8.E: Outras aplicações da trigonometria (exercícios)

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8.1: Triângulos não retos: Lei de Sines

Verbal

1) Descreva a altitude de um triângulo.

Responda: A altitude se estende de qualquer vértice até o lado oposto ou até a linha que contém o lado oposto em um$90^{\circ}$ ângulo.

2) Compare triângulos retos e triângulos oblíquos.

3) Quando você pode usar a Lei de Sines para encontrar um ângulo ausente?

Responda: Quando os valores conhecidos são o lado oposto ao ângulo ausente e outro lado e seu ângulo oposto.

4) Na Lei de Sines, qual é a relação entre o ângulo no numerador e o lado no denominador?

5) Que tipo de triângulo resulta em um caso ambíguo?

Responda: Um triângulo com dois lados dados e um ângulo não incluído.

Algébrico

Para os exercícios 6-10, suponha que$\alpha$ seja o lado$a$ oposto$b$, o lado oposto e$\gamma$ o lado oposto$c$.$\beta$ Resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

6)$\alpha =43^{\circ}, \gamma =69^{\circ}, a=20$

7)$\alpha =35^{\circ}, \gamma =73^{\circ}, c=20$

Responda: $\beta =72^{\circ}, a\approx 12.0, b\approx 19.9$

8)$\alpha =60^{\circ}, \beta =60^{\circ}, \gamma =60^{\circ}$

9)$a=4, \alpha =60^{\circ}, \beta =100^{\circ}$

Responda: $\gamma =20^{\circ}, b\approx 4.5, c\approx 1.6$

10)$b=10, \beta =95^{\circ}, \gamma =30^{\circ}$

11) Encontre um lado$b$ quando$A=37^{\circ}, B=49^{\circ}, c=5$

Responda: $b\approx 3.78$

12) Encontre um lado$a$ quando$A=132^{\circ}, C=23^{\circ}, b=10$

13) Encontre um lado$c$ quando$B=37^{\circ}, C=21^{\circ}, b=23$

Responda: $c\approx 13.70$

Para os exercícios 14-23, suponha que$\alpha $ seja o lado$a$ oposto$b$, o lado oposto e$\gamma $ o lado oposto$c$.$\beta$ Determine se não há triângulo, um triângulo ou dois triângulos. Em seguida, resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

14)$\alpha =119^{\circ}, a=14, b=26$

15)$\gamma =113^{\circ}, b=10, c=32$

Responda: um triângulo,$\alpha \approx 50.3^{\circ}, \beta \approx 16.7^{\circ}, a\approx 26.7$

16)$b=3.5, c=5.3, \gamma =80^{\circ}$

17)$a=12, c=17, \alpha =35^{\circ}$

Responda: dois triângulos,$\gamma \approx 54.3^{\circ}, \beta \approx 90.7^{\circ}, b\approx 20.9$ ou$\gamma '\approx 125.7^{\circ}, \beta '\approx 19.3^{\circ}, b'\approx 6.9$

18)$a=20.5, b=35.0, \beta =25^{\circ}$

19)$a=7, c=9, \alpha =43^{\circ}$

Responda: dois triângulos,$\beta \approx 75.7^{\circ}, \gamma \approx 61.3^{\circ}, b\approx 9.9$ ou$\beta '\approx 18.3^{\circ}, \gamma '\approx 118.7^{\circ}, b'\approx 3.2$

20)$a=7, b=3, \beta =24^{\circ}$

21)$b=13, c=5, \gamma =10^{\circ}$

Responda: dois triângulos,$\alpha \approx 143.2^{\circ}, \beta \approx 26.8^{\circ}, a\approx 17.3$ ou$\alpha '\approx 16.8^{\circ}, \beta '\approx 153.2^{\circ}, a'\approx 8.3$

22)$a=2.3, c=1.8, \gamma =28^{\circ}$

23)$\beta =119^{\circ}, b=8.2, a=11.3$

Responda: nenhum triângulo possível

Para os exercícios 24-26, use a Lei de Sines para resolver, se possível, o lado ou ângulo que falta para cada triângulo ou triângulos no caso ambíguo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

24) Encontre o ângulo$A$ quando$a=24, b=5, B=22^{\circ}$

25) Encontre o ângulo$A$ quando$a=13, b=6, B=20^{\circ}$

Responda: $A\approx 47.8^{\circ}$ou$A'\approx 132.2^{\circ}$

26) Encontre o ângulo$B$ quando$A=12^{\circ}, a=2, b=9$

Para os exercícios 27-30, encontre a área do triângulo com as medidas dadas. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

27)$a=5, c=6, \beta =35^{\circ}$

Responda: $8.6$

28)$b=11, c=8, \alpha =28^{\circ}$

29)$a=32, b=24, \gamma =75^{\circ}$

Responda: $370.9$

30)$a=7.2, b=4.5, \gamma =43^{\circ}$

Gráfica

Para os exercícios 31-36, encontre o comprimento do lado$x$. Arredonde para o décimo mais próximo.

31)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_201.jpg$

Responda: $12.3$

32)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_202.jpg$

33)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_203.jpg$

Responda: $12.2$

34)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_204.jpg$

(35)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_205.jpg$

Responda: $16.0$

36)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_206.jpg$

Para os exercícios 37-,42, determine a medida do ângulo$x$, se possível. Arredonde para o décimo mais próximo.

37)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_207.jpg$

Responda: $29.7^{\circ}$

38)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_208.jpg$

39)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_209.jpg$

Responda: $x=76.9^{\circ}$ou$x=103.1^{\circ}$

40)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_210.jpg$

41) Observe que$x$ é um ângulo obtuso.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_211.jpg$

Responda: $110.6^{\circ}$

(42)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_212.jpg$

Para os exercícios 43-49, encontre a área de cada triângulo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

43)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_214.jpg$

Responda: $A\approx 39.4, C\approx 47.6, BC\approx 20.7$

44)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_215.jpg$

45)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_216.jpg$

Responda: $57.1$

(46)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_217.jpg$

47)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_218.jpg$

Responda: $42.0$

48)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_219.jpg$

49)

$CNX_Precalc_Figure_08_01_220.jpg$

Responda: $430.2$

Extensões

50) Encontre o raio do círculo na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

51) Encontre o diâmetro do círculo na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_222.jpg$

Responda: $10.1$

52) Encontre$m\angle ADC$ na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

53) Encontre o lado$ AD$ na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_224.jpg$

Responda: $AD\approx 13.8$

54) Resolva os dois triângulos na Figura abaixo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

55) Encontre o lado$ AB$ no paralelogramo mostrado abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_226.jpg$

Responda: $AB\approx 2.8$

56) Resolva o triângulo na Figura abaixo. (Dica: desenhe uma perpendicular$H$ de$JK$ a. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

57) Resolva o triângulo na Figura abaixo. (Dica: desenhe uma perpendicular$N$ de$LM$ a. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_228.jpg$

Responda: $L\approx 49.7 ^{\circ} , N\approx 56.3 ^{\circ} , LN\approx 5.8$

58) Na Figura abaixo, não$ABCD$ é um paralelogramo. $\angle m$é obtuso. Resolva os dois triângulos. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_229.jpg$

Aplicativos do mundo real

59) Um poste se afasta do sol em um ângulo vertical, conforme mostrado na Figura abaixo.$7^{\circ}$ Quando a elevação do sol é$55^{\circ}$, o poste projeta uma sombra com$42$ pés de comprimento no solo nivelado. Quanto tempo dura o poste? Arredonde a resposta para o décimo mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_231.jpg$

Responda: $51.4$pés

60) Para determinar a que distância um barco está da costa, duas estações de radar separadas por$500$ pés encontram os ângulos do barco, conforme mostrado na Figura abaixo. Determine a distância do barco da estação$A$ e a distância do barco até a costa. Arredonde suas respostas para o pé inteiro mais próximo.

61) A Figura abaixo mostra um satélite orbitando a Terra. O satélite passa diretamente por duas estações de rastreamento$A$ e$B$, que estão$69$ a milhas de distância. Quando o satélite está em um lado das duas estações, os ângulos de elevação em$A$ e$B$ são medidos como sendo$86.2^{\circ}$ e$83.9^{\circ}$ respectivamente. A que distância está o satélite da estação$A$ e qual a altura do satélite acima do solo? Respostas arredondadas para a milha inteira mais próxima.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_233.jpg$

Responda: A distância do satélite até a estação$A$ é de aproximadamente$1716$ milhas. O satélite está aproximadamente$1706$ milhas acima do solo.

62) Uma torre de comunicação está localizada no topo de uma colina íngreme, conforme mostrado na Figura abaixo. O ângulo de inclinação da colina é$67^{\circ}$. Um fio auxiliar deve ser preso ao topo da torre e ao solo,$165$ metros abaixo da base da torre. O ângulo formado pelo fio condutor e pela colina é$16^{\circ}$. Encontre o comprimento do cabo necessário para o fio auxiliar até o metro inteiro mais próximo.

63) O telhado de uma casa está$20^{\circ}$ inclinado. Um painel solar$8$ de 2 pés deve ser montado no telhado e deve ser inclinado$38^{\circ}$ em relação à horizontal para obter os melhores resultados. (Veja a Figura abaixo). Quanto tempo precisa durar o suporte vertical que sustenta a parte traseira do painel? Arredonde para o décimo mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_235.jpg$

Responda: $2.6$pés

64) Semelhante a um ângulo de elevação, um ângulo de depressão é o ângulo agudo formado por uma linha horizontal e a linha de visão de um observador em relação a um objeto abaixo da horizontal. Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para dois marcos,$6.6$ km de distância, a ser$37^{\circ}$ e$44^{\circ}$ conforme mostrado na Figura abaixo. Encontre a distância do avião do ponto$A$ até o décimo de quilômetro mais próximo.

65) Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para dois marcos, com$4.3$ km de distância, a ser$32^{\circ}$ e$56^{\circ}$, conforme mostrado na Figura abaixo. Encontre a distância do avião do ponto$A$ até o décimo de quilômetro mais próximo.

$CNX_Precalc_Figure_08_01_237.jpg$

Responda: $5.6$km

66) Para estimar a altura de um prédio, dois estudantes ficam a uma certa distância do prédio no nível da rua. A partir desse ponto, eles descobrem que existe o ângulo de elevação da rua até o topo do prédio$39^{\circ}$. Eles então movem$300$ os pés para mais perto do prédio e descobrem o ângulo de elevação adequado$50^{\circ}$. Supondo que a rua esteja nivelada, estime a altura do prédio até o pé mais próximo.

67) Para estimar a altura de um prédio, dois estudantes ficam a uma certa distância do prédio no nível da rua. A partir desse ponto, eles descobrem que existe o ângulo de elevação da rua até o topo do prédio$35^{\circ}$. Eles então movem$250$ os pés para mais perto do prédio e descobrem o ângulo de elevação adequado$53^{\circ}$. Supondo que a rua esteja nivelada, estime a altura do prédio até o pé mais próximo.

Responda: $371$pés

68) Pontos$A$ e$B$ estão em lados opostos de um lago. $C$O ponto está$97$ a metros de distância$A$. A medida de$\angle BAC$ é determinada como sendo$101^{\circ}$, e a medida de$\angle ACB$ é determinada como sendo$53^{\circ}$. Qual é a distância$A$ de$B$, arredondado para o metro inteiro mais próximo?

69) Um homem e uma mulher separados por$3\dfrac{1}{2}$ quilômetros avistam um balão de ar quente ao mesmo tempo. Se o ângulo de elevação do homem para o balão for$27^{\circ}$, e o ângulo de elevação da mulher para o balão for$41^{\circ}$, encontre a altitude do balão até o pé mais próximo.

Responda: $5936$pés

70) Duas equipes de busca localizam um alpinista encalhado em uma montanha. A primeira equipe de busca está a$0.5$ milhas da segunda equipe de busca, e ambas as equipes estão a uma altitude de$1$ milha. O ângulo de elevação da primeira equipe de busca até o alpinista encalhado é$15^{\circ}$. O ângulo de elevação da segunda equipe de busca até o alpinista é$22^{\circ}$. Qual é a altitude do alpinista? Arredonde até o décimo de milha mais próximo.

71) Uma luz de rua é montada em um poste. Um homem$6$ de um metro de altura está parado na rua a uma curta distância do poste, projetando uma sombra. O ângulo de elevação da ponta da sombra do homem até o topo de sua cabeça de$28^{\circ}$. Uma mulher$6$ de um metro de altura está parada na mesma rua do lado oposto do poste do homem. O ângulo de elevação da ponta da sombra até o topo da cabeça é$28^{\circ}$. Se o homem e a mulher estão a$20$ pés de distância, a que distância está a luz da rua da ponta da sombra de cada pessoa? Arredonde a distância até o décimo de pé mais próximo.

Responda: $24.1$pés

72) Três cidades,,$A$$B$, e$C$, estão localizadas de forma que$A$ a cidade fique a leste da cidade$B$. Se a cidade$C$ está localizada a$35^{\circ}$ oeste do norte da cidade$B$ e está$100$ a milhas da cidade$A$ e$70$ milhas da cidade$B$, a que distância está$A$ a cidade da cidade$B$? Arredonde a distância até o décimo de milha mais próximo.

73) Duas ruas se encontram em um$80^{\circ}$ ângulo. Na esquina, um parque está sendo construído em forma de triângulo. Encontre a área do parque se, ao longo de uma estrada, o parque medir$180$ pés, e ao longo da outra estrada, o parque mede$215$ pés.

Responda: $19,056$pés ²

74) A casa de Brian fica em um terreno de esquina. Encontre a área do jardim frontal se as bordas$56$ medirem$40$ e os pés, conforme mostrado na Figura abaixo.

$Figura 8.1.74.png$

75) O triângulo das Bermudas é uma região do Oceano Atlântico que liga Bermudas, Flórida e Porto Rico. Encontre a área do triângulo das Bermudas se a distância da Flórida às Bermudas for de$1030$ milhas, a distância de Porto Rico às Bermudas for de$980$ milhas e o ângulo criado pelas duas distâncias for$62^{\circ}$.

Responda: $445,624$milhas quadradas

76) Um sinal de escoamento mede$30$ polegadas nos três lados. Qual é a área da placa?

77) Naomi comprou uma mesa de jantar moderna cujo tampo tem a forma de um triângulo. Encontre a área do tampo da mesa se dois dos lados$4$ medirem pés e$4.5$ pés, e os ângulos menores medem$32^{\circ}$ e$42^{\circ}$, conforme mostrado na Figura abaixo.

$fig. 8.1.77.png$

Responda: $8.65$pés ²