa tu kama

\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt} \ldotp \label{9.26}\]

Kwa kuwa mabadiliko haya ya kasi yanasababishwa na nguvu tu ya nje ya nje, tumeacha usajili wa “ext”. Hii ni sheria ya pili ya Newton, lakini sasa kwa kitu chote kilichopanuliwa. Kama hii anahisi kidogo anticlimactic, kumbuka nini ni mafichoni ndani yake:\(\vec{p}_{CM}\) ni vector jumla ya kasi ya (katika kanuni) mamia ya maelfu ya mabilioni ya chembe (6.02 x 10 ²³), wote unasababishwa na moja rahisi wavu nguvu nje-nguvu kwamba unaweza kuhesabu.

Kituo cha Misa

Kazi yetu inayofuata ni kuamua ni sehemu gani ya kitu kilichopanuliwa, ikiwa ni chochote, kinachotii Equation\ ref {9.26}.

Inajaribu kuchukua hatua inayofuata; je, equation ifuatayo ina maana yoyote?

\[\vec{F} = M \vec{a} \label{9.27}\]

Ikiwa inamaanisha kitu (kuongeza kasi ya nini, hasa?) , basi tunaweza kuandika

\[M \vec{a} = \frac{d \vec{p}_{CM}}{dt}\]

na hivyo

\[M \vec{a} = \sum_{j = 1}^{N} \frac{d \vec{p}_{j}}{dt} = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} \ldotp\]

ambayo ifuatavyo kwa sababu derivative ya jumla ni sawa na jumla ya derivatives.

Sasa,\(\vec{p}_{j}\) ni kasi ya chembe ya jth. Kufafanua nafasi za chembe zilizojumuisha (kuhusiana na mfumo fulani wa kuratibu) kama\(\vec{r}_{j}\) = (x _{_j}, y j, z _j), tuna hivyo

\[\vec{p}_{j} = m_{j} \vec{v}_{j} = m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \ldotp\]

Kubadilisha nyuma, tunapata

\[\begin{split} M \vec{a} & = \frac{d}{dt} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \frac{d \vec{r}_{j}}{dt} \\ & = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \end{split}\]

Kugawanya pande zote mbili na M (molekuli jumla ya kitu kilichopanuliwa) inatupa

\[\vec{a} = \frac{d^{2}}{dt^{2}} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) \ldotp \label{9.28}\]

Hivyo, hatua katika kitu ambacho hufuatilia trajectory iliyowekwa na nguvu iliyotumiwa katika Equation\ ref {9.27} iko ndani ya mabano katika Equation\ ref {9.28}.

Kuangalia hesabu hii, angalia kwamba (ndani ya mabano) tunahesabu bidhaa za molekuli ya kila chembe na msimamo wake, na kuongeza N yote ya haya juu, na kugawanya jumla hii kwa wingi wa chembe tulizozingatia. Hii ni sawa na wastani; aliongoza kwa hili, tutaweza (loosely) kutafsiri kuwa msimamo wa wastani wa uzito wa kitu kilichopanuliwa. Ni kweli kuitwa katikati ya wingi wa kitu. Angalia kwamba nafasi ya katikati ya molekuli ina vitengo vya mita; ambayo inaonyesha ufafanuzi:

\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp \label{9.29}\]

Hivyo, hatua ambayo inatii Equation\ ref {9.26} (na kwa hiyo Equation\ ref {9.27} vilevile) ni katikati ya masi ya kitu, ambayo iko kwenye vector ya msimamo\(\vec{r}_{CM}\).

Inaweza kushangaza wewe kujifunza kwamba haipaswi kuwa na molekuli halisi katikati ya wingi wa kitu. Kwa mfano, uwanja wa chuma wa mashimo na utupu ndani yake ni spherically symmetrical (maana umati wake ni sawasawa kusambazwa juu ya katikati ya nyanja); molekuli yote ya nyanja iko nje juu ya uso wake, bila ndani ya molekuli. Lakini inaweza kuonyeshwa kuwa katikati ya wingi wa nyanja iko kwenye kituo chake cha kijiometri, ambacho kinaonekana kuwa cha busara. Kwa hiyo, hakuna molekuli katika nafasi ya katikati ya wingi wa nyanja. (Mfano mwingine ni donati.) Utaratibu wa kupata kituo cha molekuli unaonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{2}\)

Mfano wa kutafuta kituo cha wingi wa chembe tatu. Kielelezo a inaonyesha maeneo ya chembe tatu katika ndege x y. m 1 iko katika roboduara ya pili. Vector r 1 huanza katika asili na inaendelea hadi eneo la m 1. m 2 iko katika quadrant ya kwanza. Vector r 2 huanza katika asili na inaendelea hadi eneo la m 2. m 1 iko katika quadrant ya nne. Vector r 3 huanza katika asili na inaenea kwa eneo la m 3. Vector r 1 ni mfupi zaidi ya vectors katika mchoro, na r 2 ni mrefu zaidi. Kielelezo b kinaonyesha vectors m 1 r 1, m 2 r 2 na m 3 r 3. Vector m 1 r 1 pointi katika mwelekeo sawa na vector r 1 katika takwimu a, lakini ni zaidi ya r 1. Vector m 2 r 2 pointi katika mwelekeo sawa na vector r 1 katika takwimu a, lakini ni mfupi kuliko r 2. Vector m 3 r 3 anasema katika mwelekeo sawa na vector r 3 katika takwimu a, lakini ni mfupi kuliko r 3. Vector m 1 r 1 ni vector ndefu zaidi katika mchoro. Vectors m 2 r 2 na m 3 r 3 kuonekana kuwa ya urefu sawa. Kielelezo c inaonyesha jumla ya vector ya m 1 r 1, m2 r 2 na m 3 r 3, ambayo yamekuwa inayotolewa katika bluu na kuwekwa kichwa kwa mkia. Vector nyekundu m 1 r 1 pamoja m 2 r 2 pamoja m 3 r 3 ni vector kutoka mkia wa m 1 r 1 hadi kichwa cha m 3 r 3. Kielelezo d inaonyesha vector nyekundu m 1 r 1 pamoja m 2 au 2 plus m 3 au 3 yote imegawanywa na jumla m 1 pamoja m 2 pamoja m 3. Vector hii iko katika mwelekeo sawa na vecor m 1 r 1 pamoja na m 2 r 2 pamoja m 3 r 3 katika takwimu c, lakini mfupi. — Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Kutafuta katikati ya wingi wa mfumo wa chembe tatu tofauti. (a) Vectors Nafasi ni kuundwa kwa kila kitu. (b) Vectors nafasi ni kuongezeka kwa wingi wa kitu sambamba. (c) Vectors zilizowekwa kutoka sehemu (b) zinaongezwa pamoja. (d) Vector ya mwisho imegawanywa na wingi wa jumla. Vector hii inaonyesha katikati ya wingi wa mfumo. Kumbuka kuwa hakuna molekuli ni kweli sasa katika kituo cha wingi wa mfumo huu.

Tangu\(\vec{r}_{j} = x_{j} \hat{i} + y_{j} \hat{j} + z_{j} \hat{k}\), inafuata kwamba:

\[r_{CM,x} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} x_{j} \label{9.30}\]

\[r_{CM,y} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} y_{j} \label{9.31}\]

\[r_{CM,z} = \frac{1}{m} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} z_{j} \label{9.32}\]

na hivyo

\[\vec{r}_{CM} = r_{CM,x} \hat{i} + r_{CM,y} \hat{j} + r_{CM,z} \hat{k}\]

\[r_{CM} = |\vec{r}_{CM}| = (r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2})^{1/2} \ldotp\]

Kwa hiyo, unaweza kuhesabu vipengele vya katikati ya vector molekuli moja kwa moja.

Hatimaye, kukamilisha kinematics, kasi ya instantaneous ya katikati ya molekuli ni mahesabu hasa kama unaweza mtuhumiwa:

\[\vec{v}_{CM} = \frac{d}{dt} \left(\dfrac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{r}_{j}\right) = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{N} m_{j} \vec{v}_{j} \label{9.33}\]

na hii, kama nafasi, ina x-, y-, na z-vipengele.

Ili kuhesabu katikati ya wingi katika hali halisi, tunapendekeza utaratibu wafuatayo:

Mkakati wa Kutatua matatizo: Kuhesabu Kituo cha Misa

Katikati ya wingi wa kitu ni vector nafasi. Hivyo, ili uhesabu, fanya hatua hizi:

Eleza mfumo wako wa kuratibu. Kwa kawaida, asili huwekwa mahali pa moja ya chembe. Hii haihitajiki, hata hivyo.
Kuamua x, y, z-kuratibu ya kila chembe kwamba hufanya juu ya kitu.
Kuamua wingi wa kila chembe, na jumla yao ili kupata molekuli jumla ya kitu. Kumbuka kwamba wingi wa kitu katika asili lazima iingizwe katika wingi wa jumla.
Tumia vipengele vya x-, y-, na z-katikati ya vector ya wingi, kwa kutumia Equation\ ref {9.30}, Equation\ ref {9.31}, na Equation\ ref {9.32}.
Ikiwa inahitajika, tumia theorem ya Pythagorean kuamua ukubwa wake.

Hapa ni mifano miwili ambayo nitakupa kujisikia kwa nini katikati ya molekuli ni.

Mfano 9.16: Kituo cha Misa ya Mfumo wa Dunia-Moon

Kutumia data kutoka kwa kiambatisho cha maandishi, tambua umbali gani katikati ya wingi wa mfumo wa Dunia-Moon unatoka katikati ya Dunia. Linganisha umbali huu na eneo la Dunia, na maoni juu ya matokeo. Puuza vitu vingine katika mfumo wa jua.

Mkakati

Tunapata raia na umbali wa kujitenga wa Dunia na mwezi, kulazimisha mfumo wa kuratibu, na kutumia Equation\ ref {9.29} na vitu N = 2 tu. Tunatumia subscript “e” kutaja Dunia, na kujiandikisha “m” kutaja mwezi.

Suluhisho

Eleza asili ya mfumo wa kuratibu kama kituo cha Dunia. Kisha, pamoja na vitu viwili tu, Equation\ ref {9.29} inakuwa

\[R = \frac{m_{c} r_{c} + m_{m} r_{m}}{m_{c} + m_{m}} \ldotp\]

Kutoka Kiambatisho D,

\[m_{c} = 5.97 \times 10^{24}\; kg\]

\[m_{m} = 7.36 \times 10^{22}\; kg\]

\[r_{m} = 3.82 \times 10^{5}\; m \ldotp\]

Sisi defined katikati ya Dunia kama asili, hivyo r _e = 0 m Kuingiza hizi katika equation kwa R inatoa

\[\begin{split} R & = \frac{(5.97 \times 10^{24}\; kg)(0\; m) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)(3.82 \times 10^{8}\; m)}{(5.98 \times 10^{24}\; kg) + (7.36 \times 10^{22}\; kg)} \\ & = 4.64 \times 10^{6}\; m \ldotp \end{split}\]

Umuhimu

Radi ya Dunia ni 6.37 x 10 ⁶ m, hivyo kituo cha masi ya mfumo wa Dunia-Moon ni (6.37 - 4.64) x 10 ⁶ m = 1.73 x 10 ⁶ m = 1730 km (takriban maili 1080) chini ya uso wa Dunia. Eneo la katikati ya wingi linaonyeshwa (sio kiwango).

Dunia imechorwa iliyoingia kwenye asili ya mfumo wa kuratibu x y. Mwezi upo upande wa kulia wa dunia kwenye mhimili x. R c m ni vector usawa kutoka asili inayoonyesha haki, ndogo kuliko radius ya dunia.

Zoezi 9.11

Tuseme sisi ni pamoja na jua katika mfumo. Takriban wapi katikati ya wingi wa mfumo wa Dunia-mwezi-jua itakuwa iko wapi? (Jisikie huru kwa kweli mahesabu yake.)

Mfano 9.17: Kituo cha Misa ya Crystal ya Chumvi

Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha kioo kimoja cha chumvi ya kloridi ya sodiamu ya kawaida ya meza. Ions ya sodiamu na kloridi huunda kitengo kimoja, NaCl. Wakati vitengo vingi vya NaCl vikundi pamoja, huunda kimiani cha ujazo. Mchemraba mdogo iwezekanavyo (unaoitwa kiini cha kitengo) una ions nne za sodiamu na ions nne za kloridi, zinazobadilisha. Urefu wa makali moja ya mchemraba huu (yaani, urefu wa dhamana) ni 2.36 x ^{10 -10} m Pata eneo la katikati ya wingi wa kiini cha kitengo. Eleza ama kwa kuratibu zake (r _CM_{, x}, r _CM_{, y}, r _CM_{, z}), au kwa r _CM na pembe mbili.

Muundo wa kioo wa kloridi ya sodiamu ni safu ya mraba, na sodiamu inayobadilisha (inayowakilishwa kama nyanja kubwa za kijani) na klorini (inayowakilishwa kama nyanja ndogo nyekundu) kwenye makutano. Kiini cha kitengo kinatambuliwa kama moja ya cubes inayofanya bandia. — Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Kuchora kwa kioo cha kloridi ya sodiamu (NaCl).

Mkakati

Tunaweza kuangalia juu ya raia wote ion. Ikiwa tunaweka mfumo wa kuratibu kwenye kiini cha kitengo, hii itatupa nafasi za ions. Tunaweza kutumia Equation\ ref {9.30}, Equation\ ref {9.31}, na Equation\ ref {9.32} (pamoja na theorem ya Pythagorean).

Suluhisho

Eleza asili kuwa mahali pa ioni ya kloridi chini ya kushoto ya kiini cha kitengo. Kielelezo\(\PageIndex{4}\) kinaonyesha mfumo wa kuratibu.

Mfano wa kiini cha kitengo cha N a C l kioo kama mchemraba na ions katika kila kona. Ions nne za kijani zinaonyeshwa na zimeandikwa kama m 1 kwa asili, m 3 kwenye kona kwenye mshazari kwenye ndege ya x y, m 6 kwenye kona kwenye mshazari kwenye ndege ya x z, na m 8 kwenye kona kwenye ulalo kwenye ndege ya y z. Ions nne nyekundu zinaonyeshwa na zimeandikwa kama m 2 kwenye mhimili x, m 4 kwenye mhimili y, m 5 kwenye mhimili wa z, na m 7 kwenye kona iliyobaki. — Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kiini kimoja cha kitengo cha kioo cha NaCl.

Kuna ions nane katika kioo hiki, hivyo N = 8:

\[\vec{r}_{CM} = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} \vec{r}_{j} \ldotp\]

Uzito wa kila ions ya kloridi ni

\[35.453u \times \frac{1.660 \times 10^{-27}\; kg}{u} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg\]

hivyo tuna

\[m_{1} = m_{3} = m_{6} = m_{8} = 5.885 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]

Kwa ions sodiamu,

\[m_{2} = m_{4} = m_{5} = m_{7} = 3.816 \times 10^{-26}\; kg \ldotp\]

Masi ya jumla ya kiini cha kitengo ni hivyo

\[M = (4)(5.885 \times 10^{-26}\; kg) + (4)(3.816 \times 10^{-26}\; kg) = 3.880 \times 10^{-25}\; kg \ldotp\]

Kutoka jiometri, maeneo ni

\[\begin{split} \vec{r}_{1} & = 0 \\ \vec{r}_{2} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} \\ \vec{r}_{3} & = r_{3x} \hat{i} + r_{3y} \hat{j} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{4} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} \\ \vec{r}_{5} & = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{6} & = r_{6x} \hat{i} + r_{6z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{7} & = r_{7x} \hat{i} + r_{7y} \hat{j} + r_{7z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{i} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \\ \vec{r}_{8} & = r_{8y} \hat{j} + r_{8z} \hat{k} = (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{j} + (2.36 \times 10^{-10}\; m) \hat{k} \ldotp \end{split}\]

Kubadilisha:

\[\begin{split} |\vec{r}_{CM,x}| & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = \frac{1}{M} \sum_{j = 1}^{8} m_{j} (r_{x})_{j} \\ & = \frac{1}{M} (m_{1} r_{1x} + m_{2} r_{2x} + m_{3} r_{3x} + m_{4} r_{4x} + m_{5} r_{5x} + m_{6} r_{6x} + m_{7} r_{7x} + m_{8} r_{8x}) \\ & = \frac{1}{3.8804 \times 10^{-25}\; kg} \Big[ (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(0\; m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) \\ & + (5.885 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 + 0 \\ & + (3.816 \times 10^{-26}\; kg)(2.36 \times 10^{-10}\;m) + 0 \Big] \\ & = 1.18 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]

Mahesabu sawa yanatoa r _{CM, y} _{= r CM, z} = 1.18 x ^{10 -10} m (unaweza kusema kwamba hii lazima iwe kweli, kwa ulinganifu, lakini ni wazo nzuri kuangalia).

Umuhimu

Kama inageuka, haikuwa muhimu sana kubadili wingi kutoka vitengo vya molekuli ya atomiki (u) hadi kilo, kwani vitengo vinagawanyika wakati wa kuhesabu r _CM hata hivyo.

Ili kuelezea r _CM kwa suala la ukubwa na mwelekeo, kwanza tumia theorem ya pande tatu ya Pythagorean kwa vipengele vya vector:

\[\begin{split} r_{CM} & = \sqrt{r_{CM,x}^{2} + r_{CM,y}^{2} + r_{CM,z}^{2}} \\ & = (1.18 \times 10^{-10}\; m) \sqrt{3} \\ & = 2.044 \times 10^{-10}\; m \ldotp \end{split}\]

Kwa kuwa hii ni tatizo tatu-dimensional, inachukua pembe mbili kutaja mwelekeo wa\(\vec{r}_{CM}\). Hebu\(\phi\) kuwa angle katika x, y-ndege, kipimo kutoka x-axis, kinyume chake kama inavyoonekana kutoka hapo juu; kisha:

\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{r_{CM,y}}{r_{CM,x}}\right) = 45^{o} \ldotp\]

Hebu\(\theta\) kuwa angle katika y, z-ndege, kipimo chini kutoka +z-axis; hii ni (haishangazi):

\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{R_{z}}{R_{y}}\right) = 45^{o} \ldotp\]

Hivyo, katikati ya wingi iko katikati ya kijiometri cha kiini cha kitengo. Tena, unaweza kusema hii kwa misingi ya ulinganifu

Zoezi 9.12

Tuseme una kioo cha chumvi cha macroscopic (yaani, kioo ambacho ni kikubwa cha kutosha kuonekana kwa jicho lako lisilo na usaidizi). Inajumuisha idadi kubwa ya seli za kitengo. Je! Ni katikati ya wingi wa kioo hiki lazima katikati ya kijiometri ya kioo?

Dhana mbili muhimu zinatoka katika mifano hii:

1. Kama ilivyo na matatizo yote, lazima ufafanue mfumo wako wa kuratibu na asili. Kwa mahesabu ya katikati ya wingi, mara nyingi huwa na maana ya kuchagua asili yako kuwa iko kwenye moja ya raia wa mfumo wako. Uchaguzi huo hufafanua moja kwa moja umbali wake katika Equation\ ref {9.29} kuwa sifuri. Hata hivyo, lazima bado ujumuishe wingi wa kitu kilicho asili yako katika hesabu yako ya M, jumla ya usawa wa molekuli\ ref {9.19}. Katika mfano wa mfumo wa Dunia-mwezi, hii inamaanisha ikiwa ni pamoja na wingi wa Dunia. Kama ungekuwa si, ungekuwa kuishia na katikati ya wingi wa mfumo kuwa katikati ya mwezi, ambayo ni wazi makosa.
Katika mfano wa pili (kioo cha chumvi), angalia kwamba hakuna molekuli wakati wote mahali pa katikati ya wingi. Huu ni mfano wa kile tulichosema hapo juu, kwamba haipaswi kuwa na molekuli halisi katikati ya wingi wa kitu.