Skip to main content
Global

3.5: Usawa wa mstari wa Grafu katika Vigezo viwili

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175635

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    MUHTASARI

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Thibitisha ufumbuzi wa kutofautiana katika vigezo viwili.
    • Tambua uhusiano kati ya ufumbuzi wa usawa na grafu yake.
    • Grafu ya usawa wa mstari katika vigezo viwili
    • Tatua programu kwa kutumia usawa wa mstari katika vigezo viwili

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Grafu\(x>2\) kwenye mstari wa nambari.
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Kutatua:\(4x+3>23\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Tafsiri:\(8<x>3\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Thibitisha Ufumbuzi wa Ukosefu wa kutofautiana katika Vigezo viwili

    Hapo awali tulijifunza kutatua kutofautiana na kutofautiana moja tu. Sasa tutajifunza kuhusu usawa unao na vigezo viwili. Hasa sisi kuangalia usawa linear katika vigezo mbili ambayo ni sawa na equations linear katika vigezo mbili.

    Ukosefu wa usawa wa mstari katika vigezo viwili vina programu nyingi. Ikiwa unakimbia biashara, kwa mfano, ungependa mapato yako yawe makubwa kuliko gharama zako-ili biashara yako itoe faida.

    USAWA WA MSTARI

    Ukosefu wa usawa wa mstari ni usawa ambao unaweza kuandikwa katika mojawapo ya fomu zifuatazo:

    \( \begin{array} {l} { }& {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} &{Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ \end{array} \)

    Ambapo A na B sio wote sifuri.

    Kumbuka kwamba usawa na kutofautiana moja ulikuwa na ufumbuzi wengi. Kwa mfano, ufumbuzi wa usawa x> 3x>3 ni idadi yoyote kubwa kuliko 3. Tulionyesha hii kwenye mstari wa nambari kwa kivuli kwenye mstari wa namba kwa haki ya 3, na kuweka mabano ya wazi saa 3. Angalia Kielelezo.

    Picha ya mstari wa nambari na integers kutoka hasi 5 hadi 5. Sehemu ya mstari wa nambari kwa haki ya 3 imewekwa na mstari wa bluu. Nambari ya 3 imewekwa na mabano ya wazi ya bluu.
    Kielelezo\(\PageIndex{1}\)

    Vile vile, kutofautiana kwa mstari katika vigezo viwili vina ufumbuzi wengi. Yoyote jozi awali (x, y) (x, y) ambayo inafanya usawa kweli wakati sisi mbadala katika maadili ni suluhisho la usawa linear.

    Suluhisho la kukosekana kwa usawa wa mstari

    Jozi iliyoamriwa\((x,y)\) ni suluhisho la usawa wa mstari ikiwa usawa ni kweli wakati sisi badala ya maadili ya x na y.

    UkurasaIndex {1}\)

    Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana y> x+4:y>x+4:

    ⓐ (0,0) (0,0) ⓑ (1,6) (1,6) ⓒ (2,6) (2,6) ⓓ (-5, -15) (-5, -15) ⓔ (-8,12) (-8,12)

    Jibu

    ⓐ

    \((0,0)\) .
    . .
    Kurahisisha. .
     

    Hivyo,\((0,0)\) si ufumbuzi wa\(y>x+4\).

    ⓑ

    \((1,6)\) .
    . .
    Kurahisisha. .
      Hivyo,\((1,6)\) ni suluhisho la\(y>x+4\).

    ⓒ

    \((2,6)\) .
    . .
    Kurahisisha. .
      Hivyo,\((2,6)\) si ufumbuzi wa\(y>x+4\).

    ⓓ

    \((−5,−15)\) .
    . .
    Kurahisisha. .
      Hivyo,\((−5,−15)\) si ufumbuzi wa\(y>x+4\).

    ⓔ

    \((−8,12)\) .
    . .
    Kurahisisha. .
      Hivyo,\((−8,12)\) ni suluhisho la\(y>x+4\).

    Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y>x−3\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((4,9)\) ⓒ\((−2,1)\) ⓓ\((−5,−3)\) ⓔ\((5,1)\)

    Jibu

    ⓐ ndiyo ⓑ ndiyo ⓒ ndiyo ⓓ ndiyo ⓔ hapana

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Kuamua kama kila jozi iliyoamriwa ni suluhisho la kutofautiana\(y<x+1\):

    ⓐ\((0,0)\) ⓑ\((8,6)\) ⓒ\((−2,−1)\) ⓓ\((3,4)\) ⓔ\((−1,−4)\)

    Jibu

    ⓐ ndiyo ⓑ ndiyo ⓒ hapana ⓓ hakuna ⓔ ndiyo

    Tambua Uhusiano Kati ya Ufumbuzi wa Usawa na Grafu yake

    Sasa, tutaangalia jinsi ufumbuzi wa kutofautiana unahusiana na grafu yake.

    Hebu fikiria juu ya mstari wa nambari iliyoonyeshwa hapo awali tena. Hatua hiyo\(x=3\) ilitenganisha mstari wa namba hiyo katika sehemu mbili. Upande mmoja wa 3 ni namba zote chini ya 3. Upande wa pili wa 3 namba zote ni kubwa kuliko 3. Angalia Kielelezo.

    Picha ya mstari wa nambari na integers kutoka hasi 5 hadi 5. Sehemu ya mstari wa nambari kwa haki ya 3 imewekwa na mstari wa bluu. Nambari ya 3 imewekwa na mabano ya wazi ya bluu. Sehemu ya mstari wa nambari kwa haki ya 3 inaitwa “namba kubwa kuliko 3". Sehemu ya mstari wa nambari upande wa kushoto wa 3 inaitwa “namba chini ya 3".
    Kielelezo\(\PageIndex{2}\): ufumbuzi wa\(x>3\) ni sehemu kivuli ya mstari namba na haki ya\(x=3\).

    Vile vile, mstari\(y=x+4\) hutenganisha ndege katika mikoa miwili. Kwa upande mmoja wa mstari ni pointi na\(y<x+4\). Kwa upande mwingine wa mstari ni pointi na\(y>x+4\). Tunaita mstari mstari\(y=x+4\) wa mipaka.

    MSTARI WA MIPAKA

    Mstari na equation\(Ax+By=C\) ni mstari wa mipaka unaotenganisha eneo ambapo\(Ax+By>C\) kutoka kanda ambapo\(Ax+By<C\).

    Kwa usawa katika variable moja, endpoint inavyoonekana kwa mabano au bracket kulingana na kama au ni pamoja na katika suluhisho:

    Mstari wa namba mbili huonyeshwa na katikati iliyoandikwa na namba “a”. Katika mistari yote ya nambari, sehemu ya kushoto ya nambari a imewekwa na nyekundu. Mstari wa kwanza wa namba umeandikwa “x ni chini ya” na nambari a imewekwa na mabano ya wazi. Mstari wa pili wa namba umeandikwa “x ni chini ya au sawa na” na namba a imewekwa na bracket wazi.

    Vile vile, kwa usawa katika vigezo viwili, mstari wa mipaka unaonyeshwa kwa mstari imara au uliopigwa ili kuonyesha kama mstari umejumuishwa katika suluhisho.

    \[ \begin{array} {ll} {Ax+By<C} &{Ax+By\leq C} \\ {Ax+By>C} &{Ax+By\geq C} \\ {\text{Boundary line is }Ax+By=C.} &{\text{Boundary line is }Ax+By=C.} \\ {\text{Boundary line is not included in solution.}} &{\text{Boundary line is not included in solution.}} \\ {\textbf{Boundary line is dashed.}} &{\textbf{Boundary line is solid.}} \\ \nonumber \end{array} \]

    Sasa, hebu tuangalie kile tulichopata katika Mfano. Tutaanza kwa kuchora mstari\(y=x+4\), na kisha tutaweza njama pointi tano tulizopimwa, kama inavyoonekana kwenye grafu. Angalia Kielelezo.

    Takwimu hii ina grafu ya pointi fulani na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 16 hadi 16. Vipengele (hasi 8, 12), (hasi 5, hasi 15), (0, 0), (1, 6), na (2, 6) vinapangwa na kuchapishwa na kuratibu zao. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (hasi 4, 0), (0, 4), na (2, 6).
    Kielelezo\(\PageIndex{3}\)

    Katika Mfano tuligundua kwamba baadhi ya pointi walikuwa ufumbuzi wa usawa\(y>x+4\) na baadhi hawakuwa.

    Ni ipi kati ya pointi tulizopanga ni ufumbuzi wa kutofautiana\(y>x+4\)?

    Pointi\((1,6)\) na\((−8,12)\) ni ufumbuzi wa kukosekana kwa usawa\(y>x+4\). Kumbuka kwamba wote wawili ni upande mmoja wa mstari wa mipaka\(y=x+4\).

    pointi mbili\((0,0)\) na\((−5,−15)\) ni upande wa pili wa mstari wa mipaka\(y=x+4\), na wao si ufumbuzi wa usawa\(y>x+4\). Kwa pointi hizo mbili,\(y<x+4\).

    Nini kuhusu hatua\((2,6)\)? Kwa sababu\(6=2+4\), hatua ni suluhisho la equation\(y=x+4\), lakini sio suluhisho la usawa\(y>x+4\). Hivyo hatua\((2,6)\) ni juu ya mstari wa mipaka.

    Hebu tuchukue hatua nyingine juu ya mstari wa mipaka na tathmini ikiwa ni suluhisho la kutofautiana\(y>x+4\). Hatua inaonekana\((0,10)\) wazi juu ya mstari wa mipaka, siyo hivyo? Je, ni suluhisho la kukosekana kwa usawa?

    \[\begin{array} {lll} {y} &{>} &{x+4} \\ {10} &{\overset{?}{>}} &{0+4} \\ {10} &{>} &{4} \\ \nonumber \end{array}\]

    Hivyo,\((0,10)\) ni suluhisho la\(y>x+4\).

    Hatua yoyote unayochagua juu ya mstari wa mipaka ni suluhisho la kutofautiana\(y>x+4\). Vipengele vyote juu ya mstari wa mipaka ni ufumbuzi.

    Vile vile, pointi zote chini ya mstari wa mipaka, upande\((0,0)\) na\((−5,−15)\), sio ufumbuzi wa\(y>x+4\), kama inavyoonekana kwenye Kielelezo.

    Takwimu hii ina grafu ya pointi fulani na mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 16 hadi 16. Vipengele (hasi 8, 12), (hasi 5, hasi 15), (0, 0), (1, 6), na (2, 6) vinapangwa na kuchapishwa na kuratibu zao. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (hasi 4, 0), (0, 4), na (2, 6). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya kushoto ya juu imeandikwa y ni kubwa kuliko x pamoja na 4. Nusu ya chini ya kulia imeandikwa y ni chini ya x pamoja na 4.
    Kielelezo\(\PageIndex{4}\)

    Grafu ya usawa\(y>x+4\) inavyoonyeshwa hapa chini.

    Mstari\(y=x+4\) hugawanya ndege katika mikoa miwili. Upande wa kivuli unaonyesha ufumbuzi wa usawa\(y>x+4\).

    Pointi kwenye mstari wa mipaka\(y=x+4\), wale ambapo, sio ufumbuzi wa usawa\(y>x+4\), hivyo mstari yenyewe sio sehemu ya suluhisho. Tunaonyesha kwamba kwa kufanya mstari ulipungua, sio imara.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (hasi 4, 0), (0, 4), na (2, 6). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Mstari wa mipaka unaoonyeshwa kwenye grafu hii ni\(y=2x−1\). Andika usawa unaoonyeshwa na grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 1), (1, 1), na (2, 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    Mstari\(y=2x−1\) ni mstari wa mipaka. Kwa upande mmoja wa mstari ni pointi\(y>2x−1\) na upande wa pili wa mstari ni pointi na\(y<2x−1\).

    Hebu tuchunguze uhakika\((0,0)\) na uone ni usawa gani unaoelezea msimamo wake kuhusiana na mstari wa mipaka.

    Katika\((0,0)\), ambayo kukosekana kwa usawa ni kweli:\(y>2x−1\) au\(y<2x−1\)?

    \[\begin{array} {ll} {y>2x−1} &{y<2x−1} \\ {0\overset{?}{>}2·0−1} &{0\overset{?}{<}2·0−1} \\ {0>−1\text{ True}} &{0<−1\text{ False}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Kwa kuwa,\(y>2x−1\) ni kweli, upande wa mstari na\((0,0)\), ni suluhisho. Eneo la kivuli linaonyesha ufumbuzi wa usawa\(y>2x−1\).

    Kwa kuwa mstari wa mipaka umewekwa na mstari imara, usawa unajumuisha ishara sawa.

    Grafu inaonyesha usawa\(y\geq 2x−1\).

    Tunaweza kutumia hatua yoyote kama hatua ya mtihani, mradi si kwenye mstari. Kwa nini tulichagua\((0,0)\)? Kwa sababu ni rahisi kutathmini. Unaweza kutaka kuchukua hatua upande wa pili wa mstari wa mpaka na kuangalia kwamba\(y<2x−1\).

    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=−2x+3\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (0, 3), (1, 1), na (3, hasi 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari yenyewe na nusu ya juu ya kulia ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa kutofautiana ni.

    Jibu

    \(y\geq −2x+3\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Andika usawa unaoonyeshwa na grafu na mstari wa mipaka\(y=\frac{1}{2}x−4\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (2, hasi 3), na (4, hasi 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari yenyewe na nusu ya chini ya kulia ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(y\leq \frac{1}{2}x−4\)

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Mstari wa mipaka unaoonyeshwa kwenye grafu hii ni\(2x+3y=6\). Andika usawa unaoonyeshwa na grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, 2), (3, 0), na (6, hasi 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya kushoto ya chini ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    Mstari\(2x+3y=6\) ni mstari wa mipaka. Kwa upande mmoja wa mstari ni pointi\(2x+3y>6\) na upande wa pili wa mstari ni pointi na\(2x+3y<6\).

    Hebu tujaribu hatua\((0,0)\) na tuone ni usawa gani unaoelezea upande wake wa mstari wa mipaka.

    Katika\((0,0)\), ambayo kukosekana kwa usawa ni kweli:\(2x+3y>6\) au\(2x+3y<6\)?

    \[\begin{array} {ll} {2x+3y>6} &{2x+3y<6} \\ {2(0)+3(0)\overset{?}{>}6} &{2(0)+3(0)\overset{?}{<}6} \\ {0>6\text{ False}} &{0<6\text{ True}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Hivyo upande na\((0,0)\) ni upande ambapo\(2x+3y<6\).

    (Unaweza kutaka kuchukua hatua upande wa pili wa mstari wa mpaka na kuangalia kwamba\(2x+3y>6\).)

    Kwa kuwa mstari wa mipaka umewekwa kama mstari uliopigwa, usawa haujumuishi ishara sawa.

    Eneo la kivuli linaonyesha suluhisho la kutofautiana\(2x+3y<6\).

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(x−4y=8\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (0, hasi 2), (4, hasi 1), na (8, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari yenyewe na nusu ya juu kushoto ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(x−4y\leq 8\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Andika usawa unaoonyeshwa na eneo la kivuli kwenye grafu na mstari wa mipaka\(3x−y=6\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (0, hasi 6), (1, hasi 3), na (2, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari yenyewe na nusu ya chini ya kulia ni rangi nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Jibu

    \(3x−y\geq 6\)

    Graph Linear kutofautiana katika vigezo viwili

    Sasa kwa kuwa tunajua nini grafu ya usawa linear inaonekana kama na jinsi inahusiana na equation mipaka tunaweza kutumia maarifa haya kwa graph kupewa usawa linear.

    Mfano\(\PageIndex{10}\): How to Graph a Linear Equation in Two Variables

    Grafu usawa wa mstari\(y\geq \frac{3}{4}x−2\).

    Jibu

    Hatua ya 1 ni Kutambua na kuchora mstari wa mipaka. Ikiwa usawa ni chini ya au sawa au mkubwa kuliko au sawa, mstari wa mipaka ni imara. Ikiwa usawa ni chini au zaidi kuliko, mstari wa mipaka umepigwa. Katika mfano huu ishara ya kukosekana kwa usawa ni kubwa kuliko au sawa, hivyo sisi kuteka mstari imara. Badilisha nafasi ya usawa na ishara sawa ili kupata mstari wa mipaka. Grafu mstari wa mipaka y = 3 imegawanywa na mara 4 x chini ya 2. Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 2), (4, 1), na (8, 4).Hatua ya 2 ni kupima hatua ambayo si kwenye mstari wa mipaka. Je, ni suluhisho la kukosekana kwa usawa? Tutajaribu (0, 0). Katika (0, 0) ni y kubwa kuliko au sawa na 3 imegawanywa na mara 4 x minus 2? Je, 0 kubwa kuliko au sawa na 3 imegawanywa na mara 4 0 chini ya 2? 0 ni kubwa kuliko au sawa na hasi 2 hivyo (0, 0) ni suluhisho.Hatua ya 3 ni kivuli upande mmoja wa mstari wa mipaka. Ikiwa hatua ya mtihani ni suluhisho, kivuli upande unaojumuisha uhakika. Ikiwa hatua ya mtihani sio suluhisho, kivuli upande wa pili. Hatua ya mtihani (0, 0), ni suluhisho la y kubwa kuliko au sawa na 3 iliyogawanywa na mara 4 x chini ya 2. Kwa hiyo sisi kivuli upande una (0, 0). Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 2), (4, 1), na (8, 4). Nusu ya juu kushoto ya ndege ya kuratibu imevuliwa ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo kuweka suluhisho iko.

    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Grafu usawa wa mstari\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 4), (2, 1), na (4, 6). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika kanda ya kivuli na kwenye mstari wa mipaka, inawakilisha ufumbuzi wa\(y>\frac{5}{2}x−4\).

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    Grafu usawa wa mstari\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 5), (3, hasi 3), na (5, hasi 1). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(y<\frac{2}{3}x−5\).

    Hatua tunazochukua ili kuweka usawa wa mstari ni muhtasari hapa.

    GRAFU USAWA MSTARI KATIKA VIGEZO VIWILI.
    1. Tambua na graph mstari wa mipaka.
      • Ikiwa usawa ni\ leq au\ geq,\ leq au\ geq, mstari wa mipaka ni imara.
      • Kama usawa ni<or>,<or>, mstari wa mipaka ni dashed.
    2. Mtihani hatua ambayo si kwenye mstari wa mipaka. Je, ni suluhisho la kukosekana kwa usawa?
    3. Kivuli upande mmoja wa mstari wa mipaka.
      • Ikiwa hatua ya mtihani ni suluhisho, kivuli upande unaojumuisha uhakika.
      • Ikiwa hatua ya mtihani sio suluhisho, kivuli upande wa pili.
    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Grafu usawa wa mstari\(x−2y<5\).

    Jibu

    Kwanza, sisi grafu mstari wa mipaka\(x−2y=5\). Ukosefu wa usawa ni\(<\) hivyo sisi kuteka line dashed.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (hasi 3, hasi 4), (1, hasi 2), na (5, 0).

    Kisha, tunajaribu uhakika. Tutaweza kutumia\((0,0)\) tena kwa sababu ni rahisi kutathmini na si kwenye mstari wa mipaka.

    Je\((0,0)\) ufumbuzi wa\(x−2y<5\)?

    Je, ni 0 chini ya mara 2 0 chini ya 5? Je, ni 0 chini ya 0 chini ya 5? 0 ni chini ya 5.

    uhakika\((0,0)\) ni ufumbuzi wa\(x−2y<5\), hivyo sisi kivuli katika upande huo wa mstari wa mipaka.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (hasi 3, hasi 4), (1, hasi 2), na (5, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(x−2y<5\).

    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(2x−3y<6\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 2), (3, 0), na (6, 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu kushoto ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(2x−3y<6\).

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(2x−y>3\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya chini ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(2x−y>3\).

    Nini kama mstari wa mipaka unapita kupitia asili? Kisha, hatuwezi kuwa na uwezo wa kutumia\((0,0)\) kama hatua ya mtihani. Hakuna tatizo-tutaweza tu kuchagua baadhi ya hatua nyingine ambayo si juu ya mstari wa mpaka.

    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y\leq −4x\).

    Jibu

    Kwanza, sisi grafu mstari wa mipaka\(y=−4x\). Ni katika mteremka-intercept fomu, na\(m=−4\) na\(b=0\). Ukosefu wa usawa ni\(\leq\) hivyo tunapata mstari imara.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (0, 0), (1, hasi 4), na (hasi 1, 4).

    Sasa tunahitaji hatua ya mtihani. Tunaweza kuona kwamba hatua (1,0) (1,0) si kwenye mstari wa mpaka.

    Je\((1,0)\) ufumbuzi wa\(y\leq −4x\)?

    .

    Hatua\((1,0)\) sio suluhisho\(y\leq −4x\), kwa hiyo sisi kivuli upande wa pili wa mstari wa mipaka.

    Je, 0 chini ya au sawa na hasi mara 4 1? 0 si chini ya au sawa na hasi 4.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli na kwenye mstari wa mipaka huwakilisha ufumbuzi wa\(y\leq −4x\).

    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y>−3x\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (hasi 1, 3), (0, 0), na (1, hasi 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(y>−3x\).

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y\geq −2x\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa moja kwa moja uliopigwa hutolewa kupitia pointi (hasi 1, 2), (0, 0), na (1, hasi 2). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika kanda ya kivuli na kwenye mstari wa mipaka, inawakilisha ufumbuzi wa\(y\geq −2x\).

    Baadhi ya kutofautiana kwa mstari una variable moja tu. Wanaweza kuwa na x lakini hakuna y, au y lakini hakuna x. Katika kesi hizi, mstari wa mipaka utakuwa mstari wa wima au usawa.

    Kumbuka kwamba:

    \[\begin{array} {ll} {x=a} &{\text{vertical line}} \\ {y=b} &{\text{horizontal line}} \\ \nonumber \end{array}\]

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y>3\).

    Jibu

    Kwanza, sisi grafu mstari wa mipaka\(y=3\). Ni mstari usio na usawa. Ukosefu wa usawa ni\(>\) hivyo sisi kuteka line dashed.

    Sisi mtihani uhakika\((0,0)\).

    \[y>3\nonumber\]\[0\slashed{>}3\nonumber\]

    Hivyo,\((0,0)\) si ufumbuzi wa\(y>3\).

    Hivyo sisi kivuli upande kwamba haina ni pamoja na\((0,0)\) kama inavyoonekana katika grafu hii.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari ulio na usawa unafanywa kupitia pointi (hasi 1, 3), (0, 3), na (1, 3). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya juu ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(y>3\).

    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y<5\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja uliowekwa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari ulio na usawa unafanywa kupitia pointi (hasi 1, 5), (0, 5), na (1, 5). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Nusu ya chini ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli, lakini sio wale walio kwenye mstari wa mipaka, huwakilisha ufumbuzi wa\(y<5\).

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Grafu usawa wa mstari:\(y\leq −1\).

    Jibu

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y axes huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari wa usawa hutolewa kupitia pointi (hasi 1, hasi 1), (0, hasi 1), na (1, hasi 1). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya chini ni kivuli nyekundu kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    Vipengele vyote katika eneo la kivuli na kwenye mstari wa mipaka huwakilisha ufumbuzi wa\(y\leq −1\).

    Tatua Maombi kwa kutumia Usawa wa mstari katika Vigezo viwili

    Mashamba mengi hutumia kutofautiana kwa mstari ili kuiga tatizo. Wakati mifano yetu inaweza kuwa juu ya hali rahisi, wao kutupa fursa ya kujenga ujuzi wetu na kupata hisia kwa jinsi ambayo inaweza kutumika.

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Hilaria anafanya kazi za muda wa sehemu mbili ili kupata pesa za kutosha ili kukidhi majukumu yake ya angalau $240 kwa wiki. Kazi yake katika huduma ya chakula inalipa $10 saa na kazi yake ya mafunzo kwenye chuo inalipa $15 saa. Ni saa ngapi Hilaria anahitaji kufanya kazi katika kila kazi ili kupata angalau $240?

    ⓐ Hebu xx kuwa idadi ya masaa yeye kazi katika kazi katika huduma ya chakula na basi y kuwa idadi ya masaa yeye kazi Tutoring. Andika usawa ambayo ingekuwa mfano wa hali hii.

    ⓑ Graph usawa.

    ⓒ Pata jozi tatu zilizoamriwa\((x,y)\) ambazo zitakuwa ufumbuzi wa usawa. Kisha, kueleza nini maana yake kwa Hilaria.

    Jibu

    ⓐ Sisi basi x kuwa idadi ya masaa yeye kazi katika kazi katika huduma ya chakula na basi y kuwa idadi ya masaa yeye kazi Tutoring.

    Yeye chuma $10 kwa saa katika kazi katika huduma ya chakula na $15 saa Tutoring. Katika kila kazi, idadi ya masaa kuongezeka kwa mshahara wa saa itatoa kiasi kilichopatikana katika kazi hiyo.

    10 x pamoja na 15 y ni kubwa kuliko 240. “10 x” inaitwa “Kiasi kilichopatikana katika kazi ya huduma ya chakula”. “15 y” ni kinachoitwa “kiasi chuma Tutoring”. Ya “ni kubwa kuliko 240" ni kinachoitwa “ni angalau 240".

    ⓑ Kwa graph usawa, sisi kuiweka katika mteremka-intercept fomu.

    \[\begin{align} {10x+15y} &\geq 240 \\ 15y &\geq -10x+240 \\ y &\geq {−\frac{2}{3}x+16} \\ \nonumber \end{align}\]

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka 0 hadi 25. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 16), (15, 6), na (24, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    ⓒ Kutoka kwenye grafu, tunaona kwamba jozi zilizoamriwa\((15,10)\)\((0,16)\),\((24,0)\) zinawakilisha ufumbuzi wa tatu sana. Angalia maadili katika usawa.

    Kwanza sisi mtihani uhakika (15, 10) katika usawa 10 x plus 15 y kubwa kuliko au sawa na 240. Ni mara 10 15 pamoja na mara 15 10 kubwa kuliko au sawa na 240? Tangu 300 ni kubwa kuliko au sawa na 240 (15, 10) ni suluhisho. Next sisi mtihani uhakika (0, 16) katika usawa 10 x plus 15 y kubwa kuliko au sawa na 240. Je, mara 10 0 pamoja na mara 15 16 kubwa kuliko au sawa na 240? Tangu 240 ni kubwa kuliko au sawa na 240 (0, 16) ni suluhisho. Kisha sisi mtihani uhakika (24, 0) katika usawa 10 x plus 15 y kubwa kuliko au sawa na 240. Je, mara 10 24 pamoja na mara 15 0 kubwa kuliko au sawa na 240? Tangu 240 ni kubwa kuliko au sawa na 240 (24, 0) ni suluhisho.

    Kwa Hilaria, inamaanisha kuwa kupata angalau $240, anaweza kufanya kazi masaa 15 mafunzo na masaa 10 katika kazi yake ya kufunga chakula, kupata pesa zake zote kwa saa 16, au kupata pesa zake zote wakati akifanya kazi masaa 24 katika kazi katika huduma ya chakula.

    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Hugh kazi mbili sehemu ya muda ajira. Moja katika duka la vyakula ambayo hulipa $10 saa na nyingine ni babysitting kwa $13 saa. Kati ya ajira mbili, Hugh anataka kupata angalau $260 kwa wiki. Hugh anahitaji saa ngapi kufanya kazi katika kila kazi ili kupata angalau $260?

    ⓐ Hebu x kuwa idadi ya masaa yeye kazi katika duka la vyakula na basi y kuwa idadi ya masaa yeye kazi babysitting. Andika usawa ambayo ingekuwa mfano wa hali hii.

    ⓑ Graph usawa.

    ⓒ Pata jozi tatu zilizoamriwa (x, y) ambazo zitakuwa ufumbuzi wa usawa. Kisha, kueleza nini maana kwa Hugh.

    Jibu

    ⓐ\(10x+13y\geq 260\)
    ⓑ

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka 0 hadi 30. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 20), (13, 10), na (26, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    ⓒ Majibu yatatofautiana..

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Veronica anafanya kazi za muda wa sehemu mbili ili kupata pesa za kutosha ili kukidhi majukumu yake ya angalau $280 kwa wiki. Kazi yake katika siku spa inalipa $10 saa na kazi yake ya utawala msaidizi kwenye chuo inalipa $17.50 saa. Veronica anahitaji saa ngapi kufanya kazi katika kila kazi ili kupata angalau $280?

    ⓐ Hebu x kuwa idadi ya masaa yeye kazi katika siku spa na basi y kuwa idadi ya masaa yeye kazi kama msaidizi wa utawala. Andika usawa ambayo ingekuwa mfano wa hali hii.

    ⓑ Graph usawa.

    ⓒ Pata jozi tatu zilizoamriwa (x, y) ambazo zitakuwa ufumbuzi wa usawa. Kisha, kueleza nini maana yake kwa Veronica

    Jibu

    ⓐ\(10x+17.5y\geq 280\)
    ⓑ

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Axes x na y huendesha kutoka 0 hadi 25. Mstari hutolewa kupitia pointi (0, 16) na (28, 0). Mstari hugawanya ndege ya kuratibu x y katika nusu mbili. Mstari na nusu ya juu ya kulia ni kivuli nyekundu ili kuonyesha kwamba hii ndio ambapo ufumbuzi wa usawa ni.

    ⓒ Majibu yatatofautiana.

    Kupata rasilimali hii online kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na graphing usawa linear katika vigezo mbili.

    Dhana muhimu

    • Jinsi ya kuchora usawa wa mstari katika vigezo viwili.
      1. Tambua na graph mstari wa mipaka.
        Ikiwa usawa ni\(\leq\) au\(\geq\), mstari wa mipaka ni imara.
        Ikiwa usawa ni\(<\) au\(>\), mstari wa mipaka umepigwa.
      2. Mtihani hatua ambayo si kwenye mstari wa mipaka. Je, ni suluhisho la kukosekana kwa usawa?
      3. Kivuli upande mmoja wa mstari wa mipaka.
        Ikiwa hatua ya mtihani ni suluhisho, kivuli upande unaojumuisha uhakika.
        Ikiwa hatua ya mtihani sio suluhisho, kivuli upande wa pili.

    faharasa

    mstari wa mipaka
    Mstari na equation\(Ax+By=C\) ni mstari wa mipaka unaotenganisha eneo ambapo\(Ax+By>C\) kutoka kanda ambapo\(Ax+By<C\).
    usawa wa mstari
    Ukosefu wa usawa wa mstari ni usawa ambao unaweza kuandikwa katika mojawapo ya fomu zifuatazo:\(Ax+By>C\)\(Ax+By\geq C\),\(Ax+By<C\),, au\(Ax+By\leq C\), ambapo A na B sio wote sifuri.
    ufumbuzi wa usawa wa mstari
    Jozi iliyoamriwa\((x,y)\) ni suluhisho la usawa wa mstari ikiwa usawa ni kweli wakati sisi badala ya maadili ya x na y.