Skip to main content
Global

3.4: Pata usawa wa Mstari

  1. Last updated
  2. Save as PDF
  • Page ID
    175661

    • \( \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } \) \( \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} \)\(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \(\newcommand{\id}{\mathrm{id}}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\) \( \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}\) \( \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}\) \( \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}\) \( \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}\) \( \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}\) \( \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}\) \( \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}\) \( \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}\)\(\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}\)

    Malengo ya kujifunza

    Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

    • Kupata equation ya mstari kutokana na mteremko na y-intercept
    • Find equation ya mstari kutokana na mteremko na uhakika
    • Find equation ya mstari kupewa pointi mbili
    • Kupata equation ya mstari sambamba na mstari fulani
    • Kupata equation ya mstari perpendicular kwa mstari fulani

    Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

    1. Kutatua:\(\frac{2}{5}(x+15)\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    2. Kurahisisha:\(−3(x−(−2))\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
    3. Kutatua kwa y:\(y−3=−2(x+1)\).
      Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

    Je, makampuni ya mtandaoni yanajuaje kwamba “unaweza pia kupenda” kipengee fulani kulingana na kitu ulichoamuru tu? Je, wanauchumi wanawezaje kujua jinsi kupanda kwa mshahara wa chini kutaathiri kiwango cha ukosefu wa ajira? Je, watafiti wa matibabu huunda madawa ya kulevya ili kulenga seli za saratani? Wahandisi wa trafiki wanaweza kutabiri athari kwa muda wako wa kubatilisha wa ongezeko au kupungua kwa bei za gesi? Yote ni hisabati.

    Sayansi ya kimwili, sayansi ya jamii, na ulimwengu wa biashara ni kamili ya hali ambayo inaweza kuwa inatokana na equations linear zinazohusiana na vigezo viwili. Ili kujenga mfano wa hisabati wa uhusiano wa mstari kati ya vigezo viwili, lazima tuweze kupata equation ya mstari. Katika sehemu hii, tutaangalia njia kadhaa za kuandika equation ya mstari. Njia maalum tunayotumia itaamua na habari gani tunayopewa.

    Kupata Equation ya Line Kutokana na mteremko na y -Intercept

    Tunaweza kwa urahisi kuamua mteremko na intercept ya mstari kama equation imeandikwa katika mteremka-intercept fomu,\(y=mx+b\). Sasa tutafanya reverse-tutaanza na mteremko na y -intercept na matumizi yao ya kupata equation ya mstari.

    Mfano\(\PageIndex{1}\)

    Pata usawa wa mstari na mteremko\(−9\) na y -intercept\((0,−4)\).

    Jibu

    Kwa kuwa tunapewa mteremko na y -intercept ya mstari, tunaweza kubadilisha maadili zinazohitajika katika fomu ya kuingilia mteremko,\(y=mx+b\).

    Jina la mteremko. .
    Jina la y -intercept. .
    Badilisha maadili katika\(y=mx+b\). .
      .
      .
    Mfano\(\PageIndex{2}\)

    Pata usawa wa mstari na mteremko\(25\) na y -intercept\((0,4)\).

    Jibu

    \(y=\frac{2}{5}x+4\)

    Mfano\(\PageIndex{3}\)

    Pata usawa wa mstari na mteremko\(−1\) na y -intercept\((0,−3)\).

    Jibu

    \(y=−x−3\)

    Wakati mwingine, mteremko na kuingilia haja ya kuamua kutoka kwenye grafu.

    Mfano\(\PageIndex{4}\)

    Pata usawa wa mstari ulioonyeshwa kwenye grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 3, hasi 6), (0, hasi 4), (3, hasi 2), na (6, 0).

    Jibu

    Tunahitaji kupata mteremko na y -intercept ya mstari kutoka grafu ili tuweze kubadilisha maadili zinazohitajika katika fomu ya kuingilia mteremko,\(y=mx+b\).

    Ili kupata mteremko, tunachagua pointi mbili kwenye grafu.

    Y-intercept ni\((0,−4)\) na grafu hupita\((3,−2)\).

    Pata mteremko, kwa kuhesabu kupanda na kukimbia. .
      .
    Pata y -intercept. .
    Badilisha maadili ndani ya y=mx+b.y=mx+b. .
      .
    Mfano\(\PageIndex{5}\)

    Pata usawa wa mstari ulioonyeshwa kwenye grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 5, hasi 2), (0, 1), na (5, 4).

    Jibu

    \(y=\frac{3}{5}x+1\)

    Mfano\(\PageIndex{6}\)

    Pata usawa wa mstari ulioonyeshwa kwenye grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 5), (3, hasi 1), na (6, 3).

    Jibu

    \(y=\frac{4}{3}x−5\)

    Kupata Equation ya Line Kutokana na mteremko na Point

    Kupata equation ya mstari kwa kutumia mteremka-intercept fomu ya equation kazi vizuri wakati wewe ni kupewa mteremko na y -intercept au wakati kusoma yao mbali grafu. Lakini nini kinatokea wakati una hatua nyingine badala ya y -intercept?

    Sisi ni kwenda kutumia formula mteremko hupata aina nyingine ya equation ya mstari.

    Tuseme tuna mstari ambayo ina mteremko m na kwamba ina baadhi ya uhakika maalum\((x_1,y_1)\) na baadhi ya hatua nyingine, ambayo sisi tu wito\((x,y)\). Tunaweza kuandika mteremko wa mstari huu na kisha ubadilishe kwa fomu tofauti.

    \( \begin{array} {llll} {} &{m} &= &{\frac{y-y_1}{x-x_1}} \\ {\text{Multiply both sides of the equation by }x−x_1.} &{m(x-x_1)} &= &{\left( \frac{y−y_1}{x−x_1} \right)(x−x_1)} \\ {\text{Simplify.}} &{m(x-x_1)} &= &{y-y_1} \\ {\text{Rewrite the equation with theyterms on the left.}} &{y-y_1} &= &{m(x-x_1)} \\ \end{array} \)

    Fomu hii inaitwa fomu ya mteremko wa equation ya mstari.

    FOMU YA MTEREMKO WA UHAKIKA WA MSTARI

    Fomu ya mteremko wa uhakika wa equation ya mstari na mteremko m na iliyo na uhakika\((x_1,y_1)\) ni:

    \[y−y_1=m(x−x_1) \nonumber\]

    Tunaweza kutumia fomu ya mteremko wa equation ili kupata equation ya mstari tunapojua mteremko na angalau hatua moja. Kisha, tutaandika upya equation katika fomu mteremka-intercept. Matumizi mengi ya equations linear hutumia fomu ya kuingilia mteremko.

    Jinsi ya Kupata Equation ya Line Kutokana Point na Slope

    Mfano\(\PageIndex{7}\)

    Kupata equation ya mstari na mteremko\(m=−\frac{1}{3}\) ambayo ina uhakika\((6,−4)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Hatua ya 1 ni kutambua mteremko. Mteremko hutolewa. m sawa na hasi 1 imegawanywa na 3.
    Hatua ya 2 ni kutambua uhakika. Hatua inapewa. x 1 ni 6 na y 1 ni hasi 4.
    Hatua ya 3 ni kubadilisha maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika y minus y 1 sawa m mara kiasi x bala x 1 katika mabano. y minus hasi 4 sawa na hasi 1 imegawanywa na mara 3 kiasi x minus 6 katika mabano. Hii simplifies kwa y plus 4 sawa hasi 1 kugawanywa na 3 mara x plus 2.
    Hatua ya 4 ni kuandika equation katika mteremka-intercept fomu. y sawa na hasi 1 imegawanywa na mara 3 x minus 2.

    Mfano\(\PageIndex{8}\)

    Pata usawa wa mstari na mteremko\(m=−\frac{2}{5}\) na una uhakika\((10,−5)\).

    Jibu

    \(y=−\frac{2}{5}x−1\)

    Mfano\(\PageIndex{9}\)

    Pata usawa wa mstari na mteremko\(m=−\frac{3}{4}\), na una uhakika\((4,−7)\).

    Jibu

    \(y=−\frac{3}{4}x−4\)

    Sisi orodha ya hatua kwa ajili ya kumbukumbu rahisi.

    ILI KUPATA EQUATION YA MSTARI KUTOKANA NA MTEREMKO NA UHAKIKA.
    1. Tambua mteremko.
    2. Tambua uhakika.
    3. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
    4. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.
    Mfano\(\PageIndex{10}\)

    Pata usawa wa mstari usio na usawa ambao una uhakika\((−2,−6)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Kila mstari wa usawa una mteremko 0. Tunaweza kubadilisha mteremko na pointi katika fomu ya mteremko wa uhakika,\(y−y_1=m(x−x1)\).

    Tambua mteremko. .
    Tambua uhakika. .
    Badilisha maadili katika y-y1=m (x-x1) .y-y1=m (x-x1). .
      .
    Kurahisisha. .
      .
    Andika katika fomu ya kuingilia mteremko. Ni katika y -fomu, lakini inaweza kuandikwa\(y=0x−6\).

    Je, tuliishi na fomu ya mstari usio na usawa,\(y=a\)?

    Mfano\(\PageIndex{11}\)

    Pata usawa wa mstari usio na usawa ulio na uhakika\((−3,8)\).

    Jibu

    \(y=8\)

    Mfano\(\PageIndex{12}\)

    Pata usawa wa mstari usio na usawa ulio na uhakika\((−1,4)\).

    Jibu

    \(y=4\)

    Kupata Equation ya Line Kutokana Pointi mbili

    Wakati data halisi ya ulimwengu inakusanywa, mfano wa mstari unaweza kuundwa kutoka kwa pointi mbili za data. Katika mfano ijayo tutaweza kuona jinsi ya kupata equation ya mstari wakati pointi mbili tu wanapewa.

    Hadi sasa, tuna chaguzi mbili za kutafuta equation ya mstari: mteremka-intercept au hatua-mteremko. Tunapoanza na pointi mbili, ni busara zaidi kutumia fomu ya mteremko wa uhakika.

    Lakini basi tunahitaji mteremko. Je, tunaweza kupata mteremko na pointi mbili tu? Ndiyo. Kisha, mara moja tuna mteremko, tunaweza kutumia na moja ya pointi kutokana na kupata equation.

    Jinsi ya Kupata Equation ya Mstari Kutokana na Pointi mbili

    Mfano\(\PageIndex{13}\)

    Kupata equation ya mstari ambayo ina pointi\((−3,−1)\) na\((2,−2)\) Andika equation katika mteremka-intercept fomu.

    Jibu
    Hatua ya 1 ni kupata mteremko kwa kutumia pointi zilizopewa. Pata mteremko wa mstari kupitia (hasi 3, hasi 1) na (2, na hasi 2). m sawa na quotient ya y 2 minus y 1 katika mabano na x 2 minus x 1 katika mabano. m sawa na quotient ya hasi 2 minus hasi 1 katika mabano na 2 minus hasi 3 katika mabano. m sawa na hasi 1 imegawanywa na 5.Hatua ya 2 ni kutambua uhakika. Chagua ama hatua. x 1 ni 2 na y 1 ni hasi 2.Hatua ya 3 ni kubadilisha maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika y minus y 1 sawa m mara kiasi x bala x 1 katika mabano. y minus hasi 2 sawa na hasi 1 imegawanywa na mara 5 kiasi x minus 2 katika mabano. Hii simplifies kwa y plus 2 sawa hasi 1 kugawanywa na 5 mara x plus 2 kugawanywa na 5.Hatua ya 4 ni kuandika equation katika mteremka-intercept fomu. y sawa na hasi 1 imegawanywa na 5 mara x minus 8 kugawanywa na 5.
    Mfano\(\PageIndex{14}\)

    Kupata equation ya mstari zenye pointi\((−2,−4)\) na\((1,−3)\).

    Jibu

    \(y=\frac{1}{3}x−\frac{10{3}\)

    Mfano\(\PageIndex{15}\)

    Kupata equation ya mstari zenye pointi\((−4,−3)\) na\((1,−5)\).

    Jibu

    \(y=−\frac{2}{5}x−\frac{23}{5}\)

    Hatua hizi zimefupishwa hapa.

    ILI KUPATA EQUATION YA MSTARI KUPEWA POINTI MBILI.
    1. Pata mteremko kwa kutumia pointi zilizopewa. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
    2. Chagua hatua moja.
    3. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
    4. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.
    Mfano\(\PageIndex{16}\)

    Kupata equation ya mstari ambayo ina pointi\((−3,5)\) na\((−3,4)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Tena, hatua ya kwanza itakuwa kupata mteremko.

    Pata mteremko wa mstari kupitia\((−3,5)\) na\((−3,4)\).

    \[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\]

    \[m=\frac{4−5}{−3−(−3)} \nonumber\]

    \[m=\frac{−1}{0} \nonumber\]

    Mteremko haujafafanuliwa.

    Hii inatuambia ni mstari wa wima. Wote wa pointi zetu na x -kuratibu ya\(−2\). Hivyo equation yetu ya mstari ni\(x=−2\). Kwa kuwa hakuna y, hatuwezi kuiandika katika fomu ya mteremko.

    Unaweza kutaka mchoro grafu kwa kutumia pointi mbili zilizopewa. Je! Grafu yako inakubaliana na hitimisho letu kwamba hii ni mstari wa wima?

    Mfano\(\PageIndex{17}\)

    Kupata equation ya mstari zenye pointi\((5,1)\) na\((5,−4)\).

    Jibu

    \(x=5\)

    Mfano\(\PageIndex{18}\)

    Kupata equation ya mstari zenye pointi\((−4,4)\) na\((−4,3)\).

    Jibu

    \(x=−4\)

    Tumeona kwamba tunaweza kutumia fomu ya mteremko au fomu ya mteremko ili kupata equation ya mstari. Fomu ipi tunayotumia itategemea habari tunayopewa.

    Kuandika Ulinganisho wa Mstari
    Ikiwa imetolewa: Tumia: Fomu:
    Mteremko na y -intercept mteremka-kukatiza \(y=mx+b\)
    Mteremko na uhakika mteremko wa uhakika \(y−y_1=m(x−x_1)\)
    Pointi mbili mteremko wa uhakika \(y−y_1=m(x−x_1)\)

    Pata Equation ya Mstari Sambamba na Line Iliyopewa

    Tuseme tunahitaji kupata equation ya mstari kwamba hupita kupitia hatua maalum na ni sambamba na mstari fulani. Tunaweza kutumia ukweli kwamba mistari sambamba ina mteremko huo. Hivyo tutakuwa na uhakika na mteremko - tu kile tunahitaji kutumia equation uhakika-mteremko.

    Kwanza, hebu tuangalie hii graphically.

    Grafu hii inaonyesha\(y=2x−3.\) Tunataka grafu mstari sambamba na mstari huu na kupitia hatua\((−2,1)\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja na uhakika kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Hatua (hasi 2, 1) imepangwa. Mstari hauingii kupitia hatua (hasi 2, 1).

    Tunajua kwamba mistari sambamba ina mteremko huo. Hivyo mstari wa pili utakuwa na mteremko sawa na\(y=2x−3\). Mteremko huo ni\(m_∥=2\). Tutatumia nukuu mmm kuwakilisha mteremko wa mstari sambamba na mstari na mteremko m. (Taarifa kwamba subscript || inaonekana kama mistari miwili sambamba.)

    Mstari wa pili utapita\((−2,1)\) na kuwa na\(m=2\).

    Ili kuchora mstari, tunaanza\((−2,1)\) na kuhesabu kupanda na kukimbia.

    Kwa\(m=2\) (au\(m=\frac{2}{1}\)), tunahesabu kupanda 2 na kukimbia 1. Tunapata mstari, kama inavyoonekana kwenye grafu.

    Takwimu hii ina grafu ya mistari miwili ya moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa kwanza unapitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Vipengele (hasi 2, 1) na (hasi 1, 3) vinapangwa. Mstari wa pili unapita kupitia pointi (hasi 2, 1) na (hasi 1, 3).

    Je, mistari inaonekana sambamba? Je! Mstari wa pili unapita\((−2,1)\)?

    Tuliulizwa graph mstari, sasa hebu angalia jinsi ya kufanya hivyo algebraically.

    Tunaweza kutumia fomu ya mteremko au fomu ya mteremko ili kupata equation ya mstari. Hapa tunajua hatua moja na tunaweza kupata mteremko. Kwa hiyo tutatumia fomu ya mteremko wa uhakika.

    Jinsi ya Kupata Equation ya Line Sambamba na Line Iliyopewa na Point

    Mfano\(\PageIndex{19}\)

    Kupata equation ya mstari sambamba na\(y=2x−3\) kwamba ina uhakika\((−2,1)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Hatua ya 1 ni kupata mteremko wa mstari uliopewa. Mstari ni katika fomu ya kuingilia mteremko, y sawa na 2 x minus 3. m sawa na 2.Hatua ya 2 ni kupata mteremko wa mstari sambamba. Sambamba mistari na mteremko sawa. m sawa na 2.Hatua ya 3 ni kutambua uhakika. Hatua iliyotolewa ni (hasi 2, 1). x 1 ni hasi 2 na y 1 ni 1.Hatua ya 4 ni kubadilisha maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika y minus y 1 sawa m mara kiasi x bala x 1 katika mabano. y minus 1 ni sawa na mara 2 kiasi x bala hasi 2 katika mabano. Hii simplifies kwa y minus 1 sawa 2 x pamoja 4.Hatua ya 5 ni kuandika equation katika mteremka-intercept fomu. y sawa 2 x plus 5.

    Angalia grafu na mistari inayofanana iliyoonyeshwa hapo awali. Je, equation hii ina maana? Je, ni y -intercept ya mstari? Mteremko ni nini?

    Mfano\(\PageIndex{20}\)

    Kupata equation ya mstari sambamba na mstari\(y=3x+1\) ambayo ina uhakika\((4,2)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=3x−10\)

    Mfano\(\PageIndex{21}\)

    Kupata equation ya mstari sambamba na mstari\(y=12x−3\) ambayo ina uhakika\((6,4)\).

    Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=\frac{1}{2}x+1\)

    PATA EQUATION YA MSTARI SAMBAMBA NA MSTARI FULANI.
    1. Pata mteremko wa mstari uliopewa.
    2. Pata mteremko wa mstari sambamba.
    3. Tambua uhakika.
    4. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
    5. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Kupata Equation ya Line Perpendicular kwa Line Kutokana

    Sasa, hebu fikiria mistari ya perpendicular. Tuseme tunahitaji kupata mstari unaopita kupitia hatua maalum na ambayo ni perpendicular kwa mstari fulani. Tunaweza kutumia ukweli kwamba mistari ya perpendicular ina mteremko ambao ni hasi kurudi. Tutatumia tena equation ya mteremko wa uhakika, kama tulivyofanya na mistari inayofanana.

    Grafu hii inaonyesha\(y=2x−3\). Sasa, tunataka grafu mstari perpendicular kwa mstari huu na kupitia\((−2,1)\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa moja kwa moja na uhakika kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Hatua (hasi 2, 1) imepangwa. Mstari hauingii kupitia hatua (hasi 2, 1).

    Tunajua kwamba mistari ya perpendicular ina mteremko ambao ni hasi usawa.

    Tutatumia notation\(m_⊥\) kuwakilisha mteremko wa mstari perpendicular kwa mstari na mteremko m. (Angalia kwamba subscript\(⊥\) inaonekana kama pembe za kulia zilizofanywa na mistari miwili ya perpendicular.)

    \[y=2x−3 perpendicular line \nonumber\]

    \[m=2 m⊥=−12\nonumber\]

    Sasa tunajua mstari wa perpendicular utapita kupitia\((−2,1)\)\(m⊥=−12\).

    Ili kuchora mstari, tutaanza saa\((−2,1)\) na kuhesabu kupanda\(−1\) na kukimbia\(2\). Kisha sisi kuteka mstari.

    Takwimu hii ina grafu ya mistari miwili ya moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa kwanza unapitia pointi (0, hasi 3), (1, hasi 1), na (2, 1). Vipengele (hasi 2, 1) na (0, 0) vinapangwa. Pembetatu ya kulia hutolewa kuunganisha pointi (hasi 2, 1), (hasi 2, 0), na (0, 0). Mstari wa pili unapitia pointi (hasi 2, 1) na (0, 0).

    Je, mistari inaonekana perpendicular? Je! Mstari wa pili unapita\((−2,1)\)?

    Tuliulizwa kupiga mstari, sasa, hebu tuone jinsi ya kufanya hivyo algebraically.

    Tunaweza kutumia fomu ya mteremko au fomu ya mteremko ili kupata equation ya mstari. Katika mfano huu tunajua hatua moja, na tunaweza kupata mteremko, kwa hiyo tutatumia fomu ya mteremko wa uhakika.

    Jinsi ya Kupata Equation ya Line Perpendicular kwa Line Kutokana na Point

    Mfano\(\PageIndex{22}\)

    Kupata equation ya mstari perpendicular kwa\(y=2x−3\) kuwa ina uhakika\((−2,1)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu
    Hatua ya 1 ni kupata mteremko wa mstari uliopewa. Mstari ni katika fomu ya kuingilia mteremko, y sawa na 2 x minus 3. m sawa na 2.
    Hatua ya 2 ni kupata mteremko wa mstari wa perpendicular. Miteremko ya mistari ya perpendicular ni usawa hasi. m sawa na hasi 1 imegawanywa na 2
    Hatua ya 3 ni kutambua uhakika. Hatua iliyotolewa ni (hasi 2, 1). x 1 ni hasi 2 na y 1 ni 1.
    Hatua ya 4 ni kubadilisha maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika y minus y 1 sawa m mara kiasi x bala x 1 katika mabano. y minus 1 sawa na hasi 1 imegawanywa na mara 2 kiasi x bala hasi 2 katika mabano. Hii simplifies kwa y minus 1 sawa hasi 1 kugawanywa na 2 mara wingi x plus 2 katika mabano. Hii inaeleza zaidi kwa y minus 1 sawa na hasi 1 imegawanywa na mara 2 x minus 1.
    Hatua ya 5 ni kuandika equation katika mteremka-intercept fomu. y sawa na hasi 1 imegawanywa na 2 mara x.
    Mfano\(\PageIndex{23}\)

    Pata equation ya mstari perpendicular kwa mstari\(y=3x+1\) ambayo ina uhakika\((4,2)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=−\frac{1}{3}x+\frac{10}{3}\)

    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Pata equation ya mstari perpendicular kwa mstari\(y=12x−3\) ambayo ina uhakika\((6,4)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=−2x+16\)

    PATA EQUATION YA MSTARI PERPENDICULAR KWA MSTARI FULANI.
    1. Pata mteremko wa mstari uliopewa.
    2. Pata mteremko wa mstari wa perpendicular.
    3. Tambua uhakika.
    4. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
    5. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.
    Mfano\(\PageIndex{24}\)

    Kupata equation ya mstari perpendicular kwa\(x=5\) kuwa ina uhakika\((3,−2)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Tena, kwa kuwa tunajua jambo moja, chaguo la mteremko wa uhakika linaonekana zaidi kuliko chaguo la kuingilia mteremko. Tunahitaji mteremko kutumia fomu hii, na tunajua mstari mpya utakuwa perpendicular kwa x=5.x=5. Mstari huu ni wima, hivyo perpendicular yake itakuwa usawa. Hii inatuambia m=0.m=0.

    Tambua uhakika.Tambua mteremko wa mstari wa perpendicular. Badilisha maadili katika—y1=m (x-x1) .Kurahisisha. (3, -2) my-y1y- (-2) y+2y=== 0m (x-x1) 0 (x-1) 0—2Tambua mteremko wa mstari wa perpendicular. maadili katika-1 = m (x-x1). simplify.m=0y-y1=m (x-x1) y - (-2) = 0 (x-3) y+2=0y = -2

    Mchoro grafu ya mistari yote. Kwenye grafu yako, je, mistari inaonekana kuwa perpendicular?

    Mfano\(\PageIndex{25}\)

    Kupata equation ya mstari kwamba ni perpendicular kwa line\(x=4\) ambayo ina uhakika\((4,−5)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=−5\)

    Mfano\(\PageIndex{26}\)

    Kupata equation ya mstari kwamba ni perpendicular kwa line\(x=2\) ambayo ina uhakika\((2,−1)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(y=−1\)

    Katika Mfano, tulitumia fomu ya mteremko wa uhakika ili kupata equation. Tungeweza kutazama hili kwa njia tofauti.

    Tunataka kupata mstari kwamba ni perpendicular kwa\(x=5\) kuwa ina uhakika\((3,−2)\). Grafu hii inatuonyesha mstari\(x=5\) na uhakika\((3,−2)\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja na uhakika kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (5, 0), (5, 1), na (5, 2). Hatua (3, hasi 2) imepangwa. Mstari hauingii kupitia hatua (3, hasi 2).

    Tunajua kila mstari perpendicular kwa mstari wima ni usawa, hivyo sisi mchoro mstari usawa kupitia\((3,−2)\).

    Takwimu hii ina grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja na mstari wa moja kwa moja usawa kwenye ndege ya kuratibu x y. Ya x na y-axes huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa wima unapitia pointi (5, 0), (5, 1), na (5, 2). Mstari wa usawa unaendelea kupitia pointi (hasi 2, hasi 2), (0, hasi 2), (3, hasi 2), na (6, hasi 2).

    Je, mistari inaonekana perpendicular?

    Kama sisi kuangalia pointi chache juu ya mstari huu usawa, tunaona wote wana y -kuratibu ya\(−2\). Hivyo, equation ya mstari perpendicular kwa mstari wima\(x=5\) ni\(y=−2\).

    Mfano\(\PageIndex{27}\)

    Kupata equation ya mstari kwamba ni perpendicular kwa\(y=−3\) kuwa ina uhakika\((−3,5)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    Mstari\(y=−3\) ni mstari usio na usawa. Mstari wowote unaozingatia lazima uwe wima, kwa fomu\(x=a\). Kwa kuwa mstari wa perpendicular ni wima na hupita\((−3,5)\), kila hatua juu yake ina x -kuratibu ya\(−3\). Equation ya mstari perpendicular ni\(x=−3\).

    Unaweza kutaka mchoro mistari. Je, wanaonekana perpendicular?

    Mfano\(\PageIndex{28}\)

    Kupata equation ya mstari kwamba ni perpendicular kwa line\(y=1\) ambayo ina uhakika\((−5,1)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(x=−5\)

    Mfano\(\PageIndex{29}\)

    Kupata equation ya mstari kwamba ni perpendicular kwa line\(y=−5\) ambayo ina uhakika\((−4,−5)\). Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    Jibu

    \(x=−4\)

    Fikia rasilimali hizi za mtandaoni kwa maelekezo ya ziada na mazoezi na kutafuta usawa wa mstari.

    Dhana muhimu

    • Jinsi ya kupata equation ya mstari kutokana na mteremko na uhakika.
      1. Tambua mteremko.
      2. Tambua uhakika.
      3. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika,\( y−y_1=m(x−x_1)\).
      4. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    • Jinsi ya kupata equation ya mstari kupewa pointi mbili.
      1. Pata mteremko kwa kutumia pointi zilizopewa. \(m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}\)
      2. Chagua hatua moja.
      3. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
      4. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.
        Kuandika Ulinganisho wa Mstari
        Ikiwa imetolewa: Tumia: Fomu:
        Mteremko na y -intercept mteremka-kukatiza \(y=mx+b\)
        Mteremko na uhakika mteremko wa uhakika \(y−y_1=m(x−x_1)\)
        Pointi mbili mteremko wa uhakika \(y−y_1=m(x−x_1)\)
    • Jinsi ya kupata equation ya mstari sambamba na mstari fulani.
      1. Pata mteremko wa mstari uliopewa.
      2. Pata mteremko wa mstari sambamba.
      3. Tambua uhakika.
      4. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika:\(y−y_1=m(x−x_1)\).
      5. Andika equation katika fomu ya mteremko
    • Jinsi ya kupata equation ya mstari perpendicular kwa mstari fulani.
      1. Pata mteremko wa mstari uliopewa.
      2. Pata mteremko wa mstari wa perpendicular.
      3. Tambua uhakika.
      4. Weka maadili katika fomu ya mteremko wa uhakika,\(y−y_1=m(x−x_1)\).
      5. Andika equation katika fomu ya mteremka-intercept.

    faharasa

    fomu ya mteremko

    Fomu ya mteremko wa uhakika wa equation ya mstari na mteremko m na iliyo na uhakika\((x_1,y_1)\) ni\(y−y_1=m(x−x_1)\).