Skip to main content
Global

9.3: Impulse na migongano (Sehemu ya 1)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176890

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    • Eleza nini msukumo ni, kimwili
    • Eleza nini msukumo
    • Eleza msukumo kwa migongano
    • Tumia theorem ya kasi ya msukumo ili kutatua matatizo

    Sisi defined kasi kuwa bidhaa ya wingi na kasi. Kwa hiyo, kama kasi ya kitu inapaswa kubadilika (kutokana na matumizi ya nguvu juu ya kitu), basi lazima, mabadiliko yake ya kasi pia. Hii inaonyesha uhusiano kati ya kasi na nguvu. Madhumuni ya sehemu hii ni kuchunguza na kuelezea uhusiano huo.

    Tuseme unatumia nguvu kwenye kitu cha bure kwa muda fulani. Kwa wazi, nguvu kubwa, mabadiliko makubwa ya kitu ya kasi yatakuwa. Vinginevyo, wakati mwingi unayotumia kutumia nguvu hii, tena mabadiliko makubwa ya kasi yatakuwa, kama ilivyoonyeshwa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{1}\). Kiasi ambacho mwendo wa kitu hubadilika kwa hiyo ni sawa na ukubwa wa nguvu, na pia kwa muda wa muda ambao nguvu hutumiwa.

    Mipira miwili ya soka inavyoonyeshwa. Katika takwimu moja, nyekundu mshale kinachoitwa vector F, t ndogo 0 pointi na haki na bluu mshale kinachoitwa delta p vector pia anasema na haki. Katika takwimu ya pili, mshale nyekundu wa urefu sawa na katika takwimu ya kwanza inaelezea haki na imeandikwa vector F, 2 t ndogo 0. Mshale wa bluu mara mbili kwa muda mrefu kama mshale wa bluu katika pointi ya kwanza ya takwimu na haki na inaitwa 2 delta p vector.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\): Mabadiliko katika kasi ya kitu ni sawia na urefu wa muda wakati ambapo nguvu inatumika. Ikiwa nguvu inatumiwa kwenye mpira wa chini kwa mara mbili kwa muda mrefu kama kwenye mpira wa juu, basi mabadiliko katika kasi ya mpira wa chini ni mara mbili ya mpira wa juu.

    Kihisabati, ikiwa wingi ni sawia na vitu viwili (au zaidi), basi ni sawia na bidhaa ya mambo hayo. Bidhaa ya nguvu na muda wa muda (juu ya ambayo nguvu hiyo hufanya) inaitwa msukumo, na hupewa ishara\(\vec{J}\).

    Ufafanuzi: Impulse

    Hebu\(\vec{F}\) (t) kuwa nguvu kutumika kwa kitu juu ya baadhi ya muda tofauti wakati\(dt\) (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Msukumo unaosababishwa juu ya kitu hufafanuliwa kama

    \[d \vec{J} \equiv \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.2}\]

    Mchoro wa raketi ya tenisi kupiga mpira wa tenisi. Mishale miwili inayoelekeza upande wa kulia hutolewa karibu na mpira. Moja ni kinachoitwa vector F d t na nyingine ni kinachoitwa d J vector.
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): Nguvu inayotumiwa na racquet ya tenisi kwenye mpira wa tenisi kwa muda wa muda huzalisha msukumo unaofanya mpira.

    Msukumo wa jumla juu ya muda t f - t i ni

    \[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} d \vec{J}\]

    au

    \[\vec{J} \equiv \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t) dt \ldotp \label{9.3}\]

    Ulinganifu\ ref {9.2} na\ ref {9.3} pamoja wanasema kwamba wakati nguvu inatumika kwa muda usio na mwisho wa muda dt, inasababisha msukumo wa infinitesimal d\(\vec{J}\), na msukumo wa jumla uliotolewa kwa kitu hufafanuliwa kuwa jumla (muhimu) ya msukumo huu wote usio na maana.

    Ili kuhesabu msukumo kwa kutumia Equation\ ref {9.3}, tunahitaji kujua kazi ya nguvu F (t), ambayo mara nyingi hatuwezi Hata hivyo, matokeo kutoka kwa calculus ni muhimu hapa: Kumbuka kwamba thamani ya wastani ya kazi juu ya muda fulani ni mahesabu kwa

    \[f(x)_{ave} = \frac{1}{\Delta x} \int_{x_{i}}^{x_{f}} f(x)dx\]

    ambapo\(\Delta\) x = x f - x i. Kutumia hii kwa kazi ya nguvu ya kutegemea muda, tunapata

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt \ldotp \label{9.4}\]

    Kwa hiyo, kutoka Equation\ ref {9.3},

    \[\vec{J} = \vec{F}_{ave} \Delta t \ldotp \label{9.5}\]

    Wazo hapa ni kwamba unaweza kuhesabu msukumo juu ya kitu hata kama hujui maelezo ya nguvu kama kazi ya wakati; unahitaji tu nguvu ya wastani. Kwa kweli, ingawa, mchakato ni kawaida kuachwa: Unaamua msukumo (kwa kipimo au hesabu) na kisha uhesabu nguvu ya wastani ambayo imesababisha msukumo huo.

    Ili kuhesabu msukumo, matokeo muhimu yanafuata kutokana na kuandika nguvu katika Equation\ ref {9.3} kama\(\vec{F}\) (t) = m\(\vec{a}\) (t):

    \[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{F} (t)dt = m \int_{t_{i}}^{t_{f}} \vec{a} (t)dt = m \big[ \vec{v} (t_{f}) - \vec{v} (t_{i}) \big] \ldotp\]

    Kwa nguvu ya mara kwa mara\(\vec{F}_{ave}\)\(\vec{F}\) = = m\(\vec{a}\), hii inafungua

    \[\vec{J} = m \vec{a} \Delta t = m \vec{v}_{f} - m \vec{v}_{i} = m (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i}) \ldotp\]

    Hiyo ni,

    \[\vec{J} = m \Delta \vec{v} \ldotp \label{9.6}\]

    Kumbuka kuwa fomu muhimu, Equation\ ref {9.3}, inatumika kwa vikosi vya mara kwa mara pia; katika kesi hiyo, kwa kuwa nguvu ni huru ya muda, inatoka nje ya muhimu, ambayo inaweza kisha kuwa trivially tathmini.

    Mfano\(\PageIndex{1}\): The Arizona Meteor Crater

    Takriban miaka 50,000 iliyopita, kubwa (Radius ya 25 m) meteorite ya chuma-nickel iligongana na Dunia kwa kasi inakadiriwa ya 1.28 x 10 4 m/s katika kile ambacho sasa ni kaskazini mwa Arizona jangwa, nchini Marekani. Athari hiyo ilizalisha volkeno ambayo bado inaonekana leo (Kielelezo\(\PageIndex{3}\)); ni takriban 1200 m (robo tatu za maili) mduara, 170 m kirefu, na ina mdomo unaoongezeka m 45 juu ya tambarare ya jangwa la jirani. Meteorites ya nickel ya chuma huwa na wiani wa\(\rho\) = 7970 kg/m 3. Tumia masuala ya msukumo ili kukadiria nguvu ya wastani na nguvu ya juu ambayo meteor ilitumika duniani wakati wa athari.

    Picha ya volkeno ya Meteor ya Arizona. Majengo karibu na volkeno ni vidogo ikilinganishwa na volkeno.
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Arizona Meteor Crater katika Flagstaff, Arizona (mara nyingi hujulikana kama Barringer Crater baada ya mtu ambaye kwanza alipendekeza asili yake na ambaye familia yake inamiliki ardhi). (mikopo: “Shane.Torgerson” /Wikimedia Commons)

    Mkakati

    Ni rahisi sana kubadili swali na kuhesabu nguvu ambayo Dunia ilitumika kwenye meteor ili kuiacha. Kwa hiyo, tutahesabu nguvu juu ya meteor na kisha kutumia sheria ya tatu ya Newton kusema kwamba nguvu kutoka meteor duniani ilikuwa sawa kwa ukubwa na kinyume katika mwelekeo.

    Kutumia data iliyotolewa kuhusu meteor, na kufanya nadhani nzuri kuhusu sura ya meteor na wakati wa athari, sisi kwanza tunahesabu msukumo kwa kutumia Equation\ ref {9.6}. Sisi kisha kutumia uhusiano kati ya nguvu na msukumo Equation\ ref {9.5} kukadiria nguvu wastani wakati wa athari. Kisha, tunachagua kazi nzuri ya nguvu kwa tukio la athari, kuhesabu thamani ya wastani ya kazi hiyo Equation\ ref {9.4}, na kuweka kujieleza kusababisha sawa na nguvu ya wastani ya mahesabu. Hii inatuwezesha kutatua kwa nguvu ya juu.

    Suluhisho

    Eleza zaidi kuwa mwelekeo +y. Kwa unyenyekevu, kudhani Meteor ni kusafiri wima chini kabla ya athari. Katika hali hiyo, kasi yake ya awali ni\(\vec{v}_{i}\) = -v i\(\hat{j}\), na nguvu Dunia hufanya juu ya meteor inaelekea juu,\(\vec{F}\) (t) = + F (t)\(\hat{j}\). Hali katika t = 0 inaonyeshwa hapa chini.

    Mfumo wa kuratibu x y unaonyeshwa. Kanda chini ya mhimili x ni kivuli na kinachoitwa Dunia. Meteor inavyoonekana katika asili. Mshale wa juu katika asili ni kinachoitwa F vector (t). mshale kushuka katika asili ni kinachoitwa p ndogo 0 vector sawa m mara v ndogo 0 vector.

    Nguvu ya wastani wakati wa athari ni kuhusiana na msukumo kwa

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{\vec{J}}{\Delta t} \ldotp\]

    Kutoka Equation\ ref {9.6},\(\vec{J}\) = m\(\Delta \vec{v}\), hivyo tuna

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{m \Delta \vec{v}}{\Delta t} \ldotp\]

    Uzito ni sawa na bidhaa ya wiani wa meteor na kiasi chake:

    \[m = \rho V \ldotp\]

    Kama sisi kudhani (nadhani) kwamba Meteor ilikuwa takribani spherical, tuna

    \[V = \frac{4}{3} \pi R^{3} \ldotp\]

    Hivyo sisi kupata

    \[\vec{F}_{ave} = \frac{\rho V \Delta \vec{v}}{\Delta t} = \frac{\rho \left(\dfrac{4}{3} \pi R^{3}\right) (\vec{v}_{f} - \vec{v}_{i})}{\Delta t} \ldotp\]

    Tatizo linasema kasi ya athari ilikuwa -1.28 x 10 4 m/s\(\hat{j}\) (kasi ya mwisho ni sifuri); pia, tunadhani kwamba athari ya msingi ilidumu kuhusu t max = 2 s.

    \[\begin{split} \vec{F}_{ave} & = \frac{(7970\; kg/m^{3}) \big[ \frac{4}{3} \pi (25\; m)^{3} \big] \big[ 0\; m/s - (-1.28 \times 10^{4}\; m/s\; \hat{j}) \big]}{2\; s} \\ & = + (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j} \end{split}\]

    Hii ni nguvu ya wastani inayotumika wakati wa mgongano. Kumbuka kwamba hii nguvu vector pointi katika mwelekeo sawa na mabadiliko ya kasi vector\(\Delta \vec{v}\).

    Kisha, tunahesabu nguvu ya juu. Msukumo ni kuhusiana na kazi ya nguvu na

    \[\vec{J} = \int_{t_{i}}^{t_{max}} \vec{F} (t)dt \ldotp\]

    Tunahitaji kufanya uchaguzi mzuri kwa nguvu kama kazi ya wakati. Tunafafanua t = 0 kuwa wakati meteor kwanza inagusa ardhi. Kisha tunadhani nguvu ni kiwango cha juu cha athari, na hupungua kwa kasi hadi sifuri. Kazi inayofanya hii ni

    \[F(t) = F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} \ldotp\]

    Kipimo\(\tau\) kinawakilisha jinsi nguvu inapungua kwa kasi hadi sifuri.) Nguvu ya wastani ni

    \[F_{ave} = \frac{1}{\Delta t} \int_{0}^{t_{max}} F_{max} e^{\frac{-t^{2}}{2 \tau^{2}}} dt\]

    ambapo\(\Delta\) t = t max - 0 s Tangu tayari tuna thamani ya numeric kwa F ave, tunaweza kutumia matokeo ya muhimu ili kupata F max. Kuchagua\(\tau\) =\(\frac{1}{e}\) t max (hii ni chaguo la kawaida, kama utakavyoona katika sura za baadaye), na nadhani kwamba t max = 2 s, hii muhimu inatathmini

    \[F_{avg} = 0.458\; F_{max} \ldotp\]

    Hivyo, nguvu ya kiwango cha juu ina ukubwa wa

    \[\begin{split} 0.458\; F_{max} & = 3.33 \times 10^{12}\; N \\ F_{max} & = 7.27 \times 10^{12}\; N \ldotp \end{split}\]

    Kazi kamili ya nguvu, ikiwa ni pamoja na mwelekeo, ni

    \[\vec{F} (t) = (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y} \ldotp\]

    Hii ni nguvu Dunia inayotumika kwa meteor; kwa sheria ya tatu ya Newton, nguvu meteor kutumika kwa Dunia ni

    \[\vec{F} (t) = - (7.27 \times 10^{12}\; N) e^{\frac{-t^{2}}{8\; s^{2}}} \hat{y}\]

    ambayo ni jibu la swali la awali.

    Umuhimu

    Grafu ya kazi hii ina habari muhimu. Hebu grafu (ukubwa wa) kazi hii na nguvu ya wastani pamoja (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)).

    Grafu ya nguvu na nguvu ya wastani kama kazi ya wakati wa athari ya meteor. Mhimili usio na usawa ni wakati kwa sekunde na huanzia sekunde 0 hadi 2. mhimili wima ni Nguvu katika Newtons na ni kati ya 0 kwa 8 mara 10 kwa 12. Katika t=0 nguvu huanza saa kidogo chini ya 8 mara 10 kwa 12 na itapungua kwa karibu 0 katika t=2. Nguvu ya wastani ni mara kwa mara karibu 3.5 mara 10 hadi 12. Maeneo chini ya kila moja ya curves ni kivuli na tunaambiwa maeneo ni sawa.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\): Grafu ya nguvu wastani (nyekundu) na nguvu kama kazi ya muda (bluu) ya athari ya meteor. Maeneo chini ya curves ni sawa na kila mmoja, na ni sawa na namba sawa na msukumo uliotumika.

    Angalia kwamba eneo chini ya kila njama limejazwa. Kwa njama ya nguvu (mara kwa mara) F ave, eneo hilo ni mstatili, sambamba na F ave\(\Delta\) t = J. njama F (t), kumbuka kutoka calculus kwamba eneo chini ya njama ya kazi ni numerically sawa na muhimu ya kazi hiyo, juu ya muda maalum; hivyo hapa, yaani\(\int_{0}^{t_{max}}\) F (t) dt = J. hivyo, maeneo ni sawa, na wote wawili wanawakilisha msukumo ambao meteor inatumika kwa Dunia wakati wa athari mbili za pili. Nguvu ya wastani duniani inaonekana kama nguvu kubwa, na ni. Hata hivyo, Dunia haijaona. Dunia ya kuongeza kasi iliyopatikana ilikuwa tu

    \[\vec{a} = \frac{- \vec{F}_{ave}}{M_{Earth}} = \frac{- (3.33 \times 10^{12}\; N) \hat{j}}{5.97 \times 10^{24}\; kg} = - (5.6 \times 10^{-13} m/s^{2}) \hat{j}\]

    ambayo ni immeasurable kabisa. Hiyo ilisema, athari iliunda mawimbi ya seismic ambayo siku hizi zinaweza kugunduliwa na vifaa vya kisasa vya ufuatiliaji.

    Mfano\(\PageIndex{2}\): The Benefits of Impulse

    Gari linalosafiri saa 27 m/s linagongana na jengo. Mgongano na jengo husababisha gari kuacha katika takriban 1 pili. Dereva, ambaye ana uzito wa 860 N, analindwa na mchanganyiko wa kiti cha mvutano wa kutofautiana na airbag (Kielelezo\(\PageIndex{5}\)). (Kwa kweli, dereva hugongana na seatbelt na airbag na si kwa jengo hilo.) Airbag na seatbelt hupunguza kasi yake, kama kwamba anakuja kuacha katika takriban 2.5 s.

    1. Ni nguvu gani ya wastani ambayo dereva hupata wakati wa mgongano?
    2. Bila kiti cha usalama na airbag, wakati wake wa mgongano (pamoja na usukani) ingekuwa takriban 0.20 s. angeweza kupata nguvu gani katika kesi hii?
    Kabla ya mgongano, gari ni kusafiri kwa kasi v ndogo I sawa 27 mita kwa sekunde na haki. Baada ya mgongano, gari ina kasi v ndogo f = 0 na abiria anahisi nguvu minus F upande wa kushoto.
    Kielelezo\(\PageIndex{5}\): Mwendo wa gari na dereva wake kwa papo hapo awali na papo baada ya kugongana na ukuta. Dereva aliyezuiliwa hupata nguvu kubwa ya nyuma kutoka kwenye kiti cha kiti na airbag, ambayo inasababisha kasi yake kupungua hadi sifuri. (Nguvu ya mbele kutoka kwenye kiti cha nyuma ni ndogo sana kuliko nguvu ya nyuma, kwa hiyo tunaipuuza katika suluhisho.)

    Mkakati

    Tunapewa uzito wa dereva, kasi yake ya awali na ya mwisho, na wakati wa mgongano; tunaulizwa kuhesabu nguvu. Impulse inaonekana njia sahihi ya kukabiliana na hili; tunaweza kuchanganya Equation\ ref {9.5} na Equation\ ref {9.6}.

    Suluhisho
    1. Eleza mwelekeo wa x-x kuwa mwelekeo gari linalohamia. Tunajua $$\ vec {J} =\ vec {F}\ Delta t $$ na $$\ vec {J} = m\ Delta\ vec {v}\ ldOTP $Kwa kuwa J ni sawa na mambo hayo yote, lazima iwe sawa na kila mmoja: $$\ vec {F}\ Delta t = m\ Delta\ vec {v}\ LdOTP $Tunahitaji kubadilisha uzito huu kwa wingi sawa, ulionyeshwa katika vitengo vya SI: $$\ frac {860\; N} {9.8\; m/s^ {2}} = 87.8 \; kg\ ldOTP $Kumbuka kwamba\(\Delta \vec{v} = \vec{v}_{f} − \vec{v}_{i}\), na kubainisha kuwa kasi ya mwisho ni sifuri, sisi kutatua kwa nguvu: $$\ vec {F} = m\ frac {0 - v_ {i}\;\ kofia {i}} {\ Delta t} = (87.8\; kg)\ kushoto (\ dfrac {- (27\; m/s)\ kofia {i}} {2.5\; s}\ haki) = - (948\; N)\ kofia {i}\ lDotP$Ishara hasi inamaanisha kwamba nguvu hupungua. Kwa mtazamo, hii ni kuhusu mara 1.1 uzito wake mwenyewe.
    2. Same hesabu, tu tofauti wakati muda: $$\ vec {F} = (87.8\; kilo)\ kushoto (\ dfrac {- (27\; m/s)\ kofia {i}} {0.20\; s}\ haki) = - (11,853\; N)\ kofia {i}\ ldotp $ambayo ni kuhusu 14 mara uzito wake mwenyewe. Tofauti kubwa!

    Umuhimu

    Unaona kwamba thamani ya airbag ni jinsi gani inapunguza nguvu juu ya wakazi wa gari. Kwa sababu hii, wamehitajika kwenye magari yote ya abiria nchini Marekani tangu 1991, na wamekuwa kawaida katika Ulaya na Asia tangu katikati ya miaka ya 1990. Mabadiliko ya kasi katika ajali ni sawa, au bila airbag; nguvu, hata hivyo, ni tofauti sana.

    Template:TranscludeAutoNum