5.10: Nishati ya Jamaa

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Eleza jinsi theorem ya kazi ya nishati inaongoza kwa kujieleza kwa nishati ya kinetic ya kitu
• Onyesha jinsi nishati ya relativistic inahusiana na nishati ya kinetic ya kawaida, na huweka kikomo juu ya kasi ya kitu chochote kilicho na wingi
• Eleza jinsi nishati ya jumla ya chembe inavyohusiana na umati wake na kasi
• Eleza jinsi relativity inahusiana na nishati molekuli ulinganifu, na baadhi ya matokeo ya vitendo ya nishati molekuli ulinganifu

Tokamak katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\) ni aina ya reactor ya majaribio ya fusion, ambayo inaweza kubadilisha molekuli kwa nishati. Mitambo ya nyuklia ni ushahidi wa uhusiano kati ya nishati na suala.

Kielelezo\(\PageIndex{1}\): National Spherical Torus majaribio (NSTX) ni fusion Reactor ambayo isotopu hidrojeni kupitia fusion kuzalisha heliamu. Katika mchakato huu, wingi mdogo wa mafuta hubadilishwa kuwa kiasi kikubwa cha nishati. (mikopo: Princeton Plasma Fizikia Maabara)

Uhifadhi wa nishati ni moja ya sheria muhimu zaidi katika fizikia. Sio tu nishati ina aina nyingi muhimu, lakini kila fomu inaweza kubadilishwa kuwa nyingine yoyote. Tunajua kwamba kwa kawaida, jumla ya nishati katika mfumo inabakia mara kwa mara. Kwa kiasi kikubwa, nishati bado imehifadhiwa, lakini usawa wa nishati ya wingi lazima sasa uzingatiwe, kwa mfano, katika athari zinazotokea ndani ya reactor ya nyuklia. Nishati ya relativistic inaelezwa kwa makusudi ili ihifadhiwe katika muafaka wote wa inertial, kama ilivyo kwa kasi ya relativistic. Matokeo yake, kiasi kadhaa cha msingi kinahusiana kwa njia zisizojulikana katika fizikia ya classical. Mahusiano haya yote yamehakikishiwa na matokeo ya majaribio na kuwa na matokeo ya msingi. Ufafanuzi uliobadilishwa wa nishati una baadhi ya ufahamu mpya wa msingi na wa kuvutia katika asili katika historia ya hivi karibuni.

Kinetic Nishati na Ultimate Speed Limit

Postulate ya kwanza ya relativity inasema kwamba sheria za fizikia ni sawa katika muafaka wote wa inertial. Einstein ilionyesha kuwa sheria ya uhifadhi wa nishati ya chembe halali relativistically, lakini kwa nishati walionyesha katika suala la kasi na wingi kwa njia sambamba na relativity. Fikiria kwanza maneno ya relativistic kwa nishati ya kinetic. Tunatumia tena\(u\) kwa kasi ili kuitofautisha kutoka kwa kasi ya jamaa\(v\) kati ya waangalizi. Kwa kawaida, nishati ya kinetic inahusiana na wingi na kasi kwa kujieleza kwa kawaida

\[K = \dfrac{1}{2} mu^2. \nonumber \]

Maneno ya relativistic yanayohusiana na nishati ya kinetic yanaweza kupatikana kutoka theorem ya kazi ya nishati. Theorem hii inasema kwamba kazi ya wavu kwenye mfumo huenda kwenye nishati ya kinetic. Hasa, kama nguvu, walionyesha kama

\[\vec{F} = \dfrac{d\vec{p}}{dt} = m\dfrac{d(\gamma \vec{u})}{dt} \nonumber \]

huharakisha chembe kutoka kupumzika hadi kasi yake ya mwisho, kazi iliyofanywa kwenye chembe inapaswa kuwa sawa na nishati yake ya mwisho ya kinetic. Katika fomu ya hisabati, kwa mwendo mmoja wa mwelekeo:

\[\begin{align*} K &= \int Fdx = \int m \dfrac{d}{dt} (\gamma u) dx \nonumber \\[4pt] &= m \int \dfrac{d(\gamma u)}{dt} \dfrac{dx}{dt} \\[4pt] &= m \int u \dfrac{d}{dt} \left( \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right) dt. \end{align*} \nonumber \]

Kuunganisha hii kwa sehemu ya kupata

\[\begin{align*} K &= \left. \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right|_{0}^{u} - m\int \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\dfrac{du}{dt}dt \\[4pt] &= \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - m\int \dfrac{u}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}du \\[4pt] &= \left. \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - mc^2 (\sqrt{1 - (u/c)^2})\right|_0^u \\[4pt] &= \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} + \dfrac{mu^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - m c^2 \\[4pt] &= mc^2 \left[ \dfrac{(u^2/c^2) + 1 - (u^2/c^2)}{\sqrt{1 - (u/c)^2}}\right] - mc^2 \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - (u/c)^2}} - mc^2. \end{align*} \nonumber \]

Kwa hiyo, nishati ya kinetic ya relativistic ya chembe yoyote ya molekuli\(m\) ni

\[K_{rel} = (\gamma - 1)mc^2. \label{RKE} \]

Wakati kitu kisichokuwa na mwendo, kasi yake ni\(u = 0\) na

\[\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}} = 1 \nonumber \]

hivyo kwamba\(K_{rel} = 0\) katika mapumziko, kama ilivyotarajiwa. Hata hivyo, maneno ya nishati ya kinetic ya relativistic (kama nishati ya jumla na nishati ya kupumzika) haionekani sana kama classical\(\dfrac{1}{2} mu^2\). Kuonyesha kwamba kujieleza kwa\(K_{rel}\) inapunguza kwa kujieleza classical kwa ajili ya nishati kinetic kwa kasi ya chini, tunatumia upanuzi binomial kupata makadirio ya\((1 + ε)^n\) halali kwa ndogo\(ε\):

\[(1 + ε)^n = 1 + nε + \dfrac{​n(n−1)}{2!}ε^2 + \dfrac{n(n−1)(n−2)}{3!}ε^3 +⋯ ≈ 1 + nε \nonumber \]

kwa kupuuza maneno ndogo sana katika\(ε^2\) na mamlaka ya juu ya\(ε\). Kuchagua\(ε = −u^2/c^2\) na\(n = -\dfrac{1}{2}\) inaongoza kwa hitimisho kwamba\(\gamma\) kwa kasi isiyo ya kawaida, wapi\(ε = u/c\) ni ndogo, inatimiza

\[\gamma = (1 - u^2/c^2)^{-1/2} \approx 1 + \dfrac{1}{2} \left( \dfrac{u^2}{c^2}\right). \nonumber \]

Upanuzi wa binomial ni njia ya kuonyesha kiasi cha algebraic kama jumla ya mfululizo usio wa maneno. Katika hali nyingine, kama katika kikomo cha kasi ndogo hapa, maneno mengi ni ndogo sana. Hivyo, usemi inayotokana hapa kwa\(\gamma\) si halisi, lakini ni makadirio sahihi sana. Kwa hiyo, kwa kasi ya chini:

\[\gamma - 1 \approx \dfrac{1}{2} \left(\dfrac{u^2}{c^2}\right). \nonumber \]

Kuingia hii katika kujieleza kwa nishati relativistic kinetic (Equation\ ref {RKE}) anatoa

\[\begin{align*} K_{rel} &\approx \left[\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{u^2}{c^2}\right)\right] mc^2 \\[4pt] &\approx \dfrac{1}{2} mu^2 \\[4pt] &\approx K_{class}. \end{align*} \nonumber \]

Hiyo ni, nishati ya kinetic ya relativistic inakuwa sawa na nishati ya kinetic ya kawaida wakati\(u \ll c\).

Ni zaidi ya kuvutia kuchunguza kinachotokea kwa nishati ya kinetic wakati kasi ya kitu inakaribia kasi ya mwanga. Tunajua kwamba\(\gamma\) inakuwa usio kama\(u\) mbinu\(c\), ili\(K_{rel}\) pia inakuwa usio kama kasi inakaribia kasi ya mwanga (Kielelezo\(\PageIndex{2}\)). Ongezeko la\(K_{rel}\) ni kubwa zaidi kuliko katika\(v\) njia\(K_{class}\) kama\(c\). Kiasi kisicho na kipimo cha kazi (na, kwa hiyo, kiasi cha usio na kipimo cha pembejeo ya nishati) kinahitajika ili kuharakisha wingi kwa kasi ya mwanga.

Hakuna kitu kilicho na wingi kinaweza kufikia kasi ya mwanga.

Kasi ya nuru ni kikomo cha mwisho cha kasi kwa chembe yoyote iliyo na wingi. Yote haya ni sawa na ukweli kwamba kasi chini ya c daima kuongeza chini ya\(c\). Wote fomu relativistic kwa ajili ya nishati kinetic na mwisho kasi kikomo\(c\) kuwa imethibitishwa kwa undani katika majaribio mbalimbali. Haijalishi ni kiasi gani cha nishati kinawekwa katika kuharakisha wingi, kasi yake inaweza tu kukaribia-si kufikia-kasi ya mwanga.

c." src="https://phys.libretexts.org/@api/dek...09_Kinetic.jpg">

Takwimu:\(\PageIndex{2}\) Grafu hii ya dhidi ya\(K_{rel}\) kasi inaonyesha jinsi nishati ya kinetic inavyoongezeka bila kufungwa kama kasi inakaribia kasi ya mwanga. Pia inavyoonekana ni\(K_{class}\), nishati ya kinetic ya kawaida.

Mfano\(\PageIndex{1}\): Comparing Kinetic Energy

Elektroni ina kasi\(v = 0.990 c\).

1. Tumia nishati ya kinetic katika MeV ya elektroni.
2. Linganisha hili na thamani ya classical kwa nishati ya kinetic kwa kasi hii. (Masi ya elektroni ni\(9.11 \times 10^{-31}kg\).)

Mkakati

Maneno ya nishati ya kinetic ya relativistic daima ni sahihi, lakini kwa (a), inapaswa kutumika kwa sababu kasi ni yenye relativistic (karibu na\(c\)). Kwanza, tunahesabu sababu ya relativistic\(\gamma\), na kisha tumia ili kuamua nishati ya kinetic ya relativistic. Kwa (b), sisi mahesabu classical kinetic nishati (ambayo itakuwa karibu na thamani relativistic kama\(v\) walikuwa chini ya asilimia chache ya\(c\)) na kuona kwamba si sawa.

Suluhisho kwa (a)

1. Tambua maarifa:\(v = 0.990c\);\(m = 9.11 \times 10^{-31}kg\)
2. Tambua haijulikani:\(K_{rel}\).
3. Eleza jibu kama equation:\(K_{rel} = (\gamma - 1)mc^2\) na\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}}.\)
4. Kufanya hesabu. Kwanza hesabu\(\gamma\). Weka tarakimu za ziada kwa sababu hii ni hesabu ya kati:\[\begin{align*} \gamma &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \nonumber \\[4pt] &= \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(0.990c)^2}{c^2}}} \nonumber \\[4pt] &= 7.0888. \end{align*} \nonumber \] Sasa tumia thamani hii kuhesabu nishati ya kinetic (Equatoin\ ref {RKE}):

   \[\begin{align*} K_{rel} &= (\gamma - 1)mc^2 \nonumber \\[4pt] &= (7.0888 - 1)(9.11 \times 10^{-31}\, kg)(3.00 \times 10^8\, m/s^2) \nonumber \\[4pt] &= 4.9922 \times 10^{−13}\, J \end{align*} \nonumber \]

5. Badilisha vitengo:

   \[\begin{align*} K_{rel} &= (4.9922 \times 10^{−13}\, J) \left(\dfrac{1\, MeV}{1.60 \times 10^{−13} J}\right) \\[4pt] &= 3.12\, MeV.\end{align*} \nonumber \]

Suluhisho kwa (b)

1. Andika orodha inayojulikana:\(v = 0.990c\);\(m = 9.11 \times 10^{−31}kg\).
2. Orodha haijulikani:\(K_{rel}\)
3. Eleza jibu kama equation:
4. Je, hesabu:

   \[\begin{align*} K_{class} &= \dfrac{1}{2} mu^2 \\[4pt] &= \dfrac{1}{2} (9.11 \times 10^{-31} kg)(0.990)^2(3.00 \times 10^8\, m/s)^2 \\[4pt] &= 4.0179 \times 10^{−14}J.\end{align*} \nonumber \]

5. Badilisha vitengo:

   \[\begin{align*} K_{class} &= 4.0179 \times 10^{-14} J \left(\dfrac{1\, MeV}{1.60 \times 10^{-13} J}\right) \\[4pt] &= 0.251\, MeV.\end{align*} \nonumber \]

Umuhimu

Kama inaweza kutarajiwa, kwa sababu kasi ni 99.0% ya kasi ya mwanga, nishati ya kinetic ya kawaida inatofautiana sana kutokana na thamani sahihi ya relativistic. Kumbuka pia kwamba thamani ya classical ni ndogo sana kuliko thamani ya relativistic. Kwa kweli,\(K_{rel}/K_{class} = 12.4\) katika kesi hii. Hii inaonyesha jinsi ilivyo vigumu kupata molekuli kusonga karibu na kasi ya mwanga. Nishati nyingi zinahitajika kuliko ilivyotabiriwa kwa kawaida. Kiwango cha nishati kinachoongezeka kinahitajika ili kupata kasi ya molekuli karibu kidogo na ile ya mwanga. Nishati ya 3 MeV ni kiasi kidogo sana kwa elektroni, na inaweza kupatikana kwa kasi ya chembe ya sasa. SLAC, kwa mfano, inaweza kuharakisha elektroni hadi zaidi\(50 \times 10^9 eV = 50,000\, MeV\).

Je, kuna hatua yoyote katika kupata v kidogo karibu na c ya 99.0% au 99.9%? Jibu ni ndiyo. Tunajifunza mpango mkubwa kwa kufanya hivyo. Nishati inayoingia kwenye molekuli ya juu ya kasi inaweza kubadilishwa kuwa fomu nyingine yoyote, ikiwa ni pamoja na katika chembe mpya kabisa. Katika Collider Kubwa ya Hadron katika Kielelezo\(\PageIndex{1}\), chembe za kushtakiwa zinaharakisha kabla ya kuingia muundo wa pete. Huko, mihimili miwili ya chembe ni kasi kwa kasi yao ya mwisho ya juu 99.7% kasi ya mwanga katika pande kinyume, na alifanya collide, kuzalisha aina mpya kabisa ya chembe. Wengi wa kile tunachojua kuhusu substructure ya suala na ukusanyaji wa chembe za kigeni za muda mfupi katika asili zimejifunza kwa njia hii. Sampuli katika sifa za chembe hizi ambazo hazijulikani zinaonyesha kwenye substructure ya msingi kwa jambo lolote. Chembe hizi na baadhi ya sifa zao zitajadiliwa katika sura ya baadaye juu ya fizikia ya chembe.

Kielelezo\(\PageIndex{3}\): Shirika la Ulaya la Utafiti wa Nyuklia (inayoitwa CERN baada ya jina lake la Kifaransa) inafanya kazi kubwa zaidi ya kasi ya chembe duniani, ikipiga mpaka kati ya Ufaransa na Uswisi.

Jumla Relativistic Nishati

Maneno ya nishati ya kinetic yanaweza kupangwa upya kwa:

\[\begin{align*} E &= \dfrac{mc^2}{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \\[4pt] &= K + mc^2. \end{align*} \nonumber \]

Einstein alisema katika makala tofauti, pia baadaye kuchapishwa katika 1905, kwamba kama nishati ya chembe mabadiliko na\(\Delta E\), molekuli yake mabadiliko na\(\Delta m = \Delta E/C^2\). Ushahidi mwingi wa majaribio tangu wakati huo unathibitisha kwamba\(mc^2\) inalingana na nishati ambayo chembe ya masi\(m\) ina wakati wa kupumzika. Kwa mfano, wakati pion neutral ya molekuli\(m\) katika mapumziko kuoza katika fotoni mbili, photons na sifuri wingi lakini ni kuzingatiwa kuwa na jumla ya nishati sambamba na\(mc^2\) kwa pion. Vile vile, wakati chembe ya molekuli\(m\) inavyoharibika ndani ya chembe mbili au zaidi na molekuli ndogo ya jumla, nishati ya kinetic inayoonekana iliyotolewa kwa bidhaa za kuoza inalingana na kupungua kwa wingi. Hivyo,\(E\) ni jumla ya nishati ya relativistic ya chembe, na\(mc^2\) ni nishati yake ya kupumzika.

Ufafanuzi: Jumla ya nishati

Jumla ya nishati (\(E\)) ya chembe ni

\[E = \gamma mc^2 \nonumber \]

wapi\(m\) wingi,\(c\) ni kasi ya mwanga,\(\gamma = \dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}}\), na\(u\) ni kasi ya jamaa ya wingi na mwangalizi.

Ufafanuzi: Pumzika Enerey

Kupumzika nishati ya kitu ni

\[E_0 = mc^2. \label{rest energy} \]

Equation\ ref {nishati ya kupumzika} ni fomu sahihi ya equation maarufu zaidi ya Einstein, ambayo kwa mara ya kwanza ilionyesha kuwa nishati inahusiana na wingi wa kitu kilichopumzika. Kwa mfano, ikiwa nishati imehifadhiwa kwenye kitu, ongezeko lake la kupumzika huongezeka. Hii pia ina maana kwamba molekuli inaweza kuharibiwa ili kutolewa nishati. Matokeo ya equations hizi mbili za kwanza kuhusu nishati ya relativistic ni pana sana kwamba hazikutambuliwa kabisa kwa miaka kadhaa baada ya Einstein kuchapishwa kwao mwaka wa 1905, wala hakuwa ushahidi wa majaribio kwamba wao ni sahihi sana kutambuliwa mwanzoni. Einstein, ni lazima ieleweke, alielewa na kuelezea maana na matokeo ya nadharia yake.

Mfano\(\PageIndex{2}\): Calculating Rest Energy

Tumia nishati nyingine ya molekuli ya 1.00-g.

Mkakati

Gramu moja ni molekuli ndogo—chini ya nusu ya molekuli ya senti. Tunaweza kuzidisha wingi huu, katika vitengo vya SI, kwa kasi ya mraba wa mwanga ili kupata nishati sawa ya kupumzika.

Suluhisho

1. Tambua maarifa:\(m = 1.00 \times 10^{-3} kg\);\(c = 3.00 \times 10^8 m/s\).
2. Tambua haijulikani:\(E_0\).
3. Eleza jibu kama equation:\(E_0 = mc^2\).
4. Je, hesabu:

   \[E_0 = mc^2 = (1.00 \times 10^{-3} kg) (3.00 \times 10^8 m/s)^2 = 9.00 \times 10^{13} kg \cdot m^2/s^2. \nonumber \]

5. Badilisha vitengo. Akibainisha kuwa\(1\, kg \cdot m^2/s^2 = 1\, J\), tunaona nishati nyingine ni:

   \[E_0 = 9.00 \times 10^{13}\, J. \nonumber \]

Umuhimu

Hii ni kiasi kikubwa cha nishati kwa wingi wa 1.00-g. Nishati ya kupumzika ni kubwa kwa sababu kasi ya mwanga c ni idadi kubwa na\(c^2\) ni idadi kubwa sana, hivyo\(mc^2\) ni kubwa kwa molekuli yoyote ya macroscopic. Nishati ya\(9.00 \times 10^{13} J\) molekuli iliyobaki kwa 1.00 g ni karibu mara mbili nishati iliyotolewa na bomu ya atomiki ya Hiroshima na mara 10,000 nishati ya kinetic ya carrier kubwa ya ndege.

Leo, matumizi ya vitendo ya uongofu wa wingi katika aina nyingine ya nishati, kama vile silaha za nyuklia na mitambo ya nyuklia, yanajulikana. Lakini mifano pia ilikuwepo wakati Einstein alipendekeza kwanza fomu sahihi ya nishati ya relativistic, na alielezea baadhi yao. Mionzi ya nyuklia ilikuwa imegunduliwa katika muongo uliopita, na ilikuwa ni siri kuhusu mahali ambapo nishati yake ilitokea. Maelezo yalikuwa kwamba, katika baadhi ya michakato ya nyuklia, kiasi kidogo cha wingi kinaharibiwa na nishati hutolewa na kubeba mionzi ya nyuklia. Lakini kiasi cha molekuli kuharibiwa ni ndogo sana kwamba ni vigumu kuchunguza kwamba yoyote haipo. Ingawa Einstein mapendekezo hii kama chanzo cha nishati katika chumvi mionzi kisha kuwa alisoma, ilikuwa miaka mingi kabla kulikuwa na utambuzi mpana kwamba molekuli inaweza kuwa na, kwa kweli, kawaida ni, waongofu na nishati (Kielelezo\(\PageIndex{4}\)).

Kielelezo\(\PageIndex{4}\): (a) jua na (b) Susquehanna Steam Electric Station wote kubadilisha wingi katika nishati-jua kupitia fusion nyuklia, na kituo cha umeme kupitia fission nyuklia. (mikopo a: mabadiliko ya kazi na NASA; mikopo b: mabadiliko ya kazi na “ChnPP” /Wikimedia Commons)

Kwa sababu ya uhusiano wa nishati ya kupumzika kwa wingi, sasa tunaona molekuli kuwa aina ya nishati badala ya kitu tofauti. Hakukuwa na hata ladha ya hii kabla ya kazi ya Einstein. Ulinganifu wa wingi wa nishati sasa unajulikana kuwa chanzo cha nishati ya jua, nishati ya kuoza nyuklia, na hata mojawapo ya vyanzo vya nishati vinavyotunza mambo ya ndani ya Dunia kuwa moto.

Nishati iliyohifadhiwa na Nishati

Ni nini kinachotokea kwa nishati iliyohifadhiwa kwenye kitu kilichopumzika, kama vile nishati iliyowekwa kwenye betri kwa kumshutumu, au nishati iliyohifadhiwa kwenye chemchemi ya bunduki ya toy? Pembejeo ya nishati inakuwa sehemu ya nishati ya jumla ya kitu na hivyo huongeza molekuli yake ya kupumzika. Nishati zote zilizohifadhiwa na uwezo zinakuwa nyingi katika mfumo. Katika kuonekana kupingana, kanuni ya uhifadhi wa molekuli (maana ya molekuli jumla ni mara kwa mara) ilikuwa mojawapo kati ya sheria kubwa zilizothibitishwa na sayansi ya karne ya kumi na tisa. Kwa nini haijaona kuwa sahihi? Mfano unaofuata husaidia kujibu swali hili.

Mfano\(\PageIndex{3}\): Calculating Rest Mass

Betri ya gari imepimwa ili kuweza kusonga saa 600\((A \cdot h)\) za ampere-saa saa 12.0 V.

1. Tumia ongezeko la molekuli ya kupumzika ya betri hiyo wakati inachukuliwa kutoka kwa kuwa imefutwa kikamilifu ili kushtakiwa kikamilifu, kwa kuchukua hakuna chochote cha kemikali kinachoingia au kuacha betri.
2. Ni ongezeko gani la asilimia hii, kutokana na kwamba wingi wa betri ni kilo 20.0?

Mkakati

Katika sehemu (a), tunapaswa kwanza kupata nishati iliyohifadhiwa kama nishati ya kemikali\(E_{batt}\) katika betri, ambayo inalingana na nishati ya umeme ambayo betri inaweza kutoa. Kwa sababu\(E_{batt} = qV\), tunapaswa kuhesabu malipo\(q\)\(600\, A \cdot h\), ambayo ni bidhaa ya sasa\(I\) na wakati\(t\). Sisi kisha kuzidisha matokeo kwa 12.0 V. kisha tunaweza kuhesabu ongezeko la betri kwa kutumia wingi\(E_{batt} = (\Delta m)c^2\). Sehemu (b) ni uwiano rahisi waongofu kuwa asilimia.

Suluhisho kwa (a)

1. Tambua maarifa:\[I \cdot t = 600\, A \cdot h;\, V = 12.0\, V;\, c = 3.00 \times 10^8\, m/s. \nonumber \]
2. Tambua haijulikani:\(\Delta m\).
3. Eleza jibu kama equation:\[\begin{align*} E_{batt} &= (\Delta m)c^2 \\[4pt] \Delta m &= \dfrac{E_{batt}}{c^2} \\[4pt] &= \dfrac{qV}{c^2} \\[4pt] &= \dfrac{(It)V}{c^2}.\end{align*} \nonumber \]
4. Je, hesabu:\[\Delta m = \dfrac{(600\, A \cdot h)(12.0\, V)}{(3.00 \times 10^8)^2}. \nonumber \]
5. Andika amperes A kama coulombs kwa pili (C/s), na kubadilisha masaa katika sekunde:

   \[\begin{align*}\Delta m &= \dfrac{(600\, C/s \cdot h)\left(\dfrac{3600\, s}{1\, h}\right)(12.0\, J/C)}{(3.00 \times 10^8\, m/s)^2} \\[4pt] &= 2.88 \times 10^{-10}\, kg. \end{align*} \nonumber \]

   ambapo tumetumia uongofu\(1\, kg \cdot m^2/s^2 = 1\, J.\).

Suluhisho kwa (b)

Kwa sehemu (b):

1. Tambua maarifa:\(\delta m = 2.88 \times 10^{-10}kg\);\(m = 20.0\, kg\).
2. Tambua haijulikani:% mabadiliko.
3. Eleza jibu kama equation:\[\%\, increase = \dfrac{\delta m}{m} \times 100\%. \nonumber \]
4. Je, hesabu:

   \[\begin{align*} \%\, increase &= \dfrac{\Delta m}{m} \times 100\% \\[4pt] &= \dfrac{2.88 \times 10^{-10}\, kg}{20.0\, kg} \times 100\% \\[4pt] &= 1.44 \times 10^{-9} \% \end{align*} \nonumber \]

Umuhimu

Wote ongezeko halisi katika wingi na ongezeko la asilimia ni ndogo sana, kwa sababu nishati imegawanywa na\(c^2\), idadi kubwa sana. Tunapaswa kupima wingi wa betri kwa usahihi wa asilimia bilioni, au sehemu 1\(10^{11}\), ili kuona ongezeko hili. Haishangazi kwamba tofauti ya wingi haionyeshi kwa urahisi. Kwa kweli, mabadiliko haya kwa wingi ni ndogo sana ili tuweze kuuliza jinsi mtu yeyote anaweza kuthibitisha kuwa ni kweli. Jibu linapatikana katika michakato ya nyuklia ambamo asilimia ya molekuli iliyoharibiwa ni kubwa ya kutosha kupimwa kwa usahihi. Masi ya mafuta ya reactor ya nyuklia, kwa mfano, ni ndogo sana wakati nishati yake imetumiwa. Katika hali hiyo, nishati iliyohifadhiwa imetolewa (kubadilishwa zaidi katika nishati ya joto kwa nguvu jenereta za umeme) na molekuli nyingine imepungua. Kupungua kwa wingi pia hutokea kutokana na kutumia nishati iliyohifadhiwa kwenye betri, isipokuwa kwamba nishati iliyohifadhiwa ni kubwa zaidi katika michakato ya nyuklia, na kufanya mabadiliko katika molekuli kupimwa katika mazoezi na pia katika nadharia.

Relativistic Nishati na Kasi

Tunajua kwa kawaida kwamba nishati ya kinetic na kasi ni kuhusiana na kila mmoja, kwa sababu:

\[K_{class} = \dfrac{p^2}{2m} = \dfrac{(mu)^2}{2m} = \dfrac{1}{2}mu^2. \nonumber \]

Relativistically, tunaweza kupata uhusiano kati ya nishati na kasi kwa algebraically manipulating yao kufafanua equations. Hii mavuno:

\[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \label{5.11} \]

\(E\)wapi nishati ya jumla ya relativistic,

\[E = \dfrac{mc^2 }{\sqrt{1 - u^2/c^2}} \nonumber \]

na\(p\) ni kasi relativistic. Uhusiano huu kati ya nishati ya relativistic na kasi ya relativistic ni ngumu zaidi kuliko toleo la classical, lakini tunaweza kupata ufahamu mpya wa kuvutia kwa kuchunguza. Kwanza, jumla ya nishati ni kuhusiana na kasi na kupumzika molekuli. Wakati wa kupumzika, kasi ni sifuri, na equation inatoa nishati ya jumla kuwa nishati ya kupumzika\(mc^2\) (hivyo equation hii ni sawa na majadiliano ya nishati ya kupumzika hapo juu). Hata hivyo, kama wingi unavyoharakisha, ongezeko lake\(p\) linaongezeka, na hivyo kuongeza nishati ya jumla. Kwa kasi ya kutosha, neno la nishati lingine\((mc^2)^2\) linakuwa duni ikilinganishwa na muda wa kasi\((pc)^2\); hivyo, kwa\(E = pc\) kasi ya relativistic sana.

Kama tunaona kasi\(p\) kuwa tofauti na wingi, tunaweza kuamua matokeo ya equation

\[E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2, \nonumber \]

kwa chembe ambayo haina molekuli. Kama sisi\(m\) kuchukua kuwa sifuri katika equation hii, basi\(E = pc,\, orp = E/c\). Chembe zisizo na massa zina kasi hii. Kuna chembe kadhaa za massless zilizopatikana katika asili, ikiwa ni pamoja na photons (ambazo ni pakiti za mionzi ya umeme). Mwingine maana ni kwamba chembe massless lazima kusafiri kwa kasi c na tu kwa kasi c. Ni zaidi ya upeo wa maandishi haya kuchunguza uhusiano\(E^2 = (pc)^2 + (mc^2)^2\) katika equation kwa undani, lakini unaweza kuona kwamba uhusiano una maana muhimu katika relativity maalum.

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Nishati ya kinetic ya elektroni ni nini ikiwa kasi yake ni\(0.992c\)?

Jibu

\[ \begin{align*} K_{rel} &= (\gamma - 1)mc^2 = \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{u^2}{c^2}}} - 1 \right) mc^2 \nonumber \\[4pt] &= \left(\dfrac{1}{\sqrt{1 - \dfrac{(0.992 c)^2}{c^2}}} - 1 \right) (9.11 \times 10^{-31}\, kg)(3.00 \times 10^8\, m/s)^2 \nonumber \\[4pt] &= 5.67 \times 10^{-13}\, J \end{align*} \nonumber \]