3.3: Mteremko wa Line

Last updated
Save as PDF

Page ID: 175684

$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

Malengo ya kujifunza

Mwishoni mwa sehemu hii, utaweza:

Pata mteremko wa mstari
Grafu mstari uliotolewa uhakika na mteremko
Grafu mstari ukitumia mteremko wake na ukatie
Chagua njia rahisi zaidi ya kuchora mstari
Grafu na kutafsiri maombi ya mteremka-intercept
Tumia mteremko kutambua mistari sambamba na perpendicular

Kabla ya kuanza, fanya jaribio hili la utayari.

Kurahisisha:$\frac{(1–4)}{(8−2)}$.
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
Gawanya:$\frac{0}{4}$,$\frac{4}{0}$.
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].
Kurahisisha:$\frac{15}{-3}$$\frac{-15}{3}$,,$\frac{-15}{-3}$.
Ikiwa umekosa tatizo hili, tathmini [kiungo].

Pata mteremko wa Mstari

Wakati graph equations linear, unaweza taarifa kwamba baadhi ya mistari tilt up kama wao kwenda kutoka kushoto kwenda kulia na baadhi ya mistari tilt chini. Baadhi ya mistari ni mwinuko sana na baadhi ya mistari ni flatter.

Katika hisabati, kipimo cha mwinuko wa mstari huitwa mteremko wa mstari.

Dhana ya mteremko ina maombi mengi katika ulimwengu wa kweli. Katika ujenzi wa lami ya paa, slant ya mabomba ya mabomba, na mwinuko wa ngazi ni matumizi yote ya mteremko. na unapokwisha ski au kukimbia chini ya kilima, hakika hupata mteremko.

Tunaweza kugawa thamani ya namba kwenye mteremko wa mstari kwa kutafuta uwiano wa kupanda na kukimbia. Kuongezeka ni kiasi ambacho umbali wa wima hubadilika wakati kukimbia hupima mabadiliko ya usawa, kama inavyoonekana katika mfano huu. Uteremko ni kiwango cha mabadiliko. Angalia Kielelezo.

Takwimu hii ina mchoro wa mishale miwili. Mshale wa kwanza ni wima na umeelezea na kinachoitwa “kupanda”. Mshale wa pili huanza mwishoni mwa kwanza. Mshale wa pili ni usawa na umeelezea haki na kinachoitwa “kukimbia”. — Kielelezo$\PageIndex{1}$.

MTEREMKO WA MSTARI

Mteremko wa mstari ni$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.

Kuongezeka kwa hatua mabadiliko ya wima na kukimbia hatua za mabadiliko ya usawa.

Ili kupata mteremko wa mstari, tunapata pointi mbili kwenye mstari ambao kuratibu ni integers. Kisha sisi mchoro pembetatu sahihi ambapo pointi mbili ni vertices na upande mmoja ni usawa na upande mmoja ni wima.

Ili kupata mteremko wa mstari, tunapima umbali pamoja na pande za wima na za usawa za pembetatu. Umbali wa wima huitwa kupanda na umbali usio na usawa huitwa kukimbia,

PATA MTEREMKO WA MSTARI KUTOKA KWENYE GRAFU YAKE KWA KUTUMIA$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$

Pata pointi mbili kwenye mstari ambao kuratibu ni integers.
Kuanzia kwa hatua moja, mchoro pembetatu sahihi, kutoka hatua ya kwanza hadi hatua ya pili.
Kuhesabu kupanda na kukimbia kwenye miguu ya pembetatu.
Chukua uwiano wa kupanda ili kukimbia ili kupata mteremko:$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.

Mfano$\PageIndex{1}$

Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa.

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 9. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 7. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 5), (3, 3), na (6, 1).$

Jibu

Pata pointi mbili kwenye grafu ambazo kuratibu ni integers.	$(0,5)$na$(3,3)$
Kuanzia saa$(0,5)$, mchoro pembetatu haki $(3,3)$ kama inavyoonekana katika grafu hii.	$.$
Hesabu kupanda - tangu inakwenda chini, ni hasi.	Kuongezeka ni$−2$.
Hesabu kukimbia.	Kukimbia ni 3.
Tumia formula ya mteremko.	$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$
Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia.	$m=−23$
Kurahisisha.	$m=−23$
	Mteremko wa mstari ni$−23$.
	Hivyo y inapungua kwa vitengo 2 kama x inavyoongezeka kwa vitengo 3.

Mfano$\PageIndex{2}$

Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa.

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 5. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 1. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 2) na (3, hasi 6).$

Jibu: $-\frac{4}{3}$

Mfano$\PageIndex{3}$

Pata mteremko wa mstari ulioonyeshwa.

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 3 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 3 hadi 2. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 1) na (5, hasi 2).$

Jibu: $-\frac{3}{5}$

Tunawezaje kupata mteremko wa mistari ya usawa na wima? Ili kupata mteremko wa mstari usio na usawa$y=4$, tunaweza kuchora mstari, kupata pointi mbili juu yake, na uhesabu kupanda na kukimbia. Hebu tuone kinachotokea tunapofanya hivyo, kama inavyoonekana kwenye grafu hapa chini.

$Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 8. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 4) na (3, 4). Kuongezeka ni nini? Kuongezeka ni 0. Kukimbia ni nini? Kukimbia ni 3. Mteremko ni nini? m sawa kupanda kugawanywa na kuendesha. m sawa 0 kugawanywa na 3. m sawa 0. Mteremko wa mstari wa usawa y sawa na 4 ni 0.$

$ \begin{array} {ll} {\text{What is the rise?}} &{\text{The rise is }0.} \\ {\text{What is the run?}} &{\text{The run is }3.} \\ {\text{What is the slope?}} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {} &{m=\frac{0}{3}} \\ {} &{m=0} \\{}&{\text{The slope of the horizontal line } y=4 \text{ is }0.} \\ \end{array} \nonumber$

Hebu tuchunguze pia mstari wa wima, mstari$x=3$, kama inavyoonekana kwenye grafu.

$Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 3 hadi 3. Mstari unaendelea kupitia pointi (3, 0) na (3, 2). Kuongezeka ni nini? Kuongezeka ni 2. Kukimbia ni nini? Kukimbia ni 0. Mteremko ni nini? m sawa na kupanda kugawanywa na kuendesha. m sawa na 2 kugawanywa na 0.$

Mteremko haujafafanuliwa kwani mgawanyiko na sifuri haujafafanuliwa. Kwa hiyo tunasema kwamba mteremko wa mstari wa wima$x=3$ haujafafanuliwa.

Mistari yote ya usawa ina mteremko 0. Wakati y -kuratibu ni sawa, kupanda ni 0.

Mteremko wa mstari wowote wa wima haujafafanuliwa. Wakati x -kuratibu ya mstari ni sawa, kukimbia ni 0.

MTEREMKO WA MSTARI USAWA NA WIMA

Mteremko wa mstari usio na usawa$y=b$,, ni 0.

Mteremko wa mstari wa wima$x=a$, haijulikani.

Mfano$\PageIndex{4}$

Pata mteremko wa kila mstari: ⓐ$x=8$ ⓑ $y=−5$.

Jibu: ⓐ$x=8$
Hii ni mstari wa wima. Mteremko wake haujafafanuliwa.
ⓑ$y=−5$
Hii ni mstari usio na usawa. Ina mteremko 0.

Mfano$\PageIndex{5}$

Pata mteremko wa mstari:$x=−4$.

Jibu: haijafafanuliwa

Mfano$\PageIndex{6}$

Pata mteremko wa mstari:$y=7$.

Jibu: 0

MWONGOZO HARAKA KWENYE MTEREMKO WA MISTARI

$Picha inaonyesha mishale minne. Mshale wa kwanza umepandwa na kuelezea juu na kulia na umeandikwa “chanya”. Mshale wa pili umepandwa na kuelezea chini na kulia na kinachoitwa “hasi”. Mshale wa tatu ni usawa na unaoitwa “zero”. Mshale wa nne ni wima na umeandikwa “isiyojulikana”.$

Wakati mwingine tutaweza haja ya kupata mteremko wa mstari kati ya pointi mbili wakati hatuna grafu kuhesabu nje kupanda na kukimbia. Tunaweza kupanga pointi kwenye karatasi ya gridi ya taifa, kisha kuhesabu kupanda na kukimbia, lakini kama tutaona, kuna njia ya kupata mteremko bila kuchora. Kabla ya kupata hiyo, tunahitaji kuanzisha baadhi ya notation algebraic.

Tumeona kwamba jozi kuamuru (x, y) (x, y) anatoa kuratibu ya uhakika. Lakini tunapofanya kazi na mteremko, tunatumia pointi mbili. Je! Ishara hiyo (x, y) (x, y) inaweza kutumika kuwakilisha pointi mbili tofauti? Wataalamu wa hisabati hutumia michango ili kutofautisha pointi.

$ \begin{array} {ll} {(x_1, y_1)} &{\text{read “} x \text{ sub } 1, \space y \text{ sub } 1 \text{”}} \\ {(x_2, y_2)} &{\text{read “} x \text{ sub } 2, \space y \text{ sub } 2 \text{”}} \\ \end{array} \nonumber$

Tutatumia$(x_1,y_1)$ kutambua hatua ya kwanza na$(x_2,y_2)$ kutambua hatua ya pili.

Kama tulikuwa na pointi zaidi ya mbili, tunaweza kutumia$(x_3,y_3)$,$(x_4,y_4)$, na kadhalika.

Hebu tuone jinsi kupanda na kukimbia kuhusiana na kuratibu za pointi mbili kwa kuchunguza mwingine mteremko wa mstari kati ya pointi$(2,3)$ na$(7,6)$, kama inavyoonekana katika grafu hii.

$Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 7. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 7. Mstari unaendelea kupitia pointi (2, 3) na (7, 6). Pembetatu ya kulia hutolewa kwa kuunganisha pointi tatu (2, 3), (2, 6), na (7, 6). Hatua (2, 3) imeandikwa (x 1, y 1). Hatua (7, 6) imeandikwa (x 2, y 2). Sehemu ya wima ya pembetatu ina maandiko y 2 minus y 1, 6 minus 3, na 3. Sehemu ya usawa ya pembetatu ina maandiko x 2 minus x 1, 7 minus 2, na 5.$

\( \begin{array} {ll} {\text{Since we have two points, we will use subscript notation.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ 2 & 3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ 6 & 6 \end{pmatrix}} \\ {} &{m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}} \\ {\text{On the graph, we counted the rise of 3 and the run of 5.}} &{m=\frac{3}{5}} \\ {\text{Notice that the rise of 3 can be found by subtracting the}} &{} \\ {y\text{-coordinates, 6 and 3, and the run of 5 can be found by}} &{} \\ {\text{subtracting the x-coordinates 7 and 2.}} &{} \\ {\text{We rewrite the rise and run by putting in the coordinates.}} &{m=\frac{6-3}{7-2}} \\ {} &{} \\ {\text{But 6 is } y_2 \text{, the y-coordinate of the second point and 3 is }y_1 \text{, the y-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So we can rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{7-2}} \\ {\text{Also 7 is the x-coordinate of the second point and 2 is the x-coordinate}} &{} \\ {\text{of the first point. So again we rewrite the slope using subscript notation.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ \end{array} \nonumber\)

Tumeonyesha kwamba$m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$ ni kweli toleo jingine la$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$. Tunaweza kutumia formula hii ili kupata mteremko wa mstari wakati tuna pointi mbili kwenye mstari.

MTEREMKO WA MSTARI KATI YA POINTI MBILI

Mteremko wa mstari kati ya pointi mbili$(x_1,y_1)$ na$(x_2,y_2)$ ni:

$m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1}$.

Mteremko ni:

\[y\text{ of the second point minus }y\text{ of the first point} \nonumber\]\[\text{over} \nonumber\]\[x\text{ of the second point minus }x\text{ of the first point} \nonumber\]

Mfano$\PageIndex{7}$

Tumia fomu ya mteremko ili kupata mteremko wa mstari kupitia pointi$(−2,−3)$ and $(-7,4)$.

Jibu

$ \begin{array} {ll} {\text{We’ll call (−2,−3) point #1and (−7,4) point #2.}} &{ \begin{pmatrix} x_1, & y_1 \\ -2 & -3 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_2, & y_2 \\ -7 & 4 \end{pmatrix}} \\ {\text{Use the slope formula.}} &{m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}} \\ {\text{Substitute the values.}} &{} \\ {\text{y of the second point minus y of the first point}} &{} \\ {\text{x of the second point minus x of the first point}} &{m=\frac{4-(-3)}{-7-(-2)}} \\{\text{Simplify}}&{m=\frac{7}{-5}} \\ {} &{m=\frac{-7}{5}} \\ \end{array} \nonumber$

Hebu tuhakikishe mteremko huu kwenye grafu iliyoonyeshwa.

$Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 8 hadi 2. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 6 hadi 6. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 7, 4) na (hasi 2, hasi 3). Pembetatu sahihi hutolewa kwa kuunganisha pointi tatu (hasi 7, 4), (hasi 7, hasi 3), na (hasi 2, hasi 3). Sehemu ya wima ya pembetatu inaitwa “kupanda”. Sehemu ya usawa ya pembetatu inaitwa “kukimbia”.$

\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{7}{−5} \nonumber\]\[m=\frac{−7}{5} \nonumber\]

Tumia fomu ya mteremko ili kupata mteremko wa mstari kupitia jozi ya pointi:$(−3,4)$ na$(2,−1)$.

Jibu: $-1$

Mfano$\PageIndex{9}$

Tumia fomu ya mteremko ili kupata mteremko wa mstari kupitia jozi ya pointi:$(−2,6)$ na$(−3,−4)$.

Jibu: 10

Grafu Mstari Kutolewa Point na Slope

Hadi sasa, katika sura hii, tuna graphed mistari kwa pointi njama, kwa kutumia intercepts, na kwa kutambua mistari usawa na wima.

Tunaweza pia kuchora mstari tunapojua hatua moja na mteremko wa mstari. Tutaanza kwa kupanga njama na kisha kutumia ufafanuzi wa mteremko kuteka grafu ya mstari.

Mfano$\PageIndex{10}$: How to graph a Line Given a Point and the Slope

Grafu mstari unaopita kupitia hatua$(1,−1)$ ambayo mteremko ni$m=\frac{3}{4}$.

Jibu

$Hatua ya 1 ni kupanga njama iliyopewa. Plot (1, hasi 1). Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya uhakika kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 4. Hatua (1, hasi 1) imepangwa na imeandikwa na kuratibu zake.$ $Hatua ya 2 ni kutumia formula mteremko m sawa kupanda kugawanywa na kukimbia kutambua kupanda na kukimbia. Kutambua kupanda na kuendesha. m sawa na 3 kugawanywa na 4. Kupanda kugawanywa na kukimbia sawa 3 kugawanywa na 4. Kupanda sawa 3. Run sawa 4.$ $Hatua ya 3 ni kuanza kwa hatua iliyotolewa na kuhesabu kupanda na kukimbia ili alama ya pili. Anza saa (1, hasi 1) na uhesabu kupanda na kukimbia. Up 3 vitengo, haki 4 vitengo. Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya pointi tatu zilizounganishwa na makundi mawili ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 4. Vipengele (1, hasi 1), (1, 2), na (5, 2) vinapangwa. Sehemu ya mstari wa wima huunganisha (1, hasi 1) kwa (1, 2) na imeandikwa 3. usawa line sehemu unajumuisha (1, 2) kwa (5, 2) na ni lebo 4.$ $Hatua ya 4 ni kuunganisha pointi na mstari. Unganisha pointi mbili na mstari. Takwimu hiyo inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja, pointi tatu, na makundi mawili ya mstari kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 2 hadi 6. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 2 hadi 4. Vipengele (1, hasi 1), (1, 2), na (5, 2) vinapangwa. Sehemu ya mstari wa wima inaunganisha (1, hasi 1) hadi (1, 2). usawa line sehemu unajumuisha (1, 2) kwa (5, 2) na ni lebo 4. Mstari wa moja kwa moja hutolewa kupitia pointi (1, hasi 1) na (5, 2) na mishale kwenye mwisho wote.$

Unaweza kuangalia kazi yako kwa kupata hatua ya tatu. Kwa kuwa mteremko ni$m=34$, inaweza pia kuandikwa kama$m=\frac{−3}{−4}$ (hasi iliyogawanywa na hasi ni chanya!). Rudi nyuma$(1,−1)$ na uhesabu kupanda,$−3$, na kukimbia,$−4$.

Mfano$\PageIndex{11}$

Grafu mstari unaopita kupitia hatua$(2,−2$ na mteremko$m=\frac{4}{3}$.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (2, hasi 2) na (5, 2).$

Mfano$\PageIndex{12}$

Grafu mstari unaopita kupitia hatua$(−2,3)$ with the slope $m=\frac{1}{4}$.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 12 hadi 12. Mstari unaendelea kupitia pointi (hasi 2, 3) na (2, 4).$

GRAFU MSTARI ULIOPEWA HATUA NA MTEREMKO.

Panda hatua iliyotolewa.
Tumia formula$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ ya mteremko kutambua kupanda na kukimbia.
Kuanzia kwenye hatua iliyotolewa, uhesabu kupanda na kukimbia ili alama ya pili.
Unganisha pointi kwa mstari.

Grafu Line Kutumia mteremko wake na Kukataa

Tumeweka equations linear kwa kupanga pointi, kwa kutumia intercepts, kutambua mistari usawa na wima, na kutumia hatua moja na mteremko wa mstari. Mara baada ya kuona jinsi equation katika mteremko - intercept fomu na grafu yake ni kuhusiana, tutaweza kuwa na njia moja zaidi tunaweza kutumia kwa mistari graph.

Angalia Kielelezo. Hebu tuangalie grafu ya equation$y=12x+3$ na kupata mteremko wake na y -intercept.

Takwimu inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 3), (2, 4), na (4, 5). Pembetatu ya kulia hutolewa kwa kuunganisha pointi tatu (2, 4), (2, 5), na (4, 5). Upande wa wima wa pembetatu umeandikwa “Panda sawa 1”. Sehemu ya usawa ya pembetatu imeandikwa “Run sawa na 2”. Mstari umeandikwa y sawa na 1 imegawanywa na 2 x pamoja na 3. — Kielelezo$\PageIndex{2}$

Mistari nyekundu kwenye grafu inatuonyesha kupanda ni 1 na kukimbia ni 2. Kuingiza katika formula ya mteremko:

\[m=\frac{\text{rise}}{\text{run}} \nonumber\]\[m=\frac{1}{2} \nonumber\]

Y-intercept ni$(0,3)$.

Angalia equation ya mstari huu.

$Takwimu inaonyesha equation y sawa 1 imegawanywa na 2 x plus 3. Ya 1 iliyogawanywa na 2 imesisitizwa katika nyekundu. Ya 3 inasisitizwa katika bluu.$

Angalia mteremko na y -intercept.

$Mteremko m sawa na 1 imegawanywa na 2 na y-intercept (0, 3). Ya 1 iliyogawanywa na 2 imesisitizwa katika nyekundu. Ya 3 inasisitizwa katika bluu.$

Wakati equation ya mstari inatatuliwa kwa y, mgawo wa muda wa x ni mteremko na muda wa mara kwa mara ni y -kuratibu ya y -intercept. Tunasema kwamba equation$y=12x+3$ ni katika mteremka-intercept fomu. Wakati mwingine fomu ya mteremka-intercept inaitwa “y -form.”

$m sawa na 1 imegawanywa na 2; y-intercept ni (0, 3). y sawa na 1 imegawanywa na 2 x pamoja 3. y sawa na m x plus b. m na 1 imegawanywa na 2 ni kusisitizwa katika nyekundu. B na 3 zinasisitizwa katika bluu.$

MTEREMKO HUPUNGUZA FOMU YA EQUATION YA MSTARI

Aina ya mteremka-intercept ya equation ya mstari na mteremko m na y -intercept,$(0,b)$ ni$y=mx+b$.

Hebu tufanye mazoezi ya kutafuta maadili ya mteremko na y -intercept kutoka usawa wa mstari.

Mfano$\PageIndex{13}$

Tambua mteremko na y -intercept ya mstari kutoka equation:

ⓐ$y=−\frac{4}{7}x−2$ ⓑ$x+3y=9$

Jibu

ⓐ Sisi kulinganisha equation yetu na mteremko - intercept fomu ya equation.

Andika mteremko - kukatiza fomu ya equation ya mstari.	$.$
Andika equation ya mstari.	$.$
Tambua mteremko.	$.$
Tambua y -intercept.	$.$

ⓑ Wakati equation ya mstari si kutolewa katika mteremka-intercept fomu, hatua yetu ya kwanza itakuwa kutatua equation kwa y.

Kutatua kwa y.	x+3y=9x+3y=9
Ondoa x kutoka kila upande.	$.$
Gawanya pande zote mbili kwa 3.	$.$
Kurahisisha.	$.$
Andika mteremko - kukatiza fomu ya equation ya mstari.	$.$
Andika equation ya mstari.	$.$
Tambua mteremko.	$.$
Tambua y -intercept.	$.$

Mfano$\PageIndex{14}$

Tambua mteremko na y -intercept kutoka equation ya mstari.

ⓐ$y=\frac{2}{5}x−1$ ⓑ$x+4y=8$

Jibu: ⓐ$m=\frac{2}{5}$;$(0,−1)$
ⓑ$m=−\frac{1}{4}$;$(0,2)$

Mfano$\PageIndex{15}$

Tambua mteremko na y -intercept kutoka equation ya mstari.

ⓐ$y=−\frac{4}{3} x+1$ ⓑ$3x+2y=12$

Jibu: ⓐ$m=−\frac{4}{3}$;$(0,1)$
ⓑ$m=−\frac{3}{2}$;$(0,6)$

Tuna graphed line kwa kutumia mteremko na uhakika. Sasa kwa kuwa tunajua jinsi ya kupata mteremko na y -intercept ya mstari kutoka equation yake, tunaweza kutumia y -intercept kama hatua, na kisha kuhesabu mteremko kutoka huko.

Mfano$\PageIndex{16}$

Grafu mstari wa equation$y=−x+4$ using its slope and y -intercept.

Jibu

	$y=mx+b$
equation ni katika mteremka-intercept fomu.	$y=−x+4$
Tambua mteremko na y -intercept.	$m=−1$ y -intercept ni$(0,4)$
Panda y -intercept.	Angalia grafu.
Tambua kupanda juu ya kukimbia.	$m=−11$
Kuhesabu kupanda na kukimbia alama ya pili.	kupanda$-1$, kukimbia$1$ $.$

Chora mstari kama inavyoonekana kwenye grafu.

Mfano$\PageIndex{17}$

Grafu mstari wa equation$y=−x−3$ kwa kutumia mteremko wake na y -intercept.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 3) na (1, hasi 4).$

Mfano$\PageIndex{18}$

Grafu mstari wa equation$y=−x−1$ kwa kutumia mteremko wake na y -intercept.

Jibu: $Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi 10. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, hasi 1) na (1, hasi 2).$

Sasa kwa kuwa tuna graphed mistari kwa kutumia mteremko na y -intercept, hebu muhtasari njia zote tuna kutumika kwa mistari graph.

$Jedwali lina mstari wa kichwa unaosoma “Mbinu za Mipangilio ya Grafu”. Chini ya hii ni nguzo nne. Safu ya kwanza ina yafuatayo: Point Plotting. Jedwali tupu na nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa “x” na “y”. Pata pointi tatu. Plot pointi, kuhakikisha wao line up, wao kuteka mstari. Safu ya pili ina: Slope-Intercept. Y ni sawa na m x pamoja na b Pata mteremko na y-intercept, kisha uhesabu mteremko ili kupata hatua ya pili. Safu ya tatu: Inachukua. Jedwali na nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa “x” na “y”. Katika mstari wa kwanza kuna 0 katika safu ya x. Katika mstari wa pili kuna 0 katika safu ya y. Sehemu zilizobaki ni tupu. Safu ya nne. Tambua mistari ya wima na ya usawa. Equation ina variable moja tu. X sawa wima. Y ni sawa na usawa.$

Chagua Njia rahisi zaidi ya Grafu ya Mstari

Sasa kwa kuwa tumeona mbinu kadhaa tunaweza kutumia kwa mistari graph, jinsi gani tunajua ambayo njia ya kutumia kwa equation kupewa?

Wakati tunaweza njama pointi, kutumia mteremko - intercept fomu, au kupata intercepts kwa equation yoyote, kama sisi kutambua njia rahisi zaidi kwa graph aina fulani ya equation, kazi yetu itakuwa rahisi.

Kwa ujumla, pointi za kupanga njama sio njia bora zaidi ya kuchora mstari. Hebu tuangalie mifumo fulani ili kusaidia kuamua njia rahisi zaidi ya kuchora mstari.

Hapa ni milinganyo tano sisi graphed katika sura hii, na njia sisi kutumika graph kila mmoja wao.

\[ \begin{array} {lll} {} &{\textbf{Equation}} &{\textbf{Method}} \\ {\text{#1}} &{x=2} &{\text{Vertical line}} \\ {\text{#2}} &{y=−1} &{\text{Horizontal line}} \\ {\text{#3}} &{−x+2y=6} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#4}} &{4x−3y=12} &{\text{Intercepts}} \\ {\text{#5}} &{y=−x+4} &{\text{Slope–intercept}} \\ \end{array} \nonumber\]

Ulinganifu #1 na #2 kila mmoja na variable moja tu. Kumbuka, katika equations ya fomu hii thamani ya variable moja ni mara kwa mara; haitegemei thamani ya variable nyingine. Ulinganisho wa fomu hii una grafu ambazo ni mistari ya wima au ya usawa.

Katika equations #3 na #4, wote x na y ni upande mmoja wa equation. Equations hizi mbili ni za fomu Ax+By=C.Ax+By=C Tulibadilisha y=0y=0 ili kupata x - intercept na x=0x=0 ili kupata y -intercept, na kisha tulipata hatua ya tatu kwa kuchagua thamani nyingine kwa x au y.

Equation #5 imeandikwa katika mteremka-intercept fomu. Baada ya kutambua mteremko na y- intercept kutoka equation sisi kutumika yao kwa graph line.

Hii inasababisha mkakati wafuatayo.

MKAKATI WA KUCHAGUA NJIA RAHISI ZAIDI YA GRAFU MSTARI

Fikiria fomu ya equation.

Ikiwa ina variable moja tu, ni mstari wa wima au usawa.
- $x=a$ni mstari wima kupita kwa njia ya x -axis katika.
- $y=b$ni mstari usio na usawa unaopita kupitia y -axis saa b.
Ikiwa y imetengwa upande mmoja wa equation, kwa fomu$y=mx+b$, grafu kwa kutumia mteremko na y -intercept.
- Tambua mteremko na y -intercept na kisha grafu.
Ikiwa equation ni ya fomu$Ax+By=C$, pata vipindi.
- Pata x - na y -intercepts, hatua ya tatu, na kisha grafu.

Mfano$\PageIndex{19}$

Kuamua njia rahisi zaidi ya grafu kila mstari:

ⓐ$y=5$ ⓑ$4x−5y=20$ ⓒ$x=−3$ ⓓ$y=−\frac{5}{9}x+8$

Jibu: ⓐ equation$y=5$
hii ina variable moja tu, y. Grafu yake ni mstari usio na usawa unaovuka y -axis saa$5$.
ⓑ Equation$4x−5y=20$
hii ni ya fomu$Ax+By=C$. Njia rahisi zaidi ya grafu itakuwa kupata intercepts na hatua moja zaidi.
ⓒ$x=−3$
Kuna variable moja tu, x. Grafu ni mstari wa wima unaovuka x -axis saa$−3$.
ⓓ$y=−\frac{5}{9}x+8$
Kwa kuwa equation hii iko katika$y=mx+b$ fomu, itakuwa rahisi kupiga mstari huu kwa kutumia mteremko na y -intercepts.

Mfano$\PageIndex{20}$

Kuamua njia rahisi zaidi ya grafu kila mstari:

ⓐ$3x+2y=12$ ⓑ$y=4$ ⓒ$y=\frac{1}{5}x−4$ ⓓ$x=−7$.

Jibu: ⓐ intercepts ⓑ mstari usawa ⓒ mteremko intercept ⓓ mstari wima

Mfano$\PageIndex{21}$

Kuamua njia rahisi zaidi ya grafu kila mstari:

ⓐ$x=6$ ⓑ$y=−\frac{3}{4}x+1$ ⓒ$y=−8$ ⓓ$4x−3y=−1$.

Jibu: ⓐ mstari wa wima ⓑ mteremko wa kuingilia ⓒ mstari wa usawa
ⓓ huchukua

Grafu na Kutafsiri Matumizi ya Slope-Intercept

Maombi mengi ya ulimwengu halisi yanatokana na equations linear. Tutaangalia maombi machache hapa ili uweze kuona jinsi milinganyo iliyoandikwa katika fomu ya mteremka-intercept yanahusiana na hali halisi ya ulimwengu.

Kawaida, wakati mifano ya equation linear inatumia data halisi ya ulimwengu, barua tofauti hutumiwa kwa vigezo, badala ya kutumia x na y tu. Majina ya kutofautiana yanatukumbusha kiasi gani kinachopimwa.

Pia, mara nyingi tutahitaji kupanua shaba katika mfumo wetu wa kuratibu mstatili kwa idadi kubwa na hasi ili kuzingatia data katika programu.

Mfano$\PageIndex{22}$

Equation$F=\frac{9}{5}C+32$ hutumiwa kubadili joto, C, kwa kiwango cha Celsius hadi joto, F, kwa kiwango cha Fahrenheit.

ⓐ Pata joto la Fahrenheit kwa joto la Celsius la 0.

ⓑ Pata joto la Fahrenheit kwa joto la Celsius la 20.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ

$ \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 0.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=0.}} &{F=\frac{9}{5}(0)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=32} \\ \end{array} \nonumber$

ⓑ

$ \begin{array} {ll} {\text{Find the Fahrenheit temperature for a Celsius temperature of 20.}} &{F=\frac{9}{5}C+32} \\ {\text{Find F when C=20.}} &{F=\frac{9}{5}(20)+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=36+32} \\ {\text{Simplify.}} &{F=68} \\ \end{array} \nonumber$

ⓒ
Tafsiri mteremko na F -intercept ya equation.
Hata kama equation hii inatumia F na C, bado ni katika mteremka-intercept fomu.

$y sawa m x plus b F sawa m C pamoja na b. y na F ni alisisitiza katika nyekundu. X na C zinasisitizwa katika bluu. F sawa 9 kugawanywa na 5 C pamoja 32.$

Mteremko$\frac{9}{5}$, ina maana kwamba joto la Fahrenheit (F) huongeza digrii 9 wakati joto la Celsius (C) linaongezeka digrii 5.
F -intercept ina maana kwamba wakati joto liko$0°$ kwenye kiwango cha Celsius, ni$32°$ kwenye kiwango cha Fahrenheit.
ⓓ Graph equation.
Tutahitaji kutumia kiwango kikubwa kuliko kawaida yetu. Anza saa F -intercept$(0,32)$, na kisha uhesabu kupanda kwa 9 na kukimbia kwa 5 ili kupata hatua ya pili kama inavyoonekana kwenye grafu.

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 40 hadi 80. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 40 hadi 80. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 32) na (5, 41).$

Mfano$\PageIndex{23}$

equation$h=2s+50$ is used to estimate a woman’s height in inches, h, kulingana na ukubwa wake kiatu, s.

ⓐ Tathmini urefu wa mtoto ambaye amevaa ukubwa wa kiatu cha wanawake 0.

ⓑ Tathmini urefu wa mwanamke mwenye ukubwa wa kiatu 8.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ 50 inches
ⓑ 66 inches
ⓒ mteremko, 2, ina maana kwamba urefu, h, kuongezeka kwa 2 inches wakati ukubwa kiatu, s, kuongezeka kwa 1. H -intercept ina maana kwamba wakati ukubwa wa kiatu ni 0, urefu ni inchi 50.
ⓓ

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 14. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 80. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 50) na (10, 70).$

Mfano$\PageIndex{24}$

Equation$T=\frac{1}{4}n+40$ is used to estimate the temperature in degrees Fahrenheit, T, kulingana na idadi ya chirps kriketi, n, katika dakika moja.

ⓐ Tathmini ya joto wakati hakuna chirps.

ⓑ Tathmini joto wakati idadi ya chirps kwa dakika moja ni 100.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ 40 digrii
ⓑ 65 digrii
ⓒ mteremko,$\frac{1}{4}$, ina maana kwamba joto Fahrenheit (F) kuongezeka 1 shahada wakati idadi ya chirps, n, kuongezeka kwa 4. T-intercept ina maana kwamba wakati idadi ya chirps ni 0, halijoto ni 40°.
ⓓ

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 140. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 80. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 40) na (40, 50).$

Gharama ya kuendesha baadhi ya aina ya biashara ina vipengele viwili-gharama za kudumu na gharama ya kutofautiana. Gharama ya kudumu daima ni sawa bila kujali vitengo vingi vinavyotengenezwa. Hii ni gharama ya kodi, bima, vifaa, matangazo, na vitu vingine ambavyo vinapaswa kulipwa mara kwa mara. Gharama ya kutofautiana inategemea idadi ya vitengo zinazozalishwa. Ni kwa ajili ya vifaa na kazi zinazohitajika kuzalisha kila kitu.

Mfano$\PageIndex{25}$

Sam anatoa van utoaji. equation$C=0.5m+60$ mifano uhusiano kati ya gharama yake ya kila wiki, C, katika dola na idadi ya maili, m, kwamba anatoa.

ⓐ Kupata gharama Sam kwa wiki wakati anatoa 0 maili.

ⓑ Kupata gharama kwa wiki wakati anatoa 250 maili.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ
$ \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 0 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=0.}} &{C=0.5(0)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=60} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{60 when he drives 0 miles.}} \\ \end{array} \nonumber $
ⓑ
$ \begin{array} {ll} {\text{Find Sam’s cost for a week when he drives 250 miles.}} &{C=0.5m+60} \\ {\text{Find C when m=250.}} &{C=0.5(250)+60} \\ {\text{Simplify.}} &{C=185} \\ {} &{\text{Sam’s costs are }$\text{185 when he drives 250 miles.}} \\ \end{array} \nonumber $
ⓒ Tafsiri mteremko na C -intercept ya equation.

$y sawa m x plus b C sawa na 0.5 p pamoja 60. Y na C zinasisitizwa katika nyekundu. Ya x na p ni kusisitizwa katika bluu.$

mteremko, 0.5, ina maana kwamba gharama ya kila wiki, C, kuongezeka kwa $0.50 wakati idadi ya maili inaendeshwa, n, kuongezeka kwa 1.
C -intercept ina maana kwamba wakati idadi ya maili inaendeshwa ni 0, gharama ya kila wiki ni $60.
ⓓ Graph equation.
Tutahitaji kutumia kiwango kikubwa kuliko kawaida yetu. Anza kwenye C -intercept$(0,60)$.

Ili kuhesabu mteremko$m= 0.5$, tunaandika tena kama sehemu sawa ambayo itafanya graphing yetu iwe rahisi.

$ \begin{array} {ll} {} &{m=0.5} \\ {\text{Rewrite as a fraction.}} &{m=\frac{0.5}{1}} \\ {\text{Multiply numerator and}} &{} \\ {\text{denominator by 100}} &{m=\frac{0.5(100)}{1(100)}} \\ {\text{Simplify.}} &{m=\frac{50}{100}} \\ \end{array} \nonumber $

Hivyo kwa graph hatua inayofuata kwenda 50 kutoka intercept ya 60 na kisha kulia 100. Hatua ya pili itakuwa$(100, 110)$.

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 1 hadi 350. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 1 hadi 350. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 60) na (200, 160).$

Mfano$\PageIndex{26}$

Stella ina biashara ya nyumbani kuuza pizzas gourmet. equation$C=4p+25$ mifano uhusiano kati ya gharama yake ya kila wiki, C, katika dola na idadi ya pizzas, p, kwamba yeye anauza.

ⓐ Kupata gharama Stella kwa wiki wakati yeye anauza hakuna pizzas.

ⓑ Kupata gharama kwa wiki wakati yeye anauza 15 pizzas.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ $25
ⓑ $85
ⓒ mteremko, 4, ina maana kwamba gharama ya kila wiki, C, kuongezeka kwa $4 wakati idadi ya pizzas kuuzwa, p, kuongezeka kwa 1. C -intercept ina maana kwamba wakati idadi ya pizzas kuuzwa ni 0, gharama ya kila wiki ni $25.
ⓓ

$Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 2 hadi 20. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 10 hadi `00. Mstari unaendelea kupitia pointi (0, 25) na (1, 29).$

Mfano$\PageIndex{27}$

Loreen ina biashara ya calligraphy. equation$C=1.8n+35$ mifano uhusiano kati ya gharama yake ya kila wiki, C, katika dola na idadi ya mialiko ya harusi, n, kwamba anaandika.

ⓐ Kupata gharama Loreen kwa wiki wakati yeye anaandika hakuna mialiko.

ⓑ Kupata gharama kwa wiki wakati yeye anaandika 75 mialiko.

ⓓ Graph equation.

Jibu

ⓐ $35
ⓑ $170
ⓒ mteremko,$1.8$, ina maana kwamba gharama ya kila wiki, C, kuongezeka kwa$$1.80$ wakati idadi ya mialiko, n, kuongezeka kwa 1.
C -intercept ina maana kwamba wakati idadi ya mialiko ni 0, gharama ya kila wiki ni $35.
ⓓ

Tumia Materemko ya Kutambua Mipangilio ya Sambamba na

Mstari miwili ambayo ina mteremko huo huitwa mistari sambamba. Mstari sambamba una mwinuko huo na kamwe hauingiliani.

Tunasema hii rasmi zaidi kwa suala la mfumo wa kuratibu mstatili. Mstari miwili ambayo ina mteremko sawa na tofauti y -intercepts huitwa mistari sambamba. Angalia Kielelezo.

Takwimu hii inaonyesha grafu ya mistari miwili ya moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa kwanza unapitia pointi (0, 3) na (5, 5). Mstari wa pili unapitia pointi (0, hasi 2) na (5, 0). Mstari ni sambamba maana kwamba daima watakuwa umbali sawa mbali na kamwe intersect. Wao hupandwa kwa angle sawa. — Kielelezo$\PageIndex{3}$

Thibitisha kwamba mistari yote ina mteremko huo,$m=\frac{2}{5}$, na tofauti y -intercepts.

Nini kuhusu mistari ya wima? Mteremko wa mstari wa wima haujafafanuliwa, hivyo mistari ya wima haifai katika ufafanuzi hapo juu. Tunasema kwamba mistari ya wima ambayo ina tofauti x -intercepts ni sambamba, kama mistari inavyoonekana katika grafu hii.

Takwimu hii inaonyesha grafu ya mstari wa wima wa moja kwa moja kwenye ndege ya kuratibu x y. Mhimili wa x-huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mhimili wa y huendesha kutoka hasi 8 hadi 8. Mstari wa kwanza unapitia pointi (2, 0) na (2, 1). Mstari wa pili unapitia pointi (5, 0) na (5, 1). Mstari ni sambamba maana kwamba daima watakuwa umbali sawa mbali na kamwe intersect. — Kielelezo$\PageIndex{4}$

MISTARI SAMBAMBA

Mstari sambamba ni mistari katika ndege moja ambayo haipatikani.

Mstari wa sambamba una mteremko sawa na tofauti y -intercepts.
Ikiwa m1m1 na m2m2 ni mteremko wa mistari miwili sambamba basi m1=m2.m1=m2.
Sambamba mistari wima na tofauti x -intercepts

Kwa kuwa mistari sambamba na mteremko huo na tofauti y -intercepts, sasa tunaweza tu kuangalia aina mteremko - intercept ya milinganyo ya mistari na kuamua kama mistari ni sambamba.

Mfano$\PageIndex{28}$

Tumia mteremko na y -intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$3x−2y=6$ na$y=\frac{3}{2}x+1$ ⓑ$y=2x−3$ na$−6x+3y=−9$.

Jibu: ⓐ
$ \begin{array} {llll} {} &{3x−2y=6} &{\text{and}} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{−2y=−3x+6} &{} &{} \\ {\text{Solve the first equation for y.}} &{\frac{-2y}{-2}=\frac{-3x+6}{-2}} &{} &{} \\ {\text{The equation is now in slope–intercept form.}} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{} \\ {\text{The equation of the second line is already}} &{} &{} &{} \\ {\text{in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=\frac{3}{2}x−3} &{} &{y=\frac{3}{2}x+1} \\ {Identify the slope andy-intercept of both lines.} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=\frac{3}{2}} &{} &{y=\frac{3}{2}} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,1)} \\ \end{array} \nonumber$
Mstari una mteremko sawa na tofauti y -intercepts na hivyo ni sambamba.
Unaweza kutaka graph mistari ili kuthibitisha kama ni sambamba.

ⓑ
$ \begin{array} {llll} {} &{y=2x−3} &{\text{and}} &{−6x+3y=−9} \\ {\text{The first equation is already in slope–intercept form.}} &{y=2x−3} &{} &{} \\ {} &{} &{} &{−6x+3y=−9} \\ {} &{} &{} &{3y=6x−9} \\ {\text{Solve the second equation for y.}} &{} &{} &{\frac{3y}{3}=\frac{6x−9}{3}} \\ {} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{The second equation is now in slope–intercept form.}} &{} &{} &{y=2x−3} \\ {} &{} &{} &{} \\ {} &{y=2x−3} &{} &{y=2x−3} \\ {\text{Identify the slope andy-intercept of both lines.}} &{y=mx+b} &{} &{y=mx+b} \\ {} &{m=2} &{} &{m=2} \\ {} &{\text{y-intercept is }(0,−3)} &{} &{\text{y-intercept is }(0,-3)} \\ \end{array} \nonumber$
Mstari una mteremko huo, lakini pia wana y -intercepts sawa. Equations yao inawakilisha mstari huo na tunasema mistari ni coincident. Hao sambamba; wao ni mstari sawa.

Mfano$\PageIndex{29}$

Tumia mteremko na y- intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$2x+5y=5$ na$y=−\frac{2}{5}x−4$ ⓑ$y=−\frac{1}{2}x−1$ na$x+2y=−2$.

Jibu: ⓐ sambamba ⓑ si sambamba; mstari huo

Mfano$\PageIndex{30}$

Tumia mteremko na y- intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$4x−3y=6$ na$y=\frac{4}{3}x−1$ ⓑ$y=\frac{3}{4}x−3$ na$3x−4y=12$.

Jibu: ⓐ sambamba ⓑ si sambamba; mstari huo

Mfano$\PageIndex{31}$

Tumia mteremko na y- intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$y=−4$ na$y=3$ ⓑ$x=−2$ na$x=−5$.

Jibu

ⓐ$y=−4$ na$y=3$

Tunatambua mara moja kutoka kwa usawa kwamba hizi ni mistari ya usawa, na hivyo tunajua mteremko wao ni wote 0.
Kwa kuwa mistari ya usawa inavuka y -axis katika y=-4y=-4 na katika y=3, y=3, tunajua y -intercepts ni (0, -4) (0, -4) na (0,3). (0,3).
Mstari una mteremko sawa na tofauti y -intercepts na hivyo ni sambamba.

ⓑ$x=−2$ na$x=−5$

Tunatambua mara moja kutoka kwa usawa kwamba hizi ni mistari ya wima, na hivyo tunajua mteremko wao haujulikani.
Tangu mistari wima msalaba x -axis katika$x=−2$ na$x=−5$, tunajua y -intercepts ni$(−2,0)$ na$(−5,0)$.
Mstari ni wima na una tofauti x -intercepts na hivyo ni sambamba.

Mfano$\PageIndex{32}$

Tumia mteremko na y- intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$y=8$ na$y=−6$ ⓑ$x=1$ na$x=−5$.

Jibu: ⓐ sambamba ⓑ sambamba

Mfano$\PageIndex{33}$

Tumia mteremko na y- intercepts kuamua kama mistari ni sambamba:

ⓐ$y=1$ na$y=−5$ ⓑ$x=8$ na$x=−6$.

Jibu: ⓐ sambamba ⓑ sambamba

Hebu tuangalie mistari ambayo equations ni$y=\frac{1}{4}x−1$ na$y=−4x+2$, inavyoonekana katika Kielelezo.

Mstari huu uongo katika ndege moja na kuingiliana katika pembe za kulia. Tunaita mistari hii perpendicular.

Ikiwa tunaangalia mteremko wa mstari wa kwanza,$m_1=\frac{1}{4}$, na mteremko wa mstari wa pili$m_2=−4$, tunaweza kuona kwamba wao ni usawa mbaya wa kila mmoja. Ikiwa tunawazidisha, bidhaa zao ni$−1$.

\[\begin{array} {l} {m_1·m_2} \\ {14(−4)} \\ {−1} \\ \end{array} \nonumber\]

Hii daima ni kweli kwa mistari perpendicular na inatuongoza kwa ufafanuzi huu.

PERPENDICULAR

Mstari wa perpendicular ni mistari katika ndege moja ambayo huunda angle sahihi.

Ikiwa$m_1$ na$m_2$ ni mteremko wa mistari miwili ya perpendicular, basi:
- mteremko wao ni hasi kurudi kwa kila mmoja,$m_1=−\frac{1}{m_2}$.
- bidhaa ya mteremko wao ni$−1$,$m_1·m_2=−1$.
Mstari wa wima na mstari wa usawa ni daima kwa kila mmoja

Tulikuwa na uwezo wa kuangalia mteremko - intercept aina ya equations linear na kuamua kama au mistari walikuwa sambamba. Tunaweza kufanya kitu kimoja kwa mistari ya perpendicular.

Tunapata mteremka-intercept fomu ya equation, na kisha kuona kama mteremko ni kinyume recipurals. Ikiwa bidhaa ya mteremko ni$−1$, mistari ni perpendicular.

Mfano$\PageIndex{34}$

Tumia mteremko kuamua kama mistari ni perpendicular:

ⓐ$y=−5x−4$ na$x−5y=5$ ⓑ$7x+2y=3$ na$2x+7y=5$

Jibu: ⓐ Equation
ya kwanza iko katika fomu ya mteremo—kukatiza. Tatua equation ya pili kwa ajili ya.Tambua mteremko wa kila mstari.Y=-5x-4YM1=-5x-4=MX+B=-5Y-5Y-5Y=5=+x+5=X+5=15x-1 Ym2=15x-1 = MX+1=MX+1=MX+b=15equation ya kwanza iko katika mteremko- fomu ya kukatiza. Y=-5x-4Kutatua equation ya pili kwa aruba.x-5y=5,15y=-x+5,1+5Y-5=-x+5 -5y=15x—1Kutambua mteremko wa kila mstari.y=-5x-4y=mx+bm1=-5y=15x-1y=mx+bm2=15
Miteremko ni hasi ya kurudi kwa kila mmoja, hivyo mistari ni perpendicular. Tunaangalia kwa kuzidisha mteremko, Tangu -5 (15) =-1, -5 (15) =-1, hundi.

ⓑ
Tatua milinganyo kwa.Tambua mteremko wa kila mstari.7x+2Y2Y2Y2Y=3=-7x+3=-7x+32=-7x+32x+32YM1=MX+B=-722x+7Y7Y7Y7Y=5=-2x+5=-2x+57YM1=MX+B = 27Tatua milinganyo kwa.7x+2Y=32Y=-7x+32Y2=-7x+32Y=-7x+32Y=-72x+322x+7Y=57Y=-2x+57Y=18-2x+57Y=18-27x+57Tambua mteremko wa kila mstari.y=mx+bm1=-72y=mx+bm1=-27
Miteremko ni kurudi kwa kila mmoja, lakini wana ishara sawa. Kwa kuwa sio usawa mbaya, mistari haipatikani.

Mfano$\PageIndex{3}$

Tumia mteremko kuamua kama mistari ni perpendicular:

ⓐ$y=−3x+2$ na$x−3y=4$ ⓑ$5x+4y=1$ na$4x+5y=3$.

Jibu: ⓐ perpendicular ⓑ haipatikani

Mfano$\PageIndex{3}$

Tumia mteremko kuamua kama mistari ni perpendicular:

ⓐ$y=2x−5$ na$x+2y=−6$ ⓑ$2x−9y=3$ na$9x−2y=1$.

Jibu: ⓐ perpendicular ⓑ haipatikani

Dhana muhimu

Mteremko wa Mstari
- Mteremko wa mstari ni$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.
- Kuongezeka kwa hatua mabadiliko ya wima na kukimbia hatua za mabadiliko ya usawa.
Jinsi ya kupata mteremko wa mstari kutoka kwenye grafu yake kutumia$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.
1. Pata pointi mbili kwenye mstari ambao kuratibu ni integers.
2. Kuanzia kwa hatua moja, mchoro pembetatu sahihi, kutoka hatua ya kwanza hadi hatua ya pili.
3. Kuhesabu kupanda na kukimbia kwenye miguu ya pembetatu.
4. Chukua uwiano wa kupanda ili kukimbia ili kupata mteremko:$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$.

Mteremko wa mstari kati ya pointi mbili.
- Mteremko wa mstari kati ya pointi mbili$(x_1,y_1)$ na$(x_2,y_2)$ ni:
  \[m=\frac{y_2−y_1}{x_2−x_1} \nonumber\].
Jinsi ya kuchora mstari uliopewa uhakika na mteremko.
1. Panda hatua iliyotolewa.
2. Tumia formula$m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}$ ya mteremko kutambua kupanda na kukimbia.
3. Kuanzia kwenye hatua iliyotolewa, uhesabu kupanda na kukimbia ili alama ya pili.
4. Unganisha pointi kwa mstari.
Mteremko wa Kupinga Fomu ya Ulinganisho wa Mstari
- Aina ya mteremka-intercept ya equation ya mstari na mteremko m na y -intercept,$(0,b)$ ni$y=mx+b$
- $Jedwali lina mstari wa kichwa unaosoma “Mbinu za Mipangilio ya Grafu”. Chini ya hii ni nguzo nne. Safu ya kwanza ina yafuatayo: Point Plotting. Jedwali tupu na nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa “x” na “y”. Pata pointi tatu. Plot pointi, kuhakikisha wao line up, wao kuteka mstari. Safu ya pili ina: Slope-Intercept. Y ni sawa na m x pamoja na b Pata mteremko na y-intercept, kisha uhesabu mteremko ili kupata hatua ya pili. Safu ya tatu: Inachukua. Jedwali na nguzo mbili na safu nne. Mstari wa kwanza ni mstari wa kichwa na vichwa “x” na “y”. Katika mstari wa kwanza kuna 0 katika safu ya x. Katika mstari wa pili kuna 0 katika safu ya y. Sehemu zilizobaki ni tupu. Safu ya nne. Tambua mistari ya wima na ya usawa. Equation ina variable moja tu. X sawa wima. Y ni sawa na usawa.$
Mistari Sambamba
- Mstari sambamba ni mistari katika ndege moja ambayo haipatikani.
  Mstari wa sambamba una mteremko sawa na tofauti y -intercepts.
  Ikiwa$m_1$ na$m_2$ ni mteremko wa mistari miwili inayofanana basi$m_1=m_2$.
  Mstari wa wima sambamba una tofauti x -intercepts.
Perpendicular mistari
- Mstari wa perpendicular ni mistari katika ndege moja ambayo huunda angle sahihi.
- Ikiwa$m_1$ na$m_2$ ni mteremko wa mistari miwili ya perpendicular, basi: mteremko
  wao ni usawa hasi wa kila mmoja,$m_1=−\frac{1}{m_2}$.
  bidhaa ya mteremko wao ni$−1$,$m_1·m_2=−1$.
- Mstari wa wima na mstari wa usawa ni daima kwa kila mmoja.

faharasa

mistari sambamba: Mstari sambamba ni mistari katika ndege moja ambayo haipatikani.

mistari perpendicular: Mstari wa perpendicular ni mistari katika ndege moja ambayo huunda angle sahihi.

Pata pointi mbili kwenye grafu ambazo kuratibu ni integers.	\((0,5)\)na\((3,3)\)
Kuanzia saa\((0,5)\), mchoro pembetatu haki \((3,3)\) kama inavyoonekana katika grafu hii.	$.$
Hesabu kupanda - tangu inakwenda chini, ni hasi.	Kuongezeka ni\(−2\).
Hesabu kukimbia.	Kukimbia ni 3.
Tumia formula ya mteremko.	\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\)
Badilisha maadili ya kupanda na kukimbia.	\(m=−23\)
Kurahisisha.	\(m=−23\)
	Mteremko wa mstari ni\(−23\).
	Hivyo y inapungua kwa vitengo 2 kama x inavyoongezeka kwa vitengo 3.

	\(y=mx+b\)
equation ni katika mteremka-intercept fomu.	\(y=−x+4\)
Tambua mteremko na y -intercept.	\(m=−1\) y -intercept ni\((0,4)\)
Panda y -intercept.	Angalia grafu.
Tambua kupanda juu ya kukimbia.	\(m=−11\)
Kuhesabu kupanda na kukimbia alama ya pili.	kupanda\(-1\), kukimbia\(1\) $.$

Malengo ya kujifunza

Pata mteremko wa Mstari

MTEREMKO WA MSTARI

PATA MTEREMKO WA MSTARI KUTOKA KWENYE GRAFU YAKE KWA KUTUMIA\(m=\frac{\text{rise}}{\text{run}}\)

Mfano\(\PageIndex{1}\)

Mfano\(\PageIndex{2}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

MTEREMKO WA MSTARI USAWA NA WIMA

Mfano\(\PageIndex{4}\)

Mfano\(\PageIndex{5}\)

Mfano\(\PageIndex{6}\)

MWONGOZO HARAKA KWENYE MTEREMKO WA MISTARI

MTEREMKO WA MSTARI KATI YA POINTI MBILI

Mfano\(\PageIndex{7}\)

Mfano\(\PageIndex{9}\)

Grafu Mstari Kutolewa Point na Slope

Mfano\(\PageIndex{10}\): How to graph a Line Given a Point and the Slope

Mfano\(\PageIndex{11}\)

Mfano\(\PageIndex{12}\)

GRAFU MSTARI ULIOPEWA HATUA NA MTEREMKO.

Grafu Line Kutumia mteremko wake na Kukataa

MTEREMKO HUPUNGUZA FOMU YA EQUATION YA MSTARI

Mfano\(\PageIndex{13}\)

Mfano\(\PageIndex{14}\)

Mfano\(\PageIndex{15}\)

Mfano\(\PageIndex{16}\)

Mfano\(\PageIndex{17}\)

Mfano\(\PageIndex{18}\)

Chagua Njia rahisi zaidi ya Grafu ya Mstari

MKAKATI WA KUCHAGUA NJIA RAHISI ZAIDI YA GRAFU MSTARI

Mfano\(\PageIndex{19}\)

Mfano\(\PageIndex{20}\)

Mfano\(\PageIndex{21}\)

Grafu na Kutafsiri Matumizi ya Slope-Intercept

Mfano\(\PageIndex{22}\)

Mfano\(\PageIndex{23}\)

Mfano\(\PageIndex{24}\)

Mfano\(\PageIndex{25}\)

Mfano\(\PageIndex{26}\)

Mfano\(\PageIndex{27}\)

Tumia Materemko ya Kutambua Mipangilio ya Sambamba na

MISTARI SAMBAMBA

Mfano\(\PageIndex{28}\)

Mfano\(\PageIndex{29}\)

Mfano\(\PageIndex{30}\)

Mfano\(\PageIndex{31}\)

Mfano\(\PageIndex{32}\)

Mfano\(\PageIndex{33}\)

PERPENDICULAR

Mfano\(\PageIndex{34}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Mfano\(\PageIndex{3}\)

Dhana muhimu

faharasa