Skip to main content
Global

3.7: Grafu ya Kazi

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175771

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Tumia mtihani wa mstari wa wima
    • Tambua grafu za kazi za msingi
    • Soma habari kutoka kwenye grafu ya kazi

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tathmini: ⓐ\(2^3\) ⓑ\(3^2\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Tathmini: ⓐ\(|7|\) ⓑ\(|−3|\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Tathmini: ⓐ\(\sqrt{4}\) ⓑ\(\sqrt{16}\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Tumia Mtihani wa mstari wa Wima

    Katika sehemu ya mwisho tulijifunza jinsi ya kuamua kama uhusiano ni kazi. Mahusiano tuliyoyaangalia yalionyeshwa kama seti ya jozi zilizoamriwa, ramani au equation. Sasa tutaangalia jinsi ya kuwaambia kama grafu ni ile ya kazi.

    Jozi iliyoamriwa\((x,y)\) ni suluhisho la equation linear, ikiwa equation ni taarifa ya kweli wakati x - na y -maadili ya jozi iliyoamuru hubadilishwa katika equation.

    Grafu ya equation linear ni mstari wa moja kwa moja ambapo kila hatua kwenye mstari ni suluhisho la equation na kila suluhisho la equation hii ni hatua juu ya mstari huu.

    Katika Kielelezo, tunaweza kuona kwamba, katika grafu ya equation\(y=2x−3\), kwa kila x -thamani kuna moja tu y -thamani, kama inavyoonekana katika meza kuandamana.

    ndege. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Mstari umeandikwa y sawa2 x minus 3. Kuna mishale kadhaa ya wima inayohusiana na maadili kwenye x-axis kwa pointi kwenye mstari. Mshale wa kwanza unahusiana x sawahasi 2 kwenye x-axis hadi hatua (hasi 2, hasi 7) kwenye mstari. Mshale wa pili unahusiana x sawahasi 1 kwenye x-axis hadi hatua (hasi 1, hasi 5) kwenye mstari. Mshale unaofuata unahusiana x sawa0 kwenye x-axis hadi hatua (0, hasi 3) kwenye mstari. Mshale unaofuata unahusiana x sawa3 kwenye x-axis hadi hatua (3, 3) kwenye mstari. Mshale wa mwisho unahusiana x sawa4 kwenye x-axis hadi hatua (4, 5) kwenye mstari. Jedwali lina safu 7 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na lebo y sawa2 x minus 3. Mstari wa pili ni mstari wa kichwa na vichwa x, y, na (x, y). Mstari wa tatu una kuratibu hasi 2, hasi 7, na (hasi 2, hasi 7). Mstari wa nne una kuratibu hasi 1, hasi 5, na (hasi 1, hasi 5). Mstari wa tano una kuratibu 0, hasi 3, na (0, hasi 3). Mstari wa sita una kuratibu 3, 3, na (3, 3). Mstari wa saba una kuratibu 4, 5, na (4, 5).
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Uhusiano ni kazi ikiwa kila kipengele cha kikoa kina thamani moja katika upeo. Hivyo uhusiano defined na equation\(y=2x−3\) ni kazi.

    Ikiwa tunaangalia grafu, kila mstari wa wima uliopigwa hupitia mstari kwa wakati mmoja. Hii inafanya hisia kama katika kazi, kwa kila x -thamani kuna moja tu y -value.

    Kama mstari wima hit grafu mara mbili, x -value itakuwa mapped kwa mbili y -maadili, na hivyo grafu bila kuwakilisha kazi.

    Hii inatuongoza kwenye mtihani wa mstari wa wima. Seti ya pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili ni grafu ya kazi ikiwa kila mstari wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi. Ikiwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu kwa hatua zaidi ya moja, grafu haiwakilishi kazi.

    Mtihani wa mstari wa wima

    Seti ya pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili ni grafu ya kazi ikiwa kila mstari wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi.

    Ikiwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu kwa hatua zaidi ya moja, grafu haiwakilishi kazi.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kuamua kama kila grafu ni grafu ya kazi.

    Takwimu ina grafu mbili. Katika grafu a kuna mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 2), (3, 0), na (6, hasi 2). Katika grafu b kuna ufunguzi wa parabola kwa haki iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Parabola hupitia pointi (hasi 1, 0), (0, 1), (0, hasi 1), (3, 2), na (3, hasi 2).

    Jibu

    ⓐ Kwa kuwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi, grafu ni grafu ya kazi.

    Takwimu ina mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 2), (3, 0), na (6, hasi 2). Tatu dashed mistari wima moja kwa moja ni inayotolewa katika x sawa hasi 5, x sawa hasi 3, na x sawa 3. Kila mstari huingilia mstari uliopandwa kwa hatua moja.

    ⓑ Moja ya mistari ya wima iliyoonyeshwa kwenye grafu, huiingiza kwa pointi mbili. Grafu hii haiwakilishi kazi.

    Takwimu ina ufunguzi wa parabola kwa haki iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Parabola hupitia pointi (hasi 1, 0), (0, 1), (0, hasi 1), (3, 2), na (3, hasi 2). Tatu dashed mistari wima moja kwa moja ni inayotolewa katika x sawa hasi 2, x sawa hasi 1, na x sawa 2. Mstari wa wima x — hasi 2 hauingiliani parabola. Mstari wa wima x sawahasi 1 inakabiliana na parabola kwa uhakika mmoja. Mstari wa wima x sawa3 huingiliana na parabola kwa pointi mbili tofauti.

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kuamua kama kila grafu ni grafu ya kazi.

    Takwimu ina grafu mbili. Katika grafu a kuna parabola kufungua graphed juu ya x y-kuratibu ndege. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 10. Parabola hupitia pointi (0, hasi 1), (hasi 1, 0), (1, 0), (hasi 2, 3), na (2, 3). Katika grafu b kuna mduara uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mzunguko unaendelea kupitia pointi (hasi 2, 0), (2, 0), (0, hasi 2), na (0, 2).

    Jibu

    ⓐ ndiyo ⓑ hapana

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kuamua kama kila grafu ni grafu ya kazi.

    Takwimu ina grafu mbili. Katika grafu a kuna duaradufu iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Ellipse hupitia pointi (0, hasi 3), (hasi 2, 0), (2, 0), na (0, 3). Katika grafu b kuna mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 2), (2, 0), na (4, 2).

    Jibu

    ⓐ hapana ⓑ ndiyo

    Tambua Grafu za Kazi za Msingi

    Tulitumia equation\(y=2x−3\) na grafu yake kama tulivyoendeleza mtihani wa mstari wa wima. Sisi alisema kuwa uhusiano inavyoelezwa na equation\(y=2x−3\) ni kazi.

    Tunaweza kuandika hii kama katika kazi nukuu kama\(f(x)=2x−3\). Bado inamaanisha kitu kimoja. Grafu ya kazi ni grafu ya jozi zote zilizoamriwa\((x,y)\) ambapo\(y=f(x)\). Hivyo tunaweza kuandika jozi kuamuru kama\((x,f(x))\). Inaonekana tofauti lakini grafu itakuwa sawa.

    Linganisha grafu ya\(y=2x−3\) awali inavyoonekana katika Kielelezo na grafu ya\(f(x)=2x−3\) inavyoonekana katika Kielelezo. Hakuna kitu kilichobadilika lakini nukuu.

    Takwimu hii ina grafu karibu na meza. Grafu ina mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Mstari umeandikwa f ya x sawa2 x minus 3. Kuna mishale kadhaa ya wima inayohusiana na maadili kwenye x-axis kwa pointi kwenye mstari. Mshale wa kwanza unahusiana x sawahasi 2 kwenye x-axis hadi hatua (hasi 2, hasi 7) kwenye mstari. Mshale wa pili unahusiana x sawahasi 1 kwenye x-axis hadi hatua (hasi 1, hasi 5) kwenye mstari. Mshale unaofuata unahusiana x sawa0 kwenye x-axis hadi hatua (0, hasi 3) kwenye mstari. Mshale unaofuata unahusiana x sawa3 kwenye x-axis hadi hatua (3, 3) kwenye mstari. Mshale wa mwisho unahusiana x sawa4 kwenye x-axis hadi hatua (4, 5) kwenye mstari. Jedwali lina safu 7 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na studio f ya x sawa2 x minus 3. Mstari wa pili ni mstari wa kichwa na vichwa x, f ya x, na (x, f ya x). Mstari wa tatu una kuratibu hasi 2, hasi 7, na (hasi 2, hasi 7). Mstari wa nne una kuratibu hasi 1, hasi 5, na (hasi 1, hasi 5). Mstari wa tano una kuratibu 0, hasi 3, na (0, hasi 3). Mstari wa sita una kuratibu 3, 3, na (3, 3). Mstari wa saba una kuratibu 4, 5, na (4, 5).
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\)
    GRAFU YA KAZI

    Grafu ya kazi ni grafu ya jozi zake zote zilizoamriwa, (x, y) (x, y) au kutumia nukuu ya kazi, (x, f (x)) (x, f (x)) ambapo y=f (x) .y=f (x).

    \[\begin{array} {ll} {f} &{\text{name of function}} \\ {x} &{\text{x-coordinate of the ordered pair}} \\ {f(x)} &{\text{y-coordinate of the ordered pair}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Tunapoendelea mbele katika utafiti wetu, ni muhimu kuwa ukoo na grafu ya kazi kadhaa za msingi na kuwa na uwezo wa kutambua yao.

    Kupitia kazi yetu ya awali, tunajua na grafu za equations linear. mchakato sisi kutumika kuamua kama\(y=2x−3\) ni kazi itatumika kwa equations wote linear. Equations zote zisizo za wima linear ni kazi. Wima mistari si kazi kama x -thamani ina kubwa sana y -maadili.

    Tuliandika equations linear katika aina kadhaa, lakini itakuwa na manufaa zaidi kwa sisi hapa kutumia mteremko intercept fomu ya equation linear. Aina ya mteremka-intercept ya equation linear ni\(y=mx+b\). Katika utambuzi wa kazi, kazi hii ya mstari inakuwa\(f(x)=mx+b\) ambapo m ni mteremko wa mstari na b ni y -intercept.

    Kikoa ni seti ya namba zote halisi, na upeo pia ni seti ya namba zote halisi.

    KAZI YA MSTARI

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia hatua (0, b). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x usawa x plus b”, “m, b: namba zote halisi”, “m: mteremko wa mstari”, “b: y-intercept”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.

    Tutatumia mbinu za graphing tulizotumia mapema, kwa graph kazi za msingi.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Grafu:\(f(x)=−2x−4\).

    Jibu
      \(f(x)=−2x−4\)
    Tunatambua hii kama kazi ya mstari.  
    Pata mteremko na y -intercept. \(m=−2\)
    \(b=−4\)
    Grafu kutumia intercept mteremko. .
    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Grafu:\(f(x)=−3x−1\)

    Jibu

    Takwimu ina grafu ya kazi ya mstari kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari unaendelea kupitia pointi (1, hasi 4), (0, hasi 1), na (hasi 1, 2).

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Grafu:\(f(x)=−4x−5\)

    Jibu

    Takwimu ina grafu ya kazi ya mstari kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 2, 3), (0, hasi 5), na (hasi 1, hasi 1).

    Kazi inayofuata ambayo grafu tutaangalia inaitwa kazi ya mara kwa mara na equation yake ni ya fomu\(f(x)=b\), ambapo b ni idadi yoyote halisi. Kama sisi kuchukua nafasi ya\(f(x)\) na y, sisi kupata\(y=b\). Tunatambua hii kama mstari wa usawa ambao y -intercept ni b. Grafu ya kazi\(f(x)=b\), pia ni mstari wa usawa ambao y -intercept ni b.

    Kumbuka kwamba kwa idadi yoyote halisi tunayoweka katika kazi, thamani ya kazi itakuwa b. Hii inatuambia mbalimbali ina thamani moja tu, b.

    KAZI YA MARA KWA MARA

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia hatua (0, b). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x sawa”, “b: idadi yoyote halisi”, “b: y-intercept”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: b”.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Grafu:\(f(x)=4\).

    Jibu
      \(f(x)=4\)
    Tunatambua hii kama kazi ya mara kwa mara.  
    Grafu itakuwa mstari usio na usawa kupitia\((0,4)\). .
    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Grafu:\(f(x)=−2\).

    Jibu

    Takwimu ina grafu ya kazi ya mara kwa mara kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 2), (1, hasi 2), na (2, hasi 2).

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Grafu:\(f(x)=3\).

    Jibu

    Takwimu ina grafu ya kazi ya mara kwa mara kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 3), (1, 3), na (2, 3).

    Kazi ya utambulisho,\(f(x)=x\) ni kesi maalum ya kazi ya mstari. Kama sisi kuandika katika fomu linear kazi\(f(x)=1x+0\), tunaona mteremko ni 1 na y -intercept ni 0.

    KAZI YA UTAMBULISHO

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 0), (1, 1), na (2, 2). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx”, “m: 1”, “b: 0”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.

    Kazi inayofuata tutaangalia sio kazi ya mstari. Hivyo grafu haitakuwa mstari. Njia pekee tunayopaswa kuchora kazi hii ni hatua ya kupanga. Kwa sababu hii ni kazi isiyojulikana, tunahakikisha kuchagua maadili kadhaa mazuri na hasi pamoja na 0 kwa maadili yetu ya x.

    Grafu:\(f(x)=x^2\).

    Jibu

    Sisi kuchagua x -maadili. Sisi badala yao katika na kisha kujenga chati kama inavyoonekana.

    Takwimu hii ina grafu karibu na meza. Katika grafu kuna parabola inayofunguliwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Parabola hupitia pointi (hasi 3, 9), (hasi 2, 4), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 4), na (3, 9). Jedwali lina safu 8 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa x, f ya x sawax squared, na (x, f ya x). Mstari wa pili una kuratibu hasi 3, 9, na (hasi 3, 9). Mstari wa tatu una kuratibu hasi 2, 4, na (hasi 2, 4). Mstari wa nne una kuratibu hasi 1, 1, na (hasi 1, 1). Mstari wa tano una kuratibu 0, 0, na (0, 0). Mstari wa sita una kuratibu 1, 1, na (1, 1). Mstari wa saba una kuratibu 2, 4, na (2, 4). Mstari wa saba una kuratibu 3, 9, na (3, 9).

    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Grafu:\(f(x)=x^2\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu karibu na meza. Katika grafu kuna parabola inayofunguliwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 8. Parabola hupitia pointi (hasi 2, 4), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 4).

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    \(f(x)=−x^2\)

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu karibu na meza. Katika grafu kuna parabola inayofunguliwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 8. Parabola hupitia pointi (hasi 2, hasi 4), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, hasi 1), na (2, hasi 4).

    Kuangalia matokeo katika Mfano, tunaweza muhtasari vipengele vya kazi ya mraba. Tunaita grafu hii parabola. Tunapozingatia kikoa, angalia nambari yoyote halisi inaweza kutumika kama x -value. Kikoa ni namba zote halisi.

    Mipangilio sio namba zote halisi. Angalia grafu ina maadili ya y kamwe kwenda chini ya sifuri. Hii ina maana kwani mraba wa namba yoyote haiwezi kuwa hasi. Kwa hiyo, kazi mbalimbali ya mraba ni namba zote zisizo hasi halisi.

    KAZI YA MRABA

    Takwimu hii ina graph ya parabola kufungua graphed juu ya x y-kuratibu ndege. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Parabola hupitia pointi (hasi 2, 4), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 4). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx squared”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.

    Kazi inayofuata tutaangalia pia sio kazi ya mstari, hivyo grafu haitakuwa mstari. Tena tutatumia hatua ya kupanga njama, na uhakikishe kuchagua maadili kadhaa mazuri na hasi kama vile 0 kwa maadili yetu x.

    Grafu:\(f(x)=x^3\).

    Jibu

    Sisi kuchagua x -maadili. Sisi badala yao katika na kisha kujenga chati.

    Takwimu hii ina mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mstari wa mviringo unapitia pointi (hasi 2, hasi 8), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 8). Karibu na grafu ni meza. Jedwali lina safu 6 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa x, f ya x equalsx cubed, na (x, f ya x). Mstari wa pili una kuratibu hasi 2, hasi 8, na (hasi 2, hasi 8). Mstari wa tatu una kuratibu hasi 1, hasi 1, na (hasi 1, hasi 1). Mstari wa nne una kuratibu 0, 0, na (0, 0). Mstari wa tano una kuratibu 1, 1, na (1, 1). Mstari wa sita una kuratibu 2, 8, na (2, 8).

    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Grafu:\(f(x)=x^3\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari wa mviringo unapitia pointi (hasi 2, hasi 8), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 8).

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Grafu:\(f(x)=−x^3\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari wa mviringo unapitia pointi (hasi 2, 8), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, hasi 1), na (2, hasi 8).

    Kuangalia matokeo katika Mfano, tunaweza muhtasari vipengele vya kazi ya mchemraba. Tunapozingatia kikoa, angalia nambari yoyote halisi inaweza kutumika kama x -value. Kikoa ni namba zote halisi.

    Mbalimbali ni namba zote halisi. Hii ina maana kama mchemraba wa nambari yoyote isiyo ya sifuri inaweza kuwa chanya au hasi. Hivyo, kazi mbalimbali ya mchemraba ni namba zote halisi.

    MCHEMRABA KAZI

    Takwimu hii ina mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mstari wa mviringo unapitia pointi (hasi 2, hasi 8), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 8).). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx cubed”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.

    Kazi inayofuata tutaangalia haina mraba au mchemraba maadili ya pembejeo, lakini badala yake inachukua mizizi ya mraba ya maadili hayo.

    Hebu tuchapishe kazi\(f(x)=\sqrt{x}\) na kisha muhtasari sifa za kazi. Kumbuka, tunaweza tu kuchukua mizizi ya mraba ya namba zisizo hasi halisi, hivyo uwanja wetu utakuwa namba halisi zisizo hasi.

    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    \(f(x)=\sqrt{x}\)

    Jibu

    Sisi kuchagua x -maadili. Kwa kuwa tutachukua mizizi ya mraba, tunachagua namba ambazo ni mraba kamili, ili kufanya kazi yetu iwe rahisi. Sisi badala yao katika na kisha kujenga chati.

    Takwimu hii ina mstari wa nusu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Mstari wa nusu ya mviringo huanza kwa hatua (0, 0) na kisha huenda juu na kulia. Mstari wa nusu ya mviringo hupitia pointi (1, 1) na (4, 2). Karibu na grafu ni meza. Jedwali lina safu 5 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa x, f ya x sawamizizi ya mraba ya x, na (x, f ya x). Mstari wa pili una kuratibu 0, 0, na (0, 0). Mstari wa tatu una kuratibu 1, 1, na (1, 1). Mstari wa nne una kuratibu 4, 2, na (4, 2). Mstari wa tano una kuratibu 9, 3, na (9, 3).

    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Grafu:\(f(x)=x\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa nusu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 10. Mstari wa nusu ya mviringo huanza kwa hatua (0, 0) na kisha huenda juu na kulia. Mstari wa nusu iliyopigwa hupitia pointi (1, 1), (4, 2), na (9, 3).

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Grafu:\(f(x)=−\sqrt{x}\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa nusu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi 0. Mstari wa nusu ya mviringo huanza kwenye hatua (0, 0) na kisha huenda chini na kulia. Mstari wa nusu ya mviringo hupitia pointi (1, hasi 1), (4, hasi 2), na (9, hasi 3).

    MIZIZI YA MRABA KAZI

    Takwimu hii ina mstari wa nusu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Mstari wa nusu ya mviringo huanza kwa hatua (0, 0) na kisha huenda juu na kulia. Mstari wa nusu ya mviringo hupitia pointi (1, 1) na (4, 2). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x sawamizizi ya mraba ya x”, “Domain: [0, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.

    Kazi yetu ya mwisho ya msingi ni kazi ya thamani kamili,\(f(x)=|x|\). Kumbuka kwamba thamani kamili ya idadi ni umbali wake kutoka sifuri. Kwa kuwa hatuwezi kupima umbali kama namba hasi, hatuwezi kupata nambari hasi katika upeo.

    Grafu:\(f(x)=|x|\).

    Jibu

    Sisi kuchagua x -maadili. Sisi badala yao katika na kisha kujenga chati.

    Takwimu hii ina mstari wa v-umbo iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 6. Mstari wa umbo la v hupitia pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 2), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), na (3, 3). Karibu na grafu ni meza. Jedwali lina safu 8 na nguzo 3. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa x, f ya x inalingana thamani kamili ya x, na (x, f ya x). Mstari wa pili una kuratibu hasi 3, 3, na (hasi 3, 3). Mstari wa tatu una kuratibu hasi 2, 2, na (hasi 2, 2). Mstari wa nne una kuratibu hasi 1, 1, na (hasi 1, 1). Mstari wa tano una kuratibu 0, 0, na (0, 0). Mstari wa sita una kuratibu 1, 1, na (1, 1). Mstari wa saba una kuratibu 2, 2, na (2, 2). Mstari wa nane una kuratibu 3, 3, na (3, 3).

    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Grafu:\(f(x)=|x|\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa v-umbo iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 10. Mstari wa umbo la v hupitia pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 2), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), na (3, 3).

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Grafu:\(f(x)=−|x|\).

    Jibu

    Takwimu hii ina mstari wa v-umbo iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 8 hadi 4. Mstari wa umbo la v hupitia pointi (hasi 3, hasi 3), (hasi 2, hasi 2), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, hasi 1), (2, hasi 2), na (3, hasi 3).

    KAZI YA THAMANI KAMILI

    Takwimu hii ina mstari wa v-umbo iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 6. Mstari wa umbo la v hupitia pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 2), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), na (3, 3). Hatua (0, 0) ambapo mstari unabadilika mteremko huitwa vertex. Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x inalingana thamani kamili ya x”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.

    Soma Taarifa kutoka kwa Grafu ya Kazi

    Katika sayansi na biashara, data mara nyingi hukusanywa na kisha hupigwa. Grafu inachambuliwa, habari hupatikana kutoka kwenye grafu na kisha utabiri mara nyingi hufanywa kutoka kwa data.

    Tutaanza kwa kusoma kikoa na kazi mbalimbali kutoka kwenye grafu yake.

    Kumbuka uwanja ni seti ya maadili yote x katika jozi zilizoamriwa katika kazi. Ili kupata uwanja tunaangalia grafu na kupata maadili yote ya x ambayo yana thamani sawa kwenye grafu. Fuata thamani x juu au chini kwa wima. Ikiwa unapiga grafu ya kazi basi x iko kwenye kikoa.

    Kumbuka upeo ni seti ya y -maadili yote katika jozi zilizoamriwa katika kazi. Ili kupata upeo tunaangalia grafu na kupata maadili yote ya y ambayo yana thamani sawa kwenye grafu. Fuata thamani y kushoto au kulia kwa usawa. Ikiwa unapiga grafu ya kazi basi y iko katika upeo.

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata uwanja wake na upeo. Andika kikoa na upeo katika maelezo ya muda.

    Takwimu hii ina sehemu ya mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu ya x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 3, hasi 1), (1.5, 3), na (3, 1). Muda [hasi 3, 3] ni alama kwenye mhimili usio na usawa. Muda [hasi 1, 3] ni alama kwenye mhimili wima.

    Jibu

    Ili kupata uwanja tunaangalia grafu na kupata maadili yote ya x ambayo yanahusiana na uhakika kwenye grafu. Kikoa kinaonyeshwa kwa nyekundu kwenye grafu. Kikoa ni\([−3,3]\).

    Ili kupata upeo tunaangalia grafu na kupata maadili yote ya y ambayo yanahusiana na uhakika kwenye grafu. Aina hiyo imeonyeshwa kwa bluu kwenye grafu. Mipangilio ni\([−1,3]\).

    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata uwanja wake na upeo. Andika kikoa na upeo katika maelezo ya muda.

    Takwimu hii ina sehemu ya mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu ya x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 5, hasi 4), (0, hasi 3), na (1, 2). Muda [hasi 5, 1] ni alama kwenye mhimili usio na usawa. Muda [hasi 4, 2] ni alama kwenye mhimili wima.

    Jibu

    Kikoa ni\([−5,1]\). Mipangilio ni\([−4,2]\).

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata uwanja wake na upeo. Andika kikoa na upeo katika maelezo ya muda.

    Takwimu hii ina sehemu ya mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu ya x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 5. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 4. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 2, 1), (0, 3), na (4, hasi 5). Muda [hasi 2, 4] ni alama kwenye mhimili usio na usawa. Muda [hasi 5, 3] ni alama kwenye mhimili wima.

    Jibu

    Kikoa ni\([−2,4]\). Mipangilio ni\([−5,3]\).

    Sisi ni sasa kwenda kusoma habari kutoka grafu kwamba unaweza kuona katika madarasa ya baadaye math.

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata maadili yaliyoonyeshwa.

    Takwimu hii ina mstari wa mviringo wa wavy uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka mara 2 hasi pi hadi mara 2 pi. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 2 mara pi, 0), (hasi 3 imegawanywa na mara 2 pi, 1), (hasi pi, 0), (hasi 1 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 1), (1 imegawanywa na mara 2 pi, 0), (3 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 1), na (mara 2 pi, 0). Pointi (hasi 3 imegawanywa na mara 2 pi, 1) na (1 imegawanywa na mara 2 pi, 1) ni pointi za juu kwenye grafu. Pointi (hasi 1 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 1) na (3 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 1) ni pointi za chini kabisa kwenye grafu. Mfano unaendelea kwa kiasi kikubwa upande wa kushoto na wa kulia.

    ⓐ Tafuta:\(f(0)\).
    ⓑ Tafuta:\(f(32\pi)\).
    ⓒ Tafuta:\(f(−12\pi)\).
    ⓓ Kupata maadili kwa x wakati\(f(x)=0\).
    ⓔ Kupata x -intercepts.
    ⓕ Kupata y -intercepts.
    ⓖ Pata uwanja. Andika kwa uhalali wa muda.
    ⓗ Pata upeo. Andika kwa uhalali wa muda.

    Jibu

    ⓐ Wakati\(x=0\), kazi huvuka y -axis saa 0. Hivyo,\(f(0)=0\).
    ⓑ Wakati\(x=32\pi\), y -thamani ya kazi ni\(−1\). Hivyo,\(f(32\pi)=−1\).
    ⓒ Wakati\(x=−12\pi\), y -thamani ya kazi ni\(−1\). Hivyo,\(f(−12\pi)=−1\).
    ⓓ kazi ni 0 katika pointi,\((−2\pi,0), (−\pi,0), (0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\). x -maadili wakati\(f(x)=0\) ni\(−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\).
    ⓔ x -intercepts kutokea wakati\(y=0\). Hivyo x -intercepts kutokea wakati\(f(x)=0\). x -intercepts ni\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\).
    ⓕ y -intercepts kutokea wakati x=0.x=0. Hivyo y -intercepts kutokea katika\(f(0)\). Y-intercept ni\((0,0)\).
    ⓖ Kazi hii ina thamani wakati x ni kutoka\(−2\pi\) kwa\(2\pi\). Kwa hiyo, uwanja katika notation ya muda ni\([−2\pi,2\pi]\).
    ⓗ Hii maadili kazi, au y -maadili kwenda kutoka\(−1\) kwa 1. Kwa hiyo, upeo, katika maelezo ya muda, ni\([−1,1]\).

    Mfano\(\PageIndex{26}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata maadili yaliyoonyeshwa.

    Takwimu hii ina mstari wa mviringo wa wavy uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka mara 2 hasi pi hadi mara 2 pi. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 2 mara pi, 0), (hasi 3 imegawanywa na mara 2 pi, 2), (hasi pi, 0), (hasi 1 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 2), (1 imegawanywa na mara 2 pi, 0), (3 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 2), na (mara 2 pi, 0). Pointi (hasi 3 imegawanywa na mara 2 pi, 2) na (1 imegawanywa na mara 2 pi, 2) ni pointi za juu kwenye grafu. Pointi (hasi 1 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 2) na (3 imegawanywa na mara 2 pi, hasi 2) ni pointi za chini kabisa kwenye grafu. Mstari unaendelea kwa kiasi kikubwa upande wa kushoto na wa kulia.

    ⓐ Kupata: f (0) .f (0).
    ⓑ Tafuta: f (12\ pi) .f (12\ pi).
    ⓒ Tafuta: f (-32\ pi) .f (-32\ pi).
    ⓓ Pata maadili kwa x wakati f (x) =0.f (x) =0.
    ⓔ Kupata x -intercepts.
    ⓕ Kupata y -intercepts.
    ⓖ Pata uwanja. Andika kwa uhalali wa muda.
    ⓗ Pata upeo. Andika kwa uhalali wa muda.

    Jibu

    ⓐ\(f(0)=0\) ⓑ\(f=(\pi2)=2\) ⓒ\(f=(−3\pi2)=2\) ⓓ\(f(x)=0\) for\(x=−2\pi,−\pi,0,\pi,2\pi\) ⓔ\((−2\pi,0),(−\pi,0),(0,0),(\pi,0),(2\pi,0)\) ⓕ (0,0) (0,0) ⓖ\([−2\pi,2\pi]\) ⓗ\([−2,2]\)

    Mfano\(\PageIndex{27}\)

    Tumia grafu ya kazi ili kupata maadili yaliyoonyeshwa.

    Takwimu hii ina mstari wa mviringo wa wavy uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka mara 2 hasi pi hadi mara 2 pi. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Sehemu ya mstari wa mviringo hupitia pointi (hasi 2 mara pi, 1), (hasi 3 imegawanywa na mara 2 pi, 0), (hasi pi, hasi 1), (hasi 1 imegawanywa na mara 2 pi, 0), (1 imegawanywa na mara 2 pi, 1), (3 imegawanywa na mara 2 pi, 0), na (mara 2 pi, 1). Pointi (hasi mara 2 pi, 1), (0, 1), na (mara 2 pi, 1) ni pointi za juu kwenye grafu. Pointi (pi hasi, hasi 1) na (pi, hasi 1) ni pointi za chini kabisa kwenye grafu. Mfano unaendelea kwa kiasi kikubwa upande wa kushoto na wa kulia.

    ⓐ Tafuta:\(f(0)\).
    ⓑ Tafuta:\(f(\pi)\).
    ⓒ Tafuta:\(f(−\pi)\).
    ⓓ Kupata maadili kwa x wakati\(f(x)=0\).
    ⓔ Kupata x -intercepts.
    ⓕ Kupata y -intercepts.
    ⓖ Pata uwanja. Andika kwa uhalali wa muda.
    ⓗ Pata upeo. Andika kwa uhalali wa muda.

    Jibu

    ⓐ\(f(0)=1\) ⓑ\(f(\pi)=−1\) ⓒ\(f(−\pi)=−1\) ⓓ\(f(x)=0\) for\(x=−3\pi2,−\pi2,\pi2,3\pi2\) ⓔ\((−2pi,0),(−pi,0),(0,0),(pi,0),(2pi,0)\) ⓕ\((0,1)\) ⓖ\([−2pi,2pi]\) ⓗ\([−1,1]\)

    Fikia rasilimali hii ya mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na grafu za kazi.

    Dhana muhimu

    • Mtihani wa mstari wa wima
      • Seti ya pointi katika mfumo wa kuratibu mstatili ni grafu ya kazi ikiwa kila mstari wa wima unaingilia grafu katika hatua moja zaidi.
      • Ikiwa mstari wowote wa wima unaingilia grafu kwa hatua zaidi ya moja, grafu haiwakilishi kazi.
    • Grafu ya Kazi
      • Grafu ya kazi ni grafu ya jozi zake zote zilizoamriwa, (x, y) (x, y) au kutumia nukuu ya kazi, (x, f (x)) (x, f (x)) ambapo y=f (x) .y=f (x).

        fxf (x) jina la kazi-kuratibu ya kuratibu jozi iliyoamriwa ya jozi iliyoamriwa ya functionxx-kuratibu ya jozi iliyoamrishwaf (x) y-kuratibu ya jozi iliyoamriwa

    • Kazi ya mstari
      Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia hatua (0, b). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x usawa x plus b”, “m, b: namba zote halisi”, “m: mteremko wa mstari”, “b: y-intercept”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.
    • Kazi ya Mara kwa mara
      Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia hatua (0, b). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x sawa”, “b: idadi yoyote halisi”, “b: y-intercept”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: b”.
    • Kazi ya Utambulisho
      Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 0), (1, 1), na (2, 2). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx”, “m: 1”, “b: 0”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.
    • Kazi ya mraba
      Takwimu hii ina graph ya parabola kufungua graphed juu ya x y-kuratibu ndege. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Parabola hupitia pointi (hasi 2, 4), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 4). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx squared”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.
    • mchemraba kazi
      Takwimu hii ina mstari wa pembe iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mstari wa mviringo unapitia pointi (hasi 2, hasi 8), (hasi 1, hasi 1), (0, 0), (1, 1), na (2, 8).). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x equalsx cubed”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: (infinity hasi, infinity)”.
    • Kazi ya mizizi ya mraba
      Takwimu hii ina mstari wa nusu iliyopigwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka 0 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka 0 hadi 8. Mstari wa nusu ya mviringo huanza kwa hatua (0, 0) na kisha huenda juu na kulia. Mstari wa nusu ya mviringo hupitia pointi (1, 1) na (4, 2). Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x sawamizizi ya mraba ya x”, “Domain: [0, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.
    • Kazi ya Thamani kamili
      Takwimu hii ina mstari wa v-umbo iliyowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 4 hadi 4. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 6. Mstari wa umbo la v hupitia pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 2), (hasi 1, 1), (0, 0), (1, 1), (2, 2), na (3, 3). Hatua (0, 0) ambapo mstari unabadilika mteremko huitwa vertex. Karibu na grafu ni yafuatayo: “f ya x inalingana thamani kamili ya x”, “Domain: (infinity hasi, infinity)”, na “Range: [0, infinity)”.