Skip to main content
Global

8.8: Tumia Radicals katika Kazi

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    176202

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tathmini kazi kubwa
    • Pata uwanja wa kazi kubwa
    • Graph kazi radical

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kutatua:\(1−2x≥0\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 2.50.
    2. Kwa\(f(x)=3x−4\), tathmini\(f(2),f(−1),f(0)\).
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.48.
    3. Grafu\(f(x)=\sqrt{x}\). Weka kikoa na upeo wa kazi katika maelezo ya muda.
      Kama amekosa tatizo hili, mapitio Mfano 3.56.

    Tathmini Kazi ya Radical

    Katika sehemu hii sisi kupanua kazi yetu ya awali na kazi ni pamoja na radicals. Ikiwa kazi inaelezwa na kujieleza kwa kiasi kikubwa, tunaiita kuwa kazi kubwa.

    • Kazi ya mizizi ya mraba ni\(f(x)=\sqrt{x}\).
    • Kazi ya mizizi ya mchemraba ni\(f(x)=\sqrt[3]{x}\).
    Ufafanuzi\(\PageIndex{1}\): radical function

    Kazi kubwa ni kazi inayofafanuliwa na kujieleza kwa kiasi kikubwa.

    Ili kutathmini kazi kubwa, tunapata thamani ya\(f(x)\) kwa thamani iliyotolewa ya\(x\) kama tulivyofanya katika kazi yetu ya awali na kazi.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt{2 x-1}\), tafuta

    1. \(f(5)\)
    2. \(f(-2)\)

    Suluhisho:

    a.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    Kutathmini\(f(5)\), badala\(5\) ya\(x\).

    \(f(5)=\sqrt{2 \cdot 5-1}\)

    Kurahisisha.

    \(f(5)=\sqrt{9}\)

    Chukua mizizi ya mraba.

    \(f(5)=3\)

    b.

    \(f(x)=\sqrt{2 x-1}\)

    Kutathmini\(f(-2)\), badala\(-2\) ya\(x\).

    \(f(-2)=\sqrt{2(-2)-1}\)

    Kurahisisha.

    \(f(-2)=\sqrt{-5}\)

    Kwa kuwa mizizi ya mraba ya nambari hasi sio namba halisi, kazi haina thamani\(x=-2\).

    Zoezi\(\PageIndex{1}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt{3 x-2}\), tafuta

    1. \(f(6)\)
    2. \(f(0)\)
    Jibu
    1. \(f(6)=4\)
    2. hakuna thamani\(x=0\)
    Zoezi\(\PageIndex{2}\)

    Kwa kazi\(g(x)=\sqrt{5x+5}\), tafuta

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(-3)\)
    Jibu
    1. \(g(4)=5\)
    2. hakuna thamani\(f(-3)\)

    Tunafuata utaratibu huo wa kutathmini mizizi ya mchemraba.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kwa kazi\(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\), tafuta

    1. \(g(14)\)
    2. \(g(-2)\)

    Suluhisho:

    a.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    Kutathmini\(g(14)\), badala\(14\) ya\(x\).

    \(g(14)=\sqrt[3]{14-6}\)

    Kurahisisha.

    \(g(14)=\sqrt[3]{8}\)

    Chukua mizizi ya mchemraba.

    \(g(14)=2\)

    b.

    \(g(x)=\sqrt[3]{x-6}\)

    Kutathmini\(g(-2)\), badala\(-2\) ya\(x\).

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-2-6}\)

    Kurahisisha.

    \(g(-2)=\sqrt[3]{-8}\)

    Chukua mizizi ya mchemraba.

    \(g(-2)=-2\)

    Zoezi\(\PageIndex{3}\)

    Kwa kazi\(g(x)=\sqrt[3]{3 x-4}\), tafuta

    1. \(g(4)\)
    2. \(g(1)\)
    Jibu
    1. \(g(4)=2\)
    2. \(g(1)=-1\)
    Zoezi\(\PageIndex{4}\)

    Kwa kazi\(h(x)=\sqrt[3]{5 x-2}\), tafuta

    1. \(h(2)\)
    2. \(h(-5)\)
    Jibu
    1. \(h(2)=2\)
    2. \(h(-5)=-3\)

    Mfano unaofuata una mizizi ya nne.

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\), tafuta

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-12)\)

    Suluhisho:

    a.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    Kutathmini\(f(4)\), badala\(4\) ya\(x\).

    \(f(4)=\sqrt[4]{5 \cdot 4-4}\)

    Kurahisisha.

    \(f(4)=\sqrt[4]{16}\)

    Chukua mizizi ya nne.

    \(f(4)=2\)

    b.

    \(f(x)=\sqrt[4]{5 x-4}\)

    Kutathmini\(f(-12)\), badala\(-12\) ya\(x\).

    \(f(-12)=\sqrt[4]{5(-12)-4}\)

    Kurahisisha.

    \(f(-12)=\sqrt[4]{-64}\)

    Kwa kuwa mizizi ya nne ya nambari hasi sio namba halisi, kazi haina thamani\(x=-12\).

    Zoezi\(\PageIndex{5}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt[4]{3 x+4}\), tafuta

    1. \(f(4)\)
    2. \(f(-1)\)
    Jibu
    1. \(f(4)=2\)
    2. \(f(-1)=1\)
    Zoezi\(\PageIndex{6}\)

    Kwa kazi\(g(x)=\sqrt[4]{5 x+1}\), tafuta

    1. \(g(16)\)
    2. \(g(3)\)
    Jibu
    1. \(g(16)=3\)
    2. \(g(3)=2\)

    Pata Domain ya Kazi ya Radical

    Ili kupata uwanja na aina mbalimbali za kazi kubwa, tunatumia mali zetu za radicals. Kwa radical na hata index, sisi alisema radicand alikuwa na kuwa kubwa kuliko au sawa na sifuri kama hata mizizi ya idadi hasi si idadi halisi. Kwa index isiyo ya kawaida, radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi. Tunasema tena mali hapa kwa kumbukumbu.

    Mali ya\(\sqrt[n]{a}\)

    Ni\(n\) lini hata idadi na:

    • \(a \geq 0\), basi\(\sqrt[n]{a}\) ni namba halisi.
    • \(a<0\), basi\(\sqrt[n]{a}\) si idadi halisi.

    Wakati\(n\) ni idadi isiyo ya kawaida,\(\sqrt[n]{a}\) ni idadi halisi kwa maadili yote ya\(a\).

    Kwa hiyo, ili kupata uwanja wa kazi kubwa na hata index, tunaweka radicand kuwa kubwa kuliko au sawa na sifuri. Kwa index isiyo ya kawaida radical, radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi.

    Domain ya Kazi ya Radical

    Wakati index ya radical ni hata, radicand lazima iwe kubwa kuliko au sawa na sifuri.

    Wakati index ya radical ni isiyo ya kawaida, radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Suluhisho:

    Kwa kuwa kazi,\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\) ina radical na index ya\(2\), ambayo ni hata, tunajua radicand lazima kubwa kuliko au sawa na\(0\). Tunaweka radicand kuwa kubwa kuliko au sawa\(0\) na kisha kutatua kupata uwanja.

    Kutatua.

    \(\begin{aligned} 3 x-4 & \geq 0 \\ 3 x & \geq 4 \\ x & \geq \frac{4}{3} \end{aligned}\)

    uwanja wa\(f(x)=\sqrt{3 x-4}\) ni maadili yote\(x \geq \frac{4}{3}\) na sisi kuandika katika muda nukuu kama\(\left[\frac{4}{3}, \infty\right)\).

    Zoezi\(\PageIndex{7}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt{6 x-5}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \(\left[\frac{5}{6}, \infty\right)\)

    Zoezi\(\PageIndex{8}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt{4-5 x}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \(\left(-\infty, \frac{4}{5}\right]\)

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Suluhisho:

    Kutatua kazi,\(g(x)=\sqrt{\frac{6}{x-1}}\) ina radical na index ya\(2\), ambayo ni hata, tunajua radicand lazima kubwa kuliko au sawa na\(0\).

    Radicand haiwezi kuwa sifuri kwani namba si sifuri.

    Kwa\(\frac{6}{x-1}\) kuwa kubwa kuliko sifuri, denominator lazima iwe chanya kwa kuwa nambari ni chanya. Tunajua chanya kugawanywa na chanya ni chanya.

    Sisi kuweka\(x-1>0\) na kutatua.

    \(x-1>0\)

    Kutatua.

    \(x>1\)

    Pia, kwa kuwa radicand ni sehemu, tunapaswa kutambua kwamba denominator haiwezi kuwa sifuri.

    Tunatatua\(x-1=0\) kupata thamani ambayo inapaswa kuondolewa kutoka kwenye kikoa.

    \(x-1=0\)

    Kutatua.

    \(x=1\)hivyo\(x/neq 1\) katika uwanja.

    Kuweka hii pamoja sisi kupata uwanja ni\(x>1\) na sisi kuandika kama\((1, \infty)\).

    Zoezi\(\PageIndex{9}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt{\frac{4}{x+3}}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \((-3, \infty)\)

    Zoezi\(\PageIndex{10}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(h(x)=\sqrt{\frac{9}{x-5}}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \((5, \infty)\)

    Mfano unaofuata unahusisha mizizi ya mchemraba na hivyo itahitaji kufikiri tofauti.

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Suluhisho:

    Kwa kuwa kazi,\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) ina radical na index ya\(3\), ambayo ni isiyo ya kawaida, tunajua radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi. Hii inatuambia uwanja ni idadi yoyote halisi. Katika notation ya muda, tunaandika\((-\infty, \infty)\).

    uwanja wa\(f(x)=\sqrt[3]{2 x^{2}+3}\) ni namba zote halisi na sisi kuandika katika muda nukuu kama\((-\infty, \infty)\).

    Zoezi\(\PageIndex{11}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(f(x)=\sqrt[3]{3 x^{2}-1}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \((-\infty, \infty)\)

    Zoezi\(\PageIndex{12}\)

    Pata uwanja wa kazi,\(g(x)=\sqrt[3]{5 x-4}\). Andika kikoa katika maelezo ya muda.

    Jibu

    \((-\infty, \infty)\)

    Graph Radical Kazi

    Kabla ya kuweka graph kazi yoyote kubwa, sisi kwanza kupata uwanja wa kazi. Kwa kazi,\(f(x)=\sqrt{x}\), index ni hata, na hivyo radicand lazima iwe kubwa kuliko au sawa na\(0\).

    Hii inatuambia uwanja ni\(x≥0\) na sisi kuandika hii katika muda nukuu kama\([0,∞)\).

    Hapo awali tulitumia hatua ya kupanga mipangilio ya kazi,\(f(x)=\sqrt{x}\). Tulichagua\(x\) -maadili, tukawabadilisha na kisha tuunda chati. Angalia tulichagua pointi ambazo ni mraba kamili ili kufanya kuchukua mizizi ya mraba iwe rahisi.

    Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka 0 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 7. Kazi ina hatua ya kuanzia saa (0, 0) na huenda kupitia pointi (1, 1) na (4, 2). Jedwali linaonyeshwa kando ya grafu yenye nguzo 3 na safu 5. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na maneno â € xâ€, â € f (x) = mizizi ya mraba ya xâ€, na â € (x, f (x)) â €. Mstari wa pili una namba 0, 0, na (0, 0). Mstari wa tatu una namba 1, 1, na (1, 1). Mstari wa nne una namba 4, 2, na (4, 2). Mstari wa tano una namba 9, 3, na (9, 3).
    Kielelezo 8.7.1

    Mara baada ya kuona grafu, tunaweza kupata aina mbalimbali ya kazi. \(y\)Maadili ya kazi ni makubwa kuliko au sawa na sifuri. Aina hiyo ni\([0,∞)\).

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt{x+3}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo

    Suluhisho:

    1. Kwa kuwa radical ina index\(2\), tunajua radicna lazima iwe kubwa kuliko au sawa na sifuri. Ikiwa\(x+3 \geq 0\), basi\(x \geq-3\). Hii inatuambia uwanja ni maadili yote\(x \geq-3\) na imeandikwa katika muda nukuu kama\([-3, \infty)\).
    2. Ili kuchora kazi, tunachagua pointi katika kipindi\([-3, \infty)\) ambacho kitatupa pia radicana ambayo itakuwa rahisi kuchukua mizizi ya mraba.
    Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 3 hadi 3. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 7. Kazi ina hatua ya kuanzia (hasi 3, 0) na inapita kupitia pointi (hasi 2, 1) na (1, 2). Jedwali linaonyeshwa kando ya grafu yenye nguzo 3 na safu 5. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na maneno â € xâ€, â € f (x) = mizizi ya mraba ya wingi x pamoja 3â €, na â € (x, f (x)) â €. Mstari wa pili una namba hasi 3, 0, na (hasi 3, 0). Mstari wa tatu una namba hasi 2, 1, na (hasi 2, 1). Mstari wa nne una namba 1, 2, na (1, 2). Mstari wa tano una namba 6, 3, na (6, 3).
    Kielelezo 8.7.2

    c Kuangalia grafu, tunaona\(y\) maadili ya kazi ni makubwa kuliko au sawa na sifuri. Aina hiyo ni\([0, \infty)\).

    Zoezi\(\PageIndex{13}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt{x+2}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo
    Jibu
    1. kikoa:\([-2, \infty)\)

    2. Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Kazi ina hatua ya kuanzia (hasi 2, 0) na inapita kupitia pointi (hasi 1, 1) na (2, 2).
      Kielelezo 8.7.3
    3. mbalimbali:\([0, \infty)\)
    Zoezi\(\PageIndex{14}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt{x-2}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo
    Jibu
    1. kikoa:\([2, \infty)\)

    2. Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka 0 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 6. Kazi ina hatua ya kuanzia saa (2, 0) na huenda kupitia pointi (3, 1) na (6, 2).
      Kielelezo 8.7.4
    3. mbalimbali:\([0, \infty)\)

    Katika kazi zetu za awali za kuchora kazi, tulipiga picha\(f(x)=x^{3}\) lakini hatukuwa na graph kazi\(f(x)=\sqrt[3]{x}\). Tutafanya hivi sasa katika mfano unaofuata.

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Kwa kazi,\(f(x)=\sqrt[3]{x}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo

    Suluhisho:

    a Tangu radical ina index\(3\), tunajua radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi. Hii inatuambia uwanja ni namba zote halisi na imeandikwa katika nukuu ya muda kama\((-\infty, \infty)\)

    b Ili kuchora kazi, tunachagua pointi katika kipindi\((-\infty, \infty)\) ambacho kitatupa pia radicana ambayo itakuwa rahisi kuchukua mizizi ya mchemraba.

    Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mchemraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Kazi ina kituo cha kituo cha (0, 0) na hupitia pointi (1, 1), (hasi 1, hasi 1), (8, 2), na (hasi 8, hasi 2). Jedwali linaonyeshwa kando ya grafu yenye nguzo 3 na safu 6. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na maneno â € xâ€, â € f (x) = mchemraba mzizi wa xâ€, na â € (x, f (x)) â €. Mstari wa pili una namba hasi 8, hasi 2, na (hasi 8, hasi 2). Mstari wa tatu una namba hasi 1, hasi 1, na (hasi 1, hasi 1). Mstari wa nne una namba 0, 0, na (0, 0). Mstari wa tano una namba 1, 1, na (1, 1). Mstari wa sita una namba 8, 2, na (8, 2).
    Kielelezo 8.7.5

    c Kuangalia grafu, tunaona\(y\) maadili ya kazi ni namba zote halisi. Aina hiyo ni\((-\infty, \infty)\).

    Zoezi\(\PageIndex{15}\)

    Kwa kazi\(f(x)=-\sqrt[3]{x}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo
    Jibu
    1. kikoa:\((-\infty, \infty)\)

    2. Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mchemraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 2 hadi 2. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 2. Kazi ina kituo cha kituo cha (0, 0) na hupitia pointi (1, hasi 1) na (hasi 1, 1).
      Kielelezo 8.7.6
    3. mbalimbali:\((-\infty, \infty)\)
    Zoezi\(\PageIndex{16}\)

    Kwa kazi\(f(x)=\sqrt[3]{x-2}\),

    1. pata kikoa
    2. graph kazi
    3. tumia grafu ili ueleze upeo
    Jibu
    1. kikoa:\((-\infty, \infty)\)

    2. Takwimu inaonyesha grafu ya kazi ya mizizi ya mchemraba kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-wa ndege huendesha kutoka hasi 1 hadi 5. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 3 hadi 3. kazi ina kituo cha uhakika katika (2, 0) na hupitia pointi (1, hasi 1) na (3, 2).
      Kielelezo 8.7.7
    3. mbalimbali:\((-\infty, \infty)\)

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kazi kubwa.

    • Domain ya Kazi Radical
    • Domain ya Kazi Radical 2
    • Kutafuta Domain ya Kazi ya Radical

    Dhana muhimu

    • Mali ya\(\sqrt[n]{a}\)
      • Wakati\(n\) ni nambari hata na:
        \(a≥0\), basi\(\sqrt[n]{a}\) ni namba halisi.
        \(a<0\), basi\(\sqrt[n]{a}\) si idadi halisi.
      • Wakati\(n\) ni idadi isiyo ya kawaida,\(\sqrt[n]{a}\) ni idadi halisi kwa maadili yote ya\(a\).
    • Domain ya Kazi Radical
      • Wakati index ya radical ni hata, radicand lazima iwe kubwa kuliko au sawa na sifuri.
      • Wakati index ya radical ni isiyo ya kawaida, radicand inaweza kuwa idadi yoyote halisi.

    faharasa

    kazi kubwa
    Kazi kubwa ni kazi inayofafanuliwa na kujieleza kwa kiasi kikubwa.