7.4: Theorem ya Kazi ya Nishati
- Page ID
- 176976
- Tumia theorem ya kazi ya nishati ili kupata habari kuhusu mwendo wa chembe, kutokana na nguvu zinazofanya juu yake
- Tumia theorem ya kazi ya nishati ili kupata habari kuhusu nguvu zinazofanya chembe, kutokana na taarifa kuhusu mwendo wake
Tumejadili jinsi ya kupata kazi iliyofanywa kwenye chembe kwa nguvu zinazofanya juu yake, lakini jinsi kazi hiyo inadhihirishwa katika mwendo wa chembe? Kwa mujibu wa sheria ya pili ya mwendo wa Newton, jumla ya vikosi vyote vinavyofanya chembe, au nguvu ya wavu, huamua kiwango cha mabadiliko katika kasi ya chembe, au mwendo wake. Kwa hiyo, tunapaswa kuzingatia kazi iliyofanywa na vikosi vyote vinavyofanya chembe, au kazi ya wavu, ili kuona ni athari gani juu ya mwendo wa chembe.
Hebu tuanze kwa kuangalia kazi ya wavu iliyofanywa kwenye chembe inapoendelea juu ya uhamisho usio na maana, ambayo ni bidhaa ya dot ya nguvu ya wavu na uhamisho:
\[dW_{net} = \vec{F}_{net} \cdotp d \vec{r}. \nonumber\]
Sheria ya pili ya Newton inatuambia kwamba
\[\vec{F}_{net} = m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \nonumber\]
kwa hivyo
\[dW_{net} = m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \cdotp d \vec{r}. \nonumber\]
Kwa kazi za hisabati zinazoelezea mwendo wa chembe ya kimwili, tunaweza kupanga upya tofauti za dt, nk, kama kiasi cha algebraic katika maneno haya, yaani,
\[\begin{align*} dW_{net} &= m \left(\dfrac{d \vec{v}}{dt}\right) \cdotp d \vec{r} \\[4pt] &= m\, d \vec{v}\; \cdotp \left(\dfrac{d \vec{r}}{dt}\right) \\[4pt] &= m \vec{v}\; \cdotp d \vec{v}, \end{align*}\]
ambapo sisi badala ya kasi kwa derivative wakati wa makazi yao na kutumika mali commutative ya bidhaa dot. Kwa kuwa derivatives na integrals ya scalars pengine zaidi ukoo na wewe katika hatua hii, sisi kueleza bidhaa dot katika suala la kuratibu Cartesian kabla ya kuunganisha kati ya pointi yoyote mbili A na B juu ya trajectory ya chembe. Hii inatupa kazi ya wavu iliyofanywa kwenye chembe:
\[\begin{align} W_{net,\; AB} & = \int_{A}^{B} (mv_{x} dv_{x} + mv_{y}dv_{y} + mv_{z}dv_{z} \\[4pt] & = \frac{1}{2} m \left| v_{x}^{2} + v_{y}^{2} + v_{z}^{2} \right|_{A}^{B} = \left|\frac{1}{2} mv^{2} \right|_{A}^{B} = K_{B} - K_{A} \ldotp \end{align} \label{7.8}\]
Katika hatua ya kati, tulitumia ukweli kwamba mraba wa kasi ni jumla ya mraba wa vipengele vyake vya Cartesian, na katika hatua ya mwisho, tulitumia ufafanuzi wa nishati ya kinetic ya chembe. Matokeo haya muhimu huitwa theorem ya kazi-nishati.
Kazi ya wavu iliyofanywa kwenye chembe inalingana na mabadiliko katika nishati ya kinetic ya chembe:
\[W_{net} = K_{B} - K_{A} \ldotp \label{7.9}\]
Kwa mujibu wa theorem hii, wakati kitu kinapungua, nishati yake ya mwisho ya kinetic ni chini ya nishati yake ya awali ya kinetic, mabadiliko katika nishati yake ya kinetic ni hasi, na hivyo kazi ya wavu imefanywa juu yake. Ikiwa kitu kinazidi kasi, kazi ya wavu iliyofanywa juu yake ni chanya. Wakati wa kuhesabu kazi ya wavu, lazima ujumuishe nguvu zote zinazofanya kitu. Ukiacha vikosi vyovyote vinavyofanya kitu, au ikiwa unajumuisha majeshi yoyote ambayo hayatenda juu yake, utapata matokeo mabaya.
Umuhimu wa theorem ya kazi ya nishati, na generalizations zaidi ambayo inaongoza, ni kwamba inafanya baadhi ya aina ya mahesabu rahisi zaidi kukamilisha kuliko yangekuwa kwa kujaribu kutatua sheria ya pili ya Newton. Kwa mfano, katika sehemu ya Sheria za Newton za Mwendo, tuligundua kasi ya kitu kilichopungua ndege isiyo na msuguano kwa kutatua sheria ya pili ya Newton kwa kuongeza kasi na kutumia milinganyo ya kinematic kwa kuongeza kasi ya mara kwa mara, kupata
\[v_{f}^{2} = v_{i}^{2} + 2g(s_{f} - s_{i}) \sin \theta,\]
\(s\)wapi makazi yao chini ya ndege.
Tunaweza pia kupata matokeo haya kutoka theorem ya kazi-nishati (Equation\ ref {7.9}). Kwa kuwa vikosi viwili tu vinafanya kitu-mvuto na nguvu ya kawaida-na nguvu ya kawaida haifanyi kazi yoyote, kazi ya wavu ni kazi tu iliyofanywa na mvuto. Hii inategemea tu uzito wa kitu na tofauti katika urefu, hivyo
\[W_{net} = W_{grav} = -mg (y_{f} - y_{i}),\]
ambapo\(y\) ni chanya up. Theorem ya kazi ya nishati inasema kuwa hii inalingana na mabadiliko katika nishati ya kinetic:
\[-mg (y_{f} - y_{i}) = \frac{1}{2} (v_{f}^{2} - v_{i}^{2}) \ldotp\]
Kutumia pembetatu haki, tunaweza kuona kwamba
\[(y_f − y_i) = (s_f − s-i)\sin \theta, \nonumber\]
hivyo matokeo ya kasi ya mwisho ni sawa.
Ni nini kinachopatikana kwa kutumia theorem ya kazi ya nishati? Jibu ni kwamba kwa uso usio na msuguano wa ndege, sio sana. Hata hivyo, sheria ya pili ya Newton ni rahisi kutatua tu kwa kesi hii, wakati theorem ya kazi ya nishati inatoa kasi ya mwisho kwa uso wowote usio na msuguano. Kwa uso wa mviringo wa kiholela, nguvu ya kawaida sio mara kwa mara, na sheria ya pili ya Newton inaweza kuwa vigumu au haiwezekani kutatua kwa uchambuzi. Mara kwa mara au la, kwa mwendo juu ya uso, nguvu ya kawaida haifanyi kazi yoyote, kwa sababu ni perpendicular kwa makazi yao. Mahesabu kwa kutumia theorem ya kazi-nishati inepuka ugumu huu na inatumika kwa hali zaidi ya jumla.
- Chora mchoro wa bure wa mwili kwa kila nguvu kwenye kitu.
- Kuamua ikiwa kila nguvu inafanya kazi juu ya uhamisho katika mchoro. Hakikisha kuweka ishara yoyote nzuri au hasi katika kazi iliyofanyika.
- Ongeza jumla ya kazi iliyofanywa na kila nguvu.
- Weka kazi hii ya jumla sawa na mabadiliko katika nishati ya kinetic na kutatua kwa parameter yoyote isiyojulikana.
- Angalia majibu yako. Ikiwa kitu kinaenda kwa kasi ya mara kwa mara au kasi ya sifuri, kazi ya jumla iliyofanywa inapaswa kuwa sifuri na inafanana na mabadiliko katika nishati ya kinetic. Ikiwa kazi ya jumla ni chanya, kitu lazima kiweke kasi au kuongezeka kwa nishati ya kinetic. Ikiwa kazi ya jumla ni hasi, kitu lazima kimepungua au kupungua kwa nishati ya kinetic
Wimbo usio na msuguano wa gari la toy unajumuisha kitanzi cha radius\(R\). Je, ni juu gani, kipimo kutoka chini ya kitanzi, lazima gari liweke kuanza kutoka kupumzika kwenye sehemu inayokaribia ya kufuatilia na kwenda njia yote karibu na kitanzi?
Mkakati
Mchoro wa bure wa mwili katika nafasi ya mwisho ya kitu hutolewa kwenye Kielelezo\(\PageIndex{2}\). Kazi ya mvuto ni kazi pekee iliyofanywa juu ya uhamisho ambao sio sifuri. Kwa kuwa uzito unaonyesha mwelekeo sawa na uhamisho wa wima wa wavu, kazi ya jumla iliyofanywa na nguvu ya mvuto ni chanya. Kutoka theorem ya kazi ya nishati, urefu wa kuanzia huamua kasi ya gari juu ya kitanzi,
\[mg(y_{2} - y_{1}) = \dfrac{1}{2} mv_{2}^{2}, \nonumber\]
ambapo notation inavyoonekana katika takwimu inayoambatana. Juu ya kitanzi, nguvu ya kawaida na mvuto ni chini na kasi ni centripetal, hivyo
\[a_{top} = \dfrac{F}{m} = \dfrac{N + mg}{m} = \frac{v_{2}^{2}}{R} \ldotp \nonumber\]
Hali ya kudumisha mawasiliano na wimbo ni kwamba kuna lazima iwe na nguvu ya kawaida, hata hivyo kidogo; yaani,\(N > 0\). Kubadilisha\(v_{2}^{2}\) na\(N\), tunaweza kupata hali ya\(y_1\).
Suluhisho
Tumia hatua katika mkakati wa kufika kwenye matokeo yaliyohitajika:
\[N = -mg + \frac{mv_{2}^{2}}{R} = \frac{-mgR + 2mg(y_{1} - 2R)}{R} > 0\; or\; y_{1} > \frac{5R}{2} \ldotp \nonumber\]
Umuhimu
Juu ya uso wa kitanzi, sehemu ya kawaida ya mvuto na nguvu ya kawaida ya kuwasiliana inapaswa kutoa kasi ya centripetal ya gari inayozunguka kitanzi. Sehemu ya tangential ya mvuto hupungua au inakua kasi ya gari. Mtoto angeweza kujua jinsi ya kuanza gari kwa jaribio na hitilafu, lakini sasa unajua theorem ya kazi ya nishati, unaweza kutabiri urefu wa chini (pamoja na matokeo mengine muhimu zaidi) kutoka kwa kanuni za kimwili. Kwa kutumia theorem ya kazi ya nishati, haukuhitaji kutatua equation tofauti ili kuamua urefu.
Tuseme radius ya kitanzi kitanzi katika\(\PageIndex{1}\) Mfano ni cm 15 na gari la toy huanza kutoka kupumzika kwa urefu wa cm 45 juu ya chini. Je! Ni kasi gani juu ya kitanzi?
Katika hali ambapo mwendo wa kitu unajulikana, lakini maadili ya nguvu moja au zaidi ya kazi juu yake haijulikani, unaweza kutumia theorem ya kazi ya nishati ili kupata taarifa kuhusu majeshi. Kazi inategemea nguvu na umbali juu ya ambayo hufanya, hivyo habari hutolewa kupitia bidhaa zao.
Risasi ina masi ya nafaka 40 (2.60 g) na kasi ya muzzle ya futi 1100. /s (335 m/s). Inaweza kupenya bodi nane za pine 1-inch, kila mmoja na unene wa inchi 0.75. ni wastani kuacha nguvu exerted na kuni, kama inavyoonekana katika Kielelezo\(\PageIndex{3}\)?
Mkakati
Tunaweza kudhani kuwa chini ya hali ya jumla alisema, risasi hupoteza nishati yake yote ya kinetic inayoingia ndani ya bodi, hivyo theorem ya kazi ya nishati inasema nishati yake ya awali ya kinetic ni sawa na nguvu ya kuacha wastani mara umbali amepata. Mabadiliko katika nishati ya kinetic ya risasi na kazi ya wavu iliyofanywa kuacha ni hasi, hivyo wakati unapoandika theorem ya kazi ya nishati, na kazi ya wavu sawa na nguvu ya wastani mara umbali wa kuacha, ndio unayopata. Unene wa jumla wa bodi nane za pine 1-inch ambazo risasi hupenya ni 8 x\(\frac{3}{4}\) ndani. = 6 ndani. = 15.2 cm.
Suluhisho
Kutumia theorem ya kazi ya nishati, tunapata
\[W_{net} = - F_{ave} \Delta s_{stop} = - K_{initial} , \nonumber\]
kwa hivyo
\[F_{ave} = \frac{\frac{1}{2} mv^{2}}{\Delta s_{stop}} = \frac{\frac{1}{2} (2.66 \times 10^{-3}\; kg)(335\; m/s)^{2}}{0.152\; m} = 960\; N \ldotp \nonumber\]
Umuhimu
Tungeweza kutumia sheria ya pili ya Newton na kinematiki katika mfano huu, lakini theorem ya kazi ya nishati pia hutoa jibu kwa hali ndogo. Kupenya kwa risasi, kufukuzwa wima juu ndani ya kizuizi cha kuni, kujadiliwa katika sehemu moja ya makala ya hivi karibuni ya Asif Shakur [“Bullet-Block Science Video Puzzle.” Mwalimu wa Fizikia (Januari 2015) 53 (1): 15-16]. Kama risasi ni fired kituo cha wafu katika kuzuia, ni kupoteza nishati yake yote kinetic na hupenya kidogo mbali kuliko kama fired off-kituo cha. Sababu ni kwamba ikiwa risasi inapiga mbali-katikati, ina nishati kidogo ya kinetic baada ya kuacha kupenya, kwa sababu block huzunguka. Theorem ya kazi ya nishati ina maana kwamba mabadiliko madogo katika matokeo ya nishati ya kinetic katika kupenya ndogo. Utaelewa zaidi ya fizikia katika makala hii ya kuvutia baada ya kumaliza kusoma Momentum ya Angular.
Pata maelezo zaidi kuhusu kazi na nishati katika simulation hii ya Phet (https://phet.colorado.edu/en/simulation/the-ramp) inayoitwa “njia panda.” Jaribu kubadilisha nguvu kusuuza sanduku na nguvu ya msuguano pamoja na kutembea. Viwanja vya kazi na nishati vinaweza kuchunguzwa kutambua kazi ya jumla iliyofanywa na kubadilisha nishati ya kinetic ya sanduku.