11.R: Sequências, Probabilidade e Teoria da Contagem (Revisão)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

11.1 Sequências e suas notações

1) Escreva os primeiros quatro termos da sequência definida pela fórmula recursiva$a_1=2, a_n=a_{n-1}+n$.

Resposta: $2,4,7,11$

2) Avalie$\dfrac{6!}{(5-3)!3!}$.

3) Escreva os primeiros quatro termos da sequência definida pela fórmula explícita$a_n=10^n+3$.

Resposta: $13,103,1003,10003$

4) Escreva os primeiros quatro termos da sequência definida pela fórmula explícita$a_n=\dfrac{n!}{n(n+1)!}$.

11.2 Sequências aritméticas

1) A sequência é$\dfrac{4}{7},\dfrac{47}{21},\dfrac{82}{21},\dfrac{39}{7},\ldots$ aritmética? Em caso afirmativo, encontre a diferença comum.

Resposta: A sequência é aritmética. A diferença comum é$d=\dfrac{5}{3}$.

2) A sequência é$2,4,8,16,\ldots$ aritmética? Em caso afirmativo, encontre a diferença comum.

3) Uma sequência aritmética tem o primeiro termo$a_1=18$ e a diferença comum$d=8$. Quais são os primeiros cinco termos?

Resposta: $18,10,2,-6,-14$

4) Uma sequência aritmética tem termos$a_3=11.7$$a_8=-14.6$ e. Qual é o primeiro termo?

5) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência aritmética$-20,-10,0,10,\ldots$

Resposta: $a_1=-20, a_n=a_{n-1}+10$

6) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência aritmética e$0,-\dfrac{1}{2},-1,-\dfrac{3}{2},\ldots$, em seguida, encontre o$31^{st}$ termo.

7) Escreva uma fórmula explícita para a sequência aritmética$\dfrac{7}{8},\dfrac{29}{24},\dfrac{37}{24},\dfrac{15}{8},\ldots$

Resposta: $a_n=\dfrac{1}{3}n+\dfrac{13}{24}$

8) Quantos termos estão na sequência aritmética finita$12,20,28,\ldots ,172$?

11.3 Sequências geométricas

1) Encontre a proporção comum para a sequência geométrica$2.5, 5, 10, 20,\ldots$

Responda: $r=2$

2) A sequência é$4, 16, 28, 40,\ldots$ geométrica? Em caso afirmativo, encontre a proporção comum. Se não, explique o porquê.

3) Uma sequência geométrica tem termos$a_7=16,384$$a_9=262,144$ e. Quais são os primeiros cinco termos?

Responda: $4,16,64,256,1024$

4) Uma sequência geométrica tem o primeiro termo$a_1=-3$ e a razão comum$r=12$. Qual é o$8^{th}$ termo?

5) Quais são os primeiros cinco termos da sequência geométrica$a_1=3, a_n=4\cdot a_{n-1}$?

Responda: $3, 12, 48, 192, 768$

6) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência geométrica$1,\dfrac{1}{3},\dfrac{1}{9},\dfrac{1}{27},\ldots$

7) Escreva uma fórmula explícita para a sequência geométrica$-\dfrac{1}{5},-\dfrac{1}{15},-\dfrac{1}{45},-\dfrac{1}{135},\ldots$

Responda: $a_n=-\dfrac{1}{5}\cdot \left (\dfrac{1}{3} \right )^{n-1}$

8) Quantos termos estão na sequência geométrica finita$-5,-\dfrac{5}{3},-\dfrac{5}{9},\ldots ,-\dfrac{5}{59,049}$?

11.4 Séries e suas notações

1) Use a notação de soma para escrever a soma dos termos$\dfrac{1}{2}m+5$ de$m=0$ até$m=5$.

Responda: $\displaystyle \sum_{m=0}^{5}\left (\dfrac{1}{2}m+5 \right )$

2) Use a notação de soma para escrever a soma resultante da adição do número$13$ vinte vezes.

3) Use a fórmula para a soma dos primeiros$n$ termos de uma série aritmética para encontrar a soma dos primeiros onze termos da série aritmética$2.5, 4, 5.5,\ldots $

Responda: $S_{11}=110$

4) Uma escada tem degraus$15$ cônicos, cujos comprimentos aumentam em uma diferença comum. O primeiro degrau tem$5$ centímetros de comprimento e o último degrau tem$20$ centímetros de comprimento. Qual é a soma dos comprimentos dos degraus?

5) Use a fórmula para a soma dos primeiros n termos de uma série geométrica$S_9$ para encontrar a série$12,6,3,\dfrac{3}{2},\ldots$

Responda: $S_9\approx 23.95$

6) As taxas para os primeiros três anos de associação a um clube de caça são apresentadas na Tabela abaixo. Se as taxas continuarem aumentando na mesma taxa, quanto será o custo total dos primeiros dez anos de associação?

Ano	Taxas de associação
1	$1500
2	$1950
3	$2535

7) Encontre a soma da série geométrica infinita$\textstyle \sum_{k=1}^{\infty }45\cdot \left ( -\frac{1}{3} \right )^{k-1}$.

Responda: $S=\dfrac{135}{4}$

8) Uma bola tem uma relação de retorno$35$ da altura do salto anterior. Escreva uma série representando a distância total percorrida pela bola, supondo que ela tenha caído inicialmente de uma altura de$5$ pés. Qual é a distância total? (Dica: a distância total que a bola percorre em cada salto é a soma das alturas da subida e da queda.)

9) Alejandro deposita$\$80$ seus ganhos mensais em uma anuidade que gera juros$6.25\%$ anuais, compostos mensalmente. Quanto dinheiro ele terá economizado depois de$5$ anos?

Responda: $\$5,617.61$

10) Os gêmeos Sarah e Scott abriram contas de aposentadoria em seu$21^{st}$ aniversário. Sarah deposita$\$4,800.00$ todos os anos, ganhando juros$5.5\%$ anuais, compostos mensalmente. Scott deposita$\$3,600.00$ todos os anos, ganhando juros$8.5\%$ anuais, compostos mensalmente. Qual gêmeo ganhará mais juros quando completarem$55$ anos de idade? Quanto mais?

11.5 Princípios de contagem

1) Quantas maneiras existem para escolher um número do conjunto$\left \{ -10,-6,4,10,12,18,24,32 \right \}$ que seja divisível por um$4$ ou$6$?

Responda: $6$

2) Em um grupo de$20$ músicos,$12$ toque$7$ piano, toque trompete e$2$ toque piano e trompete. Quantos músicos tocam piano ou trompete?

3) Quantas maneiras existem de construir um código de$4$ -dígitos se os números puderem ser repetidos?

Responda: $10^4=10,000$

4) Uma paleta de tintas de aquarela tem$3$$3$ tons de verde, tons de azul,$2$ tons de vermelho,$2$ tons de amarelo e$1$ tom de preto. Quantas maneiras existem de escolher um tom de cada cor?

5) Calcule$P(18,4)$.

Responda: $P(18,4)=73,440$

6) Em um grupo de$5$ calouros, alunos do$10$ segundo ano,$3$ juniores e$2$ seniores, de quantas maneiras um presidente, vice-presidente e tesoureiro podem ser eleitos?

7) Calcule$C(15,6)$.

Responda: $C(15,6)=5005$

8) Uma cafeteria tem assados$7$ guatemaltecos, assados$4$ cubanos e assados da$10$ Costa Rica. De quantas maneiras a loja pode escolher assados$2$ guatemaltecos,$2$ cubanos e$3$ costarriquenhos para um evento de degustação de café?

9) Quantos subconjuntos o conjunto$\left \{ 1, 3, 5, \ldots , 99 \right \}$ tem?

Responda: $2^{50}=1.13\times 10^{15}$

10) Um day spa cobra uma tarifa diária básica que inclui o uso de sauna, piscina e chuveiros. Por uma taxa extra, os hóspedes podem escolher entre os seguintes serviços adicionais: massagem, esfoliação corporal, manicure, pedicure, tratamento facial e barbear com lâmina reta. Quantas maneiras existem de solicitar serviços adicionais no spa diurno?

11) De quantas maneiras distintas a palavra DEADWOOD pode ser organizada?

Responda: $\dfrac{8!}{3!2!}=3360$

12) Quantos rearranjos distintos das letras da palavra DEADWOOD existem se o arranjo precisar começar e terminar com a letra$D$?

11.6 Teorema binomial

1) Avalie o coeficiente binomial$\dbinom{23}{8}$.

Responda: $490,314$

2) Use o Teorema Binomial para expandir$\left ( 3x+\dfrac{1}{2}y \right )^6$.

3) Use o Teorema Binomial para escrever os três primeiros termos de$(2a+b)^{17}$.

Responda: $131,072a^{17}+1,114,112a^{16}b+4,456,448a^{15}b^2$

4) Encontre o quarto termo de$\left ( 3a^2-2b \right )^{11}$ sem expandir totalmente o binômio.

11.7 Probabilidade

Para os exercícios 1-7, suponha que dois dados tenham sido lançados.

1) Construa uma tabela mostrando o espaço amostral.

Responda

	1	2	3	4	5	6
1	1, 1	1, 2	1, 3	1, 4	1, 5	1, 6
2	2, 1	2, 2	2, 3	2, 4	2, 5	2, 6
3	3, 1	3, 2	3, 3	3, 4	3, 5	3, 6
4	4, 1	4, 2	4, 3	4, 4	4, 5	4, 6
5	5, 1	5, 2	5, 3	5, 4	5, 5	5, 6
6	6, 1	6, 2	6, 3	6, 4	6, 5	6, 6

2) Qual é a probabilidade de um rolo incluir um$2$?

3) Qual é a probabilidade de rolar um par?

Responda: $\dfrac{1}{6}$

4) Qual é a probabilidade de um rolo incluir um$2$ ou resultar em um par?

5) Qual é a probabilidade de um lançamento não incluir um$2$ ou resultar em um par?

Responda: $\dfrac{5}{9}$

6) Qual é a probabilidade de rolar um$5$ ou um$6$?

7) Qual é a probabilidade de um rolo não incluir nem a$5$ nem a$6$?

Responda: $\dfrac{4}{9}$

Para os exercícios 8-11, use os seguintes dados: Uma pesquisa$350$ do ensino fundamental descobriu que os$500$ alunos preferiam refrigerante ao leite. Suponha que$8$ as crianças da escola estejam participando de uma festa de aniversário. (Mostre cálculos e arredonde para o décimo de um por cento mais próximo.)

8) Qual é a chance percentual de todas as crianças presentes na festa preferirem refrigerante?

9) Qual é a chance percentual de que pelo menos uma das crianças presentes na festa prefira leite?

Responda: $1-\dfrac{C(350,8)}{C(500,8)}\approx 94.4\%$

10) Qual é a porcentagem de chance$3$ de que exatamente as crianças presentes na festa prefiram refrigerante?

11) Qual é a porcentagem de chance$3$ de que exatamente as crianças presentes na festa prefiram leite?

Responda: $\dfrac{C(150,3)C(350,5)}{C(500,8)}\approx 25.6\%$

Teste prático

1) Escreva os primeiros quatro termos da sequência definida pela fórmula recursiva$a=-14, a_n=\dfrac{2+a_{n-1}}{2}$

Responda: $-14,-6,-2,0$

2) Escreva os primeiros quatro termos da sequência definida pela fórmula explícita$a_n=\dfrac{n^2-n-1}{n!}$.

3) A sequência é$0.3, 1.2, 2.1, 3,\ldots$ aritmética? Em caso afirmativo, encontre a diferença comum.

Responda: A sequência é aritmética. A diferença comum é$d=0.9$.

4) Uma sequência aritmética tem o primeiro termo$a_1=-4$ e a diferença comum$d=-\dfrac{4}{3}$. Qual é o$6^{th}$ termo?

5) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência aritmética$-2,-\dfrac{7}{2},-5,-\dfrac{13}{2},\ldots$ e, em seguida, encontre o$22^{nd}$ termo.

Responda: $a_1=-2,a_n=a_{n-1}-\dfrac{3}{2};a_{22}=-\dfrac{67}{2}$

6) Escreva uma fórmula explícita para a sequência aritmética$15.6, 15, 14.4, 13.8,\ldots$ e, em seguida, encontre o$32^{nd}$ termo.

7) A sequência é$-2,-1,-\dfrac{1}{2},-\dfrac{1}{4},\ldots$ geométrica? Em caso afirmativo, encontre a proporção comum. Se não, explique o porquê.

Responda: A sequência é geométrica. A proporção comum é$r=\dfrac{1}{2}$.

8) Qual é o$11^{th}$ termo da sequência geométrica$-1.5,-3,-6,-12,\ldots$?

9) Escreva uma fórmula recursiva para a sequência geométrica$1,-\dfrac{1}{2},\dfrac{1}{4},-\dfrac{1}{8},\ldots$

Responda: $a_1=1,a_n=-\dfrac{1}{2}\cdot a_{n-1}$

10) Escreva uma fórmula explícita para a sequência geométrica$4,-\dfrac{4}{3},\dfrac{4}{9},-\dfrac{4}{27},\ldots$

11) Use a notação de soma para escrever a soma dos termos$3k^2-\dfrac{5}{6}k$ de$k=-3$ até$k=15$.

Responda: $\displaystyle \sum_{k=-3}^{15}\left (3k^2-\dfrac{5}{6}k \right )$

12) Um estádio de beisebol comunitário tem$10$ assentos na primeira fila,$13$ assentos na segunda fila,$16$ assentos na terceira fila e assim por diante. Há$56$ linhas ao todo. Qual é a capacidade de assentos do estádio?

13) Use a fórmula para a soma dos primeiros$n$ termos de uma série geométrica para encontrar$\displaystyle \sum_{k=1}^{7}-0.2\cdot (-5)^{k-1}$

Responda: $S_7=-2604.2$

14) Encontre a soma da série geométrica infinita$\displaystyle \sum_{k=1}^{\infty }\dfrac{1}{3}\cdot \left ( -\dfrac{1}{5} \right )^{k-1}$

15) Rachael deposita$\$3,600$ em um fundo de aposentadoria a cada ano. O fundo gera juros$7.5\%$ anuais, compostos mensalmente. Se ela abriu sua conta quando tinha$20$ anos de idade, quanto ela terá quando chegar$55$? Quanto desse valor foram ganhos de juros?

Responda: Total na conta:$\$140,355.75$ Juros ganhos:$\$14,355.75$

16) Em uma competição de dançarinos de salão$50$ profissionais,$22$ compita na competição de fox-trot,$18$ compita na competição de tango e$6$ compita nas competições de fox-trot e tango. Quantos dançarinos competem nas competições de fox-trot ou tango?

17) O comprador de um novo sedã pode encomendar o carro de forma personalizada, escolhendo entre$5$ diferentes cores externas,$3$ diferentes cores interiores, sistemas de$2$ som, designs de$3$ motores e transmissão manual ou automática. Quantas opções o comprador tem?

Responda: $5\times 3\times 2\times 3\times 2=180$

18) Para alocar bônus anuais, um gerente deve escolher seus quatro melhores funcionários e classificá-los do primeiro ao quarto lugar. De quantas maneiras ele pode criar a lista “Top Four” com os$32$ funcionários?

19) Um grupo de rock precisa escolher$3$ músicas para tocar no Battle of the Bands anual. De quantas maneiras eles podem escolher seu set se tiverem$15$ músicas para escolher?

Responda: $C(15,3)=455$

20) Uma loja de iogurte congelado self-service tem coberturas de$8$ doces e coberturas de$4$ frutas para escolher. Quantas maneiras existem para cobrir um iogurte congelado?

21) De quantas maneiras distintas a palavra EVANESCENCE pode ser organizada se o anagrama precisar terminar com a letra$E$?

Responda: $\dfrac{10!}{2!3!2!}=151,200$

22) Use o Teorema Binomial para expandir$\left (\dfrac{3}{2}x-\dfrac{1}{2}y \right )^5$.

23) Encontre o sétimo termo de$\left (x^2-\dfrac{1}{2} \right )^{13}$ sem expandir totalmente o binômio.

Responda: $\dfrac{429x^{14}}{16}$

Para os exercícios 24-28, use o spinner na Figura abaixo.

$CNX_Precalc_Figure_11_07_202.jpg$

24) Construa um modelo de probabilidade mostrando cada resultado possível e sua probabilidade associada. (Use a primeira letra para cores.)

25) Qual é a probabilidade de aterrissar em um número ímpar?

Responda: $\dfrac{4}{7}$

26) Qual é a probabilidade de aterrissar no azul?

27) Qual é a probabilidade de aterrissar em azul ou em um número ímpar?

Responda: $\dfrac{5}{7}$

28) Qual é a probabilidade de aterrissar em qualquer coisa que não seja azul ou um número ímpar?

29) Uma tigela de doces contém doces com sabor de$16$ hortelã,$14$ caramelo e$10$ morango. Suponha que uma pessoa pegue um punhado de$7$ doces. Qual é a porcentagem de chance exata$3$ de ser caramelo? (Mostre cálculos e arredonde para o décimo de um por cento mais próximo.)

Responda: $\dfrac{C(14,3)C(26,4)}{C(40,7)}\approx 29.2\%$

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