4.3: kuongeza kasi vector

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176974

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mahesabu ya vector kuongeza kasi kutokana kasi kazi katika kitengo vector nukuu.
Eleza mwendo wa chembe na kuongeza kasi ya mara kwa mara katika vipimo vitatu.
Tumia usawa wa mwendo wa mwelekeo mmoja pamoja na shaba za perpendicular ili kutatua tatizo katika vipimo viwili au vitatu na kuongeza kasi ya mara kwa mara.
Express kuongeza kasi katika kitengo vector nukuu.

instantaneous kuongeza kasi

Mbali na kupata vectors ya uhamisho na kasi ya kitu kinachoendelea, mara nyingi tunataka kujua vector yake ya kuongeza kasi wakati wowote kwa wakati pamoja na trajectory yake. Hii vector kuongeza kasi ni instantaneous kuongeza kasi na inaweza kupatikana kutoka derivative kuhusiana na wakati wa kazi kasi, kama tumeona katika sura ya awali. Tofauti pekee katika vipimo viwili au vitatu ni kwamba hizi sasa ni kiasi cha vector. Kuchukua derivative kwa heshima na wakati$\vec{v}$ (t), tunaona

\[\vec{a} (t) = \lim_{t \rightarrow 0} \frac{\vec{v} (t + \Delta t) - \vec{v} (t)}{\Delta t} = \frac{d\vec{v} (t)}{dt} \ldotp \label{4.8}\]

Kuongeza kasi katika suala la vipengele ni

\[\vec{a} (t) = \frac{dv_{x} (t)}{dt}\; \hat{i} + \frac{dv_{y} (t)}{dt}\; \hat{j} + \frac{dv_{z} (t)}{dt}\; \hat{k} \ldotp \label{4.9}\]

Pia, kwa kuwa kasi ni derivative ya kazi ya msimamo, tunaweza kuandika kasi kwa suala la derivative ya pili ya kazi ya nafasi:

\[\vec{a} (t) = \frac{d^{2} x(t)}{dt^{2}}\; \hat{i} + \frac{d^{2} y(t)}{dt^{2}}\; \hat{j} + \frac{d^{2} z(t)}{dt^{2}}\; \hat{k} \ldotp \label{4.10}\]

Mfano 4.4: Kupata Vector ya Kuongeza kasi

Chembe ina kasi ya$\vec{v} (t) = 5.0t \hat{i} + t^2 \hat{j} − 2.0t^3 \hat{k}\, m/s$.

Kazi ya kuongeza kasi ni nini?
Je, ni vector ya kuongeza kasi katika t = 2.0 s? Pata ukubwa wake na mwelekeo.

Suluhisho

Tunachukua derivative ya kwanza kwa heshima na wakati wa kazi ya kasi ili kupata kasi. Derivative inachukuliwa sehemu na sehemu:\[\vec{a} (t) = 5.0\; \hat{i} + 2.0t\; \hat{j} - 6.0t^{2}\; \hat{k}\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]
Kutathmini$\vec{a} (2.0\; s) = 5.0 \hat{i} + 4.0 \hat{j} - 24.0 \hat{k} \, m/s^2$ inatupa mwelekeo katika kitengo vector nukuu. Ukubwa wa kuongeza kasi ni\[|\vec{a} (2.20\; s)| = \sqrt{5.0^{2} + 4.0^{2} + (-24.0)^{2}} = 24.8\; m/s^{2} \ldotp \nonumber\]

Umuhimu

Katika mfano huu tunaona kwamba kuongeza kasi ina utegemezi wa wakati na inabadilika katika mwendo. Hebu fikiria kazi tofauti ya kasi kwa chembe.

Mfano 4.5: Kupata kasi ya Chembe

Chembe ina kazi ya msimamo:$\vec{r} (t) = (10t − t^2) \hat{i} + 5t \hat{j} + 5t \hat{k} \,m$.

Kasi ni nini?
Je, ni kuongeza kasi gani?
Eleza mwendo kutoka$t = 0\, s$.

Mkakati

Tunaweza kupata baadhi ya ufahamu katika tatizo kwa kuangalia kazi nafasi. Ni linear katika y na z, hivyo tunajua kuongeza kasi katika maelekezo haya ni sifuri wakati sisi kuchukua derivative pili. Pia, kumbuka kuwa nafasi katika mwelekeo x ni sifuri kwa t = 0 s na t = 10 s.

Suluhisho

Kuchukua derivative kwa heshima na wakati wa kazi ya msimamo, tunapata$\vec{v} (t) = (10 − 2t) \hat{i} + 5 \hat{j} + 5 \hat{k}\, m/s$. Kazi ya kasi ni mstari kwa wakati katika mwelekeo wa x na ni mara kwa mara katika maelekezo ya y na z.
Kuchukua derivative ya kazi ya kasi, tunapata Vector\[\vec{a}(t) = −2\; \hat{i} \,m/s^{2} \ldotp \nonumber\] ya kuongeza kasi ni mara kwa mara katika mwelekeo wa x-hasi.
Trajectory ya chembe inaweza kuonekana katika Kielelezo$\PageIndex{1}$. Hebu tuangalie katika maelekezo ya y na z kwanza. Msimamo wa chembe huongezeka kwa kasi kama kazi ya muda na kasi ya mara kwa mara katika maelekezo haya. Katika mwelekeo x, hata hivyo, chembe ifuatavyo njia katika x chanya mpaka t = 5 s, wakati reverses mwelekeo. Tunajua hili kutokana na kuangalia kazi kasi, ambayo inakuwa sifuri kwa wakati huu na hasi baada ya hapo. Pia tunajua hili kwa sababu kuongeza kasi ni hasi na mara kwa mara-maana, chembe ni decelerating, au kuongeza kasi katika mwelekeo hasi. Msimamo wa chembe hufikia m 25, ambapo inarudia mwelekeo na huanza kuharakisha katika mwelekeo wa x hasi. Msimamo unafikia sifuri saa t = 10 s.

Mfumo wa kuratibu x y z umeonyeshwa. Axes zote zinaonyesha umbali katika mita na kukimbia kutoka -50 hadi mita 50. Mfululizo wa dots nyekundu 10 huonyeshwa, na nukta ya sita inaitwa kama t = 6 s na ya kumi kama t = 10 s. mfululizo nyekundu wa dots huanza katika asili na curves zaidi (wote y na z kuongezeka kwa wakati). Mistari iliyopigwa kwa wima huunganisha dots nyekundu kwenye mfululizo wa dots za bluu kwenye ndege ya x y. Dots za bluu zote ziko katika quadrant ya kwanza (chanya x na y). Dots mara kwa mara zimewekwa pamoja na kuratibu y, wakati kuratibu x huanza saa 0, huongezeka, kufikia kiwango cha juu cha x = 25 m saa t = 5, na kisha hupungua nyuma x = 0 saa t 10 s. — Kielelezo$\PageIndex{1}$: Chembe huanza kwa uhakika (x, y, z) = (0, 0, 0) na vector nafasi$\vec{r}$ = 0. Makadirio ya trajectory kwenye ndege ya xy inavyoonyeshwa. Maadili ya y na z huongezeka kwa mstari kama kazi ya wakati, wakati x ina hatua ya kugeuka saa t = 5 s na 25 m, wakati inarudia mwelekeo. Kwa hatua hii, sehemu ya x ya kasi inakuwa hasi. Katika t = 10 s, chembe ni nyuma 0 m katika mwelekeo x.

Zoezi 4.2

Tuseme kazi ya kuongeza kasi ina fomu$\vec{a}$ (t) = a$\hat{i}$ + b$\hat{j}$ + c$\hat{k}$ m/s ², ambapo a, b, na c ni mara kwa mara. Ni nini kinachoweza kusema kuhusu fomu ya kazi ya kazi ya kasi?

Kuongeza kasi

Multidimensional mwendo na kasi ya mara kwa mara inaweza kutibiwa kwa njia sawa kama inavyoonekana katika sura ya awali kwa mwendo moja-dimensional. Mapema tulionyesha kuwa mwendo wa tatu-dimensional ni sawa na mwendo wa tatu wa mwelekeo, kila mmoja pamoja na mhimili perpendicular kwa wengine. Kuendeleza equations husika katika kila mwelekeo, hebu tuchunguze tatizo la pande mbili la chembe inayohamia kwenye ndege ya xy na kuongeza kasi ya mara kwa mara, kupuuza sehemu ya z kwa muda. Vector kuongeza kasi ni

\[\vec{a} = a_{0x}\; \hat{i} + a_{0y}\; \hat{j} \ldotp\]

Kila sehemu ya mwendo ina seti tofauti ya milinganyo sawa na Equation 3.10—Equation 3.14 ya sura ya awali juu ya mwendo odimensional. Tunaonyesha tu equations kwa nafasi na kasi katika x- na y-maelekezo. Seti sawa ya usawa wa kinematic inaweza kuandikwa kwa mwendo katika mwelekeo wa z:

\[x(t) = x_{0} + (v_{x})_{avg} t \label{4.11}\]

\[v_{x}(t) = v_{0x} + a_{x}t \label{4.12}\]

\[x(t) = x_{0} + v_{0x} t + \frac{1}{2} a_{x} t^{2} \label{4.13}\]

\[v_{x}^{2} (t) = v_{0x}^{2} + 2a_{x}(x − x_{0}) \label{4.14}\]

\[y(t) = y_{0} + (v_{y})_{avg} t \label{4.15}\]

\[v_{y}(t) = v_{0y} + a_{y} t \label{4.16}\]

\[y(t) = y_{0} + v_{0y} t + \frac{1}{2} a_{y} t^{2} \label{4.17}\]

\[v_{y}^{2} (t) = v_{0y}^{2} + 2a_{y}(y − y_{0}) \ldotp \label{4.18}\]

Hapa subscript 0 inaashiria nafasi ya awali au kasi. Equation\ ref {4.11} kwa\ ref {4.18} inaweza kubadilishwa katika Equation 4.2 na Equation 4.5 bila ya z-sehemu ili kupata msimamo vector na vector kasi kama kazi ya muda katika vipimo viwili:

\[\vec{r} (t) = x(t)\; \hat{i} + y(t)\; \hat{j}\]

\[\vec{v} (t) = v_{x} (t)\; \hat{i} + v_{y} (t)\; \hat{j} \ldotp\]

Mfano unaofuata unaonyesha matumizi halisi ya equations kinematic katika vipimo viwili.

Mfano 4.6: Skier

Kielelezo$\PageIndex{2}$ kinaonyesha skier inayohamia kwa kasi ya 2.1 m/s ² chini ya mteremko wa 15° saa t = 0. Kwa asili ya mfumo wa kuratibu mbele ya nyumba ya kulala wageni, nafasi yake ya awali na kasi ni

\[\vec{r} (0) = (7.50\; \hat{i} - 50.0\; \hat{j}) m \nonumber\]

\[\vec{v} (0) = (4.1\; \hat{i} - 1.1\; \hat{j}) m/s \nonumber\]

Je, ni x- na y-vipengele vya msimamo wa skier na kasi kama kazi za muda?
Je, ni msimamo wake na kasi gani katika t = 10.0 s?

Mfano wa skier katika mfumo wa kuratibu x y unaonyeshwa. Skier inahamia kando ya mstari ambao ni digrii 15 chini ya mwelekeo x usawa na ina kasi ya a = mita 2.1 kwa pili mraba pia iliyoelekezwa katika mwelekeo wake wa mwendo. Kuharakisha kunawakilishwa kama mshale wa zambarau. — Kielelezo$\PageIndex{2}$: Skier ina kasi ya 2.1 m/s ² chini ya mteremko wa 15°. Asili ya mfumo wa kuratibu ni kwenye nyumba ya kulala ya ski.

Mkakati

Kwa kuwa tunatathmini vipengele vya usawa wa mwendo katika maelekezo ya x na y, tunahitaji kupata vipengele vya kuongeza kasi na kuziweka katika equations ya kinematic. Vipengele vya kuongeza kasi hupatikana kwa kutaja mfumo wa kuratibu katika Kielelezo$\PageIndex{2}$. Kisha, kwa kuingiza vipengele vya nafasi ya awali na kasi katika milinganyo ya mwendo, tunaweza kutatua kwa nafasi yake na kasi kwa wakati mwingine t.

Suluhisho

Asili ya mfumo wa kuratibu ni juu ya kilima na y-axis vertically juu na x-axis usawa. Kwa kuangalia trajectory ya skier, sehemu ya x-ya kuongeza kasi ni chanya na sehemu ya y ni hasi. Kwa kuwa angle ni 15° chini ya mteremko, tunapata $$a_ {x} = (2.1\; m/s^ {2})\ cos (15^ {o}) = 2.0\; m/s^ {2} $$ $a_ {y} = (-2.1\; m/s^ {2})\ dhambi (15^ {o}) = -0.54\; m/s^ {2} ldotp $$ Kuingiza nafasi ya awali na kasi katika equations\ ref {4.12} na\ ref {4.13} kwa x, tuna $$x (t) = 75.0\; m + (4.1\; m/s) t +\ frac {1 } {2} (2.0\; m/s^ {2}) t^ {2} $$$v_ {x} (t) = 4.1\; m/s + (2.0\; m/s^ {2}) t\ ldotp $$ Kwa y, tuna $y (t) = -50.0.0\; m + (-1.1\; m/s) t +\ frac {1} 2 {} (-0.54\; m/s^ {2}) t^ {2} $$ $ $ v_ {y} (t) = -1.1\; m/s + (-0.54\; m/s^ {2}) t\ ldotp$$
Sasa kwa kuwa tuna equations ya mwendo kwa x na y kama kazi za muda, tunaweza kutathmini yao katika t = 10.0 s: $$x (10.0\; s) = 75.0\; m + (4.1\; m/s) (10.0\; s) +\ frac {1} {2} (2.0\; m/s^ {2}) (10.0\; s) ^ {2} = 216.m 0\; m $$ $v_ {x} (10.0\; s) = 4.1\; m/s + (2.0\; m/s ^ {2}) (10.0\; s) = 24.1\; m/s $$y (10.0) = -50.0.0\; m + (-1.1\; m/s) (10.0\; s) +\ Frac {1} {2} (-0.54\; m/s^ {2}) (10.0\; s) ^ {2} $$$v_ {y} (10.0\; s) = -1.1\; m/s + (-0.54\; m/s^ {2}) (10.0\; s)\ ldotp $$ Msimamo na kasi katika t = 10.0 s ni, hatimaye $$\ vec {r} (10.0\; s) = (216.0\;\ kofia {i} - 88.0\;\ kofia {j}) m$$ $\ vec {v} (10.0\; s) = (24.1\;\ kofia {i} - 6.5\;\ kofia {j} ) m/s\ ldotp$$ Ukubwa wa kasi ya skier saa 10.0 s ni 25 m/s, ambayo ni 60 mi/h.

Umuhimu

Ni muhimu kujua kwamba, kutokana na hali ya awali ya nafasi, kasi, na kuongeza kasi ya kitu, tunaweza kupata nafasi, kasi, na kuongeza kasi wakati wowote baadaye.

Kwa equations\ ref {4.8} -\ ref {4.10} tumekamilisha seti ya maneno kwa nafasi, kasi, na kuongeza kasi ya kitu kinachohamia katika vipimo viwili au vitatu. Ikiwa trajectories ya vitu inaonekana kitu kama “Mishale nyekundu” katika picha ya ufunguzi kwa sura, basi maneno ya nafasi, kasi, na kuongeza kasi inaweza kuwa ngumu sana. Katika sehemu ya kufuata tunachunguza matukio mawili maalum ya mwendo katika vipimo viwili na vitatu kwa kuangalia mwendo wa projectile na mwendo wa mviringo.

Masimulizi

Katika tovuti hii ya Chuo Kikuu cha Colorado Boulder, unaweza kuchunguza kasi ya nafasi na kasi ya ladybug na simulation ya maingiliano ambayo inakuwezesha kubadilisha vigezo hivi.