9.5: Uhifadhi wa kasi ya mstari (Sehemu ya 1)

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176901

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Eleza maana ya “uhifadhi wa kasi”
Tambua kwa usahihi ikiwa mfumo ni, au sio, umefungwa
Eleza mfumo ambao kasi yake imehifadhiwa
Kihisabati kueleza uhifadhi wa kasi kwa ajili ya mfumo fulani
Tumia kiasi kisichojulikana kwa kutumia uhifadhi wa kasi

Kumbuka sheria ya tatu ya Newton: Wakati vitu viwili vya raia m ₁ na m ₂ vinashirikiana (maana kwamba hutumia nguvu juu ya kila mmoja), nguvu ambayo kitu 2 inatumika kwa kitu 1 ni sawa na ukubwa na kinyume katika mwelekeo wa nguvu ambayo kitu 1 inatumika kwenye kitu 2. Hebu:

$\vec{F}_{21}$= nguvu juu ya m ₁ kutoka m ₂
$\vec{F}_{12}$= nguvu juu ya m ₂ kutoka m ₁

Kisha, katika alama, sheria ya tatu ya Newton inasema

\[\begin{split} \vec{F}_{21} & = - \vec{F}_{12} \\ m_{1} \vec{a}_{1} & = -m_{2} \vec{a}_{2} \ldotp \end{split} \label{9.10}\]

(Kumbuka kwamba majeshi haya mawili hayawezi kufuta kwa sababu hutumiwa kwa vitu tofauti. F ₂₁ husababisha m ₁ kuharakisha, na F ₁₂ husababisha m ₂ kuharakisha.)

Ingawa ukubwa wa nguvu juu ya vitu ni sawa, kasi sio, kwa sababu tu raia (kwa ujumla) ni tofauti. Kwa hiyo, mabadiliko katika kasi ya kila kitu ni tofauti:

\[\frac{d \vec{v}_{1}}{dt} \neq \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp\]

Hata hivyo, bidhaa za wingi na mabadiliko ya kasi ni sawa (kwa ukubwa):

\[m_{1} \frac{d \vec{v}_{1}}{dt} = - m_{2} \frac{d \vec{v}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.11}\]

Ni wazo nzuri, katika hatua hii, ili kuhakikisha uko wazi juu ya maana ya kimwili ya derivatives katika Equation 9.3.3. Kwa sababu ya mwingiliano, kila kitu kinamaliza kupata kasi yake kubadilishwa, kwa kiasi dv. Zaidi ya hayo, mwingiliano hutokea zaidi ya muda dt, ambayo ina maana kwamba mabadiliko ya kasi pia hutokea juu ya dt. Muda huu wa wakati ni sawa kwa kila kitu.

Hebu tufikiri, kwa sasa, kwamba raia wa vitu hazibadilika wakati wa mwingiliano. (Tutapumzika kizuizi hiki baadaye.) Katika kesi hiyo, tunaweza kuvuta raia ndani ya derivatives:

\[\frac{d}{dt} (m_{1} \vec{v}_{1}) = - \frac{d}{dt} (m_{2} \vec{v}_{2}) \label{9.12}\]

na hivyo

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} = - \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} \ldotp \label{9.13}\]

Hii inasema kuwa kiwango ambacho mabadiliko ya kasi ni sawa kwa vitu vyote viwili. Misa ni tofauti, na mabadiliko ya kasi ni tofauti, lakini kiwango cha mabadiliko ya bidhaa ya m na$\vec{v}$ ni sawa.

Kimwili, hii ina maana kwamba wakati wa mwingiliano wa vitu viwili (m ₁ na m ₂), vitu vyote viwili vimebadilika; lakini mabadiliko hayo yanafanana na ukubwa, ingawa kinyume na ishara. Kwa mfano, kasi ya kitu 1 inaweza kuongezeka, ambayo ina maana kwamba kasi ya kitu 2 itapungua kwa kiasi sawa.

Kutokana na hili, hebu tuandike tena Equation\ ref {9.12} katika fomu ya kupendeza zaidi:

\[\frac{d \vec{p}_{1}}{dt} + \frac{d \vec{p}_{2}}{dt} = 0 \ldotp \label{9.14}\]

Hii inasema kwamba wakati wa mwingiliano, ingawa kitu 1 ya mabadiliko ya kasi, na kitu 2 ya kasi pia mabadiliko, mabadiliko haya mawili kufuta kila mmoja nje, ili mabadiliko ya jumla ya kasi ya vitu viwili pamoja ni sifuri.

Kwa kuwa jumla pamoja kasi ya vitu viwili pamoja kamwe mabadiliko, basi tunaweza kuandika

\[\frac{d}{dt} (\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2}) = 0 \label{9.15}\]

ambayo inafuata hiyo

\[\vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} = constant \ldotp \label{9.16}\]

Kama inavyoonekana katika Kielelezo$\PageIndex{1}$, kasi ya jumla ya mfumo kabla na baada ya mgongano bado ni sawa.

Kabla ya mgongano mpira wa njano1 ni kusonga chini na kulia, kwa lengo la katikati ya mpira wa bluu 2. Blue mpira 2 ni kusonga kwa upande wa kushoto na kidogo chini, na polepole zaidi kuliko mpira 1. Tunaambiwa kwamba p vector jumla sawa p 1 vector pamoja p 2 vector na tunaonyeshwa jumla kama mchoro wa vector: p 1 na p 2 huwekwa na mkia wa p 2 kwenye kichwa cha p 1. Vector hutolewa kutoka mkia wa p 1 hadi kichwa cha p 2. Baada ya mgongano, mpira wa njano unasonga polepole kwenda kulia na p 2 unasonga kwa kasi zaidi na kushoto. Tunaambiwa kwamba p mkuu jumla vector sawa p mkuu 1 vector pamoja p mkuu 2 vector na sisi ni umeonyesha jumla kama mchoro vector: p mkuu 1 na p mkuu 2 ni kuwekwa na mkia wa p mkuu 2 katika kichwa cha p mkuu 1. Vector hutolewa kutoka mkia wa p mkuu 1 hadi kichwa cha p mkuu 2 na ni urefu sawa na katika mwelekeo sawa na vector jumla kabla ya mgongano. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: Kabla ya mgongano, mipira miwili ya billiard husafiri na momenta$\vec{p}_{1}$ na$\vec{p}_{2}$. Kasi ya jumla ya mfumo ni jumla ya haya, kama inavyoonekana na vector nyekundu iliyoandikwa$\vec{p}_{total}$ upande wa kushoto. Baada ya mgongano, mipira miwili ya billiard husafiri kwa momenta tofauti$\vec{p}′_{1}$ na$\vec{p}′_{2}$. Kasi ya jumla, hata hivyo, haijabadilika, kama inavyoonekana na mshale wa vector nyekundu$\vec{p}'_{total}$ upande wa kulia.

Kuzalisha matokeo haya kwa vitu N, tunapata

\[\begin{align} \vec{p}_{1} + \vec{p}_{2} + \vec{p}_{3} + \cdots + \vec{p}_{N} & = constant \\ \sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} & = constant \ldotp \label{9.17} \end{align} \]

Equation\ ref {9.17} ni ufafanuzi wa jumla (au wavu) kasi ya mfumo wa vitu vya kuingiliana N, pamoja na taarifa kwamba kasi ya jumla ya mfumo wa vitu ni mara kwa mara kwa muda-au bora, huhifadhiwa.

Sheria ya Uhifadhi

Ikiwa thamani ya wingi wa kimwili ni mara kwa mara kwa wakati, tunasema kwamba kiasi kinahifadhiwa.

Mahitaji ya Hifadhi ya Kasi

Kuna matatizo, hata hivyo. Mfumo lazima ufikie mahitaji mawili kwa kasi yake ihifadhiwe:

Masi ya mfumo lazima kubaki mara kwa mara wakati wa mwingiliano. Kama vitu kuingiliana (kutumia vikosi juu ya kila mmoja), wanaweza kuhamisha wingi kutoka moja hadi nyingine; lakini molekuli yoyote kitu moja faida ni uwiano na hasara ya molekuli kwamba kutoka kwa mwingine. Masi ya jumla ya mfumo wa vitu, kwa hiyo, bado haibadilika kama muda unapopita:\ [\ Big [\ frac {dm} {dt}\ Big] _ {system} = 0\ ldotp$$
Nguvu ya nje ya nje kwenye mfumo lazima iwe sifuri. Kama vitu vinavyogongana, au kulipuka, na kuzunguka, hufanya nguvu juu ya kila mmoja. Hata hivyo, majeshi haya yote ni ndani ya mfumo, na hivyo kila moja ya majeshi haya ya ndani yanafanana na nguvu nyingine ya ndani ambayo ni sawa na ukubwa na kinyume na ishara. Matokeo yake, mabadiliko ya kasi yanayosababishwa na kila nguvu ya ndani yanafutwa na mabadiliko mengine ya kasi ambayo ni sawa na ukubwa na kinyume katika mwelekeo. Kwa hiyo, vikosi vya ndani haviwezi kubadilisha kasi ya jumla ya mfumo kwa sababu mabadiliko yanafikia sifuri. Hata hivyo, ikiwa kuna nguvu ya nje inayofanya vitu vyote (mvuto, kwa mfano, au msuguano), basi nguvu hii inabadilisha kasi ya mfumo kwa ujumla; yaani, kasi ya mfumo inabadilishwa na nguvu ya nje. Hivyo, kwa kasi ya mfumo wa kuhifadhiwa, lazima tuwe na $$\ vec {F} _ {ext} =\ vec {0}\ ldotp $$

Mfumo wa vitu unaofikia mahitaji haya mawili unasemekana kuwa mfumo uliofungwa (pia huitwa mfumo wa pekee). Hivyo, njia rahisi zaidi ya kuelezea hii inavyoonyeshwa hapa chini.

Sheria ya Uhifadhi wa kasi

Mwendo wa jumla wa mfumo uliofungwa umehifadhiwa:

\[\sum_{j = 1}^{N} \vec{p}_{j} = constant \ldotp\]

Kauli hii inaitwa Sheria ya Uhifadhi wa Momentum. Pamoja na uhifadhi wa nishati, ni moja ya misingi ambayo yote ya fizikia inasimama. Ushahidi wetu wote wa majaribio unasaidia kauli hii: kuanzia mwendo wa makundi ya galaksi hadi kwenye quarks zinazounda protoni na neutroni, na kwa kila kiwango katikati. Katika mfumo uliofungwa, kasi ya jumla haibadilika.

Kumbuka kuwa kuna kabisa inaweza kuwa na nguvu za nje zinazofanya mfumo; lakini kwa kasi ya mfumo kubaki mara kwa mara, majeshi haya ya nje yanapaswa kufuta, ili nguvu ya nje ya wavu ni sifuri. Mipira ya billiard kwenye meza yote ina nguvu ya uzito inayofanya juu yao, lakini uzito ni uwiano (kufutwa) na majeshi ya kawaida, kwa hiyo hakuna nguvu ya wavu.

Maana ya 'Mfumo'

Mfumo (mitambo) ni mkusanyiko wa vitu ambavyo mwendo (kinematics na mienendo) unavutiwa. Kama wewe ni kuchambua bounce ya mpira juu ya ardhi, labda wewe ni nia tu katika mwendo wa mpira, na si ya Dunia; hivyo, mpira ni mfumo wako. Ikiwa unachambua ajali ya gari, magari mawili pamoja yanatunga mfumo wako (Kielelezo$\PageIndex{2}$).

Mfano wa mgongano wa magari mawili na raia m 1 na m 2. Mfumo wa maslahi ni magari mawili kabla na baada ya mgongano. Kabla ya mgongano, gari m 2 iko mbele na kusonga mbele na kasi v 2, na gari m 1 ni nyuma yake, kusonga mbele na kasi v 1. Net vector F = 0 na wadudu p 1 pamoja p 2 sawa p tot. Baada ya mgongano, gari m 2 iko mbele na kusonga mbele na kasi v 2 mkuu ambayo ni kubwa kuliko v 2 kabla ya mgongano, na gari m 1 iko nyuma yake, kusonga mbele na kasi v 1 mkuu ambayo ni chini ya v 1 kabla ya mgongano. Vectors p 1 mkuu pamoja p 2 mkuu sawa p tot mkuu. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: Magari mawili pamoja huunda mfumo ambao unapaswa kuchambuliwa. Ni muhimu kukumbuka kwamba yaliyomo (wingi) wa mfumo hayabadilika kabla, wakati, au baada ya vitu katika mfumo kuingiliana.