Skip to main content
Global

9.6: Uhifadhi wa kasi ya mstari (Sehemu ya 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176879

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Mkakati wa Kutatua matatizo: Uhifadhi wa kasi

    Kutumia uhifadhi wa kasi inahitaji hatua nne za msingi. Hatua ya kwanza ni muhimu:

    1. Tambua mfumo uliofungwa (jumla ya wingi ni mara kwa mara, hakuna nguvu ya nje ya nje inayofanya mfumo).
    2. Andika maneno yanayowakilisha kasi ya mfumo kabla ya “tukio” (mlipuko au mgongano).
    3. Andika maneno yanayowakilisha kasi ya jumla ya mfumo baada ya “tukio.”
    4. Weka maneno haya mawili sawa na kila mmoja, na kutatua equation hii kwa kiasi taka

    Mfano\(\PageIndex{1}\): Colliding Carts

    mikokoteni mbili katika fizikia maabara roll juu ya kufuatilia ngazi, na msuguano kidogo. Mikokoteni hii ina sumaku ndogo katika mwisho wao, ili wakati wao collide, wao fimbo pamoja (Kielelezo\(\PageIndex{1}\)). Gari la kwanza lina wingi wa gramu 675 na linaendelea saa 0.75 m/s kwa haki; pili ina wingi wa gramu 500 na inaendelea saa 1.33 m/s, pia kwa haki. Baada ya mgongano, ni kasi gani ya mikokoteni miwili iliyojiunga?

    mfano wa mikokoteni mbili maabara juu ya kufuatilia, kukwama pamoja.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mbili maabara mikokoteni collide na fimbo pamoja baada ya mgongano.

    Mkakati

    Tuna mgongano. Sisi ni kupewa raia na kasi ya awali; sisi ni aliuliza kwa kasi ya mwisho. Hii yote inaonyesha kutumia uhifadhi wa kasi kama njia ya suluhisho. Hata hivyo, tunaweza kutumia tu ikiwa tuna mfumo uliofungwa. Kwa hiyo tunahitaji kuwa na uhakika kwamba mfumo tunaochagua hauna nguvu ya nje ya nje juu yake, na kwamba umati wake haubadilishwa na mgongano.

    Kufafanua mfumo kuwa mikokoteni miwili inakidhi mahitaji ya mfumo wa kufungwa: Misa ya pamoja ya mikokoteni miwili hakika haibadilika, na wakati mikokoteni dhahiri hufanya nguvu juu ya kila mmoja, majeshi hayo ni ndani ya mfumo, hivyo hawana mabadiliko ya kasi ya mfumo kwa ujumla. Katika mwelekeo wa wima, uzito wa mikokoteni hufutwa na nguvu za kawaida kwenye mikokoteni kutoka kwenye wimbo.

    Suluhisho

    Hifadhi ya kasi ni

    \[\vec{p}_{f} = \vec{p}_{i} \ldotp \nonumber\]

    Eleza mwelekeo wa vectors yao ya awali ya kasi kuwa ya+x-mwelekeo. Kasi ya awali ni basi

    \[\vec{p}_{i} = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]

    kasi ya mwisho ya mikokoteni sasa wanaohusishwa ni

    \[\vec{p}_{f} = (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} \ldotp \nonumber\]

    Kulinganisha:

    \[\begin{align*} (m_{1} + m_{2}) \vec{v}_{f} & = m_{1} v_{1}\; \hat{i} + m_{2} v_{2}\; \hat{i} \\[4pt] \vec{v}_{f} & = \left(\dfrac{m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2}}{m_{1} + m_{2}}\right) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

    Kubadilisha namba zilizotolewa:

    \[\begin{align*} \vec{v}_{f} & = \Bigg[ \frac{(0.675\; kg)(0.75\; m/s) + (0.5\; kg)(1.33\; m/s)}{1.175\; kg} \Bigg] \hat{i} \\[4pt] & = (0.997\; m/s) \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

    Umuhimu

    Kanuni zinazotumika hapa kwa mikokoteni mbili za maabara zinatumika kwa vitu vyote vya aina yoyote au ukubwa. Hata kwa photons, dhana ya kasi na uhifadhi wa kasi bado ni muhimu sana hata kwa kiwango hicho. (Kwa kuwa wao ni massless, kasi ya photon hufafanuliwa tofauti sana na kasi ya vitu vya kawaida. Utajifunza kuhusu hili unapojifunza fizikia ya quantum.)

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Tuseme pili, gari ndogo alikuwa awali kuhamia upande wa kushoto. Ishara ya kasi ya mwisho ingekuwa nini katika kesi hii?

    Mfano\(\PageIndex{2}\): A Bouncing Superball

    Superball ya uzito 0.25 kg imeshuka kutoka kupumzika kutoka urefu wa h = 1.50 m juu ya sakafu. Ni bounces bila kupoteza nishati na kurudi kwa urefu wake wa awali (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)).

    1. ni mabadiliko superball ya kasi wakati bounce yake juu ya sakafu nini?
    2. Mabadiliko ya Dunia yalikuwa nini kutokana na mpira unaogongana na sakafu?
    3. Ni mabadiliko gani ya kasi ya Dunia kutokana na mgongano huu?

    (Mfano huu unaonyesha kwamba unapaswa kuwa makini kuhusu kufafanua mfumo wako.)

    Mpira unaonyeshwa kwa nyakati nne tofauti. Wakati t ndogo 0 mpira ni katika umbali h juu ya sakafu na ina p ndogo 0 sawa 0. Katika t ndogo 1 mpira ni karibu na sakafu. mshale chini katika mpira ni kinachoitwa minus p ndogo 1. Katika t ndogo 2 mpira ni karibu na sakafu. mshale zaidi katika mpira ni kinachoitwa pamoja p ndogo 2. Mishale ya p ndogo ya 1 na p ndogo ya 2 ni urefu sawa. Wakati t ndogo 3 mpira katika urefu h tena na p ndogo 3 sawa na sifuri.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Superball imeshuka kwenye sakafu (\(t_0\)), inapiga sakafu (\(t_1\)), bounces (\(t_2\)), na inarudi kwenye urefu wake wa awali (\(t_3\)).

    Mkakati

    Kwa kuwa tunaulizwa tu kuhusu mabadiliko ya mpira wa kasi, tunafafanua mfumo wetu kuwa mpira. Lakini hii ni wazi si mfumo imefungwa; mvuto inatumika nguvu kushuka juu ya mpira wakati ni kuanguka, na nguvu ya kawaida kutoka sakafu inatumika nguvu wakati bounce. Hivyo, hatuwezi kutumia uhifadhi wa kasi kama mkakati. Badala yake, sisi tu kuamua kasi ya mpira tu kabla collides na sakafu na tu baada ya, na mahesabu ya tofauti. Tuna wingi wa mpira, kwa hiyo tunahitaji kasi zake.

    Suluhisho
    1. Kwa kuwa hii ni tatizo moja-dimensional, tunatumia fomu ya scalar ya equations. Hebu:
      • p 0 = ukubwa wa kasi ya mpira wakati t 0, wakati ulipotolewa; kwa kuwa imeshuka kutoka kupumzika, hii ni sifuri.
      • p 1 = ukubwa wa kasi ya mpira kwa wakati t 1, papo tu kabla ya kugonga sakafu.
      • p 2 = ukubwa wa kasi ya mpira kwa wakati t 2, baada ya kupoteza kuwasiliana na sakafu baada ya bounce.

    Mabadiliko ya mpira wa kasi ni

    \[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\[4pt] & = p_{2}\; \hat{j} - (-p_{1}\; \hat{j}) \\[4pt] & = (p_{2} + p_{1}) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

    Upeo wake kabla ya kugonga sakafu unaweza kuamua kutoka kwa uhifadhi wa nishati au kinematics. Tunatumia kinematics hapa; unapaswa kuitatua tena kwa kutumia uhifadhi wa nishati na kuthibitisha kupata matokeo sawa.

    Tunataka kasi tu kabla ya kugonga ardhi (wakati t 1). Tunajua kasi yake ya awali v 0 = 0 (wakati t 0), urefu unaanguka, na kuongeza kasi yake; hatujui wakati wa kuanguka. Tunaweza kuhesabu kwamba, lakini badala yake sisi kutumia

    \[\vec{v}_{1} = - \hat{j} \sqrt{2gy} = -5.4\; m/s\; \hat{j} \ldotp \nonumber\]

    Hivyo mpira ina kasi ya

    \[\begin{align*} \vec{p}_{1} & = - (0.25\; kg)(-5.4\; m/s\; \hat{j}) \\[4pt] & = - (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

    Hatuna njia rahisi ya kuhesabu kasi baada ya bounce. Badala yake, sisi sababu kutokana na ulinganifu wa hali hiyo.

    Kabla ya bounce, mpira huanza na kasi ya sifuri na huanguka 1.50 m chini ya ushawishi wa mvuto, kufikia kiasi fulani cha kasi kabla ya kugonga ardhi. Katika safari ya kurudi (baada ya bounce), huanza na kiasi fulani cha kasi, huongezeka sawa na 1.50 m ikaanguka, na kuishia kwa kasi ya sifuri. Hivyo, mwendo baada ya bounce ilikuwa kioo picha ya mwendo kabla ya bounce. Kutokana na ulinganifu huu, ni lazima iwe kweli kwamba kasi ya mpira baada ya bounce lazima iwe sawa na kinyume na kasi yake kabla ya bounce. (Hii ni hoja ya hila lakini muhimu; hakikisha unaielewa kabla ya kuendelea.) Kwa hiyo,

    \[\vec{p}_{2} = - \vec{p}_{1} = + (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

    Hivyo, mabadiliko ya mpira wa kasi wakati wa bounce ni

    \[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} - \vec{p}_{1} \\ & = (1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-1.4\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \\ & = + (2.8\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\]

    1. Mabadiliko ya Dunia yalikuwa nini kutokana na mpira unaogongana na sakafu? Jibu lako la kawaida linaweza kuwa ama “sifuri; Dunia ni kubwa mno kwa mpira huo mdogo kuuathiri” au labda, “zaidi ya sifuri, lakini hauna maana kabisa.” Lakini hakuna—ikiwa tunafafanua tena mfumo wetu kuwa Superball + Dunia, basi mfumo huu umefungwa (kupuuza mvuto wa Jua, Mwezi, na sayari nyingine katika mfumo wa jua), na hivyo mabadiliko ya jumla ya kasi ya mfumo huu mpya lazima iwe sifuri. Kwa hiyo, mabadiliko ya kasi ya Dunia ni ukubwa sawa: $$\ Delta\ vec {p} _ {Dunia} = -2.8\; kg\;\ cdotp m/s\;\ kofia {j}\ ldotp$$
    2. Ni mabadiliko gani ya kasi ya Dunia kutokana na mgongano huu? Hapa ndipo hisia zako za kiasili ni sahihi: Mabadiliko\[\begin{align*} \Delta \vec{v}_{Earth} & = \frac{\Delta \vec{p}_{Earth}}{M_{Earth}} \\[4pt] & = - \frac{2.8\; kg\; \cdotp m/s}{5.97 \times 10^{24}\; kg}\; \hat{j} \\[4pt] & = - (4.7 \times 10^{-25}\; m/s) \hat{j} \ldotp \end{align*}\] haya ya kasi ya Dunia ni duni kabisa

    Umuhimu

    Ni muhimu kutambua kwamba jibu la sehemu (c) si kasi; ni mabadiliko ya kasi, ambayo ni jambo tofauti sana. Hata hivyo, ili kukupa hisia kwa jinsi ndogo kwamba mabadiliko ya kasi ni, tuseme ulikuwa unahamia kwa kasi ya 4.7 x 10 -25 m/s Kwa kasi hii, itachukua takriban miaka milioni 7 kusafiri umbali sawa na kipenyo cha atomi ya hidrojeni.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Je mabadiliko ya mpira wa kasi yamekuwa kubwa, ndogo, au sawa, kama ingekuwa iligongana na sakafu na kusimamishwa (bila bouncing)? Je mabadiliko ya mpira wa kasi yamekuwa kubwa, ndogo, au sawa, kama ingekuwa iligongana na sakafu na kusimamishwa (bila bouncing)?

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Ice hockey 1

    Vipande viwili vya Hockey vya molekuli sawa ni kwenye rink ya gorofa, ya usawa ya barafu ya Hockey. Puck nyekundu haipatikani; puck ya bluu inahamia saa 2.5 m/s upande wa kushoto (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)). Inapigana na puck nyekundu isiyo na mwendo. Pucks ina wingi wa 15 g Baada ya mgongano, puck nyekundu inahamia saa 2.5 m/s, upande wa kushoto. Je! Ni kasi gani ya mwisho ya puck ya bluu?

    Pucks mbili za Hockey zinaonyeshwa. Mchoro wa juu unaonyesha puck upande wa kushoto na mita 0 kwa pili na puck upande wa kulia kusonga kushoto na mita 2.5 kwa pili. Mchoro wa chini unaonyesha puck upande wa kushoto kusonga upande wa kushoto kwa mita 2.5 kwa pili na puck juu ya kusonga haki na v haijulikani v.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Mbili kufanana Hockey pucks colliding. Mchoro wa juu unaonyesha pucks papo hapo kabla ya mgongano, na mchoro wa chini unaonyesha pucks papo baada ya mgongano. Nguvu ya nje ya nje ni sifuri.

    Mkakati

    Tunaambiwa kwamba tuna vitu viwili vya kugongana, tunaambiwa raia na kasi ya awali, na kasi moja ya mwisho; tunaombwa kwa kasi zote za mwisho. Uhifadhi wa kasi inaonekana kama mkakati mzuri. Kufafanua mfumo kuwa pucks mbili; hakuna msuguano, hivyo tuna mfumo wa kufungwa.

    Kabla ya kuangalia suluhisho, unadhani jibu litakuwa nini?

    Kasi ya mwisho ya bluu ya puck itakuwa:

    1. sufuri
    2. 2.5 m/s upande wa kushoto
    3. 2.5 m/s kwa haki
    4. 1.25 m/s upande wa kushoto
    5. 1.25 m/s kwa haki
    6. kitu kingine
    Suluhisho

    Eleza mwelekeo wa x-x ili uelekeze haki. Uhifadhi wa kasi kisha anayesoma

    \[\begin{align*} \vec{p_{f}} & = \vec{p_{i}} \\ mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} & = mv_{r_{i}}\; \hat{i} - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \end{align*}\]

    Kabla ya mgongano, kasi ya mfumo ni kabisa na tu katika puck ya bluu. Hivyo,

    \[mv_{r_{f}}\; \hat{i} + mv_{b_{f}}\; \hat{i} = - mv_{b_{i}}\; \hat{i} \nonumber\]

    \[v_{r_{f}}\; \hat{i} + v_{b_{f}}\; \hat{i} = - v_{b_{i}}\; \hat{i} \ldotp \nonumber\]

    (Kumbuka kwamba raia wa pucks ni sawa.) Kubadilisha idadi:

    \[\begin{align*} - (2.5\; m/s) \hat{i} + \vec{v}_{b_{f}} & = - (2.5\; m/s) \hat{i} \\ \vec{v}_{b_{f}} & = 0 \ldotp \end{align*}\]

    Umuhimu

    Kwa dhahiri, pucks mbili tu kubadilishana kasi. Puck ya bluu ilihamisha kasi yake yote kwa puck nyekundu. Kwa kweli, hii ndiyo kinachotokea katika mgongano sawa ambapo m 1 = m 2.

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Hata kama kulikuwa na msuguano juu ya barafu, bado inawezekana kutumia uhifadhi wa kasi ili kutatua tatizo hili, lakini unahitaji kulazimisha hali ya ziada juu ya tatizo. Hali hiyo ya ziada ni nini?

    Philae

    Mnamo Novemba 12, 2014, Shirika la Nafasi la Ulaya lilifanikiwa kutua probe iliyoitwa Philae kwenye Comet 67P/ Churyumov/Gerasimenko (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)). Wakati wa kutua, hata hivyo, uchunguzi kweli nanga mara tatu, kwa sababu bounced mara mbili. Hebu tuhesabu ni kiasi gani kasi ya comet iliyopita kama matokeo ya bounce ya kwanza.

    utoaji msanii wa Philae kutua juu ya kimondo.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): utoaji msanii wa Philae kutua juu ya kimondo. (mikopo: mabadiliko ya kazi na “DLR Kijerumani Luftfart Center” /Flickr)

    Hebu tufafanue juu kuwa mwelekeo wa +y, perpendicular kwa uso wa comet, na y = 0 kuwa juu ya uso wa comet. Hapa ndio tunachojua:

    • Uzito wa Comet 67P: M c = 1.0 x 10 13 kg
    • Kuongezeka kwa sababu ya mvuto wa comet:\(\vec{a}\) = - (5.0 x 10 -3 m/s 2)\(\hat{j}\)
    • Misa ya Philae: M p = 96 kg
    • Kasi ya awali ya kugusa:\(\vec{v}_{1}\) = - (1.0 m/s)\(\hat{j}\)
    • Kasi ya awali ya juu kutokana na bounce ya kwanza:\(\vec{v}_{2}\) = (0.38 m/s)\(\hat{j}\)
    • Wakati wa athari za kutua:\(\Delta\) t = 1.3 s

    Mkakati

    Tunaulizwa kwa kiasi gani kasi ya kimondo ilibadilika, lakini hatujui mengi kuhusu kimondo, zaidi ya wingi wake na kuongeza kasi ya mvuto wake unaosababisha. Hata hivyo, tunaambiwa kwamba Lander Philae inagongana na (ardhi juu) comet, na bounces mbali yake. Mgongano unaonyesha kasi kama mkakati wa kutatua tatizo hili.

    Ikiwa tunafafanua mfumo unao na Philae na Comet 67/P, basi hakuna nguvu ya nje ya nje kwenye mfumo huu, na hivyo kasi ya mfumo huu imehifadhiwa. (Tutapuuza nguvu ya mvuto wa jua.) Kwa hiyo, ikiwa tunahesabu mabadiliko ya kasi ya lander, sisi moja kwa moja tuna mabadiliko ya kasi ya comet. Pia, mabadiliko ya kasi ya kimondo yanahusiana moja kwa moja na mabadiliko yake ya kasi kutokana na Lander “kugongana” nayo.

    Suluhisho

    Hebu\(\vec{p}_{1}\) kuwa kasi ya Philae kwa sasa kabla ya touchdown, na\(\vec{p}_{2}\) kuwa kasi yake tu baada ya bounce kwanza. Kisha kasi yake kabla ya kutua ilikuwa

    \[\vec{p}_{1} = M_{p} \vec{v}_{1} = (96\; kg)(-1.0\; m/s\; \hat{j}) = - (96\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \nonumber\]

    na tu baada ya mara

    \[\vec{p}_{2} = M_{p} \vec{v}_{2} = (96\; kg)(+0.38\; m/s\; \hat{j}) = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

    Kwa hiyo, mabadiliko Lander ya kasi wakati bounce kwanza ni

    \[\begin{align*} \Delta \vec{p} & = \vec{p}_{2} \vec{p}_{1} \\ & = (36.5\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} - (-96.0\; kg\; \cdotp m/s\; \hat{j}) \\ & = (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \end{align*}\]

    Angalia jinsi muhimu ni pamoja na ishara hasi ya kasi ya awali.

    Sasa kwa comet. Kwa kuwa kasi ya mfumo lazima ihifadhiwe, kasi ya comet ilibadilishwa na hasi ya hii:

    \[\Delta \vec{p}_{c} = - \Delta \vec{p} = - (133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

    Kwa hiyo, mabadiliko yake ya kasi ni

    \[\Delta \vec{v}_{c} = \frac{\Delta \vec{p}_{c}}{M_{c}} = \frac{-(133\; kg\; \cdotp m/s) \hat{j}}{1.0 \times 10^{13}\; kg} = - (1.33 \times 10^{-11}\; m/s) \hat{j} \ldotp \nonumber\]

    Umuhimu

    Hii ni mabadiliko madogo sana katika kasi, karibu elfu ya bilioni ya mita kwa pili. Muhimu, hata hivyo, si sifuri.

    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Mabadiliko ya kasi kwa Philae na kwa Comet 67/P yalikuwa sawa (kwa ukubwa). Ilikuwa impulses uzoefu na Philae na kimondo sawa? Vipi kuhusu majeshi? Vipi kuhusu mabadiliko ya nguvu za kinetic?