11.E: Sequências, Probabilidade e Teoria da Contagem (Exercícios)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

11.1 Sequências e suas notações

Verbal

1) Discuta o significado de uma sequência. Se uma sequência finita é definida por uma fórmula, qual é seu domínio? Que tal uma sequência infinita?

Resposta: Uma sequência é uma lista ordenada de números que podem ser finitos ou infinitos em número. Quando uma sequência finita é definida por uma fórmula, seu domínio é um subconjunto dos números inteiros não negativos. Quando uma sequência infinita é definida por uma fórmula, seu domínio é todo positivo ou inteiro não negativo.

2) Descreva três maneiras pelas quais uma sequência pode ser definida.

3) O conjunto ordenado de números pares é uma sequência infinita? E quanto ao conjunto ordenado de números ímpares? Explique por que ou por que não.

Resposta: Sim, os dois conjuntos continuam indefinidamente, então ambos são sequências infinitas.

4) O que acontece com os termos$a_n$ de uma sequência quando há um fator negativo na fórmula que é elevado a uma potência que inclui$n$? Qual é o termo usado para descrever esse fenômeno?

5) O que é um fatorial e como ele é denotado? Use um exemplo para ilustrar como a notação fatorial pode ser benéfica.

Resposta: Um fatorial é o produto de um inteiro positivo e de todos os números inteiros positivos abaixo dele. Um ponto de exclamação é usado para indicar a operação. As respostas podem variar. Um exemplo da vantagem de usar a notação fatorial é ao indicar o produto. É muito mais fácil escrever do que escrever.$13\cdot 12\cdot 11\cdot 10\cdot 9\cdot 8\cdot 7\cdot 6\cdot 5\cdot 4\cdot 3\cdot 2\cdot 1$

Algébrico

Para os exercícios 6-15, escreva os primeiros quatro termos da sequência.

6)$a_n=2^n-2$

7)$a_n=-\dfrac{16}{n+1}$

Resposta: Primeiros quatro termos:$-8$,$−\dfrac{16}{3}$,$−4$,$−\dfrac{16}{5}$

8)$a_n=-(-5)^{n-1}$

9)$a_n=\dfrac{2^n}{n^3}$

Resposta: Primeiros quatro termos:$2$,$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{8}{27}$,$\dfrac{1}{4}$

10)$a_n=\dfrac{2n+1}{n^3}$

11)$a_n=1.25\cdot (-4)^{n-1}$

Resposta: Primeiros quatro termos:$1.25$,$-5$,$20$,$-80$

12)$a_n=-4\cdot (-6)^{n-1}$

13)$a_n=\dfrac{n^2}{2n+1}$

Resposta: Primeiros quatro termos:$\dfrac{1}{3}$,$\dfrac{4}{5}$,$\dfrac{9}{7}$,$\dfrac{16}{9}$

14)$a_n=(-10)^n+1$

15)$a_n=-\left ( \dfrac{4\cdot (-5)^{n-1}}{5} \right )$

Resposta: Primeiros quatro termos:$-\dfrac{4}{5}$,$4$,$-20$,$100$

Para os exercícios 16-20, escreva os primeiros oito termos da sequência por partes.

16)$a_n=\begin{cases} (-2)^n-2 & \text{ if } n \text{ is even} \\ (3)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is odd} \end{cases}$

17)$a_n=\begin{cases} \dfrac{n^2}{2n+1} & \text{ if } n\leq 5 \\ n^2-5 & \text{ if } n>5 \end{cases}$

Resposta: $\dfrac{1}{3}, \dfrac{4}{5}, \dfrac{9}{7}, \dfrac{16}{9}, \dfrac{25}{11}, 31, 44, 59$

18)$a_n=\begin{cases} (2n+1)^2 & \text{ if } n \text{ is divisible by } 4 \\ \dfrac{2}{n} & \text{ if } n \text{ is not divisible by } 4 \end{cases}$

19)$a_n=\begin{cases} -0.6\cdot 5^{n-1} & \text{ if } n \text{ is prime or } 1 \\ 2.5\cdot (-2)^{n-1} & \text{ if } n \text{ is composite } \end{cases}$

Resposta: $−0.6,−3,−15,−20,−375,−80,−9375,−320$

20)\(a_n=\begin{cases} 4(n^2-2) & \text{ if } n\leq 3 \text{ or } n>6 \\ \dfrac{n^2-2}{4} & \text{ if } 3<n\leq>

Para os exercícios 21-25, escreva uma fórmula explícita para cada sequência.

21)$4, 7, 12, 19, 28,\ldots$

Resposta: $a_n = n^2 + 3$

22)$-4,2,-10,14,-34,\ldots$

23)$1,1,\dfrac{4}{3},2,\dfrac{16}{5},\ldots$

Resposta: $a_n=\dfrac{2^n}{2n} \text{ or } \dfrac{2^{n-1}}{n}$

24)$0,\dfrac{1-e^1}{1+e^2}, \dfrac{1-e^2}{1+e^3}, \dfrac{1-e^3}{1+e^4}, \dfrac{1-e^4}{1+e^5},\ldots$

25)$1,-\dfrac{1}{2}, \dfrac{1}{4}, -\dfrac{1}{8}, \dfrac{1}{16},\ldots$

Resposta: $a_n=\left ( -\dfrac{1}{2} \right )^{n-1}$

Para os exercícios 26-30, escreva os primeiros cinco termos da sequência.

26)$a_1=9, a_n=a_{n-1}+n$

27)$a_1=3, a_n=(-3)a_{n-1}$

Resposta: Primeiros cinco termos:$3, -9, 27, -81, 243$

28)$a_1=-4, a_n=\dfrac{a_{n-1}+2n}{a_{n-1}-1}$

29)$a_1=-1, a_n=\dfrac{(-3)^{n-1}}{a_{n-1}-2}$

Resposta: Primeiros cinco termos:$-1, 1, -9,\dfrac{27}{11},\dfrac{891}{5}$

30)$a_1=-30, a_n=(2+a_{n-1})\left (\dfrac{1}{2} \right )^n$

Para os exercícios 31-33, escreva os primeiros oito termos da sequência.

31)$a_1=\dfrac{1}{24},a_2=1, a_n=(2a_{n-2})(3a_{n-1})$

Resposta: $\dfrac{1}{24},1,\dfrac{1}{4},\dfrac{3}{2},\dfrac{9}{4},\dfrac{81}{4},\dfrac{2187}{8},\dfrac{531,441}{16}$

32)$a_1=-1,a_2=5, a_n=a_{n-2}(3-a_{n-1})$

33)$a_1=2,a_2=10, a_n=\frac{2(a_{n-1}+2)}{a_{n-2}}$

Resposta: $2,10,12,\dfrac{14}{5},\dfrac{4}{5},2,10,12$

Para os exercícios 34-38, escreva uma fórmula recursiva para cada sequência.

34)$-2.5,-5,-10,-20,-40,\ldots$

(35)$-8,-6,-3,1,6,\ldots$

Resposta: $a_1=-8, a_n=a_{n-1}+n$

36)$2,4,12,48,240,\ldots$

37)$35,38,41,44,47,\ldots$

Resposta: $a_1=35, a_n=a_{n-1}+3$

38)$15,3,\dfrac{3}{5},\dfrac{3}{25},\dfrac{3}{125},\ldots$

Para os exercícios 39-42, avalie o fatorial.

39)$6!$

Resposta: $720$

40)$\left ( \dfrac{12}{6} \right )!$

41)$\dfrac{12!}{6!}$

Resposta: $665,280$

(42)$\dfrac{100!}{99!}$

Para os exercícios 43-46, escreva os primeiros quatro termos da sequência.

43)$a_n=\dfrac{n!}{n^2}$

Resposta: Primeiros quatro termos: 1,$\dfrac{1}{2}$,$\dfrac{2}{3}$,$\dfrac{3}{2}$

44)$a_n=\dfrac{3\cdot n!}{4\cdot n!}$

45)$a_n=\dfrac{n!}{n^2 - n - 1}$

Responda: Primeiros quatro termos: -1, 2,$\dfrac{6}{5}$,$\dfrac{24}{11}$

(46)$a_n=\dfrac{100\cdot n}{n(n-1)!}$

Gráfica

Para os exercícios 47-51, represente graficamente os primeiros cinco termos da sequência indicada

47)$a_n=\dfrac{(-1)^n}{n}+n$

Responda: $CNX_Precalc_Figure_11_01_201.jpg$

48)$a_n=\begin{cases} \dfrac{4+n}{2n} & \text{ if } n \text{ is even } \\ 3+n & \text{ if } \text{ if } n \text{ is odd } \end{cases}$

49)$a_1 = 2, a_n = (-a_{n-1} + 1)^2$

Responda: $CNX_Precalc_Figure_11_01_203.jpg$

50)$a_n = 1, a_n = a_{n-1} + 8$

51)$a_n=\dfrac{(n+1)!}{(n-1)!}$

Responda: $CNX_Precalc_Figure_11_01_205.jpg$

Para os exercícios 52-54, escreva uma fórmula explícita para a sequência usando os primeiros cinco pontos mostrados no gráfico.

52)

$CNX_Precalc_Figure_11_01_206.jpg$

53)

$CNX_Precalc_Figure_11_01_207.jpg$

Responda: $a_n=2^{n-2}$

54)

$CNX_Precalc_Figure_11_01_208.jpg$

Para os exercícios 55-56, escreva uma fórmula recursiva para a sequência usando os primeiros cinco pontos mostrados no gráfico.

55)

$CNX_Precalc_Figure_11_01_209.jpg$

Responda: $a_1=6, a_n=2a_{n-1}-5$

(56)

$CNX_Precalc_Figure_11_01_210.jpg$

Tecnologia

Siga estas etapas para avaliar uma sequência definida recursivamente usando uma calculadora gráfica:

Na tela inicial, digite o valor do termo inicial$a_1$ e pressione [ENTER].
Insira a fórmula recursiva digitando todos os valores numéricos fornecidos na fórmula, junto com as teclas [2ND] ANS para o termo anterior$a_{n-1}$. Pressione [ENTER].
Continue pressionando [ENTER] para calcular os valores para cada termo sucessivo.

Para os exercícios 57-61, use as etapas acima para encontrar o termo ou termos indicados para a sequência.

57) Encontre os primeiros cinco termos da sequência$a_1=\dfrac{87}{111}$,$a_n=\dfrac{4}{3}a_{n-1}+\dfrac{12}{37}$. Use o recurso > Frac para fornecer resultados fracionários.

Responda: Primeiros cinco termos:$\dfrac{29}{37},\dfrac{152}{111},\dfrac{716}{333},\dfrac{3188}{999},\dfrac{13724}{2997}$

58) Encontre o$15^{th}$ termo da sequência$a_1=625, a_n=0.8a_{n-1}+18$.

59) Encontre os primeiros cinco termos da sequência$a_1=2, a_n=2^{[(a_n-1)-1]}+1$.

Responda: Primeiros cinco termos:$2,3,5,17,65537$

60) Encontre os primeiros dez termos da sequência$a_1=8, a_n=\frac{(a_{n-1}+1)!}{a_{n-1}!}$.

61) Encontre o décimo termo da sequência$a_1=2, a_n=na_{n-1}$.

Responda: $a_{10}=7,257,600$

Siga estas etapas para avaliar uma sequência finita definida por uma fórmula explícita. Usando um TI-84, faça o seguinte.

Na tela inicial, pressione [2ND] LIST.
Role até OPS e escolha “seq (” na lista suspensa. Pressione [ENTER].
Na linha intitulada “Expr:” digite a fórmula explícita, usando o$[X,T,\theta ,n]$ botão para$n$
Na linha intitulada “Variável:”, digite a variável usada na etapa anterior.
Na linha intitulada “start:” digite o valor de n n n que inicia a sequência.
Na linha intitulada “end:”, digite o valor de n n n isso encerra a sequência.
Pressione [ENTER]$3$ vezes para retornar à tela inicial. Você verá a sintaxe da sequência na tela. Pressione [ENTER] para ver a lista de termos da sequência finita definida. Use a tecla de seta para a direita para percorrer a lista de termos.

Usando um TI-83, faça o seguinte.

Na tela inicial, pressione [2ND] LIST.
Role até OPS e escolha “seq (” na lista suspensa. Pressione [ENTER].
Insira os itens na ordem “Expr”, “Variável”, “início”, “fim” separados por vírgulas. Veja as instruções acima para ver a descrição de cada item.
Pressione [ENTER] para ver a lista de termos da sequência finita definida. Use a tecla de seta para a direita para percorrer a lista de termos.

Para os exercícios 62-66, use as etapas acima para encontrar os termos indicados para a sequência. Arredonde para o milésimo mais próximo quando necessário.

62) Liste os primeiros cinco termos da sequência$a_n=-\dfrac{28}{9}n+\dfrac{5}{3}$.

63) Liste os primeiros seis termos da sequência$a_n=\dfrac{n^3-3.5n^2+4.1n-1.5}{2.4n}$.

Responda: Primeiros seis termos:$0.042,0.146,0.875,2.385,4.708$

64) Liste os primeiros cinco termos da sequência$a_n=\dfrac{15n\cdot (-2)^{n-1}}{47}$.

65) Liste os primeiros quatro termos da sequência$a_n=5.7^n+0.275(n-1)!$

Responda: Primeiros quatro termos:$5.975,32.765,185.743,1057.25,6023.521$

66) Liste os primeiros seis termos da sequência$a_n=\dfrac{n!}{n}$.

Extensões

67) Considere a sequência definida por$a_n=-6-8n$. Há$a_n=-421$ um termo na sequência? Verifique o resultado.

Responda: Se$a_n=-421$ for um termo na sequência, então resolver a equação$-421=-6-8n$ para$n$ resultará em um número inteiro não negativo. No entanto, se$-421=-6-8n$, então$n=51.875$ então não$a_n=-421$ é um termo na sequência.

68) Qual termo na sequência$a_n=\dfrac{n^2+4n+4}{2(n+2)}$ tem o valor$41$? Verifique o resultado.

69) Encontre uma fórmula recursiva para a sequência$1, 0, -1, -1, 0, 1, 1, 0, -1, -1, 0, 1, 1,\ldots$ (Dica: encontre um padrão para$a_n$ com base nos dois primeiros termos.)

Responda: $a_1=1, a_2=0, a_n=a_{n-1}-a_{n-2}$

70) Calcule os primeiros oito termos das sequências$a_n=\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}$ e$b_n=n^3+3n^2+2n$, em seguida, faça uma conjectura sobre a relação entre essas duas sequências.

71) Prove a conjectura feita no exercício anterior.

Responda: $\dfrac{(n+2)!}{(n-1)!}=\dfrac{(n+2)\cdot (n+1)\cdot (n)\cdot (n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}{(n-1)\cdot \ldots 3\cdot 2\cdot 1}=n(n+1)(n+2)=n^3+3n^2+2n$