11.4: duaradufu

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176883

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Grafu duaradufu na kituo cha asili
Pata equation ya duaradufu na kituo cha asili
Graph duaradufu na kituo si katika asili
Tatua programu na ellipses

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Grafu$y=(x-1)^{2}-2$ kutumia mabadiliko.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 9.57.
Jaza mraba:$x^{2}-8 x=8$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 9.12.
Andika kwa fomu ya kawaida. $y=2 x^{2}-12 x+14$
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 9.59.

Grafu ya Ellipse na Kituo cha Mwanzo

Sehemu inayofuata ya conic tutaangalia ni ellipse. Tunafafanua duaradufu kama pointi zote katika ndege ambapo jumla ya umbali kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila moja ya pointi iliyotolewa inaitwa lengo la ellipse.

Ufafanuzi$\PageIndex{1}$

Elipse ni pointi zote katika ndege ambapo jumla ya umbali kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila moja ya pointi fasta inaitwa lengo la ellipse.

Takwimu hii inaonyesha koni mbili iliyoingiliana na ndege ili kuunda duaradufu. — Kielelezo 11.3.1

Tunaweza kuteka duaradufu kwa kuchukua baadhi ya fasta urefu wa kamba rahisi na attaching mwisho kwa thumbtacks mbili. Tunatumia kalamu ili kuvuta kamba ya kamba na kugeuka karibu na thumbtacks mbili. Takwimu ambayo matokeo ni ellipse.

Takwimu hii inaonyesha kalamu iliyounganishwa na masharti mawili, mwisho mwingine ambao umeunganishwa na thumbtacks mbili. Mikanda ni vunjwa taut na kalamu inazungushwa ili kuteka duaradufu. thumbtacks ni kinachoitwa F subscript 1 na F subscript 2. — Kielelezo 11.3.2

Mstari unaotokana na foci unaingiliana na ellipse katika pointi mbili. Kila hatua inaitwa vertex ya duaradufu. Sehemu inayounganisha vertices inaitwa mhimili mkubwa. Midpoint ya sehemu inaitwa katikati ya ellipse. Sehemu perpendicular kwa mhimili kuu ambayo hupita katikati na intersects duaradufu katika pointi mbili inaitwa mhimili mdogo.

Takwimu hii inaonyesha ellipses mbili. Katika kila mmoja, pointi mbili ndani ya ellipse zimeandikwa foci. Mstari unaotokana na foci unaingilia duaradufu katika pointi mbili. Kila hatua inaitwa vertex. Katika Takwimu upande wa kushoto, sehemu inayounganisha vertices inaitwa mhimili mkubwa. Sehemu perpendicular kwa mhimili kuu ambayo hupita kupitia midpoint yake na intersects duaradufu katika pointi mbili ni kinachoitwa mhimili mdogo. Mhimili mkubwa ni mrefu kuliko mhimili mdogo. Katika takwimu upande wa kulia, sehemu kupitia foci, kuunganisha vertices ni mfupi na inaitwa mhimili mdogo. Midpoint yake ni kinachoitwa kituo cha. — Kielelezo 11.3.3

Tulielezea mapema kwamba lengo letu ni kuunganisha jiometri ya conic na algebra. Kuweka ellipse kwenye mfumo wa kuratibu mstatili hutupa fursa hiyo. Katika takwimu, tuliweka ellipse hivyo foci$((−c,0),(c,0))$ iko kwenye$x$ -axis na katikati ni asili.

Takwimu upande wa kushoto inaonyesha duaradufu na kituo chake katika asili ya shaba za kuratibu na foci zake kwenye pointi ndogo (c, 0) na (c, 0). Sehemu inaunganisha (hasi c, 0) kwa uhakika (x, y) kwenye duaradufu. sehemu ni kinachoitwa d subscript 1. Sehemu nyingine, iliyoandikwa d subscript 2 inaunganisha (c, 0) kwa (x, y). Takwimu ya haki inaonyesha duaradufu na kituo cha asili, foci (hasi c, 0) na (c, 0) na vertices (hasi a, 0) na (a, 0). Hatua ambapo ellipse inakabiliana na mhimili y ni lebo (0, b). Makundi yanayounganisha (0, 0) hadi (c, 0), (c, 0) hadi (0, b) na (0, b) hadi (0, 0) huunda pembetatu yenye pembe tatu na pande c, a na b kwa mtiririko huo. equation ni squared sawa b squared pamoja c squared. — Kielelezo 11.3.4

Ufafanuzi unasema jumla ya umbali kutoka kwa foci hadi hatua$(x,y)$ ni mara kwa mara. Hivyo$d_{1}+d_{2}$ ni mara kwa mara kwamba sisi kuwaita$2a$ hivyo,$d_{1}+d_{2}=2 a$. Tutatumia formula ya umbali ili kutuongoza kwenye formula ya algebraic kwa ellipse.

$d_{1} \quad+\quad \quad d_{2} \quad=\quad 2 a$

Tumia formula ya umbali ili upate$d_{1},d_{2}$.

$\sqrt{(x-(-c))^{2}+(y-0)^{2}}+\sqrt{(x-c)^{2}+(y-0)^{2}}=2 a$

Baada ya kuondoa radicals na kurahisisha, tunapata:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}-c^{2}}=1$

Ili kurahisisha equation ya duaradufu,$a^{2}−c^{2}=b^{2}$ tunaruhusu .Kwa hiyo, equation ya ellipse iliyozingatia asili katika fomu ya kawaida ni:

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Ili grafu ya ellipse, itakuwa na manufaa kujua intercepts. Tutapata$x$ -intercepts na$y$ -intercepts kutumia formula.

$y$-hukataa

Hebu$x=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{0^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{a^{2}} &=1 \\ \frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ y^{2} &=b^{2} \\ y &=\pm b \end{aligned}$

$y$-intercepts ni$(0,b)$ na$(0, -b)$.

$x$-hukataa

Hebu$y=0$.

$\begin{aligned} \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{0^{2}}{b^{2}} &=1 \\ \frac{x^{2}}{a^{2}} &=1 \\ x^{2} &=a^{2} \\ x &=\pm a \end{aligned}$

$x$-intercepts ni$(a,0)$ na$(-a,0)$.

Ufafanuzi$\PageIndex{2}$

Fomu ya kawaida ya Equation na Ellipse na Kituo$(0,0)$

Aina ya kiwango cha equation ya ellipse na kituo$(0,0)$, ni

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

$x$-intercepts ni$(a,0)$ na$(−a,0)$.

$y$-intercepts ni$(0,b)$ na$(0,−b)$.

Takwimu mbili zinaonyesha ellipses na vituo vyao juu ya asili ya safu za kuratibu. Wao huingiliana na mhimili x kwenye pointi (hasi a, 0) na (a, 0) na mhimili y kwenye pointi (0, b) na (0, hasi b). Katika takwimu upande wa kushoto mhimili mkubwa wa ellipse ni pamoja na mhimili x na katika takwimu upande wa kulia, ni pamoja na mhimili y. — Kielelezo 11.3.5

Kumbuka kwamba wakati mhimili kuu ni usawa, thamani ya$a$ itakuwa kubwa kuliko thamani ya$b$ na wakati mhimili kuu ni wima, thamani ya$b$ itakuwa kubwa kuliko thamani ya$a$. Tutatumia habari hii kwa graph duaradufu kwamba ni katikati ya asili.

duaradufu na kituo cha$(0,0)$

Jedwali 11.3.1
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$	$a>b$	$b>a$
Mhimili mkubwa	juu ya$x$ -axis.	juu ya$y$ -axis
$x$-hukataa	$(-a, 0),(a, 0)$
$y$-hukataa	$(0,-b),(0, b)$

Mfano$\PageIndex{1}$

Grafu:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$.

Suluhisho:

Jedwali 11.3.2
Hatua ya 1. Andika equation katika fomu ya kawaida.	Ni katika fomu ya kawaida.	$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1$
Hatua ya 2. Kuamua kama mhimili mkubwa ni usawa au wima.	Tangu$9>4$ na$9$ ni katika$y^{2}$ muda, mhimili mkubwa ni wima.	Mhimili mkubwa ni wima.
Hatua ya 3. Find endpoints ya mhimili kuu.	Mwisho wa mwisho utakuwa$y$ -intercepts. Tangu$b^{2}=9$, basi$b=\pm 3$. Mwisho wa mhimili mkubwa ni$(0,3),(0,-3)$.	Mwisho wa mhimili mkubwa ni$(0,3),(0,-3)$.
Hatua ya 4. Pata mwisho wa mhimili mdogo.	Mwisho wa mwisho utakuwa$x$ -intercepts. Tangu$a^{2}=4$, basi$a=\pm 2$. Mwisho wa mhimili mkubwa ni$(2,0),(-2,0)$.	Mwisho wa mhimili mkubwa ni$(2,0),(-2,0)$.
Hatua ya 5. Mchoro wa duaradufu.		$Picha ya skrini (147) .png$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Grafu:$\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 2, 0) na (2, 0) na y intercepts (0, 4) na (0, hasi 4).$
Kielelezo 11.3.7

Zoezi$\PageIndex{2}$

Grafu:$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{16}=1$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 3, 0) na (3, 0) na y intercepts (0, 4) na (0, hasi 4).$
Kielelezo 11.3.8

Sisi muhtasari hatua za kumbukumbu.

JINSI YA GRAPH DUARADUFU NA KITUO$(0,0)$.

Andika equation katika fomu ya kawaida.
Kuamua kama mhimili mkubwa ni usawa au wima.
Find endpoints ya mhimili kuu.
Pata mwisho wa mhimili mdogo
Mchoro wa duaradufu.

Wakati mwingine equation yetu itahitaji kwanza kuwekwa katika fomu ya kawaida.

Mfano$\PageIndex{2}$

Grafu$x^{2}+4 y^{2}=16$.

Suluhisho:

Jedwali 11.3.3
Tunatambua hii kama equation ya duaradufu tangu wote$x$ na$y$ maneno ni squared na kuwa coefficients tofauti.	$x^{2}+4 y^{2}=16$
Ili kupata equation katika fomu ya kawaida, kugawanya pande zote mbili kwa$16$ ili equation ni sawa na $1$.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}$
Kurahisisha.	$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1$
Equation iko katika fomu ya kawaida. Ellipse inazingatia asili.	Kituo hicho ni$(0,0)$.
Tangu$16>4$ na$16$ ni katika$x^{2}$ muda, mhimili mkubwa ni usawa.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Vipeo ni$(4,0),(−4,0)$. Mwisho wa mhimili mdogo ni $(0,2),(0,−2)$.
Mchoro parabola.	$.$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Grafu$9 x^{2}+16 y^{2}=144$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 4, 0) na (4, 0) na y intercepts (0, 3) na (0, hasi 3).$
Kielelezo 11.3.10

Zoezi$\PageIndex{4}$

Grafu$16 x^{2}+25 y^{2}=400$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 5, 0) na (5, 0) na y intercepts (0, 4) na (0, hasi 4).$
Kielelezo 11.3.11

Pata Equation ya Ellipse na Kituo cha Mwanzo

Ikiwa tunapewa grafu ya duaradufu, tunaweza kupata equation ya duaradufu.

Mfano$\PageIndex{3}$

Kupata equation ya duaradufu umeonyesha.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 4, 0) na (4, 0) na y intercepts (0, 3) na (0, hasi 3). — Kielelezo 11.3.12

Suluhisho:

Tunatambua hii kama duaradufu inayozingatia asili.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Kwa kuwa mhimili mkubwa ni usawa na umbali kutoka katikati hadi vertex ni$4$, tunajua$a=4$ na hivyo$a^{2}=16$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Mhimili mdogo ni wima na umbali kutoka katikati hadi ellipse ni$3$, tunajua$b=3$ na hivyo$b^{2}=9$.

$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$

Zoezi$\PageIndex{5}$

Kupata equation ya duaradufu umeonyesha.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 2, 0) na (2, 0) na y intercepts (0, 5) na (0, hasi 5). — Kielelezo 11.3.13

Jibu: $\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{25}=1$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Kupata equation ya duaradufu umeonyesha.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na x intercepts (hasi 3, 0) na (3, 0) na y intercepts (0, 2) na (0, hasi 2). — Kielelezo 11.3.14

Jibu: $\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$

Grafu ya Ellipse na Kituo Sio Mwanzo

ellipses tumeangalia hadi sasa wote wamekuwa katikati katika asili. Sasa tutaangalia ellipses ambao kituo chake ni$(h,k)$.

Equation ni$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$ na wakati$a>b$, mhimili mkubwa ni usawa hivyo umbali kutoka katikati hadi kipeo ni$a$. Wakati$b>a$, mhimili mkubwa ni wima hivyo umbali kutoka katikati hadi kipeo ni$b$.

Ufafanuzi$\PageIndex{3}$

Fomu ya kawaida ya Equation na Ellipse na Kituo$(h,k)$

Aina ya kiwango cha equation ya ellipse na kituo$(h,k)$, ni

$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$

Wakati$a>b$, mhimili mkubwa ni usawa hivyo umbali kutoka katikati hadi vertex ni$a$.

Wakati$b>a$, mhimili mkubwa ni wima hivyo umbali kutoka katikati hadi kipeo ni$b$.

Mfano$\PageIndex{4}$

Grafu:$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$.

Suluhisho:

Jedwali 11.3.4
equation ni katika hali ya kawaida,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$
duaradufu ni katikati katika$(h,k)$.	Kituo hicho ni$(3,1)$.
Tangu$9>4$ na$9$ ni katika$x^{2}$ muda, mhimili mkubwa ni usawa.
$a^{2}=9, a=\pm 3$ $b^{2}=4, b=\pm 2$	Umbali kutoka katikati hadi kwenye vipeo ni$3$. Umbali kutoka katikati hadi mwisho wa mhimili mdogo ni$2$.
Mchoro wa duaradufu.	$.$

Zoezi$\PageIndex{7}$

Grafu:$\frac{(x+3)^{2}}{4}+\frac{(y-5)^{2}}{16}=1$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha saa (hasi 3, 5), vipeo katika (hasi 3, 9) na (hasi 3, 1) na endpoints ya mhimili mdogo katika (hasi 5, 5) na (hasi 1, 5).$
Kielelezo 11.3.16

Zoezi$\PageIndex{8}$

Grafu:$\frac{(x-1)^{2}}{25}+\frac{(y+3)^{2}}{16}=1$.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha saa 1, hasi 3, vipeo katika (hasi 4, hasi 3) na (6, hasi 3) na endpoints ya mhimili mdogo katika 1, 1) na (hasi 1, hasi 7).$
Kielelezo 11.3.17

Kama sisi kuangalia equations ya$\frac{x^{2}}{9}+\frac{y^{2}}{4}=1$ na$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$, tunaona kwamba wao ni ellipses wote$a=3$ na$b=2$. Kwa hiyo watakuwa na ukubwa sawa na sura. Wao ni tofauti kwa kuwa hawana kituo hicho.

Equation katika takwimu ya kwanza ni x squared juu ya 9 pamoja y squared juu ya 4 sawa 1. Hapa, ni 3 na b ni 2. duaradufu ni graphed na kituo cha saa (0, 0). Equation upande wa kulia ni wazi mabano x minus 3 karibu mabano mraba juu ya 9 pamoja na mabano wazi y minus 1 karibu mabano mraba juu ya 4 sawa 1. Hapa, pia, a ni 3 na b ni 2, lakini kituo ni (3, 1). Ellipse inavyoonyeshwa kwenye grafu sawa pamoja na duaradufu ya kwanza. kituo cha ni umeonyesha kuwa wakiongozwa 3 vitengo haki na 1 kitengo up. — Kielelezo 11.3.18

Taarifa katika grafu hapo juu kwamba tunaweza kuwa graphid$\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1$ na tafsiri. Sisi wakiongozwa duaradufu awali kwa$3$ vitengo haki na kisha hadi$1$ kitengo.

Grafu hii inaonyesha duaradufu kutafsiriwa kutoka katikati (0, 0) kwa kituo cha (3, 1). kituo cha ina wakiongozwa 3 vitengo haki na 1 kitengo up. Original duaradufu ina vipeo katika (hasi 3, 0) na (3, 0) na mwisho wa mhimili mdogo katika (hasi 2, 0) na (2, 0). Ellipse iliyotafsiriwa ina vipeo kwenye (0, 1) na (6, 1) na mwisho wa mhimili mdogo kwenye (3, hasi 1) na (3, 3). — Kielelezo 11.3.19

Katika mfano unaofuata tutatumia njia ya kutafsiri ili kupiga picha ya ellipse.

Mfano$\PageIndex{5}$

Grafu$\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$ kwa tafsiri.

Suluhisho:

ellipse hii itakuwa na ukubwa sawa na sura kama kituo cha$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ nani ni$(0,0)$. Sisi grafu hii ellipse kwanza.

Jedwali 11.3.5
Kituo hicho ni$(0,0)$.	Kituo$(0,0)$
Tangu$16>9$, mhimili mkubwa ni usawa.
$a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=9, \quad b=\pm 3$	Vipeo ni$(4,0),(−4,0)$. Mwisho wa mhimili mdogo ni $(0,3),(0,−3)$.
Mchoro wa duaradufu.	$.$
equation awali ni katika hali ya kawaida,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$.	$\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$
duaradufu ni katikati katika$(h,k)$.	Kituo hicho ni$(-4,6)$.
Tunatafsiri grafu ya vitengo$\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1$ vinne upande wa kushoto na kisha$6$ vitengo. Thibitisha kwamba kituo hicho ni$(−4,6)$. duaradufu mpya ni duaradufu ambao equation yake ni $\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1$.	$.$

Zoezi$\PageIndex{9}$

Grafu$\frac{(x-5)^{2}}{9}+\frac{(y+4)^{2}}{4}=1$ kwa tafsiri.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha (5, hasi 4), vipeo (2, hasi 4) na (8, hasi 4) na mwisho wa mhimili mdogo (5, hasi 2) na (5, hasi 6).$
Kielelezo 11.3.22

Zoezi$\PageIndex{10}$

Grafu$\frac{(x+6)^{2}}{16}+\frac{(y+2)^{2}}{25}=1$ kwa tafsiri.

Jibu: $Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha (hasi 6, hasi 2), vipeo (hasi 6, 3) na (hasi 6, hasi 7) na endpoints ya mhimili mdogo (hasi 10, hasi 2), na (hasi 2, hasi 2).$
Kielelezo 11.3.23

Wakati equation ina wote$x^{2}$ na na na coefficients tofauti, sisi kuthibitisha kwamba ni ellipsis kwa kuweka katika hali ya kawaida.$y^{2}$ Sisi kisha kuwa na uwezo wa grafu equation.

Mfano$\PageIndex{6}$

Andika equation$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$ katika fomu ya kawaida na grafu.

Suluhisho:

Sisi kuweka equation katika fomu ya kawaida kwa kukamilisha mraba katika wote$x$ na$y$.

Jedwali 11.3.6
	$x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0$
Andika upya kikundi$x$ masharti na$y$ masharti.	$.$
Fanya coefficients ya$x^{2}$ na$y^{2}$ sawa$1$.	$.$
Kukamilisha mraba.	$.$
Andika kama viwanja vya binomial.	$.$
Gawanya pande zote mbili na kupata$1$ haki.$16$	$.$
Kurahisisha.	$.$
Equation iko katika fomu ya kawaida,$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$	$.$
duaradufu ni katikati katika$(h,k)$.	Kituo hicho ni$(2,-3)$.
Tangu$16>4$ na$16$ ni katika$x^{2}$ muda, mhimili mkubwa ni usawa. $a^{2}=16, a=\pm 4$ $b^{2}=4, \quad b=\pm 2$	Umbali kutoka katikati hadi kwenye vipeo ni$4$. Umbali kutoka katikati hadi mwisho wa mhimili mdogo ni$2$.
Mchoro wa duaradufu.	$.$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Andika equation$6 x^{2}+4 y^{2}+12 x-32 y+34=0$ katika fomu ya kawaida na
Grafu.

Jibu

$\frac{(x+1)^{2}}{6}+\frac{(y-4)^{2}}{9}=1$

Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha (hasi 1, 4), vertices bala (1, 1) na (hasi 1, 7) na endpoints ya mhimili mdogo takriban (hasi 3.5, 4) na (takriban 1.5, 4). — Kielelezo 11.3.32

Zoezi$\PageIndex{12}$

Andika equation$4 x^{2}+y^{2}-16 x-6 y+9=0$ katika fomu ya kawaida na
Grafu.

Jibu

$\frac{(x-2)^{2}}{4}+\frac{(y-3)^{2}}{16}=1$

Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo cha (2, 3), vipeo (2, hasi 1) na (2, 7) na mwisho wa mhimili mdogo (0, 3) na (4, 3). — Kielelezo 11.3.33

Tatua Maombi na ellipses

Njia za sayari zinazozunguka jua hufuata njia za elliptical.

Mfano$\PageIndex{7}$

Pluto (sayari kibete) huenda katika obiti ya duaradufu kuzunguka Jua. Pluto iliyo karibu zaidi inapata Jua ni takriban$30$ vitengo vya astronomia (AU) na iliyo mbali zaidi ni takriban$50$ AU. Jua ni moja ya foci ya obiti ya elliptical. Kuruhusu kituo cha ellipse katika asili na kuandika axes katika AU, obiti itaonekana kama takwimu hapa chini. Tumia grafu kuandika equation kwa obiti elliptical ya Pluto.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo (0, 0) na vertices (hasi 40, 0) na (40, 0). Jua linaonyeshwa kwenye hatua (10, 0). Hii ni vitengo 30 kutoka vertex sahihi na vitengo 50 kutoka vertex kushoto. — Kielelezo 11.3.34

Suluhisho:

Tunatambua hii kama duaradufu inayozingatia asili.

$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Kwa kuwa mhimili mkubwa ni usawa na umbali kutoka katikati hadi vertex ni$40$, tunajua$a=40$ na hivyo$a^{2}=1600$.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$

Mhimili mdogo ni wima lakini pointi za mwisho hazipatikani. Ili kupata$b$ tutatumia mahali pa Jua. Kwa kuwa Jua ni lengo la duaradufu katika hatua$(10,0)$, tunajua$c=10$. Tumia hii ili kutatua$b^{2}$.

$b^{2}=a^{2}-c^{2}$
$b^{2}=40^{2}-10^{2}$
$b^{2}=1600-100$
$b^{2}=1500$

$a^{2}$Mchanganyiko na$b^{2}$ katika fomu ya kawaida ya ellipse.

$\frac{x^{2}}{1600}+\frac{y^{2}}{1500}=1$

Zoezi$\PageIndex{13}$

Sayari inakwenda katika obiti ya duaradufu inayozunguka jua lake. Karibu zaidi sayari inapata jua ni takriban$20$ AU na iliyo mbali zaidi ni takriban$30$ AU. Jua ni moja ya foci ya obiti ya elliptical. Kuruhusu kituo cha ellipse katika asili na kuandika axes katika AU, obiti itaonekana kama takwimu hapa chini. Tumia grafu kuandika equation kwa obiti elliptical ya sayari.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo (0, 0) na vertices (hasi 25, 0) na (25, 0). Jua linaonyeshwa kwenye hatua (5, 0). Hii ni vitengo 20 kutoka vertex sahihi na vitengo 30 kutoka vertex kushoto. — Kielelezo 11.3.35

Jibu: $\frac{x^{2}}{625}+\frac{y^{2}}{600}=1$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Sayari inakwenda katika obiti ya duaradufu inayozunguka jua lake. Karibu zaidi sayari inapata jua ni takriban$20$ AU na iliyo mbali zaidi ni takriban$50$ AU. Jua ni moja ya foci ya obiti ya elliptical. Kuruhusu kituo cha ellipse katika asili na kuandika axes katika AU, obiti itaonekana kama takwimu hapa chini. Tumia grafu kuandika equation kwa obiti elliptical ya sayari.

Grafu hii inaonyesha duaradufu na kituo (0, 0) na vertices (hasi 35, 0) na (35, 0). Jua linaonyeshwa kwenye hatua (15, 0). Hii ni vitengo 20 kutoka vertex sahihi na vitengo 50 kutoka vertex kushoto. — Kielelezo 11.3.36

Jibu: $\frac{x^{2}}{1225}+\frac{y^{2}}{1000}=1$

Kupata rasilimali hizi online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na ellipses.

Sehemu za Conic: Graphing ellipses Sehemu ya 1
Sehemu za Conic: Graphing ellipses Sehemu ya 2
Equation kwa Ellipse Kutoka Grafu

Dhana muhimu

Ellipse: duaradufu ni pointi zote katika ndege ambapo jumla ya umbali kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara. Kila moja ya pointi fasta inaitwa lengo la ellipse.
$Takwimu hii inaonyesha ellipses mbili. Katika kila mmoja, pointi mbili ndani ya ellipse zimeandikwa foci. Mstari unaotokana na foci unaingilia duaradufu katika pointi mbili. Kila hatua inaitwa vertex. Katika Takwimu upande wa kushoto, sehemu inayounganisha vertices inaitwa mhimili mkubwa. Sehemu perpendicular kwa mhimili kuu ambayo hupita kupitia midpoint yake na intersects duaradufu katika pointi mbili ni kinachoitwa mhimili mdogo. Mhimili mkubwa ni mrefu kuliko mhimili mdogo. Katika takwimu upande wa kulia, sehemu kupitia foci, kuunganisha vertices ni mfupi na inaitwa mhimili mdogo. Midpoint yake ni kinachoitwa kituo cha.$

Kielelezo 11.3.37

Kama sisi kuteka mstari kupitia foci intersects duaradufu katika pointi mbili-kila inaitwa vertex ya duaradufu.
Sehemu inayounganisha vertices inaitwa mhimili mkubwa.
Midpoint ya sehemu inaitwa katikati ya ellipse.
Sehemu perpendicular kwa mhimili kuu ambayo hupita katikati na intersects duaradufu katika pointi mbili inaitwa mhimili mdogo.
Standard Fomu ya Equation duaradufu na Center$(0,0)$: aina ya kiwango cha equation ya duaradufu na kituo cha$(0,0)$, ni
$\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
$x$-intercepts ni$(a,0)$ na$(−a,0)$.
$y$-intercepts ni$(0,b)$ na$(0,−b)$.
Jinsi ya Ellipse na Kituo$(0,0)$
1. Andika equation katika fomu ya kawaida.
2. Kuamua kama mhimili mkubwa ni usawa au wima.
3. Find endpoints ya mhimili kuu.
4. Pata mwisho wa mhimili mdogo
5. Mchoro wa duaradufu.
Standard Fomu ya Equation duaradufu na Center$(h,k)$: aina ya kiwango cha equation ya duaradufu na kituo cha$(h,k)$, ni
$\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1$
Wakati$a>b$, mhimili mkubwa ni usawa hivyo umbali kutoka katikati hadi vertex ni$a$.
Wakati$b>a$, mhimili mkubwa ni wima hivyo umbali kutoka katikati hadi kipeo ni$b$.

faharasa

duaradufu: Elipse ni pointi zote katika ndege ambapo jumla ya umbali kutoka pointi mbili fasta ni mara kwa mara.

\(\frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1\)	\(a>b\)	\(b>a\)
Mhimili mkubwa	juu ya\(x\) -axis.	juu ya\(y\) -axis
\(x\)-hukataa	\((-a, 0),(a, 0)\)
\(y\)-hukataa	\((0,-b),(0, b)\)

Tunatambua hii kama equation ya duaradufu tangu wote\(x\) na\(y\) maneno ni squared na kuwa coefficients tofauti.	\(x^{2}+4 y^{2}=16\)
Ili kupata equation katika fomu ya kawaida, kugawanya pande zote mbili kwa\(16\) ili equation ni sawa na \(1\).	\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{4 y^{2}}{16}=\frac{16}{16}\)
Kurahisisha.	\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{4}=1\)
Equation iko katika fomu ya kawaida. Ellipse inazingatia asili.	Kituo hicho ni\((0,0)\).
Tangu\(16>4\) na\(16\) ni katika\(x^{2}\) muda, mhimili mkubwa ni usawa.
\(a^{2}=16, a=\pm 4\) \(b^{2}=4, \quad b=\pm 2\)	Vipeo ni\((4,0),(−4,0)\). Mwisho wa mhimili mdogo ni \((0,2),(0,−2)\).
Mchoro parabola.	$.$

equation ni katika hali ya kawaida,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\).	\(\frac{(x-3)^{2}}{9}+\frac{(y-1)^{2}}{4}=1\)
duaradufu ni katikati katika\((h,k)\).	Kituo hicho ni\((3,1)\).
Tangu\(9>4\) na\(9\) ni katika\(x^{2}\) muda, mhimili mkubwa ni usawa.
\(a^{2}=9, a=\pm 3\) \(b^{2}=4, b=\pm 2\)	Umbali kutoka katikati hadi kwenye vipeo ni\(3\). Umbali kutoka katikati hadi mwisho wa mhimili mdogo ni\(2\).
Mchoro wa duaradufu.	$.$

Kituo hicho ni\((0,0)\).	Kituo\((0,0)\)
Tangu\(16>9\), mhimili mkubwa ni usawa.
\(a^{2}=16, a=\pm 4\) \(b^{2}=9, \quad b=\pm 3\)	Vipeo ni\((4,0),(−4,0)\). Mwisho wa mhimili mdogo ni \((0,3),(0,−3)\).
Mchoro wa duaradufu.	$.$
equation awali ni katika hali ya kawaida,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\).	\(\frac{(x-(-4))^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1\)
duaradufu ni katikati katika\((h,k)\).	Kituo hicho ni\((-4,6)\).
Tunatafsiri grafu ya vitengo\(\frac{x^{2}}{16}+\frac{y^{2}}{9}=1\) vinne upande wa kushoto na kisha\(6\) vitengo. Thibitisha kwamba kituo hicho ni\((−4,6)\). duaradufu mpya ni duaradufu ambao equation yake ni \(\frac{(x+4)^{2}}{16}+\frac{(y-6)^{2}}{9}=1\).	$.$

Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

JINSI YA GRAPH DUARADUFU NA KITUO\((0,0)\).

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Ufafanuzi\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Hatua ya 1. Andika equation katika fomu ya kawaida.	Ni katika fomu ya kawaida.	\(\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{9}=1\)
Hatua ya 2. Kuamua kama mhimili mkubwa ni usawa au wima.	Tangu\(9>4\) na\(9\) ni katika\(y^{2}\) muda, mhimili mkubwa ni wima.	Mhimili mkubwa ni wima.
Hatua ya 3. Find endpoints ya mhimili kuu.	Mwisho wa mwisho utakuwa\(y\) -intercepts. Tangu\(b^{2}=9\), basi\(b=\pm 3\). Mwisho wa mhimili mkubwa ni\((0,3),(0,-3)\).	Mwisho wa mhimili mkubwa ni\((0,3),(0,-3)\).
Hatua ya 4. Pata mwisho wa mhimili mdogo.	Mwisho wa mwisho utakuwa\(x\) -intercepts. Tangu\(a^{2}=4\), basi\(a=\pm 2\). Mwisho wa mhimili mkubwa ni\((2,0),(-2,0)\).	Mwisho wa mhimili mkubwa ni\((2,0),(-2,0)\).
Hatua ya 5. Mchoro wa duaradufu.		$Picha ya skrini (147) .png$

	\(x^{2}+4 y^{2}-4 x+24 y+24=0\)
Andika upya kikundi\(x\) masharti na\(y\) masharti.	$.$
Fanya coefficients ya\(x^{2}\) na\(y^{2}\) sawa\(1\).	$.$
Kukamilisha mraba.	$.$
Andika kama viwanja vya binomial.	$.$
Gawanya pande zote mbili na kupata\(1\) haki.\(16\)	$.$
Kurahisisha.	$.$
Equation iko katika fomu ya kawaida,\(\frac{(x-h)^{2}}{a^{2}}+\frac{(y-k)^{2}}{b^{2}}=1\)	$.$
duaradufu ni katikati katika\((h,k)\).	Kituo hicho ni\((2,-3)\).
Tangu\(16>4\) na\(16\) ni katika\(x^{2}\) muda, mhimili mkubwa ni usawa. \(a^{2}=16, a=\pm 4\) \(b^{2}=4, \quad b=\pm 2\)	Umbali kutoka katikati hadi kwenye vipeo ni\(4\). Umbali kutoka katikati hadi mwisho wa mhimili mdogo ni\(2\).
Mchoro wa duaradufu.	$.$

Malengo ya kujifunza

Grafu ya Ellipse na Kituo cha Mwanzo

Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\)

\(y\)-hukataa

\(x\)-hukataa

Ufafanuzi\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

JINSI YA GRAPH DUARADUFU NA KITUO\((0,0)\).

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Pata Equation ya Ellipse na Kituo cha Mwanzo

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Grafu ya Ellipse na Kituo Sio Mwanzo

Ufafanuzi\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Tatua Maombi na ellipses

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Dhana muhimu

faharasa