8.R: Outras aplicações da trigonometria (revisão)

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

8.1: Triângulos não retos: Lei de Sines

Para os exercícios 1-5, suponha que$\alpha $ é o lado oposto$a$,$\beta $ é o lado$b$ oposto e$\gamma $ é o lado oposto$c$. Resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

1)$\beta =50^{\circ}, a=105, b=45$

Resposta: Não é possível

2)$\alpha =43.1^{\circ}, a=184.2, b=242.8$

3) Resolva o triângulo.

$Ex. 8R 8.1.3.png$

Resposta: $C=120^{\circ}, a=23.1, c=34.1$

4) Encontre a área do triângulo.

5) Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para postes de duas milhas a$2.1$ km de distância entre si$25^{\circ}$ e$49^{\circ}$, como mostrado na figura abaixo. Encontre a distância do avião em relação ao ponto$A$ e a elevação do plano.

$Ex. 8R 8.1.5.png$

Resposta: distância do avião do ponto$A:2.2$ km, elevação do avião:$1.6$ km

8.2: Triângulos não retos - Lei dos cossenos

1) Resolva o triângulo, arredondando para o décimo mais próximo, assumindo$\alpha $ é o lado oposto$a$,$\beta $ seu lado$b$ oposto e$\gamma $ um lado oposto$c: a=4, b=6,c=8$.

2) Resolva o triângulo na Figura abaixo, arredondando para o décimo mais próximo.

$Ex. 8R 8.2.2.png$

Resposta: $B=71.0^{\circ},C=55.0^{\circ},a=12.8$

3) Encontre a área de um triângulo com lados de comprimento$8.3$$6.6$,,$9.1$ e.

4) Para encontrar a distância entre duas cidades, um satélite calcula as distâncias e o ângulo mostrados na Figura abaixo (não em escala). Encontre a distância entre as cidades. Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.

$Ex. 8R 8.2.4.png$

Resposta: $40.6$km

8.3: Coordenadas polares

1) Faça um gráfico do ponto com coordenadas polares$\left ( 3,\dfrac{\pi }{6} \right )$.

2) Faça um gráfico do ponto com coordenadas polares$\left ( 5,\dfrac{-2\pi }{3} \right )$.

Resposta: $Ex. 8R 8.3.2.png$

3) Converta em$\left ( 6,\dfrac{-3\pi }{4} \right )$ coordenadas retangulares.

4) Converta em$\left ( -2,\dfrac{3\pi }{2} \right )$ coordenadas retangulares.

Resposta: $(0,2)$

5) Converta$(7,-2)$ em coordenadas polares.

6) Converta$(-9,-4)$ em coordenadas polares.

Resposta: $(9.8489,203.96^{\circ})$

Para os exercícios 7-9, converta a equação cartesiana dada em uma equação polar.

7)$x=-2$

8)$x^2+y^2=64$

Resposta: $r=8$

9)$x^2+y^2=-2y$

Para os exercícios 10-11, converta a equação polar dada em uma equação cartesiana.

10)$r=7\cos \theta$

Resposta: $x^2+y^2=7x$

11)$r=\dfrac{-2}{4\cos \theta +\sin \theta }$

Para os exercícios 12-13, converta em forma retangular e gráfico.

12)$\theta =\dfrac{3\pi }{4}$

Resposta

$y=-x$

$Ex. 8R 8.3.12.png$

13)$r=5\sec \theta$

8.4: Coordenadas polares - Gráficos

Para os exercícios de 1 a 5, teste a simetria de cada equação.

1)$r=4+4\sin \theta$

Resposta: simétrico em relação à linha$\theta =\dfrac{\pi }{2}$

2)$r=7$

3) Esboce um gráfico da equação polar$r=1-5\sin \theta$. Identifique as interceptações do eixo.

Resposta: $Ex. 8R 8.4.3.png$

4) Esboce um gráfico da equação polar$r=5\sin (7\theta )$.

5) Esboce um gráfico da equação polar$r=3-3\cos \theta$

Resposta: $Ex. 8R 8.4.5.png$

8.5: Forma polar de números complexos

Para os exercícios 1-2, encontre o valor absoluto de cada número complexo.

1)$-2+6i$

2)$4-3i$

Resposta: $5$

Escreva o número complexo na forma polar.

3)$5+9i$

4)$\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}i$

Resposta: $\mathrm{cis}\left (-\dfrac{\pi }{3} \right )$

Para os exercícios 5-6, converta o número complexo da forma polar para a retangular.

5)$z=5\mathrm{cis}\left (\dfrac{5\pi }{6} \right )$

6)$z=3\mathrm{cis}(40^{\circ})$

Resposta: $2.3+1.9i$

Para os exercícios 7-8, encontre o produto$z_1 z_2$ na forma polar.

7)$\begin{align*} z_1 &= 2\mathrm{cis}(89^{\circ})\\ z_2 &= 5\mathrm{cis}(23^{\circ}) \end{align*}$

8)$\begin{align*} z_1 &= 10\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )\\ z_2 &= 6\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{3} \right ) \end{align*}$

Resposta: $60\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{2} \right )$

Para os exercícios 9-10, determine o quociente$\dfrac{z_1}{z_2}$ na forma polar.

9)$\begin{align*} z_1 &= 12\mathrm{cis}(55^{\circ})\\ z_2 &= 3\mathrm{cis}(18^{\circ}) \end{align*}$

10)$\begin{align*} z_1 &= 27\mathrm{cis}\left ( \dfrac{5\pi }{3} \right )\\ z_2 &= 9\mathrm{cis}\left ( \dfrac{\pi }{3} \right ) \end{align*}$

Resposta: $3\mathrm{cis}\left ( \dfrac{4\pi }{3} \right )$

Para os exercícios 11-12, encontre as potências de cada número complexo na forma polar.

11) Descubra$z^4$ quando$z=2\mathrm{cis}(70^{\circ})$

12) Descubra$z^2$ quando$z=5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{4} \right )$

Resposta: $25\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{2} \right )$

Para os exercícios 13-14, avalie cada raiz.

13) Avalie a raiz cúbica de$z$ quando$z=64\mathrm{cis}(210^{\circ})$.

14) Avalie a raiz quadrada de$z$ quando$z=25\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{2} \right )$.

Resposta: $5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{3\pi }{4} \right )$,$5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{7\pi }{4} \right )$

Para os exercícios 15-16, plote o número complexo no plano complexo.

15)$6-2i$

16)$-1+3i$

Resposta: $Ex. 8R 8.5.16.png$

8.6: Equações paramétricas

1)$\begin{cases} & x(t)= 3t-1\\ & y(t)= \sqrt{t} \end{cases}$

2)$\begin{cases} & x(t)= -\cos t\\ & y(t)= 2\sin ^2t \end{cases}$

Resposta: $x^2+\dfrac{1}{2}y=1$

3) Parametrize (escreva uma equação paramétrica para) cada equação cartesiana usando$x(t)=a\cos t$ e$y(t)=b\sin t$ for$\dfrac{x^2}{25}+\dfrac{y^2}{16}=1$.

4) Parametrize a linha de$(-2,3)$$(4,7)$ para que a linha fique$(-2,3)$ em$t=0$ e$(4,7)$ em$t=1$.

Resposta: $\begin{cases} & x(t)= -2+6t\\ & y(t)= 3+4t \end{cases}$

8.7: Equações paramétricas - Gráficos

Para os exercícios 1-, faça uma tabela de valores para cada conjunto de equações paramétricas, represente graficamente as equações e inclua uma orientação; em seguida, escreva a equação cartesiana.

1)$\begin{cases} & x(t)= 3t^2\\ & y(t)= 2t-1 \end{cases}$

2)$\begin{cases} & x(t)= e^t\\ & y(t)= -2e^{5t} \end{cases}$

Resposta

$y=-2x^5$

$Ex. 8R 8.7.2.png$

3)$\begin{cases} & x(t)= 3\cos t\\ & y(t)= 2\sin t \end{cases}$

4) Uma bola é lançada com uma velocidade inicial de$80$ pés por segundo em um ângulo em relação$40^{\circ}$ à horizontal. A bola é lançada a uma altura de$4$ pés acima do solo.

Onde está a bola depois de$3$ alguns segundos?
Quanto tempo a bola está no ar?

Resposta

$\begin{cases} & x(t)= (80\cos (40^{\circ}))t\\ & y(t)= -16t^2+(80\sin (40^{\circ}))t+4 \end{cases}$
A bola tem 14 pés de altura e 184 pés de onde foi lançada.
$3.3$segundos

8.8: Vetores

Para os exercícios 1-2, determine se os dois vetores,$\vecs u$ e$\vecs v$, são iguais, onde$\vecs u$ tem um ponto inicial$P_1$ e um ponto terminal$P_2$, e$\vecs v$ tem um ponto inicial$P_3$ e um ponto terminal$P_4$.

1)$P_1=(-1,4), P_2=(3,1), P_3=(5,5), P_4=(9,2)$

2)$P_1=(6,11), P_2=(-2,8), P_3=(0,-1), P_4=(-8,2)$

Resposta: não é igual

Para os exercícios 3-4, use os vetores$\vecs u=2\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$ $\vecs v=4\hat{\mathbf{i}}-3\hat{\mathbf{j}}$, e$\vecs w=-2\hat{\mathbf{i}}+5\hat{\mathbf{j}}$ para avaliar a expressão.

3)$ \vecs u-\vecs v $

4)$ 2\vecs v-\vecs u+\vecs w $

Resposta: $4\hat{\mathbf{i}}$

Para os exercícios 5-6, encontre um vetor unitário na mesma direção do vetor fornecido.

5)$\vecs a=8\hat{\mathbf{i}}-6\hat{\mathbf{j}}$

6)$\vecs b=-3\hat{\mathbf{i}}-\hat{\mathbf{j}}$

Resposta: $-\dfrac{3\sqrt{10}}{10}\hat{\mathbf{i}}-\dfrac{\sqrt{10}}{10}\hat{\mathbf{j}}$

Para os exercícios 7-11, calcule$\vecs u\cdot \vecs v$

7)$\vecs u=-2\hat{\mathbf{i}}+\hat{\mathbf{j}}$ e$\vecs v=3\hat{\mathbf{i}}+7\hat{\mathbf{j}}$

8)$\vecs u=\hat{\mathbf{i}}+4\hat{\mathbf{j}}$ e$\vecs v=4\hat{\mathbf{i}}+3\hat{\mathbf{j}}$

Resposta: $16$

9) Dado o$\vecs v=\left \langle -3,4 \right \rangle$ empate$\vecs v$$2\vecs v$,$\dfrac{1}{2}\vecs v$ e.

10) Dados os vetores mostrados na Figura abaixo,$\vecs u + \vecs v$$\vecs u − \vecs v$ esboce$3\vecs v$ e.

$Ex. 8R 8.8.10.png$

Resposta: $Ex 8R 8.8.10 sol.png$

11) Dado o ponto inicial$P_1=(3,2)$ e o ponto terminal$P_2=(-5,-1)$, escreva o vetor$\vecs v$ em termos de$\hat{\mathbf{i}}$$\hat{\mathbf{j}}$ e. Desenhe os pontos e o vetor no gráfico.

Teste prático

1) Suponha que$\alpha $ seja o lado oposto$a$,$\beta $ seja o lado$b$ oposto e$\gamma $ seja o lado oposto$c$. Resolva o triângulo, se possível, e arredonde cada resposta para a décima mais próxima, dada$\beta =68^{\circ},b=21,c=16$.

Resposta: $\alpha =67.1^{\circ}, \gamma =44.9^{\circ}, a=20.9$

2) Encontre a área do triângulo na Figura abaixo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

$Ex. 8rp.2.png$

3) Um piloto voa em um caminho reto por$2$ horas. Ele então faz uma correção de curso, indo$15^{\circ}$ para a direita de seu curso original, e voa$1$ por hora na nova direção. Se ele mantiver uma velocidade constante de$575$ milhas por hora, a que distância ele está de sua posição inicial?

Resposta: $1712$milhas

4) Converta$(2,2)$ em coordenadas polares e, em seguida, plote o ponto.

5) Converta em$\left ( 2,\dfrac{\pi }{3} \right )$ coordenadas retangulares.

Resposta: $(1,\sqrt{3})$

6) Converta a equação polar em uma equação cartesiana:$x^2+y^2=5y$.

7) Converta para forma retangular e gráfico:$r=-3\csc θ$.

Resposta

$y=-3$

$Ex. 8RP.7.png$

8) Teste a equação para simetria:$r=-4\sin(2\theta )$.

9) Gráfico$r=3+3\cos \theta$.

Resposta: $Ex. 8rp.9.png$

10) Gráfico$r=3-5\sin \theta$.

11) Encontre o valor absoluto do número complexo$5-9i$.

Resposta: $\sqrt{106}$

12) Escreva o número complexo na forma polar:$4+i$.

13) Converta o número complexo da forma polar para a retangular:$z=5\mathrm{cis}\left ( \dfrac{2\pi }{3} \right )$

Resposta: $\dfrac{-5}{2}+i\dfrac{5\sqrt{3}}{2}$

14)$z_1 z_2$

15)$\dfrac{z_1}{z_2}$

Resposta: $4\mathrm{cis}(21^{\circ})$

16)$(z_2)^3$

17)$\sqrt{z_1}$

Responda: $2\sqrt{2}\mathrm{cis}(18^{\circ}), 2\sqrt{2}\mathrm{cis}(198^{\circ})$

18) Faça um gráfico do número complexo$-5-i$ no plano complexo.

19) Elimine o parâmetro$t$ para reescrever as seguintes equações paramétricas como uma equação cartesiana:$\begin{cases} & x(t)= t+1\\ & y(t)= 2t^2 \end{cases}$

Responda: $y=2(x-1)^2$

20) Parametrize (escreva uma equação paramétrica para) a seguinte equação cartesiana usando$x(t)=a\cos t$ e$y(t)=b\sin t : \dfrac{x^2}{36}+\dfrac{y^2}{100}=1$

21) Faça um gráfico do conjunto de equações paramétricas e encontre a equação cartesiana:$\begin{cases} & x(t)= -2\sin t\\ & y(t)= 5\cos t \end{cases}$

Responda: $Ex. 8rp.21.png$

22) Uma bola é lançada com uma velocidade inicial de$95$ pés por segundo em um ângulo em relação$52^{\circ}$ à horizontal. A bola é lançada a uma altura de$3.5$ pés acima do solo.

Onde está a bola depois de$2$ alguns segundos?
Quanto tempo a bola está no ar?

Para os exercícios 23-26, use os vetores$\vecs u = \hat{\mathbf{i}} − 3\hat{\mathbf{j}}$$\vecs v = 2\hat{\mathbf{i}} + 3\hat{\mathbf{j}}$ e.

23) Encontre$2\vecs u − 3\vecs v$.

Responda: $-4\hat{\mathbf{i}}-15\hat{\mathbf{j}}$

24) Calcule$\vecs u\cdot \vecs v$.

25) Encontre um vetor unitário na mesma direção que$\vecs v$.

Responda: $\dfrac{2\sqrt{3}}{13}\hat{\mathbf{i}}+\dfrac{3\sqrt{3}}{13}\hat{\mathbf{j}}$

26) Dado$\vecs v$ que o vetor tem um ponto inicial$P_1=(2,2)$ e um ponto terminal$P_2=(-1,0)$, escreva o vetor$\vecs u\cdot \vecs v$.

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