Skip to main content
Global

11.5: Hyperbolas

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176853

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Grafu hyperbola na kituo cha saa\((0,0)\)
    • Grafu hyperbola na kituo cha saa\((h,k)\)
    • Tambua sehemu za conic kwa usawa wao

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kutatua:\(x^{2}=12\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 9.1.
    2. Panua:\((x−4)^{2}\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.32.
    3. Grafu\(y=-\frac{2}{3} x\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, kagua Mfano 3.4.

    Grafu Hyperbola na Kituo cha\((0,0)\)

    Sehemu ya mwisho ya conic tutaangalia inaitwa hyperbola. Tutaona kwamba equation ya hyperbola inaonekana sawa na equation ya duaradufu, isipokuwa ni tofauti badala ya jumla. Wakati equations ya ellipse na hyperbola ni sawa sana, grafu zao ni tofauti sana.

    Tunafafanua hyperbola kama pointi zote katika ndege ambapo tofauti ya umbali wao kutoka pointi mbili za kudumu ni mara kwa mara. Kila moja ya pointi fasta inaitwa lengo la hyperbola.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

    Hyperbola ni pointi zote katika ndege ambapo tofauti ya umbali wao kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila moja ya pointi fasta inaitwa lengo la hyperbola.

    Takwimu inaonyesha koni ya mviringo ya kulia iliyopigwa mara mbili iliyokatwa na ndege inayofanana na mhimili wima wa koni inayounda hyperbola. Takwimu hiyo imeandikwa â€hyperbolaâ €™.
    Kielelezo 11.4.1

    Mstari kupitia foci, huitwa mhimili wa transverse. Vipengele viwili ambapo mhimili unaozunguka huingilia hyperbola ni kila vertex ya hyperbola. Midpoint ya sehemu ya kujiunga na foci inaitwa katikati ya hyperbola. Mstari unaozingatia mhimili unaozunguka unaopita katikati huitwa mhimili wa conjugate. Kila kipande cha grafu kinaitwa tawi la hyperbola.

    Takwimu inaonyesha grafu mbili za hyperbola. Grafu ya kwanza inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande na foci vinaonyeshwa kwa pointi ambazo ziko kwenye mhimili wa transverse, ambayo ni x-axis. Matawi hupita kupitia vertices na kufungua kushoto na kulia. Mhimili wa y ni mhimili wa conjugate. Grafu ya pili inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande na uongo wa foci huonyeshwa kwa pointi zinazolala kwenye mhimili wa transverse, ambayo ni y-axis. Matawi hupita kwenye vipeo na kufungua juu na chini. Mhimili wa x-ni mhimili wa conjugate.
    Kielelezo 11.4.2

    Tena lengo letu ni kuunganisha jiometri ya conic na algebra. Kuweka hyperbola kwenye mfumo wa kuratibu mstatili unatupa fursa hiyo. Katika takwimu, tuliweka hyperbola hivyo foci\(((−c,0),(c,0))\) iko kwenye\(x\) -axis na katikati ni asili.

    Takwimu inaonyesha grafu ya hyperbola. Grafu inaonyesha x-axis na y-axis kwamba wote kukimbia katika maelekezo hasi na chanya, lakini kwa vipindi unleaded. Katikati ya hyperbola ni asili. Foci (hasi c, 0) na (c, 0) ni alama na uhakika na uongo juu ya x-axis. Vipande ni alama na uhakika na uongo juu ya x-axis. Matawi hupita kupitia vertices na kufungua kushoto na kulia. Umbali kutoka (hasi c, 0) hadi hatua kwenye tawi (x, y) ni alama d ndogo 1. Umbali kutoka (x, y) kwenye tawi hadi (c, 0) ni alama d ndogo 2.
    Kielelezo 11.4.3

    Ufafanuzi unasema tofauti ya umbali kutoka kwa foci hadi hatua\((x,y)\) ni mara kwa mara. Hivyo\(|d_{1}−d_{2}|\) ni mara kwa mara kwamba tutaita\(2a\) hivyo\(|d_{1}-d_{2} |=2 a\). Tutatumia formula ya umbali ili kutuongoza kwenye formula ya algebraic kwa ellipse.

    \(\left|d_{1} - d_{2}\right| =2 a\)

    Tumia formula ya umbali ili upate\(d_{1}, d_{2}\)

    \(\left|\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}-\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}\right|=2 a\)

    Kuondoa radicals. Ili kurahisisha equation ya ellipse, tunaruhusu\(c^{2}-a^{2}=b^{2}\).

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{c^{2}-a^{2}}=1\)

    Hivyo, equation ya hyperbola unaozingatia asili katika fomu ya kawaida ni:

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)

    Ili graph hyperbola, itakuwa na manufaa kujua kuhusu intercepts. Tutapata\(x\) -intercepts na\(y\) -intercepts kutumia formula.

    \(x\)-hukataa

    Hebu\(y=0\).

    \(\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}\)

    \(x\)-intercepts ni\((a,0)\) na\((−a,0)\).

    \(y\)-hukataa

    Hebu\(x=0\).

    \(\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\-\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=-b^{2} \\ y &=\pm \sqrt{-b^{2}} \end{aligned}\)

    Hakuna\(y\) -intercepts.

    \(a, b\)Maadili katika equation pia hutusaidia kupata asymptotes ya hyperbola. Asymptotes ni intersecting mistari ya moja kwa moja kwamba matawi ya mbinu grafu lakini kamwe intersect kama\(x, y\) maadili kupata kubwa na kubwa.

    Ili kupata asymptotes, tunachora mstatili ambao pande zake zinaingiliana na x -axis kwenye vipeo\((−a,0),(a,0)\), na huingiliana\(y\) -axis saa\((0,−b), (0,b)\). Mstari ulio na diagonals ya mstatili huu ni asymptotes ya hyperbola. Mstatili na asymptotes si sehemu ya hyperbola, lakini hutusaidia graph hyperbola.

    Takwimu inaonyesha grafu ya hyperbola. Grafu inaonyesha x-axis na y-axis kwamba wote kukimbia katika maelekezo hasi na chanya, lakini kwa vipindi unleaded. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande ni (hasi a, 0) na (a, 0) na ni alama na uhakika na uongo juu ya x-axis. Pointi (0, b) na (0, hasi) hulala kwenye mhimili wa y. Kuna mstatili wa kati ambao pande hutenganisha x-axis kwenye vipeo (hasi a, 0) na (a, 0) na kuingiliana kwa mhimili wa y katika (0, b) na (0, hasi b). Asymptotes hutolewa na y ni sawa na b kugawanywa na mara x na y ni sawa na hasi b imegawanywa na mara x na hutolewa kama diagonal ya mstatili wa kati. Matawi ya hyperbola hupita kupitia vertices, kufungua kushoto na kulia, na ufikie asymptotes.
    Kielelezo 11.4.4

    Asymptotes hupita kupitia asili na tunaweza kutathmini mteremko wao kwa kutumia mstatili tuliyopiga. Wana milinganyo\(y=\frac{b}{a} x\) na\(y=-\frac{b}{a} x\).

    Kuna equations mbili kwa hyperbolas, kulingana na kama mhimili transverse ni wima au usawa. Tunaweza kujua kama mhimili wa transverse ni usawa kwa kuangalia equation. Wakati equation iko katika fomu ya kawaida, ikiwa\(x^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni usawa. Wakati equation iko katika fomu ya kawaida, ikiwa\(y^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni wima.

    Milinganyo ya pili inaweza kupatikana sawa na kile tulichokifanya. Sisi muhtasari matokeo hapa.

    Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

    Fomu ya kawaida ya Equation Hyperbola na Kituo\((0,0)\)

    Aina ya kiwango cha equation ya hyperbola na kituo\((0,0)\), ni

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 \quad\)au\(\quad \frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)

    Takwimu inaonyesha grafu ya hyperbolas mbili. Grafu ya kwanza inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande ni (hasi a, 0) na (a, 0) na ni alama na uhakika na uongo juu ya x-axis. Pointi (0, b) na (0, hasi) hulala kwenye mhimili wa y. Kuna mstatili wa kati ambao pande hutenganisha x-axis kwenye vipeo (hasi a, 0) na (a, 0) na kuingiliana kwa mhimili wa y katika (0, b) na (0, hasi b). Asymptotes hutolewa na y ni sawa na b kugawanywa na mara x na y ni sawa na hasi b imegawanywa na mara x na hutolewa kama diagonal ya mstatili wa kati. Matawi ya hyperbola hupita kupitia vertices, kufungua kushoto na kulia, na ufikie asymptotes. Grafu ya pili inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande ni (0, a) na (0, hasi a) na ni alama na uhakika na uongo juu ya y-axis. Pointi (0, b) na (0, hasi) hulala kwenye mhimili wa y. Kuna mstatili wa kati ambao pande huingiliana na mhimili wa y kwenye vipeo (0, a) na (0, hasi a) na huingiliana na mhimili wa y katika (hasi b, 0) na (b, 0). Matawi ya hyperbola hupita kupitia vertices, kufungua na chini, na ufikie asymptotes.
    Kielelezo 11.4.5

    Kumbuka kwamba, tofauti na equation ya duaradufu, denominator ya\(x^{2}\) si mara zote\(a^{2}\) na denominator ya\(y^{2}\) si mara zote\(b^{2}\).

    Angalia kwamba wakati\(x^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni juu ya\(x\) -axis. Wakati\(y^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni juu ya\(y\) -axis.

    Aina ya kawaida ya Equation Hyperbola na Kituo\((0,0)\)

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) \(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)
    Mwelekeo \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka kwenye\(x\) -mhimili.
    Inafungua kushoto na kulia    		 \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka kwenye\(y\) -mhimili.
    Inafungua juu na chini
    Vipeo \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((-a, 0),(a, 0)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((0,-a),(0, a)\)
    \(x\)-hukataa \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((-a, 0),(a, 0)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">hakuna
    \(y\)-hukataa \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">hakuna \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((0,-a),(0, a)\)
    Mstatili \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Matumizi\(( \pm a, 0)(0, \pm b)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Matumizi\((0, \pm a)( \pm b, 0)\)
    Asymptotes \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x\)
    Jedwali 11.4.1

    Tutatumia mali hizi kwa graph hyperbolas.

    Mfano\(\PageIndex{1}\) How to Graph a Hyperbola with Center \((0,0)\)

    Grafu\(\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1\).

    Suluhisho:

    Hatua ya 1: Andika equation katika fomu ya kawaida. Equation iko katika fomu ya kawaida. \(\frac{x^{2}}{25}-\frac{y^{2}}{4}=1\)
    Hatua ya 2: Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima. Kwa kuwa\(x^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni usawa. Mhimili wa transverse ni usawa.
    Hatua ya 3: Pata vipeo. \(a^{2}=25\)Tangu wakati huo\(a=\pm 5\). Vipande ni juu ya\(x\) -axis. \((-5,0),(5,0)\)
    Hatua ya 4: Mchoro mstatili unaozingatia katika makutano ya asili ya mhimili mmoja\(\pm a\) na mwingine\(\pm b\).

    Tangu\(a=\pm 5\), mstatili utaingiliana na\(x\) -axis kwenye vipeo.

    Tangu\(b=\pm 2\), mstatili utaingiliana na\(y\) -axis\((0,-2)\) na\((0,2)\).

    		 Picha ya skrini (148) .png

    Hatua ya 5: Mchoro asymptotes-mistari kupitia diagonals ya mstatili.

    		 Asymptotes zina equations\(y=\frac{5}{2} x, y=-\frac{5}{2} x\). Picha ya skrini (149) .png
    Hatua ya 6: Chora matawi mawili ya hyperbola. Anza kila vertex na utumie asymptotes kama mwongozo. Picha ya skrini (150) .png
    Jedwali 11.4.2
    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Grafu\(\frac{x^{2}}{16}-\frac{y^{2}}{4}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na asymptots y ni sawa na pamoja au minus mara nusu x, na matawi ambayo hupita kupitia vipeo (pamoja au minus 4, 0) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.9
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Grafu\(\frac{x^{2}}{9}-\frac{y^{2}}{16}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na asymptots y ni sawa na pamoja au minus mara theluthi nne x, na matawi ambayo hupitia vertices (pamoja au minus 3, 0) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.10

    Sisi muhtasari hatua za kumbukumbu.

    Graph Hyperbola unaozingatia\((0,0)\)

    1. Andika equation katika fomu ya kawaida.
    2. Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima.
    3. Pata vipeo.
    4. Mchoro mstatili unaozingatia katika asili intersecting mhimili mmoja katika\(±a\) na nyingine katika\(±b\).
    5. Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili.
    6. Chora matawi mawili ya hyperbola.

    Wakati mwingine equation kwa hyperbola inahitaji kuwekwa kwanza katika fomu ya kawaida kabla ya kuiweka.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Grafu\(4 y^{2}-16 x^{2}=64\).

    Suluhisho:

      \(4 y^{2}-16 x^{2}=64\)
    Kuandika equation katika hali ya kawaida, kugawanya kila neno na\(64\) kufanya equation sawa na\(1\). \(\frac{4 y^{2}}{64}-\frac{16 x^{2}}{64}=\frac{64}{64}\)
    Kurahisisha. \(\frac{y^{2}}{16}-\frac{x^{2}}{4}=1\)
    Kwa kuwa\(y^{2}\) -mrefu ni chanya, mhimili wa transverse ni wima. \(a^{2}=16\)Tangu wakati huo\(a=\pm 4\).  
    Vipande ni juu ya\(y\) -axis,\((0,-a),(0, a)\). \(b^{2}=4\)Tangu wakati huo\(b=\pm 2\). \((0,-4),(0,4)\)
    Mchoro mstatili unaoingiliana na\(x\) -axis\((-2,0),(2,0)\) na\(y\) -axis kwenye vipeo. Mchoro asymptotes kupitia diagonals ya mstatili. Chora matawi mawili ya hyperbola. .
    Jedwali 11.4.3
    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Grafu\(4 y^{2}-25 x^{2}=100\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na asymptots y ni sawa na pamoja au bala nusu tano mara x, na matawi ambayo hupitia vertices (0, pamoja au minus 5) na kufungua juu na chini.
    Kielelezo 11.4.12
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Grafu\(25 y^{2}-9 x^{2}=225\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na asymptots y ni sawa na pamoja au minus mara tatu ya tano x, na matawi ambayo hupitia vertices (0, pamoja au minus 3) na kufungua juu na chini.
    Kielelezo 11.4.13

    Grafu Hyperbola na Kituo cha\((h,k)\)

    Hyperbolas sio daima katikati ya asili. Wakati hyperbola ni katikati\((h,k)\) katika equations mabadiliko kidogo kama yalijitokeza katika meza.

    Aina ya kawaida ya Equation Hyperbola na Kituo\((h,k)\)

    \(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\) \(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)
    Mwelekeo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka ni usawa. Inafungua kushoto na kulia \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka ni wima. Inafungua juu na chini
    Kituo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((h,k)\) \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((h,k)\)
    Vipeo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(a\) vitengo upande wa kushoto na kulia wa kituo \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(a\) vitengo hapo juu na chini ya kituo
    Mstatili \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Tumia\(a\) vitengo kushoto/kulia ya\(b\) vitengo vya kituo cha juu/chini ya katikati \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Tumia\(a\) vitengo juu/chini ya\(b\) vitengo vya kituo cha kushoto/kulia katikati
    Jedwali 11.4.4
    Mfano\(\PageIndex{3}\) How to Graph a Hyperbola with Center \((h,k)\)

    Grafu\(\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1\)

    Suluhisho:

    Hatua ya 1: Andika equation katika fomu ya kawaida. Equation iko katika fomu ya kawaida. \(\frac{(x-1)^{2}}{9}-\frac{(y-2)^{2}}{16}=1\)
    Hatua ya 2: Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima. Kwa kuwa\(x^{2}\) neno ni chanya, hyperbola inafungua kushoto na kulia. Mhimili wa transverse ni usawa. Hyperbola inafungua kushoto na kulia.
    hatua 3: Kupata kituo na\(a, b\). \(h=1\)na\(k=2\)
    \(a^{2}=9\)
    \(b^{2}=16\)

    \(\begin{array} {c} \frac{\left(\stackrel{\color{red}{x-h}}{\color{black}{x-1}} \right)^{2}}{9} - \frac{\left(\stackrel{\color{red}{y-k}}{\color{black}{y-2}} \right)^{2}}{16} = 1 \end{array}\)

    Kituo cha:\((1,2)\)

    \(a=3\)

    \(b=4\)
    Hatua ya 4: Mchoro mstatili unaozingatia\((h,k)\) kutumia\(a,b\).

    Mark katikati,\((1,2)\).

    Mchoro mstatili kwamba huenda kwa njia ya\(3\) vitengo pointi kushoto/kulia wa kituo na\(4\) vitengo juu na chini ya kituo cha.

    		 Picha ya skrini (151) .png
    Hatua ya 5: Mchoro asymptotes-mistari kupitia diagonals ya mstatili. Andika alama alama. Chora diagonals. Weka alama, ambazo ziko kwenye\(3\) vitengo vya mstatili upande wa kushoto na wa kulia wa katikati. Picha ya skrini (152) .png
    Hatua ya 6: Chora matawi mawili ya hyperbola. Anza kila vertex na utumie asymptotes kama mwongozo. Picha ya skrini (153) .png
    Jedwali 11.4.5
    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Grafu\(\frac{(x-3)^{2}}{25}-\frac{(y-1)^{2}}{9}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na asymptote ambayo hupitia (hasi 2, hasi 2) na (8, 4) na asymptote ambayo hupita kupitia (hasi 2, 4) na (8, hasi 2), na matawi ambayo hupitia vertices ( hasi 2, 2) na (8, 2) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.17
    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Grafu\(\frac{(x-2)^{2}}{4}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-mhimili na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na kituo cha (2, 2), asymptote ambayo hupitia (0, hasi 1) na (4, 5) na asymptote ambayo hupita kupitia (0, 5) na (4, hasi 1), na matawi ambayo hupita kwenye vipeo (0, 2) na (4, 2) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.18

    Sisi muhtasari hatua kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.

    Graph Hyperbola unaozingatia\((h,k)\)

    1. Andika equation katika fomu ya kawaida.
    2. Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima.
    3. Kupata kituo na\(a,b\).
    4. Mchoro mstatili unaozingatia\((h,k)\) kutumia\(a,b\).
    5. Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili. Andika alama alama.
    6. Chora matawi mawili ya hyperbola.

    Kuwa makini kama wewe kutambua kituo cha. kiwango equation ina\(x−h\)\(y−k\) na kwa kituo kama\((h,k)\).

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Grafu\(\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+1)^{2}}{4}=1\).

    Suluhisho:

      .
    Kwa kuwa\(y^{2}\) neno ni chanya, hyperbola inafungua na chini. .
    Kupata kituo cha,\((h,k)\). Kituo cha:\((-1,-2)\)
    Kupata\(a,b\). \(a=3 b=2\)
    Mchoro mstatili kwamba huenda kwa njia ya\(3\) vitengo pointi juu na chini ya kituo na
    \(2\) vitengo kushoto/kulia wa kituo cha.
    Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili.
    Mark alama.
    Grafu matawi.    		 .
    Jedwali 11.4.6
    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Grafu\(\frac{(y+3)^{2}}{16}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-mhimili na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlebo, na kituo cha (hasi 2, hasi 3), asymptote ambayo hupitia (hasi 5, hasi 7) na (1, 1) na asymptote ambayo hupitia (hasi 5, 1) na (1, 7), na matawi kwamba kupita katika vertices (hasi 2, 1) na (hasi 2, hasi 7) na kufungua juu na chini.
    Kielelezo 11.4.22
    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Grafu\(\frac{(y+2)^{2}}{9}-\frac{(x+2)^{2}}{9}=1\).

    Jibu
    Grafu inaonyesha x-mhimili na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlebo, na kituo cha (hasi 2, hasi 2), asymptote ambayo hupitia (hasi 5, hasi 5) na (1, 1) na asymptote ambayo hupitia (hasi 5, 1) na (1, hasi 5), na matawi ambayo hupita kupitia vertices (hasi 2, 1) na (hasi 2, hasi 5) na kufungua juu na chini.
    Kielelezo 11.4.23

    Tena, wakati mwingine tuna kuweka equation katika hali ya kawaida kama hatua yetu ya kwanza.

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Andika equation katika fomu ya kawaida na grafu\(4 x^{2}-9 y^{2}-24 x-36 y-36=0\).

    Suluhisho:

      .
    Ili kufikia fomu ya kawaida, jaza mraba. .
      .
      .
    Gawanya kila neno na\(36\) kupata mara kwa mara kuwa\(1\). .
      .
    Kwa kuwa\(x^{2}\) neno ni chanya, hyperbola inafungua kushoto na kulia.  
    Kupata kituo cha,\((h,k)\). Kituo cha:\((3, -2)\)
    Kupata\(a,b\).

    \(a=3\)

    \(b=4\)
    Mchoro mstatili kwamba huenda kwa njia ya\(3\) vitengo pointi kushoto/kulia wa kituo na\(2\) vitengo juu na chini ya kituo cha.
    Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili.
    Mark alama.
    Grafu matawi.    		 .
    Jedwali 11.4.7
    Zoezi\(\PageIndex{9}\)
    1. Andika equation katika fomu ya kawaida na
    2. Grafu\(9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0\).
    Jibu
    1. \(\frac{(x+1)^{2}}{16}-\frac{(y-2)^{2}}{9}=1\)
    Grafu inaonyesha x-axis na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unlabeled, na kituo cha (hasi 1, 2), asymptote ambayo hupitia (hasi 5, 5) na (3, hasi 1) na asymptote ambayo hupitia (3, 5) na (hasi 5, hasi 1), na matawi ambayo kupita katika vertices (hasi 5, 2) na (3, 2) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.31
    Zoezi\(\PageIndex{10}\)
    1. Andika equation katika fomu ya kawaida na
    2. Grafu\(16 x^{2}-25 y^{2}+96 x-50 y-281=0\).
    Jibu
    1. \(\frac{(x+3)^{2}}{25}-\frac{(y+1)^{2}}{16}=1\)
    Grafu inaonyesha x-mhimili na y-mhimili kwamba wote kukimbia katika mwelekeo hasi na chanya, lakini katika vipindi unleaded, na kituo cha (hasi 3, hasi 1), asymptote ambayo hupitia (hasi 8, hasi 5) na (2, 3) na asymptote ambayo hupitia (hasi 8, 3) na (2, hasi 5), na matawi ambayo hupita kupitia vertices (hasi 8, hasi 1) na (2, hasi 1) na kufungua kushoto na kulia.
    Kielelezo 11.4.32

    Tambua Sehemu za Conic na Ulinganisho wao

    Sasa kwa kuwa tumekamilisha utafiti wetu wa sehemu za conic, tutaangalia equations tofauti na kutambua baadhi ya njia za kutambua conic kwa equation yake. Wakati sisi ni kupewa equation kwa grafu, ni muhimu kutambua conic hivyo tunajua nini hatua ya pili ya kuchukua.

    Ili kutambua conic kutoka equation yake, ni rahisi kama sisi kuweka maneno variable upande mmoja wa equation na constants kwa upande mwingine.

    Conic Tabia ya\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) -maneno Mfano
    Parabola \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">Aidha\(x^{2}\) AU\(y^{2}\). Variable moja tu ni mraba. \(x=3 y^{2}-2 y+1\)
    Circle \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana coefficients sawa. \(x^{2}+y^{2}=49\)
    duaradufu \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana ishara sawa, coefficients tofauti. \(4 x^{2}+25 y^{2}=100\)
    Hyperbola \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana ishara tofauti, coefficients tofauti. \(25 y^{2}-4 x^{2}=100\)
    Jedwali 11.4.8
    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Tambua grafu ya kila equation kama mduara, parabola, ellipse, au hyperbola.

    1. \(9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0\)
    2. \(9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0\)
    3. \(x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0\)
    4. \(y=-2 x^{2}-4 x-5\)

    Suluhisho:

    a.\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) -maneno na ishara sawa na coefficients mbalimbali.

    \(9 x^{2}+4 y^{2}+56 y+160=0\)

    duaradufu

    b.\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) -maneno na ishara tofauti na coefficients tofauti.

    \(9 x^{2}-16 y^{2}+18 x+64 y-199=0\)

    Hyperbola

    c.\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) -suala na coefficients sawa.

    \(x^{2}+y^{2}-6 x-8 y=0\)

    Circle

    d. variable moja tu\(x\),, ni mraba.

    \(y=-2 x^{2}-4 x-5\)

    Parabola

    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Tambua grafu ya kila equation kama mduara, parabola, ellipse, au hyperbola.

    1. \(x^{2}+y^{2}-8 x-6 y=0\)
    2. \(4 x^{2}+25 y^{2}=100\)
    3. \(y=6 x^{2}+2 x-1\)
    4. \(16 y^{2}-9 x^{2}=144\)
    Jibu
    1. Circle
    2. duaradufu
    3. Parabola
    4. Hyperbola
    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Tambua grafu ya kila equation kama mduara, parabola, ellipse, au hyperbola.

    1. \(16 x^{2}+9 y^{2}=144\)
    2. \(y=2 x^{2}+4 x+6\)
    3. \(x^{2}+y^{2}+2 x+6 y+9=0\)
    4. \(4 x^{2}-16 y^{2}=64\)
    Jibu
    1. duaradufu
    2. Parabola
    3. Circle
    4. Hyperbola

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na ufanyie mazoezi na hyperbolas.

    • Grafu Hyperbola na Kituo cha Mwanzo
    • Grafu Hyperbola na Kituo si katika Mwanzo
    • Grafu Hyperbola katika Fomu ya jumla
    • Kutambua Sehemu za Conic katika Fomu ya jumla

    Dhana muhimu

    • Hyperbola: hyperbola ni pointi zote katika ndege ambapo tofauti ya umbali wao kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara.
    Takwimu inaonyesha koni ya mviringo ya kulia iliyopigwa mara mbili iliyokatwa na ndege inayofanana na mhimili wima wa koni inayounda hyperbola. Takwimu hiyo inaitwa 'hyperbola'.
    Kielelezo 11.4.1
    • Kila moja ya pointi fasta inaitwa lengo la hyperbola.
      Mstari kupitia foci, huitwa mhimili wa transverse.
      Vipengele viwili ambapo mhimili unaozunguka huingilia hyperbola ni kila vertex ya hyperbola.
      Midpoint ya sehemu ya kujiunga na foci inaitwa katikati ya hyperbola.
      Mstari unaozingatia mhimili unaozunguka unaopita katikati huitwa mhimili wa conjugate.
      Kila kipande cha grafu kinaitwa tawi la hyperbola.
      Takwimu inaonyesha grafu mbili za hyperbola. Grafu ya kwanza inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande na foci vinaonyeshwa kwa pointi ambazo ziko kwenye mhimili wa transverse, ambayo ni x-axis. Matawi hupita kupitia vertices na kufungua kushoto na kulia. Mhimili wa y ni mhimili wa conjugate. Grafu ya pili inaonyesha x-axis na y-axis ambayo wote huendesha katika maelekezo hasi na mazuri, lakini kwa vipindi visivyojulikana. Katikati ya hyperbola ni asili. Vipande na uongo wa foci huonyeshwa kwa pointi zinazolala kwenye mhimili wa transverse, ambayo ni y-axis. Matawi hupita kwenye vipeo na kufungua juu na chini. Mhimili wa x-ni mhimili wa conjugate.

    Kielelezo 11.4.2

    Aina ya kawaida ya Equation Hyperbola na Kituo\((0,0)\)

    \(\frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\) \(\frac{y^{2}}{a^{2}}-\frac{x^{2}}{b^{2}}=1\)
    Mwelekeo \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka kwenye\(x\) -mhimili.
    Inafungua kushoto na kulia    		 \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka kwenye\(y\) -mhimili.
    Inafungua juu na chini
    Vipeo \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((-a, 0),(a, 0)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((0,-a),(0, a)\)
    \(x\)-hukataa \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((-a, 0),(a, 0)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">hakuna
    \(y\)-hukataa \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">hakuna \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((0,-a),(0, a)\)
    Mstatili \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Matumizi\(( \pm a, 0)(0, \pm b)\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Matumizi\((0, \pm a)( \pm b, 0)\)
    Asymptotes \ (\ frac {x^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {y^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(y=\frac{b}{a} x, y=-\frac{b}{a} x\) \ (\ frac {y^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {x^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(y=\frac{a}{b} x, y=-\frac{a}{b} x\)
    Jedwali 11.4.1
    • Jinsi ya grafu hyperbola unaozingatia\((0,0)\).
      1. Andika equation katika fomu ya kawaida.
      2. Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima.
      3. Pata vipeo.
      4. Mchoro mstatili unaozingatia katika asili intersecting mhimili mmoja katika\(±a\) na nyingine katika\(±b\).
      5. Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili.
      6. Chora matawi mawili ya hyperbola.

    Aina ya kawaida ya Equation Hyperbola na Kituo\((h,k)\)

    \(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}-\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\) \(\frac{(y-k)^{2}}{a^{2}}-\frac{(x-h)^{2}}{b^{2}}=1\)
    Mwelekeo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka ni usawa. Inafungua kushoto na kulia \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Mhimili unaozunguka ni wima. Inafungua juu na chini
    Kituo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((h,k)\) \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\((h,k)\)
    Vipeo \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(a\) vitengo upande wa kushoto na kulia wa kituo \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">\(a\) vitengo hapo juu na chini ya kituo
    Mstatili \ (\ frac {(x-h) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(y-k) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Tumia\(a\) vitengo kushoto/kulia ya\(b\) vitengo vya kituo cha juu/chini ya katikati \ (\ frac {(y-k) ^ {2}} {a^ {2}} -\ frac {(x-h) ^ {2}} {b ^ {2}} =1\) ">Tumia\(a\) vitengo juu/chini ya\(b\) vitengo vya kituo cha kushoto/kulia katikati
    Jedwali 11.4.4
    • Jinsi ya grafu hyperbola unaozingatia\((h,k)\).
      1. Andika equation katika fomu ya kawaida.
      2. Kuamua kama mhimili wa transverse ni usawa au wima.
      3. Kupata kituo na\(a,b\).
      4. Mchoro mstatili unaozingatia\((h,k)\) kutumia\(a,b\).
      5. Mchoro asymptotes - mistari kwa njia ya diagonals ya mstatili. Andika alama alama.
      6. Chora matawi mawili ya hyperbola.
    Conic Tabia ya\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) -maneno Mfano
    Parabola \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">Aidha\(x^{2}\) AU\(y^{2}\). Variable moja tu ni mraba. \(x=3 y^{2}-2 y+1\)
    Circle \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana coefficients sawa. \(x^{2}+y^{2}=49\)
    duaradufu \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana ishara sawa, coefficients tofauti. \(4 x^{2}+25 y^{2}=100\)
    Hyperbola \ (x^ {2}\) - na\(y^{2}\) -maneno">\(x^{2}\) - na\(y^{2}\) - maneno yana ishara tofauti, coefficients tofauti. \(25 y^{2}-4 x^{2}=100\)
    Jedwali 11.4.8

    faharasa

    hyperbola
    Hyperbola inafafanuliwa kama pointi zote katika ndege ambapo tofauti ya umbali wao kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara.