Skip to main content
Global

3.5E: Mazoezi

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175660

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Mazoezi hufanya kamili

    Thibitisha Ufumbuzi wa Usawa katika Vigezo viwili

    Katika mazoezi yafuatayo, onyesha kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la usawa uliotolewa.

    1. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y>x−1\):

    a.\((0,1)\)
    b.\((−4,−1)\)
    c.\((4,2)\)
    d.\((3,0)\)
    e.\((−2,−3)\)

    Jibu

    a. ndiyo b. ndiyo c. hapana d. hapana e. hapana

    2. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y>x−3\):

    a.\((0,0)\)
    b.\((2,1)\)
    c.\((−1,−5)\)
    d.\((−6,−3)\)
    e.\((1,0)\)

    3. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y<3x+2\):

    a.\((0,3)\)
    b.\((−3,−2)\)
    c.\((−2,0)\)
    d.\((0,0)\)
    e.\((−1,4)\)

    Jibu

    a. hakuna b. hakuna c. ndiyo d. ndiyo e. hapana

    4. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y<−2x+5\):

    a.\ (-3,0) (-3,0)
    b.\((1,6)\)
    c.\((−6,−2)\)
    d.\((0,1)\)
    e.\((5,−4)\)

    5. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(3x−4y>4\):

    a.\((5,1)\)
    b.\((−2,6)\)
    c.\((3,2)\)
    d.\((10,−5)\)
    e.\((0,0)\)

    Jibu

    a. ndiyo b. hapana c. hakuna d. hapana e. hapana

    6. Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(2x+3y>2\):

    a.\((1,1)\)
    b.\((4,−3)\)
    c.\((0,0)\)
    d.\((−8,12)\)
    e.\((3,0)\)

    Tambua Uhusiano Kati ya Ufumbuzi wa Usawa na Grafu yake

    Katika mazoezi yafuatayo, weka usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli.

    7. Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=3x−4\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 1), na (2, 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya chini ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(y\leq 3x−4\)

    8. Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=2x−4\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 2), na (2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya chini ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    9. Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=−\frac{1}{2}x+1\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 1), (2, 0), na (4, hasi 1). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya chini ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(y\leq −\frac{1}{2}x+1\)

    10. Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=-\frac{1}{3}x−2\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 2), (3, hasi 3), na (6, hasi 4). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya kushoto ya chini ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    11. Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(x+y=5\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 5), (1, 4), na (5, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(x+y\geq 5\)

    12. Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(x+y=3\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 3), (1, 2), na (3, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    13. Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(3x−y=6\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 6), (1, hasi 3), na (2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(3x−y\leq 6\)

    14. Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(2x−y=4\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 2), na (2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Graph Linear kutofautiana katika vigezo viwili

    Katika mazoezi yafuatayo, grafu kila usawa wa mstari.

    15. Grafu usawa wa mstari:\(y>\frac{2}{3}x−1\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 1), (3, 1), na (6, 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    16. Grafu usawa wa mstari:\(y<\frac{3}{5}x+2\).

    17. Grafu usawa wa mstari:\(y\leq −\frac{1}{2}x+4\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 4), (2, 3), na (4, 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    18. Grafu usawa wa mstari:\(y\geq −\frac{1}{3}x−2\).

    19. Grafu usawa wa mstari:\(x−y\leq 3\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 2), na (3, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    20. Grafu usawa wa mstari:\(x−y\geq −2\).

    21. Grafu usawa wa mstari:\(4x+y>−4\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (hasi 1, 0), na (1, hasi 8). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    22. Grafu usawa wa mstari:\(x+5y<−5\).

    23. Grafu usawa wa mstari:\(3x+2y\geq −6\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 3), (3, hasi 5), na (hasi 2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    24. Grafu usawa wa mstari:\(4x+2y\geq −8\).

    25. Grafu usawa wa mstari:\(y>4x\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, 0), (hasi 1, hasi 4), na (1, 4). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    26. Grafu usawa wa mstari:\(y\leq −3x\).

    27. Grafu usawa wa mstari:\(y<−10\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, 0), (hasi 1, 3), na (1, hasi 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya chini kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    28. Grafu usawa wa mstari:\(y\geq 2\).

    29. Grafu usawa wa mstari:\(x\leq 5\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa dashed wima hutolewa kupitia pointi (5, hasi 1), (5, 0), na (5, 1). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya kushoto ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    30. Grafu usawa wa mstari:\(x\geq 0\).

    31. Grafu usawa wa mstari:\(x−y<4\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 3), na (4, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    32. Grafu usawa wa mstari:\(x−y<−3\).

    33. Grafu usawa wa mstari:\(y\geq \frac{3}{2}x\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, 0), (2, 3), na (hasi 2, hasi 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    34. Grafu usawa wa mstari:\(y\leq \frac{5}{4}x\).

    35. Grafu usawa wa mstari:\(y>−2x+1\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, 1), (1, hasi 1), na (2, hasi 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    36. Grafu usawa wa mstari:\(y<−3x−4\).

    37. Grafu usawa wa mstari:\(2x+y\geq −4\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (1, hasi 6), na (hasi 2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya kushoto ya chini ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    38. Grafu usawa wa mstari:\(x+2y\leq −2\).

    39. Grafu usawa wa mstari:\(2x−5y>10\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, hasi 2), (5, 0), na (hasi 5, hasi 4). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya chini ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    40. Grafu usawa wa mstari:\(4x−3y>12\).

    Tatua Maombi kwa kutumia Usawa wa mstari katika Vigezo viwili

    41. Harrison kazi mbili sehemu ya muda ajira. Moja katika kituo cha gesi ambayo hulipa $11 saa na nyingine ni IT troubleshooting kwa $16.50 $16.50saa. Kati ya kazi mbili, Harrison anataka kupata angalau $330 kwa wiki. Harrison anahitaji saa ngapi kufanya kazi katika kila kazi ili kupata angalau $330?

    a. hebu x kuwa idadi ya masaa anafanya kazi katika kituo cha gesi na basi y kuwa idadi ya (masaa anafanya kazi utatuzi. Andika usawa ambayo ingekuwa mfano wa hali hii.

    b Graph usawa.

    pata jozi tatu zilizoamriwa\((x,y)\) ambazo zitakuwa ufumbuzi wa usawa. Kisha, kueleza nini maana kwa Harrison.

    Jibu

    a.\(11x+16.5y\geq 330\)
    b.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka 0 hadi 35. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 20), (15, 10), na (30, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    c Majibu yatatofautiana.

    42. Elena anahitaji kupata angalau $450 kwa wiki wakati wa mapumziko yake ya majira ya joto kulipa chuo. Yeye anafanya kazi mbili. Mmoja kama mwalimu wa kuogelea anayelipa $9 saa na nyingine kama Intern katika maabara ya genetics kwa $22.50 kwa saa. Je, Elena anahitaji kufanya kazi kwa kila kazi ili kupata angalau $450 kwa wiki?

    Hebu x kuwa idadi ya masaa yeye kazi kufundisha kuogelea na basi y kuwa idadi ya masaa yeye kazi kama Intern. Andika usawa ambayo ingekuwa mfano wa hali hii.

    b Graph usawa.

    pata jozi tatu zilizoamriwa (x, y) (x, y) ambazo zitakuwa ufumbuzi wa usawa. Kisha, kueleza nini maana yake kwa Elena.

    43. Daktari anamwambia Laura anahitaji zoezi la kutosha kuchoma kalori 500 kila siku. Yeye anapendelea ama kukimbia au baiskeli na nzito 15 kalori kwa dakika wakati mbio na kalori 10 dakika wakati Biking.

    Kama x ni idadi ya dakika kwamba Laura anaendesha na y ni dakika idadi yeye baiskeli, kupata usawa kwamba mifano ya hali.

    b Graph usawa.

    c Orodha ya ufumbuzi wa tatu kwa usawa. Ni chaguo gani ambazo ufumbuzi hutoa Laura?

    Jibu

    a.\(15x+10y\geq 500\)
    b.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka 0 hadi 60. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 50) na (20, 20). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    c Majibu yatatofautiana.

    44. Kazi za Armando zinajumuisha kickboxing na kuogelea. Wakati wa kickboxing, anachoma kalori 10 kwa dakika na anachoma kalori 7 kwa dakika wakati wa kuogelea. Anataka kuchoma kalori 600 kila siku.

    Kama x ni idadi ya dakika kwamba Armando itakuwa kickbox na y ni idadi ya dakika yeye kuogelea, kupata usawa ambayo itasaidia Armando kujenga Workout kwa leo.

    b Graph usawa.

    c Orodha ya ufumbuzi wa tatu kwa usawa. Ni chaguo gani ambazo ufumbuzi hutoa Armando?

    Mazoezi ya kuandika

    45. Lester anadhani kuwa suluhisho la kukosekana kwa usawa wowote na ishara ya >> ni kanda iliyo juu ya mstari na suluhisho la usawa wowote na ishara <<<ni kanda chini ya mstari. Je, Lester ni sahihi? Eleza kwa nini au kwa nini.

    Jibu

    Majibu yatatofautiana.

    46. Eleza kwa nini, katika baadhi ya grafu za kutofautiana kwa mstari, mstari wa mipaka ni imara lakini katika grafu nyingine hupigwa.

    Self Check

    Baada ya kukamilisha mazoezi, tumia orodha hii ili kutathmini ujuzi wako wa malengo ya sehemu hii.

    Jedwali hili lina safu 4 na nguzo 4. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na huandika kila safu. Kichwa cha kwanza cha safu ni “Naweza...”, pili ni “Kwa uaminifu”, ya tatu ni “Kwa msaada fulani”, na ya nne ni “Hapana, siipati”. Chini ya safu ya kwanza ni maneno “kuthibitisha ufumbuzi wa kutofautiana katika vigezo viwili.”, “kutambua uhusiano kati ya ufumbuzi wa usawa na grafu yake”, na “usawa wa mstari wa grafu”. Nguzo nyingine zimeachwa tupu ili mwanafunzi aweze kuonyesha kiwango chao cha ustadi kwa kila mada.

    b Kwa kiwango cha 1—10, ungewezaje kupima ujuzi wako wa sehemu hii kwa kuzingatia majibu yako kwenye orodha? Unawezaje kuboresha hii?