9.8: Migongano katika Vipimo vingi
- Page ID
- 176889
- Express kasi kama vector mbili-dimensi
- Andika milinganyo kwa uhifadhi wa kasi katika fomu ya sehemu
- Tumia kasi katika vipimo viwili, kama kiasi cha vector
Ni kawaida zaidi kwa migongano kutokea kwa vipimo viwili; yaani angle kati ya vectors ya awali ya kasi si sifuri wala 180°. Hebu tuone matatizo gani yanayotokana na hili.
Wazo la kwanza tunahitaji ni kwamba kasi ni vector; kama wadudu wote, inaweza kuelezwa kama jumla ya vipengele perpendicular (kawaida, ingawa si mara zote, x-sehemu na y sehemu, na z-sehemu ikiwa ni lazima). Kwa hiyo, tunapoandika taarifa ya uhifadhi wa kasi kwa tatizo, vectors yetu ya kasi inaweza kuwa, na kwa kawaida itakuwa, imeelezwa katika fomu ya sehemu.
Wazo la pili tunalohitaji linatokana na ukweli kwamba kasi inahusiana na nguvu:
\[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]
Akielezea nguvu zote mbili na kasi katika fomu ya sehemu,
\[F_{x} = \frac{dp_{x}}{dt}, F_{y} = \frac{dp_{y}}{dt}, F_{z} = \frac{dp_{z}}{dt} \ldotp\]
Kumbuka, equations hizi ni sheria ya pili ya Newton, katika fomu ya vector na katika fomu ya sehemu. Tunajua kwamba sheria ya pili ya Newton ni ya kweli katika kila mwelekeo, bila kujali wengine. Kwa hiyo inafuata (kupitia sheria ya tatu ya Newton) kwamba uhifadhi wa kasi pia ni kweli katika kila mwelekeo kwa kujitegemea.
Mawazo haya mawili huhamasisha suluhisho la matatizo mawili: Tunaandika maneno ya uhifadhi wa kasi mara mbili: mara moja katika mwelekeo wa x na mara moja katika mwelekeo wa y.
\[p_{f,x} = p_{1,i,x} + p_{2,i,x} \label{9.18}\]
\[p_{f,y} = p_{1,i,y} + p_{2,i,y}\]
Utaratibu huu umeonyeshwa graphically katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).
Sisi kutatua kila moja ya equations hizi mbili sehemu kwa kujitegemea kupata x- na y vipengele vya vector taka kasi:
\[v_{f,x} = \frac{m_{1} v_{1,i,x} + m_{2} v_{2,i,x}}{m}\]
\[v_{f,y} = \frac{m_{1} v_{1,i,y} + m_{2} v_{2,i,y}}{m}\]
(Hapa, m inawakilisha molekuli jumla ya mfumo.) Hatimaye, kuchanganya vipengele hivi kwa kutumia theorem ya Pythagorean,
\[v_{f} = |\vec{v}_{f}| = \sqrt{v_{f,x}^{2} + v_{f,y}^{2}} \ldotp\]
Njia ya kutatua mbili-dimensional (au hata tatu-dimensional) uhifadhi wa tatizo kasi kwa ujumla ni sawa na njia ya kutatua tatizo moja-dimensional, isipokuwa kwamba una kuhifadhi kasi katika wote wawili (au zote tatu) vipimo wakati huo huo:
- Tambua mfumo uliofungwa.
- Andika equation ambayo inawakilisha uhifadhi wa kasi katika x-mwelekeo, na kutatua kwa kiasi taka. Ikiwa unahesabu kiasi cha vector (kasi, kwa kawaida), hii itakupa sehemu ya x-ya vector.
- Andika equation ambayo inawakilisha uhifadhi wa kasi katika mwelekeo y, na kutatua. Hii nitakupa y-sehemu ya wingi wako wa vector.
- Kwa kuzingatia wewe ni kuhesabu kiasi cha vector, tumia theorem ya Pythagorean kuhesabu ukubwa wake, kwa kutumia matokeo ya hatua 3 na 4.
Gari dogo la uzito wa kilo 1200 linasafiri mashariki saa 60 km/hr linagongana kwenye makutano na lori la uzito wa kilo 3000 ambalo linasafiri kwa sababu kaskazini saa 40 km/hr (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Magari hayo mawili yamefungwa pamoja. Je! Ni kasi gani ya mabaki ya pamoja?
Mkakati
Kwanza, tunahitaji mfumo uliofungwa. Mfumo wa asili wa kuchagua ni (gari + lori), lakini mfumo huu haufungwa; msuguano kutoka barabara hufanya magari yote mawili. Tunaepuka tatizo hili kwa kuzuia swali ili kupata kasi kwa papo tu baada ya mgongano, ili msuguano haujawahi kuwa na athari yoyote kwenye mfumo. Kwa kizuizi hicho, kasi huhifadhiwa kwa mfumo huu.
Kwa kuwa kuna maelekezo mawili yanayohusika, tunafanya uhifadhi wa kasi mara mbili: mara moja katika mwelekeo wa x na mara moja katika mwelekeo wa y.
Suluhisho
Kabla ya mgongano, jumla ya kasi ni
\[\vec{p} = m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} \ldotp\]
Baada ya mgongano, mabaki ina kasi
\[\vec{p} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Tangu mfumo umefungwa, kasi lazima ihifadhiwe, hivyo tuna
\[m_{c} \vec{v}_{c} + m_{T} \vec{v}_{T} = (m_{c} + m_{T}) \vec{v}_{w} \ldotp\]
Tunapaswa kuwa makini; momenta mbili za awali si sambamba. Lazima tuongeze vectorially (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)).
Ikiwa tunafafanua mwelekeo wa x-kuelekeza mashariki na mwelekeo wa +y kuelekeza kaskazini, kama ilivyo kwenye takwimu, basi (kwa urahisi),
\[\vec{p}_{c} = p_{c}\; \hat{i} = m_{c} v_{c}\; \hat{i}\]
\[\vec{p}_{T} = p_{T}\; \hat{j} = m_{T} v_{T}\; \hat{j} \ldotp\]
Kwa hiyo, katika mwelekeo wa x:
\[m_{c} v_{c} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,x}\]
\[v_{w,x} = \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c}\]
na katika mwelekeo wa y:
\[m_{T} v_{T} = (m_{c} + m_{T}) v_{w,y}\]
\[v_{w,y} = \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{T} \ldotp\]
Kutumia theorem ya Pythagorean inatoa
\[\begin{split} |\vec{v}_{w}| & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{m_{c}}{m_{c} + m_{T}}\right) v_{c} \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{m_{T}}{m_{c} + m_{T}} \right) v_{T} \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{\Big[ \left(\dfrac{1200\; kg}{4200\; kg}\right) (16.67\; m/s) \Big]^{2} + \Big[ \left(\dfrac{3000\; kg}{4200\; kg}\right) (11.1\; m/s) \Big]^{2}} \\ & = \sqrt{(4.76\; m/s)^{2} + (7.93\; m/s)^{2}} \\ & = 9.25\; m/s \approx 33.3\; km/hr \ldotp \end{split}\]
Kama kwa mwelekeo wake, kwa kutumia angle inavyoonekana katika takwimu,
\[\theta = \tan^{-1} \left(\dfrac{v_{w,x}}{v_{w,y}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{7.93\; m/s}{4.76\; m/s}\right) = 59^{o} \ldotp\]
Pembe hii iko mashariki mwa kaskazini, au 31° kinyume cha mwelekeo kutoka mwelekeo +x.
Umuhimu
Kama jambo la vitendo, wachunguzi wa ajali kawaida hufanya kazi katika “mwelekeo kinyume”; wanapima umbali wa alama za skid barabarani (ambayo inatoa umbali wa kuacha) na kutumia theorem ya kazi ya nishati pamoja na uhifadhi wa kasi ili kuamua kasi na maelekezo ya magari kabla ya mgongano. Tuliona uchambuzi huo katika sehemu ya awali.
Tuseme kasi ya awali haikuwa kwenye pembe za kulia kwa kila mmoja. Je! Hii itabadilishaje matokeo ya kimwili na uchambuzi wa hisabati wa mgongano?
Tank ya kawaida ya scuba ni silinda ya alumini ambayo ina uzito wa paundi 31.7 tupu (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Ikiwa imejaa hewa iliyosimamiwa, shinikizo la ndani ni kati ya 2500 na 3000 psi (paundi kwa inchi ya mraba). Tuseme tank hiyo, ambayo ilikuwa imeketi bila kusonga, ghafla hupuka vipande vitatu. Kipande cha kwanza, kilicho na uzito wa paundi 10, kinatoka kwa usawa kwa maili 235 kwa saa; kipande cha pili (paundi 7) kinashuka kwa maili 172 kwa saa, pia katika ndege ya usawa, lakini kwa angle ya 19° hadi kipande cha kwanza. Je! Ni kasi gani na ya awali ya kipande cha tatu? (Je, kazi zote, na kutoa jibu lako la mwisho, katika vitengo SI.)
Mkakati
Kutumia uhifadhi wa kasi, tunahitaji mfumo uliofungwa. Ikiwa tunafafanua mfumo kuwa tank ya scuba, hii sio mfumo uliofungwa, kwani mvuto ni nguvu ya nje. Hata hivyo, tatizo linauliza kasi ya awali ya kipande cha tatu, hivyo tunaweza kupuuza athari za mvuto na kuzingatia tank yenyewe kama mfumo uliofungwa. Angalia kwamba, kwa mfumo huu, vector ya awali ya kasi ni sifuri.
Sisi kuchagua mfumo wa kuratibu ambapo mwendo wote hutokea katika xy-ndege. Kisha kuandika equations kwa ajili ya uhifadhi wa kasi katika kila mwelekeo, hivyo kupata x- na y vipengele vya kasi ya kipande cha tatu, ambayo sisi kupata ukubwa wake (kupitia Theorem Pythagorean) na mwelekeo wake. Hatimaye, kugawa kasi hii kwa wingi wa kipande cha tatu inatupa kasi.
Suluhisho
Kwanza, hebu tupate mabadiliko yote kwa vitengo vya SI nje ya njia:
\[31.7\; lb \times \frac{1\; kg}{2.2\; lb} \rightarrow 14.4\; kg\]
\[10\; lb \rightarrow 4.5\; kg\]
\[235\; \frac{miles}{hour} \times \frac{1\; hour}{3600\; s} \times \frac{1609\; m}{mile} = 105\; m/s\]
\[7\; lb \rightarrow 3.2\; kg\]
\[172 \frac{mile}{hour} = 77\; m/s\]
\[m_{3} = 14.4\; kg - (4.5\; kg + 3.2\; kg) = 6.7\; kg \ldotp\]
Sasa tumia uhifadhi wa kasi katika kila mwelekeo.
x-mwelekeo:
\[\begin{split} p_{f,x} & = p_{0,x} \\ p_{1,x} + p_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ m_{1} v_{1,x} + m_{2} v_{2,x} + p_{3,x} & = 0 \\ p_{3,x} & = -m_{1} v_{1,x} - m_{2} v_{2,x} \end{split}\]
y-mwelekeo:
\[\begin{split} p_{f,y} & = p_{0,y} \\ p_{1,y} + p_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ m_{1} v_{1,y} + m_{2} v_{2,y} + p_{3,y} & = 0 \\ p_{3,y} & = -m_{1} v_{1,y} - m_{2} v_{2,y} \end{split}\]
Kutoka kwa mfumo wetu wa kuratibu uliochaguliwa, tunaandika vipengele vya x kama
\[\begin{split} p_{3,x} & = - m_{1} v_{1} - m_{2} v_{2} \cos \theta \\ & = - (4.5\; kg)(105\; m/s) - (3.2\; kg)(77\; m/s) \cos (19^{o}) \\ & = -705\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Kwa mwelekeo wa y, tuna
\[\begin{split} p_{3,y} & = 0 - m_{2} v_{2} \sin \theta \\ & = - (3.2\; kg)(77\; m/s) \sin (19^{o}) \\ & = -80.2\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Hii inatoa ukubwa wa p 3:
\[\begin{split} p_{3} & = \sqrt{p_{3,x}^{2} + p_{3,y}^{2}} \\ & = \sqrt{(-705\; kg\; \cdotp m/s)^{2} + (-80.2\; kg\; \cdotp m/s)} \\ & = 710\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]
Kwa hiyo kasi ya kipande cha tatu ni
\[v_{3} = \frac{p_{3}}{m_{3}} = \frac{710\; kg\; \cdotp m/s}{6.7\; kg} = 106\; m/s \ldotp\]
Mwelekeo wa vector yake ya kasi ni sawa na mwelekeo wa vector yake ya kasi:
\[\phi = \tan^{-1} \left(\dfrac{p_{3,y}}{p_{3,x}}\right) = \tan^{-1} \left(\dfrac{80.2\; kg\; \cdotp m/s}{705\; kg\; \cdotp m/s}\right) = 6.49^{o} \ldotp\]
Kwa sababu\(\phi\) iko chini ya mhimili -x, angle halisi ni 186.49° kutoka kwenye mwelekeo +x-.
Umuhimu
Velocities kubwa hapa ni ya kawaida; tank ya kulipuka ya gesi yoyote iliyosimamiwa inaweza kupiga kwa urahisi kupitia ukuta wa nyumba na kusababisha jeraha kubwa, au kifo. Kwa bahati nzuri, milipuko hiyo ni nadra sana, kwa misingi ya asilimia.
Angalia kwamba wingi wa hewa katika tangi ulipuuzwa katika uchambuzi na suluhisho. Njia ya ufumbuzi ingebadilikaje ikiwa hewa ilikuwa imejumuishwa? Jinsi kubwa tofauti unafikiri ingekuwa kufanya katika jibu la mwisho?