8.9: Tumia Mfumo wa Idadi Tata

Last updated
Save as PDF

Page ID: 176316

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Tathmini mizizi ya mraba ya idadi hasi
Ongeza na uondoe namba tata
Kuzidisha idadi tata
Gawanya idadi tata
Kurahisisha nguvu za$i$

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Kutokana na idadi$-4,-\sqrt{7}, 0 . \overline{5}, \frac{7}{3}, 3, \sqrt{81}$, orodha
1. idadi ya busara
2. nambari zisizo na maana
3. namba halisi
  Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 1.42.
Kuzidisha:$(x−3)(2x+5)$.
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.28.
Rationalize denominator:$\frac{\sqrt{5}}{\sqrt{5}-\sqrt{3}}$
Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 5.32.

Tathmini Mizizi ya Mraba ya Nambari Hasi

Wakati wowote tuna hali ambapo tuna mizizi mraba wa idadi hasi tunasema hakuna idadi halisi kwamba ni sawa na kwamba mizizi mraba. Kwa mfano, ili kurahisisha$\sqrt{-1}$, tunatafuta idadi halisi$x$ ili$x^{2}=-1$. Kwa kuwa namba zote halisi za mraba ni namba nzuri, hakuna nambari halisi ambayo inalingana$–1$ wakati wa mraba.

Mara nyingi wanahisabati wamepanua mifumo yao ya namba kama inavyohitajika. Waliongeza$0$ kwa idadi ya kuhesabu ili kupata namba nzima. Wakati walihitaji mizani hasi, waliongeza namba hasi ili kupata integers. Walipohitaji wazo la sehemu nzima waliongeza sehemu ndogo na kupata namba za busara. Kuongeza namba irrational kuruhusiwa idadi kama$\sqrt{5}$. Yote haya pamoja alitupa idadi halisi na hadi sasa katika utafiti wako wa hisabati, ambayo imekuwa ya kutosha.

Lakini sasa tutapanua namba halisi ili kuingiza mizizi ya mraba ya namba hasi. Tunaanza kwa kufafanua kitengo cha kufikiri$i$ kama namba ambayo mraba ni$–1$.

Ufafanuzi$\PageIndex{1}$

Kitengo cha kufikiri$i$ ni namba ambayo mraba ni$-1$.

$i^{2}=-1 \text { or } i=\sqrt{-1}$

Tutatumia kitengo cha kufikiri ili kurahisisha mizizi ya mraba ya namba hasi.

Ufafanuzi$\PageIndex{2}$

Mizizi ya Mraba ya Idadi Hasi

Kama$b$ ni chanya idadi halisi, basi

$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$

Tutatumia ufafanuzi huu katika mfano unaofuata. Kuwa makini kwamba ni wazi kwamba$i$ si chini ya radical. Wakati mwingine utaona hii imeandikwa kama$\sqrt{-b}=i \sqrt{b}$ kusisitiza$i$ si chini ya radical. Lakini$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$ ni kuchukuliwa fomu ya kawaida.

Mfano$\PageIndex{1}$

Andika kila kujieleza kwa suala la$i$ na kurahisisha inawezekana:

$\sqrt{-25}$
$\sqrt{-7}$
$\sqrt{-12}$

Suluhisho:

$\sqrt{-25}$

Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba ya namba hasi.

$\sqrt{25} i$

Kurahisisha.

$5i$

$\sqrt{-7}$

Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba ya namba hasi.

$\sqrt{7} i$

Kurahisisha.

Kuwa makini kuwa ni wazi kwamba$i$ si chini ya ishara kali.

$\sqrt{-12}$

Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba ya namba hasi.

$\sqrt{12} i$

Kurahisisha$\sqrt{12}$.

$2 \sqrt{3} i$

Zoezi$\PageIndex{1}$

Andika kila kujieleza kwa suala la$i$ na kurahisisha iwezekanavyo:

$\sqrt{-81}$
$\sqrt{-5}$
$\sqrt{-18}$

Jibu

$9i$
$\sqrt{5} i$
$3 \sqrt{2} i$

Zoezi$\PageIndex{2}$

Andika kila kujieleza kwa suala la$i$ na kurahisisha iwezekanavyo:

$\sqrt{-36}$
$\sqrt{-3}$
$\sqrt{-27}$

Jibu

$6i$
$\sqrt{3} i$
$3\sqrt{3} i$

Sasa kwa kuwa tunajua idadi ya kufikiri$i$, tunaweza kupanua namba halisi ili kuingiza namba za kufikiri. Mfumo wa nambari tata unajumuisha namba halisi na namba za kufikiri. Nambari tata ni ya fomu$a+bi$,$a, b$ wapi namba halisi. Tunaita$a$ sehemu halisi na sehemu$b$ ya kufikiri.

Ufafanuzi$\PageIndex{3}$

Nambari tata ni ya fomu$a+bi$, wapi$a$ na$b$ ni namba halisi.

Picha inaonyesha usemi a plus b i. idadi a ni kinachoitwa â€halisi partâ € na idadi b i ni kinachoitwa â € € imaginary partâ €. — Kielelezo 8.8.1

Nambari tata iko katika fomu ya kawaida wakati imeandikwa kama$a+bi$, wapi$a$ na$b$ ni namba halisi.

Kama$b=0$, basi$a+bi$ inakuwa$a+0⋅i=a$, na ni idadi halisi.

Ikiwa$b≠0$, basi$a+bi$ ni nambari ya kufikiri.

Ikiwa$a=0$, basi$a+bi$ inakuwa$0+bi=bi$, na inaitwa nambari safi ya kufikiri.

Sisi muhtasari huu hapa.

Jedwali 8.8.1
	$a+bi$
$b=0$	$a+0 \cdot i$ $a$	Nambari halisi
$b\neq 0$	$a+bi$	Idadi ya kufikiri
$a=0$R	$0+bi$ $bi$	Nambari safi ya kufikiri4

Fomu ya kawaida ya nambari tata ni$a+bi$, kwa hiyo hii inaelezea kwa nini fomu iliyopendekezwa ni$\sqrt{-b}=\sqrt{b} i$ wakati$b>0$.

Mchoro hutusaidia kutazama mfumo wa nambari tata. Inajumuisha nambari zote halisi na namba za kufikiri.

Jedwali lina safu nne na nguzo tatu. Mstari wa kwanza ni header na safu ya pili kuingia pamoja b i Katika mstari wa pili ni b sawa na sifuri, pamoja 0 i, na â € halisi nambari â €. Mstari wa tatu una b si sawa na 0, pamoja na b i, na â€imaginary nambari â €. Mstari wa nne una = 0, 0 pamoja na b i, na â€pure imaginary nambari â €. — Kielelezo 8.8.2

Ongeza au Ondoa Hesabu Complex

Sisi sasa ni tayari kufanya shughuli za kuongeza, Ondoa, kuzidisha na mgawanyiko juu ya idadi tata-kama tulivyofanya na idadi halisi.

Kuongeza na kuondoa idadi tata ni kama kuongeza au kuondoa kama maneno. Tunaongeza au kuondoa sehemu halisi na kisha kuongeza au kuondoa sehemu za kufikiri. Matokeo yetu ya mwisho yanapaswa kuwa katika fomu ya kawaida.

Mfano$\PageIndex{2}$

Ongeza:$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$.

Suluhisho:

$\sqrt{-12}+\sqrt{-27}$

Tumia ufafanuzi wa mizizi ya mraba ya namba hasi.

$\sqrt{12} i+\sqrt{27} i$

Kurahisisha mizizi ya mraba.

$2 \sqrt{3} i+3 \sqrt{3} i$

Ongeza.

$5 \sqrt{3} i$

Zoezi$\PageIndex{3}$

Ongeza:$\sqrt{-8}+\sqrt{-32}$.

Jibu: $6 \sqrt{2} i$

Zoezi$\PageIndex{4}$

Ongeza:$\sqrt{-27}+\sqrt{-48}$

Jibu: $7 \sqrt{3} i$

Kumbuka kuongeza sehemu zote za kweli na sehemu za kufikiri katika mfano huu unaofuata.

Mfano$\PageIndex{3}$

Kurahisisha:

$(4-3 i)+(5+6 i)$
$(2-5 i)-(5-2 i)$

Suluhisho:

$(4-3 i)+(5+6 i)$

Tumia Mali ya Associative kuweka sehemu halisi na sehemu za kufikiri pamoja.

$(4+5)+(-3 i+6 i)$

Kurahisisha.

$9+3i$

$(2-5 i)-(5-2 i)$

Kusambaza.

$2-5 i-5+2 i$

Tumia Mali ya Associative kuweka sehemu halisi na sehemu za kufikiri pamoja.

$2-5-5 i+2 i$

Kurahisisha.

$-3-3 i$

Zoezi$\PageIndex{5}$

Kurahisisha:

$(2+7 i)+(4-2 i)$
$(8-4 i)-(2-i)$

Jibu

$6+5i$
$6-3i$

Zoezi$\PageIndex{6}$

Kurahisisha:

$(3-2 i)+(-5-4 i)$
$(4+3 i)-(2-6 i)$

Jibu

$-2-6i$
$2+9i$

Kuzidisha idadi tata

Kuzidisha idadi tata pia ni sawa na kuzidisha maneno na coefficients na vigezo. Kuna kesi moja tu maalum tunayohitaji kuzingatia. Tutaangalia kwamba baada ya kufanya mazoezi katika mifano miwili ijayo.

Mfano$\PageIndex{4}$

Kuzidisha:$2 i(7-5 i)$

Suluhisho:

$2 i(7-5 i)$

Kusambaza.

$14 i-10 i^{2}$

Kurahisisha$i^{2}$.

$14 i-10(-1)$

Kuzidisha.

$14 i+10$

Andika kwa fomu ya kawaida.

$10+14i$

Zoezi$\PageIndex{7}$

Kuzidisha:$4 i(5-3 i)$.

Jibu: $12+20i$

Zoezi$\PageIndex{8}$

Kuzidisha:$-3 i(2+4 i)$.

Jibu: $12-6i$

Katika mfano unaofuata, tunazidisha binomials kwa kutumia Mali ya Distributive au FOIL.

Mfano$\PageIndex{5}$

Kuzidisha:$(3+2 i)(4-3 i)$.

Suluhisho:

$(3+2 i)(4-3 i)$

Tumia FOIL.

$12-9 i+8 i-6 i^{2}$

Kurahisisha$i^{2}$ na kuchanganya kama maneno.

$12-i-6(-1)$

Kuzidisha.

$12-i+6$

Kuchanganya sehemu halisi.

$18-i$

Zoezi$\PageIndex{9}$

Nyingi:$(5-3 i)(-1-2 i)$.

Jibu: $-11-7i$

Zoezi$\PageIndex{10}$

Nyingi:$(-4-3 i)(2+i)$.

Jibu: $-5-10i$

Katika mfano unaofuata, tunaweza kutumia FOIL au Bidhaa ya Mraba ya Binomial Pattern.

Mfano$\PageIndex{6}$

Kuzidisha:$(3+2 i)^{2}$

Suluhisho:

Jedwali 8.8.2
	$.$
Tumia Bidhaa ya Mraba ya Binomial Pattern,$(a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}$.	$.$
Kurahisisha.	$.$
Kurahisisha$i^{2}$.	$.$
Kurahisisha.	$.$

Zoezi$\PageIndex{11}$

Kuzidisha kutumia muundo wa Mraba wa Binomial:$(-2-5 i)^{2}$.

Jibu: $-21+20 i$

Zoezi$\PageIndex{12}$

Kuzidisha kutumia muundo wa Mraba wa Binomial:$(-5+4 i)^{2}$.

Jibu: $9-40i$

Kwa kuwa mzizi wa mraba wa namba hasi sio namba halisi, hatuwezi kutumia Mali ya Bidhaa kwa Radicals. Ili kuzidisha mizizi ya mraba ya namba hasi tunapaswa kwanza kuandika kama namba tata, kwa kutumia$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$ .Hii ni sehemu moja wanafunzi huwa na kufanya makosa, hivyo kuwa makini wakati unapoona kuzidisha na mizizi hasi mraba.

Mfano$\PageIndex{7}$

Kuzidisha:$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$.

Suluhisho:

Ili kuzidisha mizizi ya mraba ya namba hasi, tunawaandika kwanza kama namba ngumu.

$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-4}$

Andika kama namba tata kutumia$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$.

$\sqrt{36} i \cdot \sqrt{4} i$

Kurahisisha.

$6 i \cdot 2 i$

Kuzidisha.

$12i^{2}$

Kurahisisha$i^{2}$ na kuzidisha.

$-12$

Zoezi$\PageIndex{13}$

Kuzidisha:$\sqrt{-49} \cdot \sqrt{-4}$.

Jibu: $-14$

Zoezi$\PageIndex{14}$

Kuzidisha:$\sqrt{-36} \cdot \sqrt{-81}$.

Jibu: $-54$

Katika mfano unaofuata, kila binomial ina mizizi ya mraba ya namba hasi. Kabla ya kuzidisha, kila mizizi ya mraba ya nambari hasi lazima iandikwa kama namba tata.

Mfano$\PageIndex{8}$

Kuzidisha:$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$.

Suluhisho:

Ili kuzidisha mizizi ya mraba ya namba hasi, tunawaandika kwanza kama namba ngumu.

$(3-\sqrt{-12})(5+\sqrt{-27})$

Andika kama namba tata kutumia$\sqrt{-b}=\sqrt{b}i$.

$(3-2 \sqrt{3} i)(5+3 \sqrt{3} i)$

Tumia FOIL.

$15+9 \sqrt{3} i-10 \sqrt{3} i-6 \cdot 3 i^{2}$

Kuchanganya kama maneno na kurahisisha$i^{2}$.

$15-\sqrt{3} i-6 \cdot(-3)$

Kuzidisha na kuchanganya maneno kama hayo.

$33-\sqrt{3} i$

Zoezi$\PageIndex{15}$

Kuzidisha:$(4-\sqrt{-12})(3-\sqrt{-48})$.

Jibu: $-12-22 \sqrt{3} i$

Zoezi$\PageIndex{16}$

Kuzidisha:$(-2+\sqrt{-8})(3-\sqrt{-18})$.

Jibu: $6+12 \sqrt{2} i$

Sisi kwanza tuliangalia jozi za kuunganisha wakati tulipojifunza polynomials. Sisi alisema kuwa jozi ya binomials kwamba kila mmoja na huo wa kwanza mrefu na huo mwisho mrefu, lakini moja ni jumla na moja ni tofauti inaitwa jozi conjugate na ni ya fomu$(a−b),(a+b)$.

Jozi ngumu ya conjugate ni sawa sana. Kwa idadi tata ya fomu$a+bi$, conjugate yake ni$a−bi$. Taarifa wana huo wa kwanza mrefu na huo mwisho mrefu, lakini moja ni jumla na moja ni tofauti.

Ufafanuzi$\PageIndex{4}$

Jozi ngumu ya conjugate ni ya fomu$a+bi,a-bi$.

Tutazidisha jozi tata ya conjugate katika mfano unaofuata.

Mfano$\PageIndex{9}$

Kuzidisha:$(3-2 i)(3+2 i)$.

Suluhisho:

$(3-2 i)(3+2 i)$

Tumia FOIL

$9+6 i-6 i-4 i^{2}$

Kuchanganya kama maneno na kurahisisha$i^{2}$.

$9-4(-1)$

Kuzidisha na kuchanganya maneno kama hayo.

$13$

Zoezi$\PageIndex{17}$

Kuzidisha:$(4-3 i) \cdot(4+3 i)$.

Jibu: $25$

Zoezi$\PageIndex{18}$

Kuzidisha:$(-2+5 i) \cdot(-2-5 i)$.

Jibu: $29$

Kutokana na utafiti wetu wa polynomials, tunajua bidhaa za conjugates daima ni ya$(a-b)(a+b)=a^{2}-b^{2}$ fomu.Matokeo huitwa tofauti ya mraba. Tunaweza kuzidisha jozi tata conjugate kutumia muundo huu.

Mfano wa mwisho tulitumia FOIL. Sasa tutatumia Bidhaa ya Conjugates Pattern.

Kiasi a bala b katika mabano mara wingi a plus b katika mabano imeandikwa juu ya kujieleza kuonyesha bidhaa ya 3 minus 2 i katika mabano na 3 pamoja 2 i katika mabano. Katika mstari unaofuata mraba wa mraba b umeandikwa juu ya maneno 3 squared bala wingi 2 i katika mabano mraba. Kurahisisha sisi kupata 9 minus 4 i squared. Hii ni sawa na 9 minus mara 4 hasi 1. Matokeo ya mwisho ni 13. — Kielelezo 8.8.8

Angalia hii ni matokeo sawa tuliyopata katika Mfano 8.8.9.

Wakati sisi kuzidisha conjugates tata, bidhaa ya masharti ya mwisho daima kuwa na$i^{2}$ ambayo simplifies kwa$−1$.

$\begin{array}{c}{(a-b i)(a+b i)} \\ {a^{2}-(b i)^{2}} \\ {a^{2}-b^{2} i^{2}} \\ {a^{2}-b^{2}(-1)} \\ {a^{2}+b^{2}}\end{array}$

Hii inatuongoza kwenye Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern:$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$

Ufafanuzi$\PageIndex{5}$

Bidhaa ya Conjugates Complex

Ikiwa$a$ na$b$ ni idadi halisi, basi

$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$

Mfano$\PageIndex{10}$

Kuzidisha kutumia Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern:$(8-2 i)(8+2 i)$.

Suluhisho:

Jedwali 8.8.3
	$.$
Tumia Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern,$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$.	$.$
Kurahisisha mraba.	$.$
Ongeza.	$.$

Zoezi$\PageIndex{19}$

Kuzidisha kutumia Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern:$(3-10 i)(3+10 i)$.

Jibu: $109$

Zoezi$\PageIndex{20}$

Kuzidisha kutumia Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern:$(-5+4 i)(-5-4 i)$.

Jibu: $41$

Gawanya Idadi tata

Kugawanya idadi tata ni sawa na rationalizing denominator. Tunataka matokeo yetu yawe katika fomu ya kawaida bila namba za kufikiri katika denominator.

Mfano$\PageIndex{11}$ how to divide complex numbers

Gawanya:$\frac{4+3 i}{3-4 i}$.

Suluhisho:

Jedwali 8.8.4
Hatua ya 1: Andika namba zote mbili na denominator kwa fomu ya kawaida.	Wote wawili ni katika fomu ya kawaida.	$\frac{4+3 i}{3-4 i}$
Hatua ya 2: Panua namba na denominator kwa conjugate tata ya denominator.	Mchanganyiko mgumu wa$3-4i$ ni$3+4i$.	$\frac{(4+3 i)\color{red}{(3+4 i)}}{(3-4 i)\color{red}{(3+4 i)}}$
Hatua ya 3: Kurahisisha na kuandika matokeo katika fomu ya kawaida.	Tumia mfano$(a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}$ katika denominator. Kuchanganya kama maneno. Kurahisisha. Andika matokeo kwa fomu ya kawaida.	$\begin{array}{c}{\frac{12+16 i+9 i+12 i^{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{array}$

Zoezi$\PageIndex{21}$

Gawanya:$\frac{2+5 i}{5-2 i}$.

Jibu: $i$

Zoezi$\PageIndex{22}$

Gawanya:$\frac{1+6 i}{6-i}$.

Jibu: $i$

Sisi muhtasari hatua hapa.

Jinsi ya kugawanya Hesabu Complex

Andika namba zote na denominator kwa fomu ya kawaida.
Kuzidisha wote namba na denominator kwa conjugate tata ya denominator.
Kurahisisha na kuandika matokeo kwa fomu ya kawaida.

Mfano$\PageIndex{12}$

Gawanya, kuandika majibu kwa fomu ya kawaida:$\frac{-3}{5+2 i}$.

Suluhisho:

$\frac{-3}{5+2 i}$

Panua nambari na denominator kwa conjugate tata ya denominator.

$\frac{-3(5-2 i)}{(5+2 i)(5-2 i)}$

Panua katika nambari na utumie Bidhaa ya Complex Conjugates Pattern katika denominator.

$\frac{-15+6 i}{5^{2}+2^{2}}$

Kurahisisha.

$\frac{-15+6 i}{29}$

Andika kwa fomu ya kawaida.

$-\frac{15}{29}+\frac{6}{29} i$

Zoezi$\PageIndex{23}$

Gawanya, kuandika jibu kwa fomu ya kawaida:$\frac{4}{1-4 i}$.

Jibu: $\frac{4}{17}+\frac{16}{17} i$

Zoezi$\PageIndex{24}$

Gawanya, kuandika jibu kwa fomu ya kawaida:$\frac{-2}{-1+2 i}$.

Jibu: $\frac{2}{5}+\frac{4}{5} i$

Kuwa makini kama wewe kupata conjugate ya denominator.

Mfano$\PageIndex{13}$

Gawanya:$\frac{5+3 i}{4 i}$.

Suluhisho:

$\frac{5+3 i}{4 i}$

Andika denominator kwa fomu ya kawaida.

$\frac{5+3 i}{0+4 i}$

Panua nambari na denominator kwa conjugate tata ya denominator.

$\frac{(5+3 i)(0-4 i)}{(0+4 i)(0-4 i)}$

Kurahisisha.

$\frac{(5+3 i)(-4 i)}{(4 i)(-4 i)}$

Kuzidisha.

$\frac{-20 i-12 i^{2}}{-16 i^{2}}$.

Kurahisisha$i^{2}$.

$\frac{-20 i+12}{16}$

Andika upya kwa fomu ya kawaida.

$\frac{12}{16}-\frac{20}{16} i$

Kurahisisha sehemu ndogo.

$\frac{3}{4}-\frac{5}{4} i$

Zoezi$\PageIndex{25}$

Gawanya:$\frac{3+3 i}{2 i}$.

Jibu: $\frac{3}{2}-\frac{3}{2} i$

Zoezi$\PageIndex{26}$

Gawanya:$\frac{2+4 i}{5 i}$.

Jibu: $\frac{4}{5}-\frac{2}{5} i$

Kurahisisha Mamlaka ya$i$

Nguvu za$i$ kufanya mfano wa kuvutia ambao utatusaidia kurahisisha mamlaka ya juu ya$i$. Hebu tathmini nguvu$i$ za kuona mfano.

$\begin{array}{ccc}{i^{1}} & {i^{2}} & {i^{3}} & {i^{4}} \\ {i} & {-1} & {i^{2}\cdot i} & {i^{2}\cdot i^{2}}\\ {}&{}&{-1\cdot i}&{(-1)(-1)}\\ {}&{}&{-i}&{1}\end{array}$

$\begin{array}{cccc}{i^{5}} & {i^{6}} & {i^{7}} & {i^{8}} \\ {i^{4} \cdot i} & {i^{4} \cdot i^{2}} & {i^{4} \cdot i^{3}} & {i^{4} \cdot i^{4}} \\ {1 \cdot i} & {1 \cdot i^{2}} & {1 \cdot i^{3}} & {1 \cdot 1} \\ {i} & {i^{2}} & {i^{3}} & {1} \\ {}&{-1} & {-i}\end{array}$

Sisi muhtasari huu sasa.

$\begin{array}{ll}{i^{1}=i} & {i^{5}=i} \\ {i^{2}=-1} & {i^{6}=-1} \\ {i^{3}=-i} & {i^{7}=-i} \\ {i^{4}=1} & {i^{8}=1}\end{array}$

Kama sisi kuendelea, muundo bila kuendelea kurudia katika vitalu ya nne. Tunaweza kutumia muundo huu kutusaidia kurahisisha nguvu za$i$. Tangu$i^{4}=1$, sisi kuandika upya kila nguvu$i^{n}$, kama bidhaa$i^{4}$ kwa kutumia nguvu na nguvu nyingine ya$i$.

Sisi kuandika upya katika fomu$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$, ambapo exponent$q$, ni quotient ya$n$ kugawanywa$4$ na exponent,$r$, ni salio kutoka mgawanyiko huu. Kwa mfano, ili kurahisisha$i^{57}$, sisi kugawanya$57$$4$ na sisi kupata$14$ na salio ya$1$. Kwa maneno mengine,$57=4⋅14+1$. Kwa hiyo tunaandika$i^{57}=\left(1^{4}\right)^{14} \cdot i^{1}$ na kisha kurahisisha kutoka huko.

Mfano$\PageIndex{14}$

Kurahisisha:$i^{86}$.

Suluhisho:

$i^{86}$

Gawanya$86$$4$ na na uandike tena$i^{86}$ katika$i^{n}=\left(i^{4}\right)^{q} \cdot i^{r}$ fomu.

$\left(1^{4}\right)^{21} \cdot i^{2}$

Kurahisisha.

$(1)^{21} \cdot(-1)$

Kurahisisha.

$-1$

Zoezi$\PageIndex{27}$

Kurahisisha:$i^{74}$.

Jibu: $-1$

Zoezi$\PageIndex{28}$

Kurahisisha:$i^{92}$.

Jibu: $1$

Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mfumo wa nambari tata.

Kuonyesha Mizizi ya Mraba ya Hesabu Hasi na i
Ondoa na Kuzidisha Idadi Tata
Kugawa Idadi Complex
Kuandika upya Mamlaka ya i

Dhana muhimu

Mizizi ya Mraba ya Idadi Hasi
- Ikiwa$b$ ni nambari halisi halisi, basi\ (\ sqrt {-b} =\ sqrt {b} i\

Jedwali 8.8.1
	$a+bi$
$b=0$	$a+0\cdot i$ $a$	Nambari halisi
$b\neq 0$	$a+bi$	Idadi ya kufikiri
$a=0$	$0+bi$ $bi$	Nambari safi ya kufikiri

- Nambari tata iko katika fomu ya kawaida wakati imeandikwa kama bi+, ambapo a, b ni namba halisi.
  $Mchoro una mstatili na maandiko “Hesabu Complex” na pamoja b i. mstatili wa pili ina maandiko “Hesabu halisi”, pamoja b i, b = 0. Mstatili wa tatu una maandiko “Hesabu za Imaginary”, pamoja na b i, b si sawa na 0. Mishale kwenda kutoka Real Hesabu mstatili na Imaginary Hesabu mstatili na uhakika kuelekea Complex Hesabu mstatili.$
  Kielelezo 8.8.2
Bidhaa ya Conjugates Complex
- Ikiwa$a, b$ ni idadi halisi, basi
  $(a−bi)(a+bi)=a^{2}+b^{2}$
Jinsi ya kugawanya Hesabu Complex
1. Andika namba zote na denominator kwa fomu ya kawaida.
2. Panua nambari na denominator kwa conjugate tata ya denominator.
3. Kurahisisha na kuandika matokeo kwa fomu ya kawaida.

faharasa

jozi tata conjugate: Jozi ngumu ya conjugate ni ya fomu$a+bi, a-bi$.

idadi tata: Nambari tata ni ya fomu$a+bi$, wapi$a$ na$b$ ni namba halisi. Tunaita$a$ sehemu halisi na sehemu$b$ ya kufikiri.

mfumo wa idadi tata: Mfumo wa nambari tata unajumuisha nambari zote halisi na namba za kufikiri.

kitengo cha kufikiri: Kitengo cha kufikiri$i$ ni namba ambayo mraba ni$–1$. $i^{2}=-1$au$i=\sqrt{−1}$.

fomu ya kawaida: Nambari tata iko katika fomu ya kawaida wakati imeandikwa kama$a+bi$,$a, b$ wapi namba halisi.

	\(a+bi\)
\(b=0\)	\(a+0 \cdot i\) \(a\)	Nambari halisi
\(b\neq 0\)	\(a+bi\)	Idadi ya kufikiri
\(a=0\)R	\(0+bi\) \(bi\)	Nambari safi ya kufikiri4

Hatua ya 1: Andika namba zote mbili na denominator kwa fomu ya kawaida.	Wote wawili ni katika fomu ya kawaida.	\(\frac{4+3 i}{3-4 i}\)
Hatua ya 2: Panua namba na denominator kwa conjugate tata ya denominator.	Mchanganyiko mgumu wa\(3-4i\) ni\(3+4i\).	\(\frac{(4+3 i)\color{red}{(3+4 i)}}{(3-4 i)\color{red}{(3+4 i)}}\)
Hatua ya 3: Kurahisisha na kuandika matokeo katika fomu ya kawaida.	Tumia mfano\((a-b i)(a+b i)=a^{2}+b^{2}\) katika denominator. Kuchanganya kama maneno. Kurahisisha. Andika matokeo kwa fomu ya kawaida.	\(\begin{array}{c}{\frac{12+16 i+9 i+12 i^{2}}{9+16}} \\ {\frac{12+25 i-12}{25}} \\ {\frac{25 i}{25}} \\ {i}\end{array}\)

	\(a+bi\)
\(b=0\)	\(a+0\cdot i\) \(a\)	Nambari halisi
\(b\neq 0\)	\(a+bi\)	Idadi ya kufikiri
\(a=0\)	\(0+bi\) \(bi\)	Nambari safi ya kufikiri

	$.$
Tumia Bidhaa ya Mraba ya Binomial Pattern,\((a+b)^{2}=a^{2}+2 a b+b^{2}\).	$.$
Kurahisisha.	$.$
Kurahisisha\(i^{2}\).	$.$
Kurahisisha.	$.$

Malengo ya kujifunza

Tathmini Mizizi ya Mraba ya Nambari Hasi

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{1}\)

Zoezi\(\PageIndex{2}\)

Ongeza au Ondoa Hesabu Complex

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Zoezi\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Zoezi\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{6}\)

Kuzidisha idadi tata

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Zoezi\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{8}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Zoezi\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{10}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

Zoezi\(\PageIndex{11}\)

Zoezi\(\PageIndex{12}\)

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Zoezi\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{14}\)

Mfano\(\PageIndex{8}\)

Zoezi\(\PageIndex{15}\)

Zoezi\(\PageIndex{16}\)

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Zoezi\(\PageIndex{17}\)

Zoezi\(\PageIndex{18}\)

Mfano\(\PageIndex{10}\)

Zoezi\(\PageIndex{19}\)

Zoezi\(\PageIndex{20}\)

Gawanya Idadi tata

Mfano\(\PageIndex{11}\) how to divide complex numbers

Zoezi\(\PageIndex{21}\)

Zoezi\(\PageIndex{22}\)

Jinsi ya kugawanya Hesabu Complex

Mfano\(\PageIndex{12}\)

Zoezi\(\PageIndex{23}\)

Zoezi\(\PageIndex{24}\)

Mfano\(\PageIndex{13}\)

Zoezi\(\PageIndex{25}\)

Zoezi\(\PageIndex{26}\)

Kurahisisha Mamlaka ya\(i\)

Mfano\(\PageIndex{14}\)

Zoezi\(\PageIndex{27}\)

Zoezi\(\PageIndex{28}\)

Dhana muhimu

faharasa