Skip to main content
Global

9.4: Impulse na migongano (Sehemu ya 2)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176911

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Athari ya msukumo

    Kwa kuwa msukumo ni nguvu inayofanya kwa muda fulani, inasababisha mwendo wa kitu kubadilika. Kumbuka

    \[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

    Kwa sababu m\(\vec{v}\) ni kasi ya mfumo, m\(\Delta \vec{v}\) ni mabadiliko ya kasi\(\Delta \vec{p}\). Hii inatupa uhusiano wafuatayo, unaoitwa theorem ya kasi ya msukumo (au uhusiano).

    Theorem ya Kasi ya Msukumo

    msukumo kutumika kwa mfumo mabadiliko kasi ya mfumo wa, na kwamba mabadiliko ya kasi ni sawa na msukumo kwamba ilitumika:

    \[\vec{J} = \Delta \vec{p} \ldotp \label{9.7}\]

    Theorem ya kasi ya msukumo inaonyeshwa graphically katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\).

    Mpira na mishale mitatu ya vector huonyeshwa. mishale ni: v ndogo i na haki, p ndogo i na haki na J akizungumzia chini na kulia. Takwimu hii ni kinachoitwa “Mpira inapata msukumo.” Takwimu inayofuata inaonyesha p i vector kwa haki na J vector, chini na kulia na mkia wake iliyokaa na ncha ya vector p i. Hii ni kinachoitwa p ndogo i plus J na ni sawa na p ndogo f vector. Takwimu hii ni labeled msukumo ni aliongeza kwa kasi ya awali. Takwimu inayofuata inaonyesha vector J sawa p f vector na vector yaani kinyume cha p ndogo i kuwekwa na mkia wake katika p ndogo f ncha. Hii ni sawa na vector kufanana na J vector lakini kinachoitwa delta p. takwimu hii ni kinachoitwa “hivyo mabadiliko katika kasi sawa na msukumo. takwimu ya mwisho inaonyesha mpira na mishale miwili: p ndogo f vector na vector mwingine katika mwelekeo huo na kinachoitwa v ndogo f. takwimu hii ni kinachoitwa “baada ya msukumo mpira ina kasi ya mwisho.”
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mchoro wa theorem ya kasi ya msukumo. (a) mpira na kasi ya awali\(\vec{v}_{0}\) na kasi\(\vec{p}_{0}\) inapata msukumo\(\vec{J}\). (b) msukumo huu umeongezwa vectorially kwa kasi ya awali. (c) Hivyo, msukumo ni sawa na mabadiliko katika kasi,\(\vec{J}\) =\(\Delta \vec{p}\). (d) Baada ya msukumo, mpira huenda mbali na kasi yake mpya\(\vec{p}_{f}\).

    Kuna dhana mbili muhimu katika theorem ya kasi ya msukumo:

    1. Msukumo ni kiasi cha vector; msukumo wa, sema, - (10 N • s)\(\hat{i}\) ni tofauti sana na msukumo wa + (10 N • s)\(\hat{i}\); husababisha mabadiliko kinyume kabisa ya kasi.
    2. Msukumo haukusababisha kasi; badala yake, husababisha mabadiliko katika kasi ya kitu. Hivyo, lazima Ondoa kasi ya mwisho kutoka kasi ya awali, na-tangu kasi pia ni kiasi vector - lazima kuchukua akaunti makini ya ishara ya wadudu kasi.

    Maswali ya kawaida yaliyoulizwa kuhusiana na msukumo ni kuhesabu nguvu iliyotumiwa, au mabadiliko ya kasi ambayo hutokea kama matokeo ya kutumia msukumo. Njia ya jumla ni sawa.

    Mkakati wa Kutatua matatizo: Theorem ya Impulse-Kasi
    1. Eleza msukumo kama nguvu mara wakati husika wakati.
    2. Eleza msukumo kama mabadiliko ya kasi, kwa kawaida m\(\Delta\) v.
    3. Equate hizi na kutatua kwa kiasi kilichohitajika.
    Enterprise
    mfano wa Enterprise kutoka Star Trek na nyota kwa nyuma.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): tamthiliya starship Enterprise kutoka Star Trek adventures kuendeshwa kwenye kile kinachoitwa “inji msukumo” kwamba pamoja jambo na antimater kuzalisha nishati

    “Mheshimiwa Sulu, tuchukue nje; mbele ya msukumo wa robo moja.” Kwa amri hii, Kapteni Kirk wa biashara ya starship (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)) ina meli yake kuanza kutoka mapumziko hadi kasi ya mwisho ya v f =\(\frac{1}{4}\) (3.0 x 10 8 m/s). Kutokana na maneuver hii imekamilika katika 60 s, ni nguvu gani ya wastani ambayo inji za msukumo zinatumika kwa meli?

    Mkakati

    Tunaulizwa kwa nguvu; tunajua kasi ya awali na ya mwisho (na hivyo mabadiliko katika kasi), na tunajua muda wa muda juu ya ambayo yote haya yalitokea. Hasa, tunajua kiasi cha muda ambacho nguvu ilitenda. Hii inaonyesha kutumia uhusiano wa kasi ya msukumo. Ili kutumia hiyo, ingawa, tunahitaji wingi wa Biashara. Utafutaji wa intaneti unatoa makadirio bora ya wingi wa Enterprise (katika filamu ya 2009) kama kilo 2 x 10 9.

    Suluhisho

    Kwa sababu tatizo hili linahusisha mwelekeo mmoja tu (yaani, mwelekeo wa nguvu inayotumiwa na inji), tunahitaji tu fomu ya scalar ya theorem ya kasi ya msukumo\ ref {9.7}, ambayo ni

    \[\Delta p = J\]

    na

    \[\Delta p = m \Delta v\]

    na

    \[J = F \Delta t \ldotp\]

    Equating maneno haya inatoa

    \[F \Delta t = m \Delta v \ldotp\]

    Kutatua kwa ukubwa wa nguvu na kuingiza maadili yaliyotolewa husababisha

    \[F = \frac{m \Delta v}{\Delta t} = \frac{(2 \times 10^{9}\; kg)(7.35 \times 10^{7}\; m/s)}{60\; s} = 2.5 \times 10^{15}\; N \ldotp\]

    Umuhimu

    Hii ni nguvu kubwa isiyofikiriwa. Inakwenda karibu bila kusema kwamba nguvu hiyo ingeua kila mtu kwenye ubao mara moja, pamoja na kuharibu kila kipande cha vifaa. Kwa bahati nzuri, Enterprise ina “dampeners inertial.” Imeachwa kama zoezi la mawazo ya msomaji kuamua jinsi hizi zinavyofanya kazi.

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Jeshi la Anga la Marekani linatumia “10gs” (kuongeza kasi sawa na 10 x 9.8 m/s 2) kama kasi ya juu ambayo mwanadamu anaweza kuhimili (lakini kwa sekunde kadhaa tu) na kuishi. Ni muda gani lazima Enterprise kutumia kasi kama binadamu kwenye bodi ni uzoefu wastani wa 10gs zaidi ya kuongeza kasi? (Kudhani dampeners inertial ni nje ya mtandao.)

    Mfano\(\PageIndex{2}\): The iPhone Drop

    Apple ilitoa iPhone 6 Plus yake mnamo Novemba 2014. Kwa mujibu wa ripoti nyingi, awali ilikuwa inatakiwa kuwa na skrini iliyotengenezwa kutoka kwa samafi, lakini hiyo ilibadilishwa kwa dakika ya mwisho kwa skrini iliyo ngumu ya kioo. Inasemekana, hii ilikuwa kwa sababu skrini ya samafi ilipasuka wakati simu ilipopungua. Ni nguvu gani ya iPhone 6 Plus iliyo na uzoefu kama matokeo ya kushuka?

    Mkakati

    Nguvu uzoefu wa simu ni kutokana na msukumo unaotumiwa na sakafu wakati simu inapogongana na sakafu. Mkakati wetu basi ni kutumia uhusiano wa kasi ya msukumo. Tunahesabu msukumo, tathmini wakati wa athari, na tumia hii kuhesabu nguvu. Tunahitaji kufanya makadirio kadhaa ya busara, pamoja na kupata data ya kiufundi kwenye simu yenyewe. Kwanza, hebu tuseme kwamba simu mara nyingi imeshuka kutoka juu ya urefu wa kifua kwa mtu mwenye urefu wa wastani. Pili, kudhani kuwa imeshuka kutoka kupumzika, yaani, kwa kasi ya awali ya wima ya sifuri. Hatimaye, sisi kudhani kwamba simu bounces kidogo sana-urefu wa bounce yake ni kudhani kuwa kidogo.

    Suluhisho

    Eleza zaidi kuwa mwelekeo +y. Urefu wa kawaida ni takriban h = 1.5 m na, kama ilivyoelezwa,\(\vec{v}_{i}\) = (0 m/s)\(\hat{i}\). Nguvu ya wastani kwenye simu inahusiana na msukumo sakafu inatumika juu yake wakati wa mgongano:

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]

    Msukumo\(\vec{J}\) ni sawa na mabadiliko katika kasi,

    \[\vec{J} = \Delta \vec{p}\]

    kwa hivyo

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp\]

    Next, mabadiliko ya kasi ni

    \[\Delta \vec{p} = m \Delta \vec{v} \ldotp\]

    Tunahitaji kuwa makini na kasi hapa; hii ni mabadiliko ya kasi kutokana na mgongano na sakafu. Lakini simu pia ina kasi ya kushuka kwa kasi [\(\vec{v}_{i}\)= (0 m/s)\(\hat{j}\)], kwa hiyo tunaandika kasi zetu. Hebu:

    • \(\vec{v}_{i}\)= kasi ya awali ambayo simu imeshuka (sifuri, katika mfano huu)
    • \(\vec{v}_{1}\)= kasi ya simu ilikuwa na papo hapo kabla ya kugonga sakafu
    • \(\vec{v}_{2}\)= kasi ya mwisho ya simu kama matokeo ya kupiga sakafu

    Kielelezo\(\PageIndex{3}\) kinaonyesha kasi katika kila moja ya pointi hizi katika trajectory ya simu.

    Simu inaonyeshwa mara tatu. Takwimu ya juu inaonyesha simu vizuri juu ya sakafu na kwa kasi ya awali v ndogo i = 0 mita kwa sekunde. takwimu katikati inaonyesha simu karibu na sakafu na kwa kubwa kushuka kasi v ndogo 1. Tunaambiwa kwamba v ndogo 1 vector sawa bala v ndogo 1 j kofia na kwamba hii ni kasi tu kabla ya kupiga sakafu. takwimu ya chini inaonyesha simu karibu na sakafu na kwa ndogo zaidi kasi v ndogo 2. Tunaambiwa kwamba v ndogo 2 vector sawa pamoja v ndogo 2 j kofia na kwamba hii ni kasi tu baada ya kupiga sakafu.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): (a) Kasi ya awali ya simu ni sifuri, baada ya mtu kuiacha. (b) Kabla ya simu kugonga sakafu, kasi yake ni\(\vec{v}_{1}\), ambayo haijulikani kwa sasa, isipokuwa kwa mwelekeo wake, ambao ni chini (-\(\hat{j}\)). (c) Baada ya kufuta sakafu, simu ina kasi\(\vec{v}_{2}\), ambayo pia haijulikani, isipokuwa kwa mwelekeo wake, ambao ni juu (+\(\hat{j}\)).

    Kwa ufafanuzi huu, mabadiliko ya kasi ya simu wakati wa mgongano na sakafu ni

    \[m \Delta \vec{v} = m (\vec{v}_{2} - \vec{v}_{1}) \ldotp\]

    Tangu sisi kudhani simu haina bounce wakati wote wakati hits sakafu (au angalau, urefu bounce ni kidogo), basi\(\vec{v}_{2}\) ni sifuri, hivyo

    \[m \Delta \vec{v} = m \big[0 - (-v_{1}\; \hat{j}) \big]\]

    \[m \Delta \vec{v} = + mv_{1}\; \hat{j} \ldotp\]

    Tunaweza kupata kasi ya simu kabla ya kugonga sakafu kwa kutumia kinematics au uhifadhi wa nishati. Tutatumia uhifadhi wa nishati hapa; unapaswa kufanya tena sehemu hii ya tatizo kwa kutumia kinematics na kuthibitisha kwamba unapata jibu sawa.

    Kwanza, fafanua sifuri ya nishati inayoweza kuwa iko kwenye sakafu. Hifadhi ya nishati basi inatupa:

    \[\begin{split} E_{i} & = E_{1} \\ K_{i} + U_{i} & = K_{1} + U_{1} \\ \frac{1}{2}mv_{i}^{2} + mgh_{drop} & = \frac{1}{2}mv_{1}^{2} + mgh_{floor} \ldotp \end{split}\]

    Kufafanua h sakafu = 0 na kutumia\(\vec{v}_{i}\) = (0 m/s)\(\hat{j}\) inatoa

    \[\begin{split} \frac{1}{2} mv_{1}^{2} & = mgh_{drop} \\ v_{1} & = \pm \sqrt{2gh_{drop}} \ldotp \end{split}\]

    Kwa sababu v 1 ni ukubwa wa vector, ni lazima iwe chanya. Hivyo, m\(\Delta\) v = mv 1 = m\(\sqrt{2gh_{drop}}\). Kuingiza matokeo haya katika kujieleza kwa nguvu inatoa

    \[\begin{split} \vec{F} & = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \\ & = \frac{+mv_{1}\; \hat{j}}{\Delta t} \\ & = \frac{m \sqrt{2gh}}{\Delta t}\; \hat{j} \ldotp \end{split}\]

    Hatimaye, tunahitaji kukadiria wakati wa mgongano. Njia moja ya kawaida ya kukadiria muda wa mgongano ni kuhesabu muda gani kitu kitachukua kusafiri urefu wake mwenyewe. Simu inahamia saa 5.4 m/s kabla ya kugonga sakafu, na ni urefu wa 0.14 m, ikitoa muda wa mgongano wa wastani wa 0.026 s Kuingiza namba zilizopewa, tunapata

    \[\vec{F} = \frac{(0.172\; kg) \sqrt{2(9.8\; m/s^{2})(1.5\; m)}}{0.026\; s}\; \hat{j} = (36\; N) \hat{j} \ldotp\]

    Umuhimu

    iPhone yenyewe ina uzito tu (0.172 kg) (9.81 m/s 2) = 1.68 N; nguvu sakafu inatumika kwa hiyo ni zaidi ya mara 20 uzito wake.

    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Nini kama tulikuwa kudhani simu alifanya bounce juu ya athari? Je, hii imeongeza nguvu kwenye iPhone, ilipungua, au haikufanya tofauti?

    Kasi na Nguvu

    Katika Mfano\(\PageIndex{1}\), tulipata uhusiano muhimu:

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{\Delta \vec{p}}{\Delta t} \ldotp \label{9.8}\]

    Kwa maneno, nguvu ya wastani inayotumiwa kwa kitu ni sawa na mabadiliko ya kasi ambayo nguvu husababisha, imegawanywa na muda wa muda juu ya mabadiliko haya ya kasi hutokea. Uhusiano huu ni muhimu sana katika hali ambapo wakati wa mgongano\(\Delta\) t ni mdogo, lakini hupimwa; maadili ya kawaida yatakuwa 1/10 ya pili, au hata elfu moja ya pili. Kushambulia gari, kupiga mpira wa miguu, au migongano ya chembe za subatomic ingekutana na kigezo hiki.

    Kwa kasi inayobadilisha-kutokana na nguvu inayobadilisha-hii inakuwa chombo chenye nguvu cha dhana. Katika kikomo\(\Delta\) t → dt, Equation 9.3.1 inakuwa

    \[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp \label{9.9}\]

    Hii inasema kuwa kiwango cha mabadiliko ya kasi ya mfumo (ikimaanisha kuwa kasi ni kazi ya wakati) ni sawa na nguvu iliyowekwa (pia, kwa ujumla, kazi ya wakati). Hii ni, kwa kweli, sheria ya pili ya Newton, iliyoandikwa kwa suala la kasi badala ya kuongeza kasi. Huu ndio uhusiano Newton mwenyewe aliowasilishwa katika Principia Mathematica yake (ingawa aliiita “wingi wa mwendo” badala ya “kasi”).

    Ikiwa umati wa mfumo unabaki mara kwa mara, Equation 9.3.3 inapunguza kwa fomu inayojulikana zaidi ya sheria ya pili ya Newton. Tunaweza kuona hili kwa kubadilisha ufafanuzi wa kasi:

    \[\vec{F} = \frac{d(m \vec{v})}{dt} = m \frac{d \vec{v}}{dt} = m \vec{a} \ldotp\]

    Dhana ya molekuli ya mara kwa mara ilituwezesha kuvuta m nje ya derivative. Kama masi si mara kwa mara, hatuwezi kutumia fomu hii ya sheria ya pili, lakini badala yake lazima tuanze kutoka Equation 9.3.3. Hivyo, faida moja ya kueleza nguvu katika suala la mabadiliko ya kasi ni kwamba inaruhusu umati wa mfumo kubadilika, pamoja na kasi; hii ni dhana tutachunguza tunapojifunza mwendo wa makombora.

    Sheria ya Pili ya Mwendo wa Newton katika Masharti ya Momentum

    Nguvu ya nje ya mfumo ni sawa na kiwango cha mabadiliko ya kasi ya mfumo huo unaosababishwa na nguvu:

    \[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

    Ingawa Equation 9.3.3 inaruhusu kubadilisha molekuli, kama tutakavyoona katika Propulsion ya roketi, uhusiano kati ya kasi na nguvu bado ni muhimu wakati wingi wa mfumo ni mara kwa mara, kama ilivyo katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{3}\): Calculating Force: Venus Williams’ Tennis Serve

    Wakati wa mwaka wa 2007 wa Kifaransa Open, Venus Williams aligonga kuhudumia kwa kasi zaidi katika mechi ya wanawake Waziri Mkuu, na kufikia kasi ya 58 m/s (209 km/h). Nguvu ya wastani inayotumiwa kwenye mpira wa tenisi ya 0.057-kg na racquet ya Venus Williams? Kudhani kwamba kasi ya mpira tu baada ya athari ni 58 m/s, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{4}\), kwamba awali usawa sehemu ya kasi kabla ya athari ni kidogo, na kwamba mpira alibakia katika kuwasiliana na racquet kwa 5.0 ms.

    mpira tenisi majani Raketi na kasi v ndogo f sawa 58 mita kwa sekunde i kile ambacho pointi sambamba na haki.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Kasi ya mwisho ya mpira wa tenisi ni\(\vec{v}_{f}\) = (58 m/s)\(\hat{i}\).

    Mkakati

    Tatizo hili linahusisha mwelekeo mmoja tu kwa sababu mpira huanza kutoka kuwa hakuna sehemu ya usawa kasi kabla ya athari. Sheria ya pili ya Newton alisema katika suala la kasi ni kisha imeandikwa kama

    \[\vec{F} = \frac{d \vec{p}}{dt} \ldotp\]

    Kama ilivyoelezwa hapo juu, wakati molekuli ni mara kwa mara, mabadiliko ya kasi hutolewa na

    \[\Delta p = m \Delta v = m(v_{f} - v_{i})\]

    ambapo tumetumia scalars kwa sababu tatizo hili linahusisha mwelekeo mmoja tu. Katika mfano huu, kasi tu baada ya athari na muda wa muda hutolewa; hivyo, mara moja\(\Delta\) p ni mahesabu, tunaweza kutumia F =\(\frac{\Delta p}{\Delta t}\) kupata nguvu.

    Suluhisho

    Kuamua mabadiliko kwa kasi, ingiza maadili kwa kasi ya awali na ya mwisho katika usawa hapo juu:

    \[\begin{split} \Delta p & = m(v_{f} - v_{i}) \\ & = (0.057\; kg)(58\; m/s - 0\; m/s) \\ & = 3.3\; kg\; \cdotp m/s \ldotp \end{split}\]

    Sasa ukubwa wa nguvu ya nje ya wavu inaweza kuamua kwa kutumia

    \[F = \frac{\Delta p}{\Delta t} = \frac{3.3\; kg\; \cdotp m/s}{5.0 \times 10^{-3}\; s} = 6.6 \times 10^{2}\; N \ldotp\]

    ambapo tuna kubakia takwimu mbili tu muhimu katika hatua ya mwisho.

    Umuhimu

    Kiasi hiki kilikuwa nguvu ya wastani iliyotumiwa na racquet ya Venus Williams kwenye mpira wa tenisi wakati wa athari zake fupi (kumbuka kuwa mpira pia ulipata nguvu ya mvuto wa 0.57-N, lakini nguvu hiyo haikuwa kutokana na racquet). Tatizo hili pia linaweza kutatuliwa kwa kwanza kutafuta kasi na kisha kutumia F = ma, lakini hatua moja ya ziada ingehitajika ikilinganishwa na mkakati uliotumiwa katika mfano huu.