Skip to main content

# 9.8: Kazi za Quadratic za Grafu Kutumia Mabadiliko

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

##### Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

• Graph quadratic kazi ya fomu$$f(x)=x^{2}+k$$
• Graph quadratic kazi ya fomu$$f(x)=(x−h)^{2}$$
• Graph quadratic kazi ya fomu$$f(x)=ax^{2}$$
• Grafu quadratic kazi kwa kutumia mabadiliko
• Pata kazi ya quadratic kutoka kwenye grafu yake

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

1. Graph kazi$$f(x)=x^{2}$$ kwa pointi za kupanga.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.54.
2. Sababu kabisa:$$y^{2}−14y+49$$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 6.24.
3. Sababu kabisa:$$2x^{2}−16x+32$$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 6.26.

## Grafu Quadratic Kazi ya Fomu$$f(x)=x^{2}+k$$

Katika sehemu ya mwisho, tulijifunza jinsi ya kuchora kazi za quadratic kwa kutumia mali zao. Njia nyingine inahusisha kuanzia na grafu ya msingi ya$$f(x)=x^{2}$$ na 'kusonga' kulingana na taarifa iliyotolewa katika equation ya kazi. Tunaita kazi hii ya quadratic ya graphing kwa kutumia mabadiliko.

Katika mfano wa kwanza, tutaweka kazi ya quadratic$$f(x)=x^{2}$$ kwa pointi za kupanga njama. Kisha tutaona nini athari kuongeza mara kwa mara,$$k$$, kwa equation itakuwa na juu ya grafu ya kazi mpya$$f(x)=x^{2}+k$$.

##### Mfano$$\PageIndex{1}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}$$,$$g(x)=x^{2}+2$$, na$$h(x)=x^{2}−2$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.

Suluhisho:

Vipengele vya kupanga vitatusaidia kuona athari za vipindi kwenye$$f(x)=x^{2}$$ grafu ya msingi. Tunajaza chati kwa kazi zote tatu.

$$g(x)$$Maadili ni mbili zaidi kuliko$$f(x)$$ maadili. Pia,$$h(x)$$ maadili ni mawili chini ya$$f(x)$$ maadili. Sasa tutaweka kazi zote tatu kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.

Grafu ya$$g(x)=x^{2}+2$$ ni sawa na grafu ya$$2$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini vilivyobadilishwa.

Grafu ya$$h(x)=x^{2}−2$$ ni sawa na grafu ya$$2$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa chini.

##### Zoezi$$\PageIndex{1}$$
1. Grafu$$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+1,$$ na$$h(x)=x^{2}-1$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
2. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.
Jibu

a.

b. grafu ya$$g(x)=x^{2}+1$$ ni sawa na grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa up$$1$$ kitengo. Grafu ya$$h(x)=x^{2}−1$$ ni sawa na grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ lakini imebadilishwa$$1$$ kitengo.

##### Zoezi$$\PageIndex{2}$$
1. Grafu$$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+6,$$ na$$h(x)=x^{2}-6$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
2. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.
Jibu

a.

b. grafu ya$$h(x)=x^{2}+6$$ ni sawa na grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa up$$6$$ vitengo. Grafu ya$$h(x)=x^{2}-6$$ ni sawa na grafu ya$$6$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa chini.

Mfano wa mwisho unaonyesha kwamba kwa grafu ya kazi ya quadratic ya fomu$$f(x)=x^{2}+k$$, tunachukua grafu ya msingi ya parabola$$f(x)=x^{2}$$ na kuibadilisha kwa wima$$(k>0)$$ au kuibadilisha$$(k<0)$$.

Mabadiliko haya inaitwa mabadiliko ya wima.

### Grafu Kazi ya Quadratic ya Fomu$$f(x)=x^{2}+k$$ Kutumia Shift ya Wima

Grafu ya$$f(x)=x^{2}+k$$ mabadiliko grafu ya$$k$$ vitengo vya$$f(x)=x^{2}$$ wima.

• Kama$$k>0$$, kuhama parabola wima up$$k$$ vitengo.
• Kama$$k<0$$, kuhama parabola wima chini$$|k|$$ vitengo.

Sasa kwa kuwa tumeona athari za mara kwa mara$$k$$, ni rahisi kwa graph kazi ya fomu$$f(x)=x^{2}+k$$. Sisi tu kuanza na parabola ya msingi ya$$f(x)=x^{2}$$ na kisha kuhama juu au chini.

Inaweza kuwa na manufaa kwa mazoezi sketching$$f(x)=x^{2}$$ haraka. Tunajua maadili na tunaweza kuchora grafu kutoka huko.

Mara tu tunajua parabola hii, itakuwa rahisi kutumia mabadiliko. Mfano unaofuata utahitaji mabadiliko ya wima.

##### Mfano$$\PageIndex{2}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}−3$$ kutumia mabadiliko ya wima.

Suluhisho:

 Sisi kwanza kuteka grafu ya grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ gridi ya taifa. Kuamua$$k$$. Shift grafu$$f(x)=x^{2}$$ chini$$3$$.
##### Zoezi$$\PageIndex{3}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}−5$$ kutumia mabadiliko ya wima.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{4}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}+7$$ kutumia mabadiliko ya wima.

Jibu

## Grafu Quadratic Kazi ya Fomu$$f(x)=(x-h)^{2}$$

Katika mfano wa kwanza, tulipiga kazi ya quadratic$$f(x)=x^{2}$$ kwa pointi za kupanga njama na kisha tukaona athari ya kuongeza mara$$k$$ kwa mara kwa kazi iliyo kwenye grafu inayosababisha kazi mpya$$f(x)=x^{2}+k$$.

Sisi sasa kuchunguza athari za kutoa mara kwa mara$$h$$, kutoka$$x$$ ina juu ya grafu kusababisha ya kazi mpya$$f(x)=(x−h)^{2}$$.

##### Mfano$$\PageIndex{3}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}, g(x)=(x-1)^{2},$$ na$$h(x)=(x+1)^{2}$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.

Suluhisho:

Vipengele vya kupanga vitatusaidia kuona athari za vipindi kwenye$$f(x)=x^{2}$$ grafu ya msingi. Tunajaza chati kwa kazi zote tatu.

$$g(x)$$Maadili na$$h(x)$$ maadili hushiriki idadi ya kawaida$$0, 1, 4, 9$$, na$$16$$, lakini hubadilishwa.

##### Zoezi$$\PageIndex{5}$$
1. Grafu$$f(x)=x^{2}, g(x)=(x+2)^{2},$$ na$$h(x)=(x-2)^{2}$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
2. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.
Jibu

a.

b. grafu ya$$g(x)=(x+2)^{2}$$ ni sawa na grafu ya$$2$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa kushoto. Grafu ya$$h(x)=(x−2)^{2}$$ ni sawa na grafu ya$$2$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini kuhama haki.

##### Zoezi$$\PageIndex{6}$$
1. Grafu$$f(x)=x^{2}, g(x)=x^{2}+5,$$ na$$h(x)=x^{2}-5$$ kwenye mfumo huo wa kuratibu mstatili.
2. Eleza nini athari kuongeza mara kwa mara kwa kazi ina juu ya parabola msingi.
Jibu

a.

b. grafu ya$$g(x)=(x+5)^{2}$$ ni sawa na grafu ya$$5$$ vitengo$$f(x)=x^{2}$$ lakini kubadilishwa kushoto. Grafu ya$$h(x)=(x-5)^{2}$$ ni sawa na grafu ya$$5$$ vitengo vya haki$$f(x)=x^{2}$$ lakini vilivyobadilishwa.

Mfano wa mwisho unaonyesha kwamba kwa grafu ya kazi ya quadratic ya fomu$$f(x)=(x−h)^{2}$$, tunachukua grafu ya msingi ya parabola$$f(x)=x^{2}$$ na kuibadilisha kushoto$$(h>0)$$ au kuibadilisha haki$$(h<0)$$.

Mabadiliko haya inaitwa mabadiliko ya usawa.

### Grafu Kazi ya Quadratic ya Fomu$$f(x)=(x-h)^{2}$$ Kutumia Shift Horizontal

Grafu ya$$f(x)=(x-h)^{2}$$ mabadiliko grafu ya$$h$$ vitengo vya$$f(x)=x^{2}$$ usawa.

• Kama$$h>0$$, kuhama parabola usawa$$h$$ vitengo kushoto.
• Kama$$h<0$$, kuhama parabola usawa$$|h|$$ vitengo haki.

Sasa kwa kuwa tumeona athari za mara kwa mara$$h$$, ni rahisi kwa graph kazi ya fomu$$f(x)=(x−h)^{2}$$. Sisi tu kuanza na parabola ya msingi ya$$f(x)=x^{2}$$ na kisha kuhama ni kushoto au kulia.

Mfano unaofuata utahitaji mabadiliko ya usawa.

##### Mfano$$\PageIndex{4}$$

Grafu$$f(x)=(x−6)^{2}$$ kwa kutumia mabadiliko ya usawa.

Suluhisho:

 Sisi kwanza kuteka grafu ya grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ gridi ya taifa. Kuamua$$h$$. Shift grafu$$f(x)=x^{2}$$ kwenye$$6$$ vitengo sahihi.
##### Zoezi$$\PageIndex{7}$$

Grafu$$f(x)=(x−4)^{2}$$ kwa kutumia mabadiliko ya usawa.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{8}$$

Grafu$$f(x)=(x+6)^{2}$$ kwa kutumia mabadiliko ya usawa.

Jibu

Sasa kwa kuwa tunajua athari za constants$$h$$ na$$k$$, sisi graph kazi quadratic ya fomu$$f(x)=(x-h)^{2}+k$$ kwa kuchora kwanza parabola msingi na kisha kufanya mabadiliko ya usawa ikifuatiwa na mabadiliko wima. Tunaweza kufanya mabadiliko ya wima ikifuatiwa na mabadiliko ya usawa, lakini wanafunzi wengi wanapendelea mabadiliko ya usawa ikifuatiwa na wima.

##### Mfano$$\PageIndex{5}$$

Grafu$$f(x)=(x+1)^{2}-2$$ kutumia mabadiliko.

Suluhisho:

Kazi hii itahusisha mabadiliko mawili na tunahitaji mpango.

Hebu tuanze kwanza kutambua mara kwa mara$$h, k$$.

Mara kwa$$h$$ mara inatupa mabadiliko ya usawa na$$k$$ inatupa mabadiliko ya wima.

Sisi kwanza kuteka grafu ya grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ gridi ya taifa.

##### Zoezi$$\PageIndex{9}$$

Grafu$$f(x)=(x+2)^{2}-3$$ kutumia mabadiliko.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{10}$$

Grafu$$f(x)=(x-3)^{2}+1$$ kutumia mabadiliko.

Jibu

## Grafu Quadratic Kazi ya Fomu$$f(x)=ax^{2}$$

Hadi sasa sisi graphed kazi quadratic$$f(x)=x^{2}$$ na kisha kuona athari ya ikiwa ni pamoja na mara kwa mara$$h$$ au$$k$$ katika equation alikuwa juu ya grafu kusababisha ya kazi mpya. Sasa tutazingatia athari za mgawo$$a$$ kwenye grafu inayosababisha kazi mpya$$f(x)=ax^{2}$$.

Kama sisi grafu kazi hizi, tunaweza kuona athari za mara kwa mara$$a$$, kuchukua$$a>0$$.

Ili kuchora kazi na mara kwa mara$$a$$ ni rahisi kuchagua pointi chache$$f(x)=x^{2}$$ na kuzidisha$$y$$ -maadili na$$a$$.

### Grafu ya Kazi ya Quadratic ya Fomu$$f(x)=ax^{2}$$

Mgawo$$a$$ katika kazi$$f(x)=ax^{2}$$ huathiri grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ kwa kunyoosha au kuimarisha.

• Ikiwa$$0<|a|<1$$, grafu ya$$f(x)=ax^{2}$$ itakuwa “pana” kuliko grafu ya$$f(x)=x^{2}$$.
• Kama$$|a|>1$$, grafu ya$$f(x)=ax^{2}$$ itakuwa “skinnier” kuliko grafu ya$$f(x)=x^{2}$$.
##### Mfano$$\PageIndex{6}$$

Grafu$$f(x)=3x^{2}$$.

Suluhisho:

Tutaweka graph kazi$$f(x)=x^{2}$$ na$$g(x)=3x^{2}$$ kwenye gridi hiyo. Sisi kuchagua pointi chache juu$$f(x)=x^{2}$$ na kisha kuzidisha$$y$$ -maadili na$$3$$ kupata pointi kwa$$g(x)=3x^{2}$$.

##### Zoezi$$\PageIndex{11}$$

Grafu$$f(x)=-3x^{2}$$.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{12}$$

Grafu$$f(x)=2x^{2}$$.

Jibu

## Grafu Quadratic Kazi Kutumia Mabadiliko

Tumejifunza jinsi constants$$a, h$$, na$$k$$ katika kazi,$$f(x)=x^{2}+k, f(x)=(x−h)^{2}$$, na$$f(x)=ax^{2}$$ kuathiri grafu zao. Sasa tunaweza kuweka hii pamoja na grafu kazi quadratic$$f(x)=ax^{2}+bx+c$$ kwa kwanza kuziweka katika fomu$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ kwa kukamilisha mraba. Fomu hii wakati mwingine hujulikana kama fomu ya kipeo au fomu ya kawaida.

Lazima tuwe makini kwa wote kuongeza na kuondoa idadi kwa upande SAME wa kazi ili kukamilisha mraba. Hatuwezi kuongeza namba kwa pande zote mbili kama tulivyofanya tulipomaliza mraba na equations quadratic.

Tunapokamilisha mraba katika kazi na mgawo wa$$x^{2}$$ hiyo sio moja, tunapaswa kuzingatia mgawo huo kutoka kwa$$x$$ maneno tu. Hatuna sababu hiyo kutoka kwa muda wa mara kwa mara. Mara nyingi husaidia kusonga muda wa mara kwa mara kidogo kwa haki ili iwe rahisi kuzingatia tu$$x$$ -masharti.

Mara tu tunapopata mara kwa mara tunataka kukamilisha mraba, lazima tukumbuke kuzidisha kwa mgawo huo kabla ya kuiondoa.

##### Mfano$$\PageIndex{7}$$

Andika upya$$f(x)=−3x^{2}−6x−1$$ kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba.

Suluhisho:

 Toa$$x$$ maneno kutoka kwa mara kwa mara. Sababu ya mgawo wa$$x^{2}, -3$$. Jitayarishe kukamilisha mraba. Kuchukua nusu ya$$2$$ na kisha mraba ni kukamilisha mraba$$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$$ Mara kwa mara$$1$$ hukamilisha mraba katika mabano, lakini mabano huongezeka kwa$$-3$$. Hivyo sisi ni kweli kuongeza$$-3$$. Ni lazima kisha$$3$$ kuongeza na mabadiliko ya thamani ya kazi. Andika upya trinomial kama mraba na uondoe vipindi. Kazi sasa iko katika$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu.
##### Zoezi$$\PageIndex{13}$$

Andika upya$$f(x)=−4x^{2}−8x+1$$ kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba.

Jibu

$$f(x)=-4(x+1)^{2}+5$$

##### Zoezi$$\PageIndex{14}$$

Andika upya$$f(x)=2x^{2}−8x+3$$ kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba.

Jibu

$$f(x)=2(x-2)^{2}-5$$

Mara baada ya kuweka kazi katika$$f(x)=(x−h)^{2}+k$$ fomu, tunaweza kisha kutumia mabadiliko kama tulivyofanya katika matatizo machache iliyopita. Mfano unaofuata utatuonyesha jinsi ya kufanya hivyo.

##### Mfano$$\PageIndex{8}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}+6x+5$$ kwa kutumia mabadiliko.

Suluhisho:

Hatua ya 1: Andika upya kazi katika fomu ya$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ vertex kwa kukamilisha mraba.

 Toa$$x$$ maneno kutoka kwa mara kwa mara. Chukua nusu ya$$6$$ na kisha mraba ili kukamilisha mraba. $$(\frac{1}{2}\cdot 6)^{2}=9$$ Sisi wote kuongeza$$9$$ na Ondoa$$9$$ ili kubadilisha thamani ya kazi. Andika upya trinomial kama mraba na uondoe vipindi. Kazi sasa iko katika$$f(x)=(x-h)^{2}+k$$ fomu.

Hatua ya 2: Graph kazi kwa kutumia mabadiliko.

Kuangalia$$h, k$$ maadili, tunaona grafu itachukua grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ na kuibadilisha kwenye vitengo vya kushoto na$$3$$ vitengo$$4$$ vya chini.

Sisi kwanza kuteka grafu ya grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ gridi ya taifa.

##### Zoezi$$\PageIndex{15}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}+2x-3$$ kwa kutumia mabadiliko.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{16}$$

Grafu$$f(x)=x^{2}-8x+12$$ kwa kutumia mabadiliko.

Jibu

Tunaandika hatua za kuchukua grafu kazi ya quadratic kwa kutumia mabadiliko hapa.

### Grafu Kazi ya Quadratic Kutumia Mabadiliko

1. Andika upya kazi kwa$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba.
2. Graph kazi kwa kutumia mabadiliko.
##### Mfano$$\PageIndex{9}$$

Grafu$$f(x)=-2x^{2}-4x+2$$ kwa kutumia mabadiliko.

Suluhisho:

Hatua ya 1: Andika upya kazi katika fomu ya$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ vertex kwa kukamilisha mraba.

 Toa$$x$$ maneno kutoka kwa mara kwa mara. Tunahitaji mgawo$$x^{2}$$ wa kuwa moja. Sisi sababu$$-2$$ kutoka$$x$$ -masharti. Chukua nusu ya$$2$$ na kisha mraba ili kukamilisha mraba. $$(\frac{1}{2}\cdot 2)^{2}=1$$ Tunaongeza$$1$$ kukamilisha mraba katika mabano, lakini mabano huongezeka kwa$$-2$$. Hivyo sisi ni kweli kuongeza$$-2$$. Ili kubadilisha thamani ya kazi tunayoongeza$$2$$. Andika upya trinomial kama mraba na uondoe vipindi. Kazi sasa iko katika$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu.

Hatua ya 2: Graph kazi kwa kutumia mabadiliko.

Sisi kwanza kuteka grafu ya grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ gridi ya taifa.

##### Zoezi$$\PageIndex{17}$$

Grafu$$f(x)=-3x^{2}+12x-4$$ kwa kutumia mabadiliko.

Jibu
##### Zoezi$$\PageIndex{18}$$

Grafu$$f(x)=−2x^{2}+12x−9$$ kwa kutumia mabadiliko.

Jibu

Sasa kwa kuwa tumekamilisha mraba ili kuweka kazi ya quadratic katika$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu, tunaweza pia kutumia mbinu hii kwa graph kazi kwa kutumia mali zake kama katika sehemu ya awali.

Kama sisi kuangalia nyuma katika mifano michache iliyopita, tunaona kwamba kipeo ni kuhusiana na constants$$h$$ na$$k$$.

Katika kila kesi, vertex ni$$(h,k)$$. Pia mhimili wa ulinganifu ni mstari$$x=h$$.

Tunaandika tena hatua zetu za kuchora kazi ya quadratic kwa kutumia mali kwa wakati kazi iko katika$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu.

### Grafu Kazi ya Quadratic katika Fomu$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ Kutumia Mali

1. Andika upya$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu ya kazi.
2. Kuamua kama parabola kufungua juu,$$a>0$$, au chini,$$a<0$$.
3. Pata mhimili wa ulinganifu,$$x=h$$.
4. Pata vertex,$$(h,k$$.
5. Pata$$y$$ -intercept. Pata uhakika ulinganifu kwa$$y$$ -intercept katika mhimili wa ulinganifu.
6. Kupata$$x$$ -intercepts.
7. Grafu parabola.
##### Mfano$$\PageIndex{10}$$
1. Andika upya$$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$$ kwa$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu
2. Graph kazi kwa kutumia mali

Suluhisho:

 Andika upya kazi kwa$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba. $$f(x)=2 x^{2}+4 x+5$$ $$f(x)=2\left(x^{2}+2 x\right)+5$$ $$f(x)=2\left(x^{2}+2 x+1\right)+5-2$$ $$f(x)=2(x+1)^{2}+3$$ Tambua mara kwa mara$$a, h, k$$. $$a=2 h=-1 k=3$$ Tangu$$a=2$$, parabola inafungua juu. Mhimili wa ulinganifu ni$$x=h$$. Mhimili wa ulinganifu ni$$x=-1$$. Vertex ni$$(h,k)$$. Vertex ni$$(-1,3)$$. Kupata$$y$$ -intercept kwa kutafuta$$f(0)$$. $$f(0)=2 \cdot 0^{2}+4 \cdot 0+5$$ $$f(0)=5$$ $$y$$-kukatiza$$(0,5)$$ Pata hatua ya$$(0,5)$$ ulinganifu kwenye mhimili wa ulinganifu. $$(-2,5)$$ Kupata$$x$$ -intercepts. Wabaguzi ni hasi, kwa hiyo hakuna$$x$$ -intercepts. Grafu parabola.
##### Zoezi$$\PageIndex{19}$$
1. Andika upya$$f(x)=3 x^{2}-6 x+5$$ kwa$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu
2. Graph kazi kwa kutumia mali
Jibu
1. $$f(x)=3(x-1)^{2}+2$$

2. Kielelezo 9.7.66
##### Zoezi$$\PageIndex{20}$$
1. Andika upya$$f(x)=-2 x^{2}+8 x-7$$ kwa$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$ fomu
2. Graph kazi kwa kutumia mali
Jibu
1. $$f(x)=-2(x-2)^{2}+1$$

2. Kielelezo 9.7.67

## Pata Kazi ya Quadratic kutoka kwenye Grafu yake

Hadi sasa tumeanza na kazi na kisha kupatikana grafu yake.

Sasa tutaenda kurekebisha mchakato. Kuanzia na grafu, tutapata kazi.

##### Mfano$$\PageIndex{11}$$

Tambua kazi ya quadratic ambayo grafu inavyoonyeshwa.

Suluhisho:

Kwa kuwa ni quadratic, tunaanza na$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu.

Vertex,$$(h,k)$$, ni$$(−2,−1)$$ hivyo$$h=−2$$ na$$k=−1$$.

$$f(x)=a(x-(-2))^{2}-1$$

Ili kupata$$a$$, tunatumia$$y$$ -intercept,$$(0,7)$$.

Hivyo$$f(0)=7$$.

$$7=a(0+2)^{2}-1$$

Kutatua kwa$$a$$.

$$\begin{array}{l}{7=4 a-1} \\ {8=4 a} \\ {2=a}\end{array}$$

Andika kazi.

$$f(x)=a(x-h)^{2}+k$$

Mbadala katika$$h=-2, k=-1$$ na$$a=2$$.

$$f(x)=2(x+2)^{2}-1$$

##### Zoezi$$\PageIndex{21}$$

Andika kazi ya quadratic kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu ambayo grafu inavyoonyeshwa.

Jibu

$$f(x)=(x-3)^{2}-4$$

##### Zoezi$$\PageIndex{22}$$

Tambua kazi ya quadratic ambayo grafu inavyoonyeshwa.

Jibu

$$f(x)=(x+3)^{2}-1$$

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kazi za quadratic za kuchora kwa kutumia mabadiliko.

## Dhana muhimu

• Grafu Kazi ya Quadratic ya fomu$$f(x)=x^{2}+k$$ Kutumia Shift ya Wima
• Grafu ya$$f(x)=x^{2}+k$$ mabadiliko grafu ya$$k$$ vitengo vya$$f(x)=x^{2}$$ wima.
• Kama$$k>0$$, kuhama parabola wima up$$k$$ vitengo.
• Kama$$k<0$$, kuhama parabola wima chini$$|k|$$ vitengo.
• Grafu Kazi ya Quadratic ya fomu$$f(x)=(x−h)^{2}$$ Kutumia Shift Horizontal
• Grafu ya$$f(x)=(x−h)^{2}$$ mabadiliko grafu ya$$h$$ vitengo vya$$f(x)=x^{2}$$ usawa.
• Kama$$h>0$$, kuhama parabola usawa$$h$$ vitengo kushoto.
• Kama$$h<0$$, kuhama parabola usawa$$|h|$$ vitengo haki.
• Grafu ya Kazi ya Quadratic ya fomu$$f(x)=ax^{2}$$
• Mgawo$$a$$ katika kazi$$f(x)=ax^{2}$$ huathiri grafu ya$$f(x)=x^{2}$$ kwa kunyoosha au kuimarisha.
Ikiwa$$0<|a|<1$$, basi grafu ya$$f(x)=ax^{2}$$ itakuwa “pana” kuliko grafu ya$$f(x)=x^{2}$$.
Ikiwa$$|a|>1$$, basi grafu ya$$f(x)=ax^{2}$$ itakuwa “skinnier” kuliko grafu ya$$f(x)=x^{2}$$.
• Jinsi ya kuchora kazi ya quadratic kwa kutumia mabadiliko
1. Andika upya kazi kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu kwa kukamilisha mraba.
2. Graph kazi kwa kutumia mabadiliko.
• Grafu kazi ya quadratic katika fomu ya vertex$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ kutumia mali
1. Andika upya kazi kwa$$f(x)=a(x−h)^{2}+k$$ fomu.
2. Kuamua kama parabola kufungua juu,$$a>0$$, au chini,$$a<0$$.
3. Pata mhimili wa ulinganifu,$$x=h$$.
4. Pata vertex,$$(h,k)$$.
5. Pata$$y$$ -intercept. Pata uhakika ulinganifu kwa$$y$$ -intercept katika mhimili wa ulinganifu.
6. Kupata$$x$$ -intercepts, kama inawezekana.
7. Grafu parabola.