Skip to main content
Global

3.6: Mahusiano na Kazi

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175770

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Pata uwanja na mahusiano mbalimbali
    • Kuamua kama uhusiano ni kazi
    • Pata thamani ya kazi

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Tathmini\(3x−5\) wakati\(x=−2\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Tathmini\(2x^2−x−3\) wakati\(x=a\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Kurahisisha:\(7x−1−4x+5\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Pata Domain na Upeo wa Uhusiano

    Tunapoendelea maisha yetu ya kila siku, tuna vitu vingi vya data au kiasi ambacho kinaunganishwa na majina yetu. Nambari yetu ya usalama wa jamii, nambari ya kitambulisho cha mwanafunzi, anwani ya barua pepe, namba ya simu na siku yetu ya kuzaliwa huendana na jina letu. Kuna uhusiano kati ya jina letu na kila moja ya vitu hivyo.

    Wakati profesa wako anapata orodha ya majina ya darasa lake, majina ya wanafunzi wote katika darasa yameorodheshwa kwenye safu moja na kisha nambari ya ID ya mwanafunzi inawezekana kuwa katika safu inayofuata. Kama tunafikiri ya mawasiliano kama seti ya jozi kuamuru, ambapo kipengele kwanza ni jina mwanafunzi na kipengele pili ni kwamba mwanafunzi ID idadi, tunaita hii uhusiano.

    \[(\text{Student name}, \text{ Student ID #})\nonumber \]

    Seti ya majina yote ya wanafunzi katika darasa inaitwa uwanja wa uhusiano na seti ya namba zote za kitambulisho cha mwanafunzi vilivyooanishwa na wanafunzi hawa ni mahusiano mbalimbali.

    Kuna hali nyingi zinazofanana ambapo variable moja ni paired au kuendana na mwingine. Seti ya jozi zilizoamriwa ambazo zinarekodi vinavyolingana hii ni uhusiano.

    Ufafanuzi: Uhusiano

    Uhusiano ni seti yoyote ya jozi zilizoamriwa,\((x,y)\). Maadili yote ya x katika jozi zilizoamriwa pamoja hufanya kikoa. Yote y -maadili katika jozi zilizoamriwa pamoja hufanya upeo.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Kwa uhusiano\({(1,1),(2,4),(3,9),(4,16),(5,25)}\):

    1. Pata uwanja wa uhusiano.
    2. Kupata mbalimbali ya uhusiano.
    Jibu

    \[\begin{array} {ll} {} &{ {\{(1,1), (2,4), (3,9), (4,16), (5,25) }\} } \\ {ⓐ\text{ The domain is the set of all x-values of the relation.}} &{ {\{1,2,3,4,5}\} } \\ {ⓑ\text{ The range is the set of all y-values of the relation.}} &{ {\{1,4,9,16,25}\} } \\ \nonumber \end{array}\]

    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Kwa uhusiano\({\{(1,1),(2,8),(3,27),(4,64),(5,125)}\}\):

    1. Pata uwanja wa uhusiano.
    2. Kupata mbalimbali ya uhusiano.
    Jibu

    \({\{1,2,3,4,5}\}\)

    Jibu b

    \({\{1,8,27,64,125}\}\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kwa uhusiano\({\{(1,3),(2,6),(3,9),(4,12),(5,15)}\}\):

    1. Pata uwanja wa uhusiano.
    2. Kupata mbalimbali ya uhusiano.
    Jibu

    \({\{1,2,3,4,5}\}\)

    Jibu b

    \({\{3,6,9,12,15}\}\)

    RAMANI

    Wakati mwingine ramani hutumiwa kuonyesha uhusiano. Mishale inaonyesha pairing ya mambo ya kikoa na mambo ya upeo.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Tumia ramani ya uhusiano ulioonyeshwa

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano,
    2. kupata uwanja wa uhusiano, na
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu hii inaonyesha meza mbili ambazo kila mmoja ana safu moja. Jedwali upande wa kushoto lina kichwa “Jina” na huorodhesha majina “Alison”, “Penelope”, “Juni”, “Gregory”, “Geoffrey”, “Lauren”, “Stephen”, “Alice”, “Liz”, “Danny”. Jedwali upande wa kulia lina kichwa “Kuzaliwa” na huorodhesha tarehe “Januari 12”, “Februari 3”, “Aprili 25”, “Mei 10”, “Mei 23", “Julai 24”, “Agosti 2”, na “Septemba 15". Kuna mshale mmoja kwa kila jina katika Jedwali la Jina linaloanza kwa jina na linaelekea tarehe katika meza ya Kuzaliwa. Wakati tarehe nyingi zina mshale mmoja tu unaozungumzia, kuna mishale miwili inayoelekeza hadi Julai 24: moja kutoka Stephen na moja kutoka Liz.

    Jibu

    ⓐ Mshale unaonyesha vinavyolingana na mtu hadi siku yao ya kuzaliwa. Sisi kujenga awali jozi na jina la mtu kama x -thamani na siku yao ya kuzaliwa kama y -thamani.

    {(Alison, Aprili 25), (Penelope, Mei 23), (Juni, Agosti 2), (Gregory, Septemba 15), (Geoffrey, 12 Januari), (Lauren, Mei 10), (Stephen, Julai 24), (Alice, Februari 3), (Liz, Agosti 2), (Danny, Julai 24)}

    ⓑ Domain ni seti ya kila x -maadili ya uhusiano.

    {Alison, Penelope, Juni, Gregory, Geoffrey, Lauren, Stephen, Alice, Liz, Danny}

    ⓒ Aina ni seti ya y -maadili yote ya uhusiano.

    {12 Januari, 3 Februari, 25 Aprili, 10 Mei, 23 Mei, 24 Julai, 2 Agosti, 15 Septemba}

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Tumia ramani ya uhusiano ulioonyeshwa

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu hii inaonyesha meza mbili ambazo kila mmoja ana safu moja. Jedwali upande wa kushoto lina kichwa “Jina” na linaorodhesha majina “Khanh Nguyen”, “Abigail Brown”, “Sumantha Mishal”, na “Jose Hern na ez”. Jedwali upande wa kulia lina kichwa “Kitambulisho cha Mwanafunzi #” na huorodhesha kanuni “b 56781”, “j h 47983”, “k n 68413", na “s m 32479". Kuna mshale mmoja kwa kila jina katika Jedwali la Jina linaloanza kwa jina na linaelekea msimbo katika meza ya ID ya mwanafunzi. Mshale wa kwanza unakwenda kutoka Khanh Nguyen hadi k n 68413. Mshale wa pili huenda kutoka Abigail Brown kwa b 56781. Mshale wa tatu unakwenda kutoka Sumantha Mishal hadi s m 32479. Mshale wa nne unakwenda kutoka Jose Hern na ez kwa j h 47983.

    Jibu

    ⓐ (Khanh Nguyen, kn68413), (Abigail Brown, ab56781), (Sumantha Mishal, sm32479), (Jose Hern na ez, jh47983)

    ⓑ {Khanh Nguyen, Abigail Brown, Sumantha Mishal, Jose Hern na ez}

    ⓒ {kn68413, ab56781, sm32479, jh47983}

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Tumia ramani ya uhusiano ulioonyeshwa

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu hii inaonyesha meza mbili ambazo kila mmoja ana safu moja. Jedwali upande wa kushoto lina kichwa “Jina” na linaorodhesha majina “Maria”, “Arm and o”, “Cynthia”, “Kelly”, na “Rachel”. Jedwali upande wa kulia lina kichwa “Kuzaliwa” na huorodhesha tarehe “Januari 18", “Machi 15", “Novemba 6", na “Desemba 8". Kuna mshale mmoja kwa kila jina katika Jedwali la Jina linaloanza kwa jina na linaelekea tarehe katika meza ya Kuzaliwa. Mshale wa kwanza unatoka Maria hadi Novemba 6. Mshale wa pili unatoka Arm na kwenda Januari 18. Mshale wa tatu unatoka Cynthia hadi Desemba 8. Mshale wa nne unakwenda kutoka Kelly hadi Machi 15. Mshale wa tano unatoka Rachel hadi Novemba 6.

    Jibu

    ⓐ (Maria, Novemba 6), (Arm na o, Januari 18), (Cynthia, Desemba 8), (Kelly, Machi 15), (Rachel, Novemba 6)

    ⓑ {Maria, Arm na o, Cynthia, Kelly, Rachel}

    ⓒ {6 Novemba, 18 Januari, 8 Desemba, 15 Machi}

    Grafu ni njia nyingine ambayo uhusiano unaweza kuwakilishwa. Seti ya jozi zilizoamriwa za pointi zote zilizopangwa ni uhusiano. Seti ya kuratibu zote za x ni uwanja wa uhusiano na seti ya y -kuratibu zote ni upeo. Kwa ujumla tunaandika namba katika utaratibu wa kupanda kwa uwanja wote na upeo.

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Tumia grafu ya uhusiano na

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu inaonyesha grafu ya pointi fulani kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Pointi (hasi 3, 4), (hasi 3, hasi 1), (0, 3), (1, 5), (2, hasi 2), na (4, hasi 2).

    Jibu

    ⓐ Jozi zilizoamriwa za uhusiano ni:\[{\{(1,5),(−3,−1),(4,−2),(0,3),(2,−2),(−3,4)}\}.\nonumber\]

    ⓑ Domain ni seti ya kila x -maadili ya uhusiano:\(\quad {\{−3,0,1,2,4}\}\).

    Kumbuka kwamba wakati\(−3\) unarudia, imeorodheshwa mara moja tu.

    ⓒ Aina ni seti ya y -maadili yote ya uhusiano:\(\quad {\{−2,−1,3,4,5}\}\).

    Kumbuka kwamba wakati\(−2\) unarudia, imeorodheshwa mara moja tu.

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Tumia grafu ya uhusiano na

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.
    4. Takwimu inaonyesha grafu ya pointi fulani kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Pointi (hasi 3, 3), (hasi 2, 2), (hasi 1, 0), (0, hasi 1), (2, hasi 2), na (4, hasi 4).
    Jibu

    ⓐ\((−3,3),(−2,2),(−1,0),\)
    \((0,−1),(2,−2),(4,−4)\)
    ⓑ\({\{−3,−2,−1,0,2,4}\}\)
    ⓒ\({\{3,2,0,−1,−2,−4}\}\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Tumia grafu ya uhusiano na

    1. orodha ya jozi zilizoamriwa za uhusiano
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu inaonyesha grafu ya pointi fulani kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Pointi (hasi 3, 5), (hasi 3, 0), (hasi 3, hasi 6), (hasi 1, hasi 2), (1, 2), na (4, hasi 4).

    Jibu

    ⓐ\((−3,0),(−3,5),(−3,−6),\)
    \((−1,−2),(1,2),(4,−4)\)
    ⓑ\({\{−3,−1,1,4}\}\)
    ⓒ\({\{−6,0,5,−2,2,−4}\}\)

    Kuamua kama Uhusiano ni Kazi

    Aina maalum ya uhusiano, inayoitwa kazi, hutokea sana katika hisabati. Kazi ni uhusiano unaoweka kila kipengele katika uwanja wake hasa kipengele kimoja katika upeo. Kwa kila jozi kuamuru katika uhusiano, kila x -thamani ni kuendana na moja tu y -thamani.

    Ufafanuzi: Kazi

    Kazi ni uhusiano unaoweka kila kipengele katika uwanja wake hasa kipengele kimoja katika upeo.

    Mfano wa kuzaliwa kutoka Mfano hutusaidia kuelewa ufafanuzi huu. Kila mtu ana siku ya kuzaliwa lakini hakuna mtu aliye na siku mbili za kuzaliwa. Ni sawa kwa watu wawili kushiriki siku ya kuzaliwa. Ni sawa kwamba Danny na Stephen kushiriki Julai 24 th kama siku yao ya kuzaliwa na kwamba Juni na Liz kushiriki Agosti 2 nd. Kwa kuwa kila mtu ana siku moja ya kuzaliwa, uhusiano katika Mfano ni kazi.

    Uhusiano unaoonyeshwa na grafu katika Mfano unajumuisha jozi zilizoamriwa\((−3,−1)\) na\((−3,4)\). Je, hiyo ni sawa katika kazi? Hapana, kama hii ni kama mtu mmoja aliye na siku mbili za kuzaliwa tofauti.

    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Tumia seti ya jozi zilizoamriwa kwa (i) kuamua kama uhusiano ni kazi (ii) kupata uwanja wa uhusiano (iii) kupata mbalimbali ya uhusiano.

    1. \({\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}\)
    2. \({\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}\)
    Jibu

    ⓐ\({\{(−3,27),(−2,8),(−1,1),(0,0),(1,1),(2,8),(3,27)}\}\)

    (i) Kila x -thamani ni kuendana na moja tu y -thamani. Hivyo uhusiano huu ni kazi.

    (ii) uwanja ni seti ya kila x -maadili katika uhusiano.
    Kikoa ni:\({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\).

    (iii) Aina ni seti ya y -maadili yote katika uhusiano. Taarifa hatuorodhesha maadili mbalimbali mara mbili.
    Mipangilio ni:\({\{27,8,1,0}\}\).

    ⓑ\({\{(9,−3),(4,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(4,2),(9,3)}\}\)

    (i) x -value 9 ni kuendana na mbili y -maadili, wote 3 na\(−3\). Hivyo uhusiano huu si kazi.

    (ii) uwanja ni seti ya kila x -maadili katika uhusiano. Angalia hatuorodhesha maadili ya kikoa mara mbili.
    Kikoa ni:\({\{0,1,2,4,9}\}\).

    (iii) Aina ni seti ya y -maadili yote katika uhusiano.
    Mipangilio ni:\({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\).

    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Tumia seti ya jozi zilizoamriwa kwa (i) kuamua kama uhusiano ni kazi (ii) kupata uwanja wa uhusiano (iii) kupata mbalimbali ya kazi.

    1. \({\{(−3,−6),(−2,−4),(−1,−2),(0,0),(1,2),(2,4),(3,6)}\}\)
    2. \({\{(8,−4),(4,−2),(2,−1),(0,0),(2,1),(4,2),(8,4)}\}\)
    Jibu

    ⓐ Ndiyo;\({\{−3,−2,−1,0,1,2,3}\}\);
    \({\{−6,−4,−2,0,2,4,6}\}\)
    ⓑ Hapana\({\{0,2,4,8}\}\);
    \({\{−4,−2,−1,0,1,2,4}\}\)

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    Tumia seti ya jozi zilizoamriwa kwa (i) kuamua kama uhusiano ni kazi (ii) kupata uwanja wa uhusiano (iii) kupata mbalimbali ya uhusiano.

    1. \({\{(27,−3),(8,−2),(1,−1),(0,0),(1,1),(8,2),(27,3)}\}\)
    2. \({\{(7,−3),(−5,−4),(8,−0),(0,0),(−6,4),(−2,2),(−1,3)}\}\)
    Jibu

    ⓐ Hapana\({\{0,1,8,27}\}\);;
    \({\{−3,−2,−1,0,2,2,3}\}\)
    ⓑ Ndiyo\({\{7,−5,8,0,−6,−2,−1}\}\);
    \({\{−3,−4,0,4,2,3}\}\)

    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Tumia ramani

    1. kuamua kama uhusiano ni kazi
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

    clipboard_e358fef1793647353f09157074f4029e0.png

    Jibu

    ⓐ Wote Lydia na Marty wana namba mbili za simu. Hivyo kila x -thamani si kuendana na moja tu y -thamani. Hivyo uhusiano huu si kazi.

    ⓑ Domain ni seti ya kila x -maadili katika uhusiano. Kikoa ni: {Lydia, Eugene, Janet, Rick, Marty}

    ⓒ Aina ni seti ya y -maadili yote katika uhusiano. Mipangilio ni:

    \({\{321-549-3327, 427-658-2314, 321-964-7324, 684-358-7961, 684-369-7231, 798-367-8541}\}\)

    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Tumia ramani ya ⓐ kuamua kama uhusiano ni kazi ⓑ kupata uwanja wa uhusiano ⓒ kupata mbalimbali ya uhusiano.

    Takwimu hii inaonyesha meza mbili ambazo kila mmoja ana safu moja. Jedwali upande wa kushoto lina kichwa cha “Mtandao” na huorodhesha vituo vya televisheni vya “NBC”, “HGTV”, na “HBO”. Jedwali upande wa kulia lina kichwa cha “Programu” na huorodhesha vipindi vya televisheni “Ellen Degeneres Show”, “Law and Order”, “Tonight Show”, “Property Brothers”, “House Hunters”, “Upendo it or List it”, “Game of Thrones”, “Kweli Detective”, na “Sesame Street”. Kuna mishale inayoanza kwenye mtandao kwenye meza ya kwanza na inaelezea kuelekea programu katika meza ya pili. Mshale wa kwanza unakwenda kutoka NBC hadi Ellen Degeneres Show. Mshale wa pili unakwenda kutoka NBC hadi Sheria na Order. Mshale wa tatu huenda kutoka NBC hadi Tonight Show. mshale wa nne huenda kutoka HGTV kwa Mali Brothers. Mshale wa tano unakwenda kutoka HGTV hadi Nyumba Hunters. Mshale wa sita unakwenda kutoka HGTV kuupenda au kuorodhesha. Mshale wa saba unakwenda kutoka HBO hadi Mchezo wa viti vya enzi. Mshale wa nane huenda kutoka HBO hadi Kweli Detective. Mshale wa tisa unakwenda kutoka HBO hadi Sesame Street.

    Jibu

    ⓐ hakuna ⓑ {NBC, HGTV, HBO} ⓒ {Ellen Degeneres Show, Sheria na Order, Tonight Show, Mali Brothers, Nyumba Hunters, Upendo au Orodha, Mchezo wa viti, Kweli Detective, Sesame Street}

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Tumia ramani

    1. kuamua kama uhusiano ni kazi
    2. pata uwanja wa uhusiano
    3. kupata mbalimbali ya uhusiano.

     

    Jibu

    ⓐ Hapana ⓑ {Neal, Krystal, Kelvin, George, Christa, Mike} ⓒ {kazi 123-567-4839, seli 231-378-5941, 743-469-9731 kiini, 567-534-2970 kazi, 684-369-7231 kiini, 798-367-8541 kiini, 639-847-6971 kiini}

    Katika algebra, mara nyingi zaidi kuliko, kazi zitawakilishwa na equation. Ni rahisi kuona kama equation ni kazi wakati ni kutatuliwa kwa y. Ikiwa kila thamani ya x husababisha thamani moja tu ya y, basi equation inafafanua kazi.

    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Kuamua kama kila equation ni kazi.

    1. \(2x+y=7\)
    2. \(y=x^2+1\)
    3. \(x+y^2=3\)
    Jibu

    ⓐ\(2x+y=7\)

    Kwa kila thamani ya x, tunaizidisha\(−2\) na kisha kuongeza 7 ili kupata y -value

      .
    Kwa mfano, ikiwa\(x=3\): .
      .

    Tuna kwamba wakati\(x=3\), basi\(y=1\). Itakuwa kazi sawa kwa thamani yoyote ya x. Kwa kuwa kila thamani ya x, inalingana na thamani moja tu ya y equation amefafanua kazi.

    ⓑ\(y=x^2+1\)

    Kwa kila thamani ya x, sisi mraba na kisha kuongeza 1 kupata y -value.

      .
    Kwa mfano, ikiwa\(x=2\): .
      .

    Tuna kwamba wakati\(x=2\), basi\(y=5\). Itakuwa kazi sawa kwa thamani yoyote ya x. Kwa kuwa kila thamani ya x, inalingana na thamani moja tu ya y equation amefafanua kazi.

    ⓒ

      .
    Sulua neno y. .
    Hebu mbadala\(x=2\). .
      .
    Hii inatupa maadili mawili kwa y. \(y=1\space y=−1\)

    Tumeonyesha kwamba wakati\(x=2\), basi\(y=1\) na\(y=−1\). Itakuwa kazi sawa kwa thamani yoyote ya x. Kwa kuwa kila thamani ya x hailingani na thamani moja tu ya y equation haina kufafanua kazi.

    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Kuamua kama kila equation ni kazi.

    1. \(4x+y=−3\)
    2. \(x+y^2=1\)
    3. \(y−x^2=2\)
    Jibu

    ⓐ ndiyo ⓑ hapana ⓒ ndiyo

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Kuamua kama kila equation ni kazi.

    1. \(x+y^2=4\)
    2. \(y=x^2−7\)
    3. \(y=5x−4\)
    Jibu

    ⓐ hapana ⓑ ndiyo ⓒ ndiyo

    Pata Thamani ya Kazi

    Ni rahisi sana kutaja kazi na mara nyingi tunaiita f, g, h, F, G, au H. Katika kazi yoyote, kwa kila x -value kutoka uwanja tunapata y -value sambamba katika upeo. Kwa kazi\(f\), tunaandika thamani hii ya aina\(y\) kama\(f(x)\). Hii inaitwa kazi nukuu na ni kusoma\(f\)\(x\) au thamani ya\(f\) saa\(x\). Katika kesi hii mabano hayaonyeshi kuzidisha.

    Ufafanuzi: Uthibitishaji wa Kazi

    Kwa ajili ya kazi\(y=f(x)\)

    \[\begin{array} {l} {f\text{ is the name of the function}} \\{x \text{ is the domain value}} \\ {f(x) \text{ is the range value } y \text{ corresponding to the value } x} \\ \nonumber \end{array}\]

    Tunasoma\(f(x)\) kama\(f\) ya\(x\) au thamani ya\(f\) saa\(x\).

    Tunaita x kutofautiana kwa kujitegemea kama inaweza kuwa thamani yoyote katika uwanja. Tunaita y variable tegemezi kama thamani yake inategemea x.

    VIGEZO VYA KUJITEGEMEA

    Kwa kazi\(y=f(x)\),

    \[\begin{array} {l} {x \text{ is the independent variable as it can be any value in the domain}} \\ {y \text{ the dependent variable as its value depends on } x} \\ \nonumber \end{array}\]

    Kama vile ulipokutana na variable x, notation ya kazi inaweza kuwa badala ya kusumbua. Inaonekana ajabu kwa sababu ni mpya. Wewe kujisikia vizuri zaidi na notation kama matumizi yake.

    Hebu tuangalie equation\(y=4x−5\). Ili kupata thamani ya y wakati\(x=2\), tunajua badala\(x=2\) katika equation na kisha kurahisisha.

      .
    Hebu x=2. .
      .

    Thamani ya kazi katika\(x=2\) ni 3.

    Sisi kufanya kitu kimoja kwa kutumia kazi nukuu, equation\(y=4x−5\) inaweza kuandikwa kama\(f(x)=4x−5\). Ili kupata thamani wakati\(x=2\), tunaandika:

      .
    Hebu x=2. .
      .

    Thamani ya kazi katika\(x=2\) ni 3.

    Utaratibu huu wa kutafuta thamani ya\(f(x)\) kwa thamani iliyotolewa ya x inaitwa kutathmini kazi.

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Kwa kazi\(f(x)=2x^2+3x−1\), tathmini kazi.

    1. \(f(3)\)
    2. \(f(−2)\)
    3. \(f(a)\)
    Jibu

    ⓐ

      .
    Kutathmini\(f(3)\), mbadala 3 kwa x. .
    Kurahisisha. .
      .
      .

    ⓑ

        .
    .   .
    Kurahisisha.   .
        .
        .

    ⓒ

      .
    Kutathmini f (a), f (a), badala a kwa x. .
    Kurahisisha. .
    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Kwa kazi\(f(x)=3x^2−2x+1\), tathmini kazi.

    1. \(f(3)\)
    2. \(f(−1)\)
    3. \(f(t)\)
    Jibu

    ⓐ\(f(3)=22\) ⓑ\(f(−1)=6\) ⓒ\(f(t)=3t^2−2t−1\)

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Kwa kazi\(f(x)=2x^2+4x−3\), tathmini kazi.

    1. \(f(2)\)
    2. \(f(−3)\)
    3. \(f(h)\)
    Jibu

    ⓐ\((2)=13\) ⓑ\(f(−3)=3\)
    ⓒ\(f(h)=2h2+4h−3\)

    Katika mfano wa mwisho, tulipata\(f(x)\) kwa thamani ya mara kwa mara ya x. Katika mfano unaofuata, tunaulizwa kupata\(g(x)\) na maadili ya x ambayo ni vigezo. Bado kufuata utaratibu huo na kubadilisha vigezo katika kwa x.

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Kwa kazi\(g(x)=3x−5\), tathmini kazi.

    1. \(g(h^2)\)
    2. \(g(x+2)\)
    3. \(g(x)+g(2)\)
    Jibu

    ⓐ

          .
    Kutathmini\(g(h^2)\), badala\(h^2\) ya x.     .
          .

    ⓑ

      .
    Kutathmini\(g(x+2)\), badala\(x+2\) ya x. .
    Kurahisisha. .
      .

    ⓒ

        .
    Ili kutathmini\(g(x)+g(2)\), tafuta kwanza\(g(2)\).   .
        .
    .   .
    Kurahisisha.   .
        .

    Angalia tofauti kati ya sehemu ⓑ na ⓒ. Tunapata\(g(x+2)=3x+1\) na\(g(x)+g(2)=3x−4\). Hivyo tunaona kwamba\(g(x+2)\neq g(x)+g(2)\).

    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Kwa kazi\(g(x)=4x−7\), tathmini kazi.

    1. \(g(m^2)\)
    2. \(g(x−3)\)
    3. \(g(x)−g(3)\)
    Jibu

    ⓐ\(4m^2−7\) ⓑ\(4x−19\)
    ⓒ\(x−12\)

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Kwa kazi\(h(x)=2x+1\), tathmini kazi.

    1. \(h(k^2)\)
    2. \(h(x+1)\)
    3. \(h(x)+h(1)\)
    Jibu

    ⓐ\(2k^2+1\) ⓑ\(2x+3\)
    ⓒ\(2x+4\)

    Hali nyingi za kila siku zinaweza kutajwa kwa kutumia kazi.

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Idadi ya barua pepe ambazo hazijasomwa katika akaunti ya Sylvia ni 75. Nambari hii inakua kwa barua pepe zisizofunuliwa 10 kwa siku. Kazi\(N(t)=75+10t\) inawakilisha uhusiano kati ya idadi ya barua pepe, N, na wakati, t, kipimo kwa siku.

    1. Tambua kutofautiana kwa kujitegemea na tegemezi.
    2. Kupata\(N(5)\). Eleza nini matokeo haya yanamaanisha.
    Jibu

    ⓐ Idadi ya barua pepe zisizofunuliwa ni kazi ya idadi ya siku. Idadi ya barua pepe zisizofunuliwa, N, inategemea idadi ya siku, t. Kwa hiyo, variable N, ni variable tegemezi na tt variable ni variable huru.

    ⓑ Tafuta\(N(5)\). Eleza nini matokeo haya yanamaanisha.

      .
    Mbadala katika t=5.t=5. .
    Kurahisisha. .
      .

    tangu 5 ni idadi ya siku,\(N(5)\), ni idadi ya barua pepe unread baada ya 5 siku. Baada ya siku 5, kuna barua pepe 125 zisizofunuliwa katika akaunti.

    Mfano\(\PageIndex{26}\)

    Idadi ya barua pepe ambazo hazijasomwa katika akaunti ya Bryan ni 100. Nambari hii inakua kwa barua pepe zisizofunuliwa 15 kwa siku. Kazi\(N(t)=100+15t\) inawakilisha uhusiano kati ya idadi ya barua pepe, N, na wakati, t, kipimo kwa siku.

    1. Tambua kutofautiana kwa kujitegemea na tegemezi.
    2. Kupata\(N(7)]\). Eleza nini matokeo haya yanamaanisha.
    Jibu

    ⓐ t IND; N DEP ⓑ 205; idadi ya barua pepe zisizofunuliwa katika akaunti ya Bryan siku ya saba.

    Mfano\(\PageIndex{27}\)

    Idadi ya barua pepe zisizofunuliwa katika akaunti ya Anthony ni 110. Nambari hii inakua kwa barua pepe zisizofunuliwa 25 kwa siku. Kazi\(N(t)=110+25t\) inawakilisha uhusiano kati ya idadi ya barua pepe, N, na wakati, t, kipimo kwa siku.

    1. Tambua kutofautiana kwa kujitegemea na tegemezi.
    2. Kupata\(N(14)\). Eleza nini matokeo haya yanamaanisha.
    Jibu

    ⓐ t IND; N DEP ⓑ 460; idadi ya barua pepe zisizofunuliwa katika akaunti ya Anthony siku ya kumi na nne

    Fikia rasilimali hii ya mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na mahusiano na kazi.

    Dhana muhimu

    • Kazi Notation: Kwa kazi\(y=f(x)\)
      • f ni jina la kazi
      • x ni thamani ya kikoa
      • \(f(x)\)ni thamani mbalimbali y sambamba na thamani x
        Tunasoma\(f(x)\) kama f ya x au thamani ya f katika x.
    • Independent na tegemezi Vigezo: Kwa kazi\(y=f(x)\),
      • x ni kutofautiana kwa kujitegemea, kama inaweza kuwa thamani yoyote katika uwanja
      • y ni variable tegemezi kama thamani yake inategemea x

    faharasa

    uwanja wa uhusiano
    Uwanja wa uhusiano ni maadili yote ya x katika jozi zilizoamriwa za uhusiano.
    kazi
    Kazi ni uhusiano unaoweka kila kipengele katika uwanja wake hasa kipengele kimoja katika upeo.
    ramani
    Wakati mwingine ramani hutumiwa kuonyesha uhusiano. Mishale inaonyesha pairing ya mambo ya kikoa na mambo ya upeo.
    mbalimbali ya uhusiano
    Uhusiano wa uhusiano ni y- maadili yote katika jozi zilizoamriwa za uhusiano.
    uhusiano
    Uhusiano ni seti yoyote ya jozi zilizoamriwa, (x, y). (x, y). Maadili yote ya x katika jozi zilizoamriwa pamoja hufanya kikoa. Yote y -maadili katika jozi zilizoamriwa pamoja hufanya upeo.