Skip to main content
Global

5.A: Uhusiano (Majibu)

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175477

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Angalia Uelewa Wako

    5.1. Uhusiano maalum unatumika tu kwa vitu vinavyohamia kwa kasi ya mara kwa mara, wakati relativity ya jumla inatumika kwa vitu vinavyoongezeka.

    5.2. \(\displaystyle γ=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.650c)^2}{c^2}}}=1.32\)

    5.3. a\(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{2.10×10^{−8}s}{\sqrt{1−\frac{(1.90×10^8m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=2.71×10^{−8}s\).

    b. kasi tu ya jamaa ya mambo mawili spacecraft kwa sababu hakuna mwendo kamili kupitia nafasi. Ishara imetolewa kutoka eneo lililowekwa katika sura ya kumbukumbu ya A, hivyo muda sahihi wa muda wa chafu yake ni\(\displaystyle τ=1.00s\). Muda wa ishara kipimo kutoka sura ya kumbukumbu B ni basi

    \(\displaystyle Δt=\frac{Δτ}{\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}}=\frac{1.00s}{\sqrt{1−\frac{(4.00×10^7m/s)^2}{(3.00×10^8m/s)^2}}}=1.01s\).

    5.4. \(\displaystyle L=L_0\sqrt{1−\frac{v^2}{c^2}}=(2.50km)\sqrt{1−\frac{(0.750c)^2}{c^2}}=1.65km\)

    5.5. Anza na ufafanuzi wa nyongeza sahihi ya wakati:

    \(\displaystyle dτ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−(dx^2+dx^2+dx^2)/c^2}\).

    ambapo\(\displaystyle (dx, dy, dx, cdt)\) hupimwa katika sura ya inertial ya mwangalizi ambaye si lazima kuona chembe hiyo wakati wa kupumzika. Hii kwa hiyo inakuwa

    \(\displaystyle d_τ=\sqrt{−(ds)^2/c^2}=\sqrt{dt^2−[(dx)^2+(dy)^2+(dz)^2]/c^2}\)

    \(\displaystyle =dt\sqrt{1−[(\frac{dx}{dt})^2+(\frac{dy}{dt})^2+(\frac{dz}{dt})^2]/c^2}\)

    \(\displaystyle =dt\sqrt{1−v^2/c^2}\)

    \(\displaystyle dt=γdτ\).

    5.6. Ingawa uhamisho perpendicular kwa mwendo jamaa ni sawa katika muafaka wote wa kumbukumbu, muda kati ya matukio tofauti, na tofauti katika dt na\(\displaystyle dt'\) kusababisha kasi tofauti kuonekana kutoka muafaka mbili.

    5.7. Tunaweza kubadilisha data moja kwa moja kwenye equation kwa relativistic Doppler frequency:

    \(\displaystyle f_{obs}=f_s\sqrt{\frac{1−\frac{v}{c}}{1+\frac{v}{c}}}=(1.50GHz)\sqrt{\frac{1−\frac{0.350c}{c}}{1+\frac{0.350c}{c}}}=1.04GHz.\)

    5.8. Badilisha data katika equation iliyotolewa:

    \(\displaystyle p=γmu=\frac{mu}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}=\frac{(9.11×10^{−31}kg)(0.985)(3.00×10^8m/s)}{\sqrt{1−\frac{(0.985c)^2}{c^2}}}=1.56×10^{−21}kg-m/s\).

    5.9. \(\displaystyle K_{rel}=(γ−1)mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{u^2}{c^2}}}mc^2=(\frac{1}{\sqrt{1−\frac{(0.992c)^2}{c^2}}−1}(9.11×10^{−31}kg)(3.00×10^8m/s)^2=5.67×10^{−13}J\)

    Maswali ya dhana

    1. postulate ya pili, inayohusisha kasi ya mwanga; fizikia ya kawaida tayari imejumuisha wazo kwamba sheria za mechanics, angalau, zilikuwa sawa katika muafaka wote wa inertial, lakini kasi ya pigo la mwanga ilikuwa tofauti katika muafaka tofauti unaohamia kwa heshima kwa kila mmoja

    3. Ndiyo, ikiwa ndege inaruka kwa kasi ya mara kwa mara kuhusiana na Dunia; katika kesi hiyo, kitu ambacho hakina nguvu yoyote kinachofanya ndani ya ndege haina mabadiliko katika kasi kuhusiana na ndege na hakuna mabadiliko katika kasi kuhusiana na Dunia; ndege na ardhi ni muafaka wa inertial kwa kuelezea mwendo wa kitu

    5. Mwangalizi anayehamia na mchakato anaona muda wake wa wakati unaofaa, ambao ni mfupi zaidi unaoonekana na mwangalizi yeyote.

    7. Urefu wa kitu ni mkubwa kwa mwangalizi ambaye anahamia na kitu, na kwa hiyo hupima urefu wake sahihi.

    9. a. hapana, si ndani ya sura astronaut mwenyewe ya kumbukumbu.

    b Anaona saa za Dunia kuwa katika sura zao za kupumzika zikihamia naye, na kwa hiyo anawaona zimepungua.

    c. hapana, si ndani ya sura astronaut mwenyewe ya kumbukumbu.

    Ndiyo, anapima umbali kati ya nyota hizo mbili kuwa mfupi.

    e. waangalizi wawili kukubaliana juu ya kasi yao jamaa.

    11. Hakuna mabadiliko ya kipimo katika wavelength au mzunguko katika kesi hii. Athari ya Doppler ya relativistic inategemea tu kasi ya jamaa ya chanzo na mwangalizi, sio kasi yoyote inayohusiana na kati ya mawimbi ya mwanga.

    13. Inaonyesha kwamba nyota zinaendelea kuwa mbali zaidi na Dunia, kwamba ulimwengu unapanuka, na kufanya hivyo kwa kiwango cha kuharakisha, na kasi kubwa zaidi kwa nyota za mbali zaidi.]

    15. Ndiyo. Hii inaweza kutokea ikiwa nguvu ya nje inafanana na vikosi vingine vya nje vya nje, ili nguvu ya nje ya nje ni sifuri.

    17. Kwa sababu inapoteza nishati ya joto, ambayo ni nishati ya kinetic ya mwendo wa random wa chembe zake zilizojitokeza, umati wake hupungua kwa kiasi kidogo sana, kama ilivyoelezwa na ulinganifu wa nishati ya wingi.

    19. Ndiyo, kimsingi kutakuwa na athari sawa juu ya wingi kwa kupungua kwa nishati yoyote, lakini mabadiliko itakuwa ndogo sana kwa mabadiliko ya nishati katika mmenyuko wa kemikali ambayo itakuwa undetectable katika mazoezi.

    21. Si kulingana na relativity maalum. Hakuna kitu kilicho na wingi kinaweza kufikia kasi ya mwanga.

    Matatizo

    23. a. 1.0328;

    b. 1.15

    25. \(\displaystyle 5.96×10^{−8}s\)

    27. 0.800c

    29. 0.140c

    31. 48.6 m

    33. Kutumia maadili yaliyotolewa katika Mfano 5.3:

    a. 1.39 km;

    b. kilomita 0.433;

    c. 0.433 km

    35. a. 10.0c;

    b. kasi ya kusababisha canister ni kubwa kuliko c, haiwezekani.

    c Ni busara kudhani kwamba canister itahamia duniani saa 1.20 c.

    37. Angle α inakaribia\(\displaystyle 45°\), na\(\displaystyle t'-\) na\(\displaystyle x'-axes\) mzunguko kuelekea makali ya koni mwanga.

    39. 15 m/s mashariki

    41. 32 m/s

    43. a. mpira wa pili mbinu na kasi\(\displaystyle −v\) na suala la kupumzika wakati mpira mwingine inaendelea na kasi\(\displaystyle −v\);

    b Hii inahifadhi kasi.

    45. a\(\displaystyle t_1'=0; x_1'=0\);.

    \(\displaystyle t_2'=τ;x_2'=0;\)

    b\(\displaystyle t_1'=0;x_1'=0\);

    \(\displaystyle t_2'=\frac{τ}{\sqrt{1−v^2/c^2}};x_2'=\frac{−vτ}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    47. 0.615c

    49. 0.696 c

    51. (Ushahidi)

    53. \(\displaystyle 4.09×10^{−19}kg⋅m/s\)

    55. a\(\displaystyle 3.000000015×10^{13}kg⋅m/s\);.

    b. 1.000000005

    57. \(\displaystyle 2.988×10^8m/s\)

    59. 0.512 MeV kulingana na idadi ya takwimu muhimu alisema. Thamani halisi ni karibu na 0.511 MeV.

    61. \(\displaystyle 2.3×10^{−30}kg\); kwa tarakimu mbili kwa sababu tofauti katika nguvu za kupumzika hupatikana kwa tarakimu mbili

    63. a\(\displaystyle 1.11×10^{27}kg\);.

    b.\(\displaystyle 5.56×10−5\)

    65. a.\(\displaystyle 7.1×10^{−3}kg;\)

    b\(\displaystyle 7.1×10^{−3}=7.1×10^{−3}\);

    c.\(\displaystyle \frac{Δm}{m}\) ni kubwa kwa hidrojeni

    67. a. 208;

    b. 0.999988c; tarakimu sita zilizotumiwa kuonyesha tofauti kutoka c

    69. a\(\displaystyle 6.92×10^5J\);.

    b. 1.54

    71. a. 0.914c;

    b. wengine molekuli nishati elektroni ni 0.511 MeV, hivyo nishati kinetic ni takriban 150% ya wengine wingi nishati. Electron inapaswa kusafiri karibu na kasi ya mwanga.

    Matatizo ya ziada

    73. a. 0.866c;

    b. 0.995c

    75. a. 4.303 y kwa tarakimu nne ili kuonyesha athari yoyote;

    b. 0.1434 y;

    c\(\displaystyle 1/\sqrt{(1−v^2/c^2)}=29.88.\).

    77. a. 4.00;

    b.\(\displaystyle v=0.867c\)

    79. a. inapeleka mapigo ya redio katika kila moyo kwa B, ambaye anajua kasi yao ya jamaa na anatumia muda kupanua formula kwa mahesabu ya muda sahihi wakati kati ya mapigo ya moyo kutoka ishara aliona.

    b.\(\displaystyle (66beats/min)\sqrt{1−v^2/c^2}=57.1\) beats/min

    81. a. photon ya kwanza:\(\displaystyle (0,0,0)\) katika\(\displaystyle t=t′\); photon ya pili:

    \(\displaystyle t'=\frac{−vx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{−(c/2)(1.00m)/c^2}{\sqrt{0.75}}=\frac{0.577m}{c}=1.93×10^{−9}s\)

    \(\displaystyle x'=\frac{x}{\sqrt{1−v^2/c^2}}=\frac{1.00m}{\sqrt{0.75}}\)=1.15m\)

    b. wakati huo huo katika A, sio wakati huo huo katika B

    83. \(\displaystyle t^{\prime}=\frac{t-v x / c^{2}}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)-(0.6 c)\left(\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}}{c^{2}}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}} \)

    \(\displaystyle = 1.88 \times 10^{-4} \: s\)

    \(\displaystyle x^{\prime}=\frac{x-v t}{\sqrt{1-v^{2} / c^{2}}}=\frac{150 \times 10^{3} \: \mathrm{m}-(0.60)\left(3.00 \times 10^{8} \: \mathrm{m} / \mathrm{s}\right)\left(4.5 \times 10^{-4} \: \mathrm{s}\right)}{\sqrt{1-(0.6)^{2}}}\)

    \(\displaystyle = 8.6 \times 10^{4} \: m = 86 \: km\)

    \(\displaystyle y=y'=15 \: km\)

    \(\displaystyle z=z'=1 \: km\)

    85. \(\displaystyle Δt=\frac{Δt'+vΔx'/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle 0=\frac{Δt'+v(500m)/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\);

    tangu\(\displaystyle v≪c\), tunaweza kupuuza mrefu\(\displaystyle v^2/c^2\) na kupata

    \(\displaystyle Δt'=−\frac{(50m/s)(500m)}{(3.00×10^8m/s)^2}=−2.78×10^{−13}s\)

    Kuvunjika kwa wakati mmoja wa Newton ni mdogo sana, lakini sio sifuri hasa, kwa kasi ya treni ya kweli ya 50 m/s.

    87. \(\displaystyle Δt'=\frac{Δt−vΔx/c^2}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle 0=\frac{(0.30s)−\frac{(v)(2.0×10^9m)}{(3.00×10^8m/s)^2}}{\sqrt{1−v^2/c^2}}\)

    \(\displaystyle v=\frac{(0.30s)}{(2.0×10^9m)}(3.00×10^8m/s)^2\)

    \(\displaystyle v=1.35×10^7m/s\)

    89. Kumbuka kuwa majibu yote ya tatizo hili yanaripotiwa kwa takwimu tano muhimu, ili kutofautisha matokeo.

    a. 0.99947c;

    b\(\displaystyle 1.2064×10^{11}y\);

    c.\(\displaystyle 1.2058×10^{11}y\)

    91. a. — 0.400 c;

    b. — 0.909c

    93. a. 1.65 km/s;

    b Ndiyo, ikiwa kasi ya mwanga ilikuwa ndogo, kasi ambayo tunaweza kufikia katika maisha ya kila siku itakuwa kubwa kuliko 1% ya kasi ya mwanga na tunaweza kuchunguza athari za relativistic mara nyingi zaidi.

    95. 775 MHz

    97. a\(\displaystyle 1.12×10^{−8}m/s\);.

    b Kasi ndogo inatuambia kwamba wingi wa protini ni ndogo sana kuliko ile ya kiasi kidogo cha suala la macroscopic.

    99. a\(\displaystyle F=\frac{dp}{dt}=\frac{d}{dt}(\frac{mu}{\sqrt{1−u^2/c^2}})=\frac{du}{dt}(\frac{m}{\sqrt{1−u^2/c^2}})−\frac{1}{2}\frac{mu^2}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}2\frac{du}{dt}=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}\);.

    b.\(\displaystyle F=\frac{m}{(1−u^2/c^2)^{3/2}}\frac{du}{dt}=\frac{1kg}{(1−(\frac{1}{2})^2)^{3/2}}(1m/s^2)=1.53N\)

    101. 90.0 mEV

    103. a\(\displaystyle γ^2−1\);.

    b. ndiyo

    105. \(\displaystyle 1.07×10^3\)

    107. a\(\displaystyle 6.56×10^{−8}kg\);.

    b.\(\displaystyle m=(200L)(1m^3/1000L)(750kg/m^3)=150kg\); kwa hiyo,\(\displaystyle \frac{Δm}{m}=4.37×10^{−10}\)

    109. a. 0.314c;

    b. 0.99995c (tarakimu tano zinazotumiwa kuonyesha tofauti kutoka c)

    111. a. 1.00 kilo;

    b Masi hii kiasi itakuwa kupimika, lakini pengine si kuonekana tu kwa kuangalia kwa sababu ni 0.01% ya jumla ya molekuli.

    113. a.\(\displaystyle 6.06×10^{11}kg/s;\)

    b.\(\displaystyle 4.67×10^{10}y;\)

    c\(\displaystyle 4.27×10^9kg\);

    d.\(\displaystyle 0.32%\)