8.8: Vetores

objetivos de aprendizagem

• Visualize vetores geometricamente.
• Encontre magnitude e direção.
• Execute adição vetorial e multiplicação escalar.
• Encontre a forma do componente de um vetor.
• Encontre o vetor unitário na direção de$v$.
• Execute operações com vetores em termos de$i$$j$ e.
• Encontre o produto escalar de dois vetores.

Um avião está voando a uma velocidade aérea de$200$ milhas por hora em direção a um rumo SE de$140°$. Um vento norte (de norte a sul) está soprando$16.2$ a milhas por hora, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{1}$. Quais são a velocidade do solo e o rumo real do avião?

Figura$\PageIndex{1}$

A velocidade do solo se refere à velocidade de um avião em relação ao solo. A velocidade do ar se refere à velocidade que um avião pode viajar em relação à massa de ar circundante. Essas duas quantidades não são as mesmas por causa do efeito do vento. Em uma seção anterior, usamos triângulos para resolver um problema semelhante envolvendo o movimento de barcos. Mais adiante nesta seção, encontraremos a velocidade do solo e o rumo do avião, enquanto investigamos outra abordagem para problemas desse tipo. Primeiro, porém, vamos examinar os fundamentos dos vetores.

Uma visão geométrica dos vetores

Um vetor é uma quantidade específica desenhada como um segmento de linha com uma ponta de seta em uma extremidade. Tem um ponto inicial, onde começa, e um ponto terminal, onde termina. Um vetor é definido por sua magnitude, ou o comprimento da linha, e sua direção, indicada por uma ponta de seta no ponto terminal. Assim, um vetor é um segmento de linha direcionado. Existem vários símbolos que distinguem vetores de outras quantidades:

• Letras minúsculas, em negrito, com ou sem uma seta na parte superior $u$, como$w$,$\overrightarrow{v}$,$\overrightarrow{u}$,$\overrightarrow{w}$.
• Dado o ponto inicial$P$ e o ponto terminal$Q$, um vetor pode ser representado como$\overrightarrow{PQ}$. A ponta da seta na parte superior é o que indica que não é apenas uma linha, mas um segmento de linha direcionado.
• Dado um ponto inicial$(0,0)$ e um ponto terminal$(a,b)$, um vetor pode ser representado como$⟨a,b⟩$.

Este último símbolo$⟨a,b⟩$ tem um significado especial. É chamada de posição padrão. O vetor de posição tem um ponto inicial$(0,0)$ e um ponto terminal$⟨a,b⟩$. Para transformar qualquer vetor no vetor de posição, pensamos na mudança nas coordenadas x e na mudança nas coordenadas y. Assim, se o ponto inicial de um vetor$\overrightarrow{CD}$ for$C(x_1,y_1)$ e o ponto terminal for$D(x_2,y_2)$, o vetor de posição será encontrado calculando

$$\begin{align*} \overrightarrow{AB} &= ⟨x_2−x_1,y_2−y_1⟩ \\[4pt] &= ⟨a,b⟩ \end{align*}$$

Na Figura$\PageIndex{2}$, vemos o vetor original$\overrightarrow{CD}$ e o vetor de posição$\overrightarrow{AB}$.

Figura$\PageIndex{2}$

PROPRIEDADES DOS VETORES

Um vetor é um segmento de linha direcionado com um ponto inicial e um ponto terminal. Os vetores são identificados pela magnitude, ou pelo comprimento da linha e pela direção, representados pela ponta da seta apontando para o ponto terminal. O vetor de posição tem um ponto inicial em$(0,0)$ e é identificado por seu ponto terminal$⟨a,b⟩$.

Exemplo$\PageIndex{1A}$: Find the Position Vector

Considere o vetor cujo ponto inicial é$P(2,3)$ e o ponto terminal é$Q(6,4)$. Encontre o vetor de posição.

Solução

O vetor de posição é encontrado subtraindo uma$x$ coordenada$x$ -da outra coordenada$y$ -e uma coordenada$y$ -da outra coordenada. Assim

$$\begin{align*} v &= ⟨6−2,4−3⟩ \\[4pt] &=⟨4,1⟩ \end{align*}$$

O vetor de posição começa em$(0,0)$ e termina em$(4,1)$. Os gráficos de ambos os vetores são mostrados na Figura$\PageIndex{3}$.

Figura$\PageIndex{3}$

Vemos que o vetor de posição é$⟨4,1⟩$.

Exemplo$\PageIndex{1B}$: Drawing a Vector with the Given Criteria and Its Equivalent Position Vector

Encontre o vetor de posição, dado que o vetor$v$ tem um ponto inicial em$(−3,2)$ e um ponto terminal em e$(4,5)$, em seguida, represente graficamente os dois vetores no mesmo plano.

Solução

O vetor de posição é encontrado usando o seguinte cálculo:

$$\begin{align*} v &= ⟨4−(−3),5−2⟩ \\[4pt] &= ⟨7,3⟩ \end{align*}$$

Assim, o vetor de posição começa em$(0,0)$ e termina em$(7,3)$. Veja a Figura$\PageIndex{4}$.

Figura$\PageIndex{4}$

Exercício$\PageIndex{1}$

Desenhe um vetor$\vec{v}$ que se conecte da origem ao ponto$(3,5)$.

Responda

Figura$\PageIndex{5}$

Encontrando magnitude e direção

Para trabalhar com um vetor, precisamos ser capazes de encontrar sua magnitude e sua direção. Encontramos sua magnitude usando o Teorema de Pitágoras ou a fórmula da distância e encontramos sua direção usando a função tangente inversa.

MAGNITUDE E DIREÇÃO DE UM VETOR

Dado um vetor de posição$\vec{v}=⟨a,b⟩$, a magnitude é encontrada por$| v |=\sqrt{a^2+b^2}$ .A direção é igual ao ângulo formado com o$x$ eixo -ou com o$y$ eixo -, dependendo da aplicação. Para um vetor de posição, a direção é encontrada por$\tan \theta=\left(\dfrac{b}{a}\right)⇒\theta={\tan}^{−1}\left(\dfrac{b}{a}\right)$, conforme ilustrado na Figura$\PageIndex{6}$.

Figura$\PageIndex{6}$

Dois vetores$\vec{v}$ e$\vec{u}$ são considerados iguais se tiverem a mesma magnitude e a mesma direção. Além disso, se os dois vetores tiverem o mesmo vetor de posição, eles serão iguais.

Exemplo$\PageIndex{2A}$: Finding the Magnitude and Direction of a Vector

Encontre a magnitude e a direção do vetor com o ponto inicial$P(−8,1)$ e o ponto terminal$Q(−2,−5)$. Desenhe o vetor.

Solução

Primeiro, encontre o vetor de posição.

$$\begin{align*} u &= ⟨−2,−(−8),−5−1⟩ \\[4pt] &= ⟨6,−6⟩ \end{align*}$$

Usamos o Teorema de Pitágoras para encontrar a magnitude.

$$\begin{align*} |u| &= \sqrt{{(6)}^2+{(−6)}^2} \\[4pt] &= \sqrt{72} \\[4pt] &=\sqrt{62} \end{align*}$$

A direção é dada como

$$\begin{align*} \tan \theta & =\dfrac{−6}{6}=−1\rightarrow \theta={\tan}^{−1}(−1) \\[4pt] &= −45° \end{align*}$$

No entanto, o ângulo termina no quarto quadrante, então adicionamos$360°$ para obter um ângulo positivo. Assim,$−45°+360°=315°$. Veja a Figura$\PageIndex{7}$.

Figura$\PageIndex{7}$

Exemplo$\PageIndex{2B}$: Showing That Two Vectors Are Equal

Mostre que o vetor$\vec{v}$ com ponto inicial em$(5,−3)$ e ponto terminal em$(−1,2)$ é igual ao vetor$\vec{u}$ com ponto inicial em$(−1,−3)$ e ponto terminal em$(−7,2)$. Desenhe o vetor de posição na mesma grade que$\vec{v}$$\vec{u}$ e. Em seguida, encontre a magnitude e a direção de cada vetor.

Solução

Conforme mostrado na Figura$\PageIndex{8}$, desenhe o vetor$\vec{v}$ começando no ponto inicial$(5,−3)$ e terminal$(−1,2)$. Desenhe o vetor$\vec{u}$ com o ponto inicial$(−1,−3)$ e o ponto terminal$(−7,2)$. Encontre a posição padrão para cada um.

Em seguida, encontre e desenhe o vetor de posição para$\vec{v}$$\vec{u}$ e. Nós temos

$$\begin{align*} v &= ⟨−1−5,2−(−3)⟩ \\[4pt] &= ⟨−6,5⟩u \\[4pt] &= ⟨−7−(−1),2−(−3)⟩ \\[4pt] & =⟨−6,5⟩ \end{align*}$$

Uma vez que os vetores de posição são os mesmos$\vec{v}$ e$\vec{u}$ são os mesmos.

Uma forma alternativa de verificar a igualdade vetorial é mostrar que a magnitude e a direção são as mesmas para os dois vetores. Para mostrar que as magnitudes são iguais, use o Teorema de Pitágoras.

$$\begin{align*} |v| &= \sqrt{{(−1−5)}^2+{(2−(−3))}^2} \\[4pt] &= \sqrt{{(−6)}^2+{(5)}^2} \\[4pt] &= \sqrt{36+25} \\[4pt] &= \sqrt{61} \\[4pt] |u| &= \sqrt{{(−7−(−1))}^2+{(2−(−3))}^2} \\[4pt] &=\sqrt{{(−6)}^2+{(5)}^2} \\[4pt] &= \sqrt{36+25} \\[4pt] &= \sqrt{61} \end{align*}$$

Como as magnitudes são iguais, agora precisamos verificar a direção. O uso da função tangente com o vetor de posição fornece

$$\begin{align*} \tan \theta &= −\dfrac{5}{6}⇒\theta={\tan}^{−1}\left(−\dfrac{5}{6}\right) \\[4pt] & = −39.8° \end{align*}$$

No entanto, podemos ver que o vetor de posição termina no segundo quadrante, então adicionamos$180°$. Assim, a direção é$−39.8°+180°=140.2°$.

Figura$\PageIndex{8}$

Executando adição vetorial e multiplicação escalar

Agora que entendemos as propriedades dos vetores, podemos realizar operações envolvendo eles. Embora seja conveniente pensar no vetor$u=⟨x,y⟩$ como uma seta ou um segmento de linha direcionado da origem ao ponto$(x,y)$, os vetores podem estar situados em qualquer lugar do plano. A soma de dois vetores$\vec{u}$ e$\vec{v}$, ou adição de vetor, produz um terceiro vetor$\overrightarrow{u+ v}$, o vetor resultante.

Para encontrar$\overrightarrow{u + v}$, primeiro desenhamos o vetor e$\vec{u}$, a partir da extremidade terminal de$\vec{u}$, desenhamos o vetor$\vec{v}$. Em outras palavras, temos o ponto inicial de$\vec{v}$ encontrar a extremidade terminal de$\vec{u}$. Essa posição corresponde à noção de que nos movemos ao longo do primeiro vetor e, a partir de seu ponto terminal, nos movemos ao longo do segundo vetor. A soma$\overrightarrow{u + v}$ é o vetor resultante porque resulta da adição ou subtração de dois vetores. O vetor resultante viaja diretamente do início$\vec{u}$ ao fim de$\vec{v}$ em um caminho reto, conforme mostrado na Figura$\PageIndex{9}$.

Figura$\PageIndex{9}$

A subtração vetorial é semelhante à adição vetorial. Para encontrar$\overrightarrow{u − v}$, veja como$\overrightarrow{u + (−v)}$. Adicionar$\overrightarrow{−v}$ é inverter a direção de$\vec{v}$ e adicioná-la ao final de$\vec{u}$. O novo vetor começa no início de$\vec{u}$ e para no ponto final de$\overrightarrow{−v}$. Veja a Figura$\PageIndex{10}$ para obter um visual que compara a adição e a subtração vetorial usando paralelogramos.

Figura$\PageIndex{10}$

Exemplo$\PageIndex{3}$: Adding and Subtracting Vectors

Dado$u=⟨3,−2⟩$ e$v=⟨−1,4⟩$, encontre dois novos vetores$\overrightarrow{u + v}$,$\overrightarrow{u − v}$ e.

Solução

Para encontrar a soma de dois vetores, adicionamos os componentes. Assim,

$$\begin{align*} u+v &= ⟨3,−2⟩+⟨−1,4⟩ \\[4pt] &= ⟨3+(−1),−2+4⟩ \\[4pt] &=⟨2,2⟩ \end{align*}$$

Veja a Figura$\PageIndex{11a}$.

Para encontrar a diferença de dois vetores, adicione os componentes negativos$\vec{v}$ de$\vec{u}$ a. Assim,

$$\begin{align*}u+(−v) &=⟨3,−2⟩+⟨1,−4⟩ \\[4pt] &= ⟨3+1,−2+(−4)⟩ \\[4pt] &= ⟨4,−6⟩ \end{align*}$$

Veja a Figura$\PageIndex{11b}$.

Figura$\PageIndex{11}$: (a) Soma de dois vetores (b) Diferença de dois vetores

Multiplicação por um escalar

Enquanto adicionar e subtrair vetores nos dá um novo vetor com uma magnitude e direção diferentes, o processo de multiplicar um vetor por um escalar, uma constante, altera apenas a magnitude do vetor ou o comprimento da linha. A multiplicação escalar não tem efeito na direção, a menos que o escalar seja negativo. Nesse caso, a direção do vetor resultante é oposta à direção do vetor original.

MULTIPLICAÇÃO ESCALAR

A multiplicação escalar envolve o produto de um vetor e um escalar. Cada componente do vetor é multiplicado pelo escalar. Assim, para multiplicar$v=⟨a,b⟩$ por$k$, temos

$kv=⟨ka,kb⟩$

Somente a magnitude muda, a menos que$k$ seja negativa, e então o vetor inverte a direção.

Exemplo$\PageIndex{4}$: Performing Scalar Multiplication

Dado vetor $\vec{v}=⟨3,1⟩$$3\vec{v}$, encontre$\dfrac{1}{2}$,$\vec{−v}$ e.

Solução

Veja a Figura$\PageIndex{12}$ para uma interpretação geométrica. Se$\vec{v}=⟨3,1⟩$, então

$$\begin{align*} 3v &= ⟨3⋅3,3⋅1⟩ \\[4pt] &= ⟨9,3⟩ \\[4pt] \dfrac{1}{2}v &= ⟨\dfrac{1}{2}⋅3,\dfrac{1}{2}⋅1⟩ \\[4pt] &=⟨\dfrac{3}{2},\dfrac{1}{2}⟩ \\[4pt] −v &=⟨−3,−1⟩ \end{align*}$$

Figura$\PageIndex{12}$

Análise

Observe que o vetor$3\vec{v}$ tem três vezes o comprimento de$\vec{v}$,$\dfrac{1}{2}\vec{v}$ é metade do$\vec{v}$ comprimento e$\overrightarrow{–v}$ tem o mesmo comprimento de$\vec{v}$, mas na direção oposta.

Exercício$\PageIndex{2}$

Encontre o múltiplo escalar$3u$ fornecido$\vec{u}=⟨5,4⟩$.

Responda

$3u=⟨15,12⟩$

Exemplo$\PageIndex{5}$

Encontre uma equação linear para resolver as seguintes quantidades desconhecidas: Um número excede outro número em$17$ e sua soma é$31$. Encontre os dois números.

Solução

Primeiro, devemos multiplicar cada vetor pelo escalar.

$$\begin{align*} 3u &= 3⟨3,−2⟩ \\[4pt] &= ⟨9,−6⟩ \\[4pt] 2v &= 2⟨−1,4⟩ \\[4pt] &= ⟨−2,8⟩ \end{align*}$$

Em seguida, adicione os dois.

$$\begin{align*} w &= 3u+2v \\[4pt] &=⟨9,−6⟩+⟨−2,8⟩ \\[4pt] &= ⟨9−2,−6+8⟩ \\[4pt] &= ⟨7,2⟩ \end{align*}$$

Então,$w=⟨7,2⟩$.

Encontrando o formulário de componente

Em algumas aplicações que envolvem vetores, é útil poder dividir um vetor em seus componentes. Os vetores são compostos por dois componentes: o componente horizontal é a$x$ direção e o componente vertical é a$y$ direção. Por exemplo, podemos ver no gráfico da Figura$\PageIndex{13}$ que o vetor de posição$⟨2,3⟩$ vem da adição dos vetores$v_1$$v_2$ e. Temos$v_2$ com ponto inicial$(0,0)$ e ponto terminal$(2,0)$.

$$\begin{align*} v_1 &= ⟨2−0,0−0⟩ \\[4pt] &= ⟨2,0⟩ \end{align*}$$

Também temos$v_2$ com ponto inicial$(0,0)$ e ponto terminal$(0, 3)$.

$$\begin{align*} v_2 &= ⟨0−0,3−0⟩ \\[4pt] &= ⟨0,3⟩ \end{align*}$$

Portanto, o vetor de posição é

$$\begin{align*} v &= ⟨2+0,3+0⟩ \\[4pt] &= ⟨2,3⟩ \end{align*}$$

Usando o Teorema de Pitágoras, a magnitude de$v_1$ é$2$ e a magnitude de$v_2$ é$3$. Para encontrar a magnitude de$v$, use a fórmula com o vetor de posição.

$$\begin{align*} |v| &= \sqrt{{|v_1|}^2+{|v_2|}^2} \\[4pt] &= \sqrt{2^2+3^2} \\[4pt] &= \sqrt{13} \end{align*}$$

A magnitude de$v$ é$\sqrt{13}$. Para encontrar a direção, usamos a função tangente$\tan \theta=\dfrac{y}{x}$.

$$\begin{align*} \tan \theta &= \dfrac{v_2}{v_1} \\[4pt] \tan \theta &= \dfrac{3}{2} \\[4pt] \theta &={\tan}^{−1}\left(\dfrac{3}{2}\right)=56.3° \end{align*}$$

Figura$\PageIndex{13}$

Assim, a magnitude de$\vec{v}$ é$\sqrt{13}$ e a direção estão$56.3^{\circ}$ fora da horizontal.

Exemplo$\PageIndex{6}$: Finding the Components of the Vector

Encontre os componentes do vetor $\vec{v}$com o ponto inicial$(3,2)$ e o ponto terminal$(7,4)$.

Solução

Primeiro encontre a posição padrão.

$$\begin{align*} v &= ⟨7−3,4−2⟩ \\[4pt] &= ⟨4,2⟩ \end{align*}$$

Veja a ilustração na Figura$\PageIndex{14}$.

Figura$\PageIndex{14}$

O componente horizontal é$\vec{v_1}=⟨4,0⟩$ e o componente vertical é$\vec{v_2}=⟨0,2⟩$.

Encontrando o vetor unitário na direção de$v$

Além de encontrar os componentes de um vetor, também é útil na solução de problemas encontrar um vetor na mesma direção de um determinado vetor, mas de magnitude$1$. Chamamos um vetor com a magnitude de$1$ um vetor unitário. Podemos então preservar a direção do vetor original e, ao mesmo tempo, simplificar os cálculos.

Os vetores unitários são definidos em termos de componentes. O vetor unitário horizontal é escrito como$\vec{i}=⟨1,0⟩$ e é direcionado ao longo do eixo horizontal positivo. O vetor unitário vertical é escrito como$\vec{j}=⟨0,1⟩$ e é direcionado ao longo do eixo vertical positivo. Veja a Figura$\PageIndex{15}$.

Figura$\PageIndex{15}$

OS VETORES UNITÁRIOS

Se $\vec{v}$for um vetor diferente de zero, então$\dfrac{v}{| v |}$ é um vetor unitário na direção de $v$. Qualquer vetor dividido por sua magnitude é um vetor unitário. Observe que a magnitude é sempre um escalar, e dividir por um escalar é o mesmo que multiplicar pelo inverso do escalar.

Exemplo$\PageIndex{7}$: Finding the Unit Vector in the Direction of $v$

Encontre um vetor unitário na mesma direção que$v=⟨−5,12⟩$.

Solução

Primeiro, descobriremos a magnitude.

$$\begin{align*} |v| &= \sqrt{{(−5)}^2+{(12)}^2} \\[4pt] &= \sqrt{25+144} \\[4pt] &=\sqrt{169} \\[4pt] &= 13 \end{align*}$$

Em seguida, dividimos cada componente por$| v |$, o que fornece um vetor unitário na mesma direção que$\vec{v}$:

$\dfrac{v}{| v |} = −\dfrac{5}{13}i+\dfrac{12}{13}j$

ou, em forma de componente

$\dfrac{v}{| v |}= \left \langle -\dfrac{5}{13},\dfrac{12}{13} \right \rangle$

Veja a Figura$\PageIndex{16}$.

Figura$\PageIndex{16}$

Verifique se a magnitude do vetor unitário é igual$1$. A magnitude de$−\dfrac{5}{13}i+\dfrac{12}{13}j$ é dada como

$$\begin{align*} \sqrt{ {\left(−\dfrac{5}{13}\right)}^2+{ \left(\dfrac{12}{13}\right) }^2 } &= \sqrt{\dfrac{25}{169}+\dfrac{144}{169}} \\[4pt] &= \sqrt{\dfrac{169}{169}}\\ &=1 \end{align*}$$

O vetor$u=\dfrac{5}{13}i+\dfrac{12}{13}j$ é o vetor unitário na mesma direção que$v=⟨−5,12⟩$.

Executando operações com vetores em termos de$i$ e$j$

Até agora, investigamos os fundamentos dos vetores: magnitude e direção, adição e subtração de vetores, multiplicação escalar, os componentes dos vetores e a representação de vetores geometricamente. Agora que estamos familiarizados com as estratégias gerais usadas no trabalho com vetores, representaremos vetores em coordenadas retangulares em termos de$i$$j$ e.

VETORES NO PLANO RETANGULAR

Dado um vetor$\vec{v}$ com ponto inicial$P=(x_1,y_1)$ e ponto terminal$Q=(x_2,y_2)$,$\vec{v}$ é escrito como

$$v=(x_2−x_1)i+(y_1−y_2)j$$

O vetor de posição de$(0,0)$ para$(a,b)$, onde$(x_2−x_1)=a$ e$(y_2−y_1)=b$, é escrito como$\vec{v} = \vec{ai}+ \vec{bj}$. Essa soma vetorial é chamada de combinação linear dos vetores$\vec{i}$$\vec{j}$ e.

A magnitude de$\vec{v} = \overrightarrow{ai} + \overrightarrow{bj}$ é dada como$| v |=\sqrt{a^2+b^2}$. Veja a Figura$\PageIndex{17}$.

Figura$\PageIndex{17}$

Exemplo$\PageIndex{8A}$: Writing a Vector in Terms of $i$ and $j$

Dado um vetor$\vec{v}$ com ponto inicial$P=(2,−6)$ e ponto terminal$Q=(−6,6)$, escreva o vetor em termos de$\vec{i}$$\vec{j}$ e.

Solução

Comece escrevendo a forma geral do vetor. Em seguida, substitua as coordenadas pelos valores fornecidos.

$$\begin{align*} v &= (x_2−x_1)i+(y_2−y_1)j \\[4pt] &=(−6−2)i+(6−(−6))j \\[4pt] &= −8i+12j \end{align*}$$

Exemplo$\PageIndex{8B}$: Writing a Vector in Terms of $i$ and $j$ Using Initial and Terminal Points

Dado o ponto inicial$P_1=(−1,3)$ e o ponto terminal$P_2=(2,7)$, escreva o vetor$\vec{v}$ em termos de$\vec{i}$$\vec{j}$ e.

Solução

Comece escrevendo a forma geral do vetor. Em seguida, substitua as coordenadas pelos valores fornecidos.

$$\begin{align*} v &= (x_2−x_1)i+(y_2−y_1)j \\[4pt] v &= (2−(−1))i+(7−3)j \\[4pt] &= 3i+4j \end{align*}$$

Exercício$\PageIndex{3}$

Escreva o vetor$\vec{u}$ com o ponto inicial$P=(−1,6)$ e o ponto terminal$Q=(7,−5)$ em termos de$\vec{i}$$\vec{j}$ e.

Responda

$u=8i−11j$

Executando operações em vetores em termos de$i$ e$j$

Quando os vetores são escritos em termos de$i$ e$j$, podemos realizar adição, subtração e multiplicação escalar executando operações nos componentes correspondentes.

ADICIONANDO E SUBTRAINDO VETORES EM COORDENADAS RETANGULARES

Dado$v = ai + bj$ e$u = ci + dj$, em seguida,

$$\begin{align*} v+u &= (a+c)i+(b+d)j \\[4pt] v−u &= (a−c)i+(b−d)j \end{align*}$$

Exemplo$\PageIndex{9}$: Finding the Sum of the Vectors

Encontre a soma de$v_1=2i−3j$$v_2=4i+5j$ e.

Solução

$$\begin{align*} v_1+v_2 &= (2+4)i+(−3+5)j \\[4pt] &= 6i+2j \end{align*}$$

Calculando a forma do componente de um vetor: direção

Vimos como desenhar vetores de acordo com seus pontos iniciais e terminais e como encontrar o vetor de posição. Também examinamos a notação de vetores desenhados especificamente no plano de coordenadas cartesianas usando$i$$j$ e. Para qualquer um desses vetores, podemos calcular a magnitude. Agora, queremos combinar os pontos-chave e analisar mais detalhadamente as ideias de magnitude e direção.

O cálculo da direção segue o mesmo processo simples que usamos para coordenadas polares. Encontramos a direção do vetor encontrando o ângulo em relação à horizontal. Fazemos isso usando as identidades trigonométricas básicas, mas com a$| v |$ substituição$r$.

COMPONENTES VETORIAIS EM TERMOS DE MAGNITUDE E DIREÇÃO

Dado um vetor de posição$v=⟨x,y⟩$ e um ângulo de direção$\theta$,

$$\begin{align*} \cos \theta &= \dfrac{x}{|v|} \text{ and } \sin \theta=y|v| \\[4pt] x &= |v| \cos \theta \\[4pt] y &= |v| \sin \theta \end{align*}$$

Assim,$v=xi+yj=| v | \cos \theta i+| v | \sin \theta j$, e a magnitude é expressa como$| v |=\sqrt{x^2+y^2}$.

Exemplo$\PageIndex{10}$: Writing a Vector in Terms of Magnitude and Direction

Escreva um vetor com comprimento$7$ em um ângulo de em relação$135°$ ao eixo x positivo em termos de magnitude e direção.

Solução

Usando as fórmulas de conversão$x=| v | \cos \theta i$ e$y=| v | \sin \theta j$, descobrimos que

$$\begin{align*} x &= 7\cos(135°)i \\[4pt] &= −\dfrac{7\sqrt{2}}{2} \\[4pt] y &=7 \sin(135°)j \\[4pt] &= \dfrac{7\sqrt{2}}{2} \end{align*}$$

Esse vetor pode ser escrito$v=7\cos(135°)i+7\sin(135°)j$ ou simplificado como

$v=−\dfrac{7\sqrt{2}}{2}i+\dfrac{7\sqrt{2}}{2}j$

Exercício$\PageIndex{4}$

Um vetor viaja da origem até o ponto$(3,5)$. Escreva o vetor em termos de magnitude e direção.

Responda

$v=\sqrt{34}\cos(59°)i+\sqrt{34}\sin(59°)j$

Magnitude =$34$

$\theta={\tan}^{−1}\left(\dfrac{5}{3}\right)=59.04°$

Encontrando o produto escalar de dois vetores

Como discutimos anteriormente na seção, a multiplicação escalar envolve a multiplicação de um vetor por um escalar, e o resultado é um vetor. Como vimos, multiplicar um vetor por um número é chamado de multiplicação escalar. Se multiplicarmos um vetor por um vetor, há duas possibilidades: o produto escalar e o produto cruzado. Examinaremos apenas o produto escalar aqui; você pode encontrar o produto cruzado em cursos de matemática mais avançados.

O produto escalar de dois vetores envolve a multiplicação de dois vetores juntos, e o resultado é um escalar.

PRODUTO DOT

O produto escalar de dois vetores$v=⟨a,b⟩$ e$u=⟨c,d⟩$ é a soma do produto dos componentes horizontais e do produto dos componentes verticais.

$$v⋅u=ac+bd$$

Para encontrar o ângulo entre os dois vetores, use a fórmula abaixo.

$$\cos \theta=\dfrac{v}{| v |}⋅\dfrac{u}{| u |}$$

Exemplo$\PageIndex{11A}$: Finding the Dot Product of Two Vectors

Encontre o produto escalar de$v=⟨5,12⟩$$u=⟨−3,4⟩$ e.

Solução

Usando a fórmula, temos

$$\begin{align*} v⋅u &= ⟨5,12⟩⋅⟨−3,4⟩ \\[4pt] &= 5⋅(−3)+12⋅4 \\[4pt] &= −15+48 \\[4pt] &= 33 \end{align*}$$

Exemplo$\PageIndex{11B}$: Finding the Dot Product of Two Vectors and the Angle between Them

Encontre o produto escalar de$v_1 = 5i + 2j$$v_2 = 3i + 7j$ e. Em seguida, encontre o ângulo entre os dois vetores.

Solução

Encontrando o produto escalar, multiplicamos os componentes correspondentes.

$$\begin{align*} v_1⋅v_2 &= ⟨5,2⟩⋅⟨3,7⟩ \\[4pt] &= 5⋅3+2⋅7 \\[4pt] &= 15+14 \\[4pt] &= 29 \end{align*}$$

Para encontrar o ângulo entre eles, usamos a fórmula$\cos \theta=\dfrac{v}{|v|}⋅\dfrac{u}{|u|}$.

$$\begin{align*} \dfrac{v}{|v|}\cdot \dfrac{u}{|u|} &= \left \langle \dfrac{5}{\sqrt{29}}+\dfrac{2}{\sqrt{29}} \right \rangle \cdot \left \langle \dfrac{3}{\sqrt{58}}+\dfrac{7}{\sqrt{58}} \right \rangle \\[4pt] &=\dfrac{5}{\sqrt{29}}\cdot \dfrac{3}{\sqrt{58}}+\dfrac{2}{\sqrt{29}}\cdot \dfrac{7}{\sqrt{58}} \\[4pt] &= \dfrac{15}{\sqrt{1682}}+\dfrac{14}{\sqrt{1682}}\\ &=\dfrac{29}{\sqrt{1682}} \\[4pt] &= 0.707107 \\[4pt] {\cos}^{-1}(0.707107) &= 45° \end{align*}$$

Veja a Figura$\PageIndex{18}$.

Figura$\PageIndex{18}$

Exemplo$\PageIndex{11C}$: Finding the Angle between Two Vectors

Encontre o ângulo entre$u=⟨−3,4⟩$$v=⟨5,12⟩$ e.

Solução

Usando a fórmula, temos

$$\begin{align*} \theta &= {\cos}^{−1}\left(\dfrac{u}{|u|}⋅\dfrac{v}{|v|}\right) \\[4pt] \left(\dfrac{u}{|u|}⋅\dfrac{v}{|v|}\right) &= \dfrac{−3i+4j}{5}⋅\dfrac{5i+12j}{13} \\[4pt] &= \left(− \dfrac{3}{5}⋅ \dfrac{5}{13}\right)+\left(\dfrac{4}{5}⋅ \dfrac{12}{13}\right) \\[4pt] &= −\dfrac{15}{65}+\dfrac{48}{65} \\[4pt] &= \dfrac{33}{65} \\[4pt] \theta &= {\cos}^{−1}\left(\dfrac{33}{65}\right) \\[4pt] &= 59.5^{\circ} \end{align*}$$

Veja a Figura$\PageIndex{19}$.

Figura$\PageIndex{19}$

Exemplo$\PageIndex{11D}$: Finding Ground Speed and Bearing Using Vectors

Agora temos as ferramentas para resolver o problema que apresentamos na abertura da seção.

Um avião está voando a uma velocidade aérea de$200$ milhas por hora em direção a um rumo SE de$140°$. Um vento norte (de norte a sul) está soprando a$16.2$ milhas por hora. Quais são a velocidade do solo e o rumo real do avião? Veja a Figura$\PageIndex{20}$.

Figura$\PageIndex{20}$

Solução

A velocidade do solo é representada$x$ no diagrama, e precisamos encontrar o ângulo$\alpha$ para calcular o rolamento ajustado, que será$140°+\alpha$.

Observe na Figura$\PageIndex{20}$ que esse ângulo$\angle BCO$ deve ser igual ao ângulo$\angle AOC$ pela regra de ângulos internos alternados, então o ângulo$\angle BCO$ é 140°. Podemos encontrar$x$ pela Lei dos Cossenos:

$$\begin{align*} x^2 &= {(16.2)}^2+{(200)}^2−2(16.2)(200) \cos(140°) \\[4pt] x^2 &= 45,226.41 \\[4pt] x &= \sqrt{45,226.41} \\[4pt] x &= 212.7 \end{align*}$$

A velocidade do solo é de aproximadamente$213$ milhas por hora. Agora podemos calcular o rumo usando a Lei de Sines.

$$\begin{align*} \dfrac{\sin \alpha}{16.2} &= \dfrac{\sin(140°)}{212.7} \\[4pt] \sin \alpha &= \dfrac{16.2 \sin(140°)}{212.7} \\[4pt] &=0.04896 \\[4pt] {\sin}^{−1}(0.04896) &= 2.8° \end{align*}$$

Portanto, o avião tem um rolamento SE de$140°+2.8°=142.8°$. A velocidade do solo é de$212.7$ milhas por hora.

Mídia: acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com vetores.

• Introdução aos vetores
• Operações vetoriais
• O vetor unitário

Conceitos-chave

• O vetor de posição tem seu ponto inicial na origem. Veja o exemplo$\PageIndex{1}$.
• Se o vetor de posição for o mesmo para dois vetores, eles serão iguais. Veja o exemplo$\PageIndex{2}$.
• Os vetores são definidos por sua magnitude e direção. Veja o exemplo$\PageIndex{3}$.
• Se dois vetores tiverem a mesma magnitude e direção, eles serão iguais. Veja o exemplo$\PageIndex{4}$.
• A adição e a subtração de vetores resultam em um novo vetor encontrado pela adição ou subtração dos elementos correspondentes. Veja o exemplo$\PageIndex{5}$.
• A multiplicação escalar é multiplicar um vetor por uma constante. Somente a magnitude muda; a direção permanece a mesma. Veja o exemplo$\PageIndex{6}$ e o exemplo$\PageIndex{7}$.
• Os vetores são compostos por dois componentes: o componente horizontal ao longo do$x$ eixo positivo e o componente vertical ao longo do$y$ eixo positivo. Veja o exemplo$\PageIndex{8}$.
• O vetor unitário na mesma direção de qualquer vetor diferente de zero é encontrado dividindo o vetor por sua magnitude.
• A magnitude de um vetor no sistema de coordenadas retangulares é$| v |=\sqrt{a^2+b^2}$. Veja o exemplo$\PageIndex{9}$.
• No sistema de coordenadas retangulares, os vetores unitários podem ser representados em termos de$ii$ e$jj$ onde$i$ representa o componente horizontal e$j$ representa o componente vertical. Então,$v = ai + bj$ é um múltiplo escalar de$v$ por números reais$a$$b$ e. Veja o exemplo$\PageIndex{10}$ e o exemplo$\PageIndex{11}$.
• Adicionar e subtrair vetores em termos de$i$ e$j$ consiste em somar ou subtrair coeficientes correspondentes$i$ e coeficientes correspondentes de$j$. Veja o exemplo$\PageIndex{12}$.
• Um vetor$v = ai + bj$ é escrito em termos de magnitude e direção como$v=| v |\cos \theta i+| v |\sin \theta j$. Veja o exemplo$\PageIndex{13}$.
• O produto escalar de dois vetores é o produto dos$i$ termos mais o produto dos$j$ termos. Veja o exemplo$\PageIndex{14}$.
• Podemos usar o produto escalar para encontrar o ângulo entre dois vetores. Exemplo$\PageIndex{15}$ e exemplo$\PageIndex{16}$.
• Os produtos Dot são úteis para muitos tipos de aplicações físicas. Veja o exemplo$\PageIndex{17}$.

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