8.E: Outras aplicações da trigonometria (exercícios)
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8.1: Triângulos não retos: Lei de Sines
Verbal
1) Descreva a altitude de um triângulo.
- Responda
-
A altitude se estende de qualquer vértice até o lado oposto ou até a linha que contém o lado oposto em um\(90^{\circ}\) ângulo.
2) Compare triângulos retos e triângulos oblíquos.
3) Quando você pode usar a Lei de Sines para encontrar um ângulo ausente?
- Responda
-
Quando os valores conhecidos são o lado oposto ao ângulo ausente e outro lado e seu ângulo oposto.
4) Na Lei de Sines, qual é a relação entre o ângulo no numerador e o lado no denominador?
5) Que tipo de triângulo resulta em um caso ambíguo?
- Responda
-
Um triângulo com dois lados dados e um ângulo não incluído.
Algébrico
Para os exercícios 6-10, suponha que\(\alpha\) seja o lado\(a\) oposto\(b\), o lado oposto e\(\gamma\) o lado oposto\(c\).\(\beta\) Resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
6)\(\alpha =43^{\circ}, \gamma =69^{\circ}, a=20\)
7)\(\alpha =35^{\circ}, \gamma =73^{\circ}, c=20\)
- Responda
-
\(\beta =72^{\circ}, a\approx 12.0, b\approx 19.9\)
8)\(\alpha =60^{\circ}, \beta =60^{\circ}, \gamma =60^{\circ}\)
9)\(a=4, \alpha =60^{\circ}, \beta =100^{\circ}\)
- Responda
-
\(\gamma =20^{\circ}, b\approx 4.5, c\approx 1.6\)
10)\(b=10, \beta =95^{\circ}, \gamma =30^{\circ}\)
11) Encontre um lado\(b\) quando\(A=37^{\circ}, B=49^{\circ}, c=5\)
- Responda
-
\(b\approx 3.78\)
12) Encontre um lado\(a\) quando\(A=132^{\circ}, C=23^{\circ}, b=10\)
13) Encontre um lado\(c\) quando\(B=37^{\circ}, C=21^{\circ}, b=23\)
- Responda
-
\(c\approx 13.70\)
Para os exercícios 14-23, suponha que\(\alpha \) seja o lado\(a\) oposto\(b\), o lado oposto e\(\gamma \) o lado oposto\(c\).\(\beta\) Determine se não há triângulo, um triângulo ou dois triângulos. Em seguida, resolva cada triângulo, se possível. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
14)\(\alpha =119^{\circ}, a=14, b=26\)
15)\(\gamma =113^{\circ}, b=10, c=32\)
- Responda
-
um triângulo,\(\alpha \approx 50.3^{\circ}, \beta \approx 16.7^{\circ}, a\approx 26.7\)
16)\(b=3.5, c=5.3, \gamma =80^{\circ}\)
17)\(a=12, c=17, \alpha =35^{\circ}\)
- Responda
-
dois triângulos,\(\gamma \approx 54.3^{\circ}, \beta \approx 90.7^{\circ}, b\approx 20.9\) ou\(\gamma '\approx 125.7^{\circ}, \beta '\approx 19.3^{\circ}, b'\approx 6.9\)
18)\(a=20.5, b=35.0, \beta =25^{\circ}\)
19)\(a=7, c=9, \alpha =43^{\circ}\)
- Responda
-
dois triângulos,\(\beta \approx 75.7^{\circ}, \gamma \approx 61.3^{\circ}, b\approx 9.9\) ou\(\beta '\approx 18.3^{\circ}, \gamma '\approx 118.7^{\circ}, b'\approx 3.2\)
20)\(a=7, b=3, \beta =24^{\circ}\)
21)\(b=13, c=5, \gamma =10^{\circ}\)
- Responda
-
dois triângulos,\(\alpha \approx 143.2^{\circ}, \beta \approx 26.8^{\circ}, a\approx 17.3\) ou\(\alpha '\approx 16.8^{\circ}, \beta '\approx 153.2^{\circ}, a'\approx 8.3\)
22)\(a=2.3, c=1.8, \gamma =28^{\circ}\)
23)\(\beta =119^{\circ}, b=8.2, a=11.3\)
- Responda
-
nenhum triângulo possível
Para os exercícios 24-26, use a Lei de Sines para resolver, se possível, o lado ou ângulo que falta para cada triângulo ou triângulos no caso ambíguo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
24) Encontre o ângulo\(A\) quando\(a=24, b=5, B=22^{\circ}\)
25) Encontre o ângulo\(A\) quando\(a=13, b=6, B=20^{\circ}\)
- Responda
-
\(A\approx 47.8^{\circ}\)ou\(A'\approx 132.2^{\circ}\)
26) Encontre o ângulo\(B\) quando\(A=12^{\circ}, a=2, b=9\)
Para os exercícios 27-30, encontre a área do triângulo com as medidas dadas. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
27)\(a=5, c=6, \beta =35^{\circ}\)
- Responda
-
\(8.6\)
28)\(b=11, c=8, \alpha =28^{\circ}\)
29)\(a=32, b=24, \gamma =75^{\circ}\)
- Responda
-
\(370.9\)
30)\(a=7.2, b=4.5, \gamma =43^{\circ}\)
Gráfica
Para os exercícios 31-36, encontre o comprimento do lado\(x\). Arredonde para o décimo mais próximo.
31)
- Responda
-
\(12.3\)
32)
33)
- Responda
-
\(12.2\)
34)
(35)
- Responda
-
\(16.0\)
36)
Para os exercícios 37-,42, determine a medida do ângulo\(x\), se possível. Arredonde para o décimo mais próximo.
37)
- Responda
-
\(29.7^{\circ}\)
38)
39)
- Responda
-
\(x=76.9^{\circ}\)ou\(x=103.1^{\circ}\)
40)
41) Observe que\(x\) é um ângulo obtuso.
- Responda
-
\(110.6^{\circ}\)
(42)
Para os exercícios 43-49, encontre a área de cada triângulo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
43)
- Responda
-
\(A\approx 39.4, C\approx 47.6, BC\approx 20.7\)
44)
45)
- Responda
-
\(57.1\)
(46)
47)
- Responda
-
\(42.0\)
48)
49)
- Responda
-
\(430.2\)
Extensões
50) Encontre o raio do círculo na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

51) Encontre o diâmetro do círculo na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(10.1\)
52) Encontre\(m\angle ADC\) na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.

53) Encontre o lado\( AD\) na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(AD\approx 13.8\)
54) Resolva os dois triângulos na Figura abaixo. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

55) Encontre o lado\( AB\) no paralelogramo mostrado abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(AB\approx 2.8\)
56) Resolva o triângulo na Figura abaixo. (Dica: desenhe uma perpendicular\(H\) de\(JK\) a. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.

57) Resolva o triângulo na Figura abaixo. (Dica: desenhe uma perpendicular\(N\) de\(LM\) a. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
- Responda
-
\(L\approx 49.7 ^{\circ} , N\approx 56.3 ^{\circ} , LN\approx 5.8\)
58) Na Figura abaixo, não\(ABCD\) é um paralelogramo. \(\angle m\)é obtuso. Resolva os dois triângulos. Arredonde cada resposta para a décima mais próxima.
Aplicativos do mundo real
59) Um poste se afasta do sol em um ângulo vertical, conforme mostrado na Figura abaixo.\(7^{\circ}\) Quando a elevação do sol é\(55^{\circ}\), o poste projeta uma sombra com\(42\) pés de comprimento no solo nivelado. Quanto tempo dura o poste? Arredonde a resposta para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(51.4\)pés
60) Para determinar a que distância um barco está da costa, duas estações de radar separadas por\(500\) pés encontram os ângulos do barco, conforme mostrado na Figura abaixo. Determine a distância do barco da estação\(A\) e a distância do barco até a costa. Arredonde suas respostas para o pé inteiro mais próximo.

61) A Figura abaixo mostra um satélite orbitando a Terra. O satélite passa diretamente por duas estações de rastreamento\(A\) e\(B\), que estão\(69\) a milhas de distância. Quando o satélite está em um lado das duas estações, os ângulos de elevação em\(A\) e\(B\) são medidos como sendo\(86.2^{\circ}\) e\(83.9^{\circ}\) respectivamente. A que distância está o satélite da estação\(A\) e qual a altura do satélite acima do solo? Respostas arredondadas para a milha inteira mais próxima.
- Responda
-
A distância do satélite até a estação\(A\) é de aproximadamente\(1716\) milhas. O satélite está aproximadamente\(1706\) milhas acima do solo.
62) Uma torre de comunicação está localizada no topo de uma colina íngreme, conforme mostrado na Figura abaixo. O ângulo de inclinação da colina é\(67^{\circ}\). Um fio auxiliar deve ser preso ao topo da torre e ao solo,\(165\) metros abaixo da base da torre. O ângulo formado pelo fio condutor e pela colina é\(16^{\circ}\). Encontre o comprimento do cabo necessário para o fio auxiliar até o metro inteiro mais próximo.

63) O telhado de uma casa está\(20^{\circ}\) inclinado. Um painel solar\(8\) de 2 pés deve ser montado no telhado e deve ser inclinado\(38^{\circ}\) em relação à horizontal para obter os melhores resultados. (Veja a Figura abaixo). Quanto tempo precisa durar o suporte vertical que sustenta a parte traseira do painel? Arredonde para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(2.6\)pés
64) Semelhante a um ângulo de elevação, um ângulo de depressão é o ângulo agudo formado por uma linha horizontal e a linha de visão de um observador em relação a um objeto abaixo da horizontal. Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para dois marcos,\(6.6\) km de distância, a ser\(37^{\circ}\) e\(44^{\circ}\) conforme mostrado na Figura abaixo. Encontre a distância do avião do ponto\(A\) até o décimo de quilômetro mais próximo.

65) Um piloto está sobrevoando uma rodovia reta. Ele determina os ângulos de depressão para dois marcos, com\(4.3\) km de distância, a ser\(32^{\circ}\) e\(56^{\circ}\), conforme mostrado na Figura abaixo. Encontre a distância do avião do ponto\(A\) até o décimo de quilômetro mais próximo.
- Responda
-
\(5.6\)km
66) Para estimar a altura de um prédio, dois estudantes ficam a uma certa distância do prédio no nível da rua. A partir desse ponto, eles descobrem que existe o ângulo de elevação da rua até o topo do prédio\(39^{\circ}\). Eles então movem\(300\) os pés para mais perto do prédio e descobrem o ângulo de elevação adequado\(50^{\circ}\). Supondo que a rua esteja nivelada, estime a altura do prédio até o pé mais próximo.
67) Para estimar a altura de um prédio, dois estudantes ficam a uma certa distância do prédio no nível da rua. A partir desse ponto, eles descobrem que existe o ângulo de elevação da rua até o topo do prédio\(35^{\circ}\). Eles então movem\(250\) os pés para mais perto do prédio e descobrem o ângulo de elevação adequado\(53^{\circ}\). Supondo que a rua esteja nivelada, estime a altura do prédio até o pé mais próximo.
- Responda
-
\(371\)pés
68) Pontos\(A\) e\(B\) estão em lados opostos de um lago. \(C\)O ponto está\(97\) a metros de distância\(A\). A medida de\(\angle BAC\) é determinada como sendo\(101^{\circ}\), e a medida de\(\angle ACB\) é determinada como sendo\(53^{\circ}\). Qual é a distância\(A\) de\(B\)
69) Um homem e uma mulher separados por\(3\dfrac{1}{2}\) quilômetros avistam um balão de ar quente ao mesmo tempo. Se o ângulo de elevação do homem para o balão for\(27^{\circ}\), e o ângulo de elevação da mulher para o balão for\(41^{\circ}\), encontre a altitude do balão até o pé mais próximo.
- Responda
-
\(5936\)pés
70) Duas equipes de busca localizam um alpinista encalhado em uma montanha. A primeira equipe de busca está a\(0.5\) milhas da segunda equipe de busca, e ambas as equipes estão a uma altitude de\(1\) milha. O ângulo de elevação da primeira equipe de busca até o alpinista encalhado é\(15^{\circ}\). O ângulo de elevação da segunda equipe de busca até o alpinista é\(22^{\circ}\). Qual é a altitude do alpinista? Arredonde até o décimo de milha mais próximo.
71) Uma luz de rua é montada em um poste. Um homem\(6\) de um metro de altura está parado na rua a uma curta distância do poste, projetando uma sombra. O ângulo de elevação da ponta da sombra do homem até o topo de sua cabeça de\(28^{\circ}\). Uma mulher\(6\) de um metro de altura está parada na mesma rua do lado oposto do poste do homem. O ângulo de elevação da ponta da sombra até o topo da cabeça é\(28^{\circ}\). Se o homem e a mulher estão a\(20\) pés de distância, a que distância está a luz da rua da ponta da sombra de cada pessoa? Arredonde a distância até o décimo de pé mais próximo.
- Responda
-
\(24.1\)pés
72) Três cidades,,\(A\)\(B\), e\(C\), estão localizadas de forma que\(A\) a cidade fique a leste da cidade\(B\). Se a cidade\(C\) está localizada a\(35^{\circ}\) oeste do norte da cidade\(B\) e está\(100\) a milhas da cidade\(A\) e\(70\) milhas da cidade\(B\), a que distância está\(A\) a cidade da cidade\(B\)? Arredonde a distância até o décimo de milha mais próximo.
73) Duas ruas se encontram em um\(80^{\circ}\) ângulo. Na esquina, um parque está sendo construído em forma de triângulo. Encontre a área do parque se, ao longo de uma estrada, o parque medir\(180\) pés, e ao longo da outra estrada, o parque mede\(215\) pés.
- Responda
-
\(19,056\)pés 2
74) A casa de Brian fica em um terreno de esquina. Encontre a área do jardim frontal se as bordas\(56\) medirem\(40\) e os pés, conforme mostrado na Figura abaixo.
75) O triângulo das Bermudas é uma região do Oceano Atlântico que liga Bermudas, Flórida e Porto Rico. Encontre a área do triângulo das Bermudas se a distância da Flórida às Bermudas for de\(1030\) milhas, a distância de Porto Rico às Bermudas for de\(980\) milhas e o ângulo criado pelas duas distâncias for\(62^{\circ}\).
- Responda
-
\(445,624\)milhas quadradas
76) Um sinal de escoamento mede\(30\) polegadas nos três lados. Qual é a área da placa?
77) Naomi comprou uma mesa de jantar moderna cujo tampo tem a forma de um triângulo. Encontre a área do tampo da mesa se dois dos lados\(4\) medirem pés e\(4.5\) pés, e os ângulos menores medem\(32^{\circ}\) e\(42^{\circ}\), conforme mostrado na Figura abaixo.
- Responda
-
\(8.65\)pés 2
8.2: Triângulos não retos - Lei dos cossenos
Verbal
1) Se você está procurando um lado ausente de um triângulo, o que você precisa saber ao usar a Lei dos Cossenos?
- Responda
-
dois lados e o ângulo oposto ao lado ausente.
2) Se você está procurando um ângulo ausente de um triângulo, o que você precisa saber ao usar a Lei dos Cossenos?
3) Explique o que\(s\) representa na fórmula de Heron.
- Responda
-
\(s\)é o semiperímetro, que é a metade do perímetro do triângulo.
4) Explique a relação entre o Teorema de Pitágoras e a Lei dos Cossenos.
5) Quando você deve usar a Lei dos Cossenos em vez do Teorema de Pitágoras?
- Responda
-
A Lei dos Cossenos deve ser usada para qualquer triângulo oblíquo (não reto).
Algébrico
Para os exercícios 6-15, suponha que\(\alpha \) seja o lado\(a\) oposto\(b\), o lado oposto e\(\gamma \) o lado oposto\(c\).\(\beta \) Se possível, resolva cada triângulo para o lado desconhecido. Arredonde para o décimo mais próximo.
6)\(\gamma =41.2^{\circ}, a=2.49, b=3.13\)
7)\(\alpha =120^{\circ}, b=6, c=7\)
- Responda
-
\(11.3\)
8)\(\beta =58.7^{\circ}, a=10.6, c=15.7\)
9)\(\alpha =115^{\circ}, a=18, b=23\)
- Responda
-
\(34.7\)
10)\(\alpha =119^{\circ}, a=26, b=14\)
11)\(\gamma =113^{\circ}, b=10, c=32\)
- Responda
-
\(26.7\)
12)\(\beta =67^{\circ}, a=49, b=38\)
13)\(\alpha =43.1^{\circ}, a=184.2, b=242.8\)
- Responda
-
\(257.4\)
14)\(\alpha =36.6^{\circ}, a=186.2, b=242.2\)
15)\(\beta =50^{\circ}, a=105, b=45\)
- Responda
-
não é possível
Para os exercícios 16-20, use a Lei dos Cossenos para resolver o ângulo ausente do triângulo oblíquo. Arredonde para o décimo mais próximo.
16)\(a=42, b=19, c=30\); encontre o ângulo\(A\).
17)\(a=14, b=13, c=20\); encontre o ângulo\(C\).
- Responda
-
\(95.5^{\circ}\)
18)\(a=16, b=31, c=20\); encontre o ângulo\(B\).
19)\(a=13, b=22, c=28\); encontre o ângulo\(A\).
- Responda
-
\(26.9^{\circ}\)
20)\(a=108, b=132, c=160\); encontre o ângulo\(C\).
Para os exercícios 21-26, resolva o triângulo. Arredonde para o décimo mais próximo.
21)\(A=35^{\circ}, b=8, c=11\)
- Responda
-
\(B\approx 45.9^{\circ}, C\approx 99.1^{\circ}, a\approx 6.4\)
22)\(B=88^{\circ}, a=4.4, c=5.2\)
23)\(C=121^{\circ}, a=21, b=37\)
- Responda
-
\(A\approx 20.6^{\circ}, B\approx 38.4^{\circ}, c\approx 51.1\)
24)\(a=13, b=11, c=15\)
25)\(a=3.1, b=3.5, c=5\)
- Responda
-
\(A\approx 37.8^{\circ}, B\approx 43.8^{\circ}, C\approx 98.4\)
26)\(a=51, b=25, c=29\)
Para os exercícios 27-,31, use a fórmula de Heron para encontrar a área do triângulo. Arredonde para o centésimo mais próximo.
27) Encontre a área de um triângulo com lados de comprimento\(18\) dentro,\(21\) dentro e\(32\) dentro. Arredonde para o décimo mais próximo.
- Responda
-
\(177.56\)em 2
28) Encontre a área de um triângulo com lados de comprimento\(20\) cm,\(26\) cm e\(37\) cm. Arredonde para o décimo mais próximo.
29)\(a=\dfrac{1}{2}\) mm,\(b=\dfrac{1}{3}\)\(c=\dfrac{1}{4}\) mm,
- Responda
-
\(0.04\)m 2
30)\(a=12.4\) pés,\(b=13.7\) pés,\(c=20.2\) pés
31)\(a=1.6\) sim,\(b=2.6\) sim,\(c=4.1\) sim
- Responda
-
\(0.91\)jarda 2
Gráfica
Para os exercícios 32-37, encontre o comprimento do lado\(x\). Arredonde para o décimo mais próximo.
32)
33)
- Responda
-
\(3.0\)
34)
(35)
- Responda
-
\(29.1\)
36)
37)
- Responda
-
\(0.5\)
Para os exercícios 38-41, encontre a medida do ângulo\(A\)
38)
39)
- Responda
-
\(70.7^{\circ}\)
40)
41)
- Responda
-
\(77.4^{\circ}\)
42) Encontre a medida de cada ângulo no triângulo mostrado na Figura abaixo. Arredonde para o décimo mais próximo.
Para os exercícios 43-46, resolva o lado desconhecido. Arredonde para o décimo mais próximo.
43)
- Responda
-
\(25.0\)
44)
45)
- Responda
-
\(9.3\)
(46)
Para os exercícios 47-51, encontre a área do triângulo. Arredonde para o centésimo mais próximo.
47)
- Responda
-
\(43.52\)
48)
49)
- Responda
-
\(1.41\)
50)
51)
- Responda
-
\(0.14\)
Extensões
52) Um paralelogramo tem lados de\(16\) unidades e\(10\) unidades de comprimento. A diagonal mais curta é\(12\) de unidades. Encontre a medida da diagonal mais longa.
53) Os lados de um paralelogramo são\(11\) pés e\(17\) pés. A diagonal mais longa é de\(22\) pés. Encontre o comprimento da diagonal mais curta.
- Responda
-
\(18.3\)
54) Os lados de um paralelogramo são\(28\) centímetros e\(40\) centímetros. A medida do ângulo maior é\(100^{\circ}\). Encontre o comprimento da diagonal mais curta.
55) Um octógono regular está inscrito em um círculo com um raio de\(8\) polegadas. (Veja a Figura abaixo.) Encontre o perímetro do octógono.
- Responda
-
\(48.98\)
56) Um pentágono regular está inscrito em um círculo de raio\(12\) cm. (Veja a Figura abaixo.) Encontre o perímetro do pentágono. Arredonde até o décimo de centímetro mais próximo.
Para os exercícios 57-58, suponha que isso\(x^2=25+36-60\cos(52)\) represente a relação de três lados de um triângulo e o cosseno de um ângulo.
57) Desenhe o triângulo.
- Responda
-
58) Encontre o comprimento do terceiro lado.
Para os exercícios 59-61, encontre a área do triângulo.
(59)
- Responda
-
\(7.62\)
60)
61)
- Responda
-
\(85.1\)
Aplicativos do mundo real
62) Um inspetor fez as medições mostradas na Figura abaixo. Encontre a distância do outro lado do lago. Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.

- Responda
-
\(24.0\)km
64) Um avião voa\(220\) milhas com uma direção de e\(40^{\circ}\), em seguida,\(180\) voa milhas com uma direção de\(170^{\circ}\). A que distância está o avião do ponto de partida e em que direção? Arredonde as respostas para o décimo mais próximo.
65) Uma torre\(113\) de pés está localizada em uma colina inclinada\(34^{\circ}\) para a horizontal, conforme mostrado na Figura abaixo. Um fio condutor deve ser preso ao topo da torre e ancorado em um ponto a\(98\) pés acima da base da torre. Encontre o comprimento do fio necessário.
- Responda
-
\(99.9\)pés
66) Dois navios deixaram um porto ao mesmo tempo. Um navio viajou a uma velocidade de\(18\) milhas por hora em uma direção de\(320^{\circ}\). O outro navio viajou a uma velocidade de\(22\) milhas por hora em uma direção de\(194^{\circ}\). Encontre a distância entre os dois navios após\(10\) horas de viagem.
67) O gráfico na Figura abaixo representa dois barcos partindo ao mesmo tempo da mesma doca. O primeiro barco está viajando\(18\) a milhas por hora em uma direção de\(327^{\circ}\) e o segundo barco está viajando\(4\) a milhas por hora em uma direção de\(60^{\circ}\). Encontre a distância entre os dois barcos após o\(2\) expediente.
- Responda
-
\(37.3\)milhas
68) Uma piscina triangular mede\(40\) os pés de um lado e\(65\) os pés do outro lado. Esses lados formam um ângulo que mede\(50^{\circ}\). Qual é o comprimento do terceiro lado (até o décimo mais próximo)?
69) Um piloto voa em um caminho reto por\(1\) horas e\(30\) minutos. Ela então faz uma correção de curso, indo\(10^{\circ}\) para a direita do curso original, e voa\(2\) horas na nova direção. Se ela mantiver uma velocidade constante de\(680\) milhas por hora, a que distância ela está de sua posição inicial?
- Responda
-
\(2371\)milhas
70) Los Angeles fica\(1,744\) a milhas de Chicago, Chicago está\(714\) a milhas de Nova York e Nova York fica\(2,451\) a milhas de Los Angeles. Desenhe um triângulo conectando essas três cidades e encontre os ângulos no triângulo.
71) Filadélfia fica\(140\) a milhas de Washington, D.C., Washington, D.C. fica\(442\) a milhas de Boston e Boston está\(315\) a milhas da Filadélfia. Desenhe um triângulo conectando essas três cidades e encontre os ângulos no triângulo.
- Responda
-
72) Dois aviões saem do mesmo aeroporto ao mesmo tempo. Um voa\(20^{\circ}\) a leste do norte a\(500\) milhas por hora. O segundo voa\(30^{\circ}\) a leste do sul a\(600\) milhas por hora. A que distância estão os aviões após o\(2\) expediente?
73) Dois aviões decolam em direções diferentes. Um viaja\(300\) mph para oeste e o outro viaja para o\(25^{\circ}\) norte do oeste a\(420\) mph. Depois de\(90\) minutos, a que distância eles estão, supondo que estejam voando na mesma altitude?
- Responda
-
\(599.8\)milhas
74) Um paralelogramo tem lados de\(15.4\) unidades e\(9.8\) unidades de comprimento. Sua área é de unidades\(72.9\) quadradas. Encontre a medida da diagonal mais longa.
75) Os quatro lados sequenciais de um quadrilátero têm comprimentos\(4.5\)\(7.9\) cm, cm,\(9.4\) cm e\(12.9\) cm. O ângulo entre os dois lados menores é\(117^{\circ}\). Qual é a área desse quadrilátero?
- Responda
-
\(65.4\)cm 2
76) Os quatro lados sequenciais de um quadrilátero têm comprimentos\(5.7\)\(7.2\) cm, cm,\(9.4\) cm e\(12.8\) cm. O ângulo entre os dois lados menores é\(106^{\circ}\). Qual é a área desse quadrilátero?
77) Encontre a área de um pedaço de terra triangular que mede\(30\) pés de um lado e\(42\) pés de outro; as medidas de ângulo incluídas\(132^{\circ}\). Arredonde para o pé quadrado inteiro mais próximo.
- Responda
-
\(468\)pés 2
78) Encontre a área de um pedaço de terra triangular que mede\(110\) pés de um lado e\(250\) pés de outro; as medidas de ângulo incluídas\(85^{\circ}\). Arredonde para o pé quadrado inteiro mais próximo.
8.3: Coordenadas polares
Verbal
1) Como as coordenadas polares são diferentes das coordenadas retangulares?
- Responda
-
Para coordenadas polares, o ponto no plano depende do ângulo do\(x\) eixo positivo e da distância da origem, enquanto nas coordenadas cartesianas, o ponto representa as distâncias horizontal e vertical da origem. Para cada ponto no plano coordenado, há uma representação, mas para cada ponto no plano polar, há representações infinitas
2) Como os eixos polares são diferentes dos\(y\) eixos\(x\) - e -do plano cartesiano?
3) Explique como as coordenadas polares são representadas graficamente.
- Responda
-
Determine\(\theta \) o ponto e, em seguida, mova\(r\) as unidades do polo para traçar o ponto. Se\(r\) for negativo, mova\(r\) as unidades do polo na direção oposta, mas no mesmo ângulo. O ponto está a uma\(r\) distância da origem em um ângulo\(\theta \) do eixo polar.
4) Como os pontos\(\left ( 3,\dfrac{\pi }{2} \right )\) estão\(\left ( -3,\dfrac{\pi }{2} \right )\) relacionados?
5) Explique por que\(\left ( -3,\dfrac{\pi }{2} \right )\) os pontos\(\left ( 3,-\dfrac{\pi }{2} \right )\) são os mesmos.
- Responda
-
O ponto\(\left ( -3,\dfrac{\pi }{2} \right )\) tem um ângulo positivo, mas um raio negativo, e é traçado movendo-se para um ângulo\(\dfrac{\pi }{2}\) e, em seguida, movendo\(3\) as unidades na direção negativa. Isso coloca as\(3\) unidades de ponto abaixo do\(y\) eixo negativo. O ponto\(\left ( 3,-\dfrac{\pi }{2} \right )\) tem um ângulo negativo e um raio positivo e é traçado movendo-se primeiro para um ângulo\(-\dfrac{\pi }{2}\) e depois movendo\(3\) as unidades para baixo, que é a direção positiva para um ângulo negativo. O ponto também\(3\) está abaixo do\(y\) eixo negativo.
Algébrico
6)\(\left ( 7,\dfrac{7\pi }{6} \right )\)
7)\((5,\pi )\)
- Responda
-
\((-5,0)\)
8)\(\left ( 6,-\dfrac{\pi }{4} \right )\)
9)\(\left ( -3,\dfrac{\pi }{6} \right )\)
- Responda
-
\(\left ( -\dfrac{3\sqrt{3}}{2},-\dfrac{3}{2} \right )\)
10)\(\left ( 4,\dfrac{7\pi }{4} \right )\)
Para os exercícios 11-15, converta as coordenadas cartesianas dadas em coordenadas polares com\(r>0\)\(0\leq \theta \leq 2\pi\) e. Lembre-se de considerar o quadrante no qual o ponto determinado está localizado.
11)\((4,2)\)
- Responda
-
\((2\sqrt{5},0.464)\)
12)\((-4,6)\)
13)\((3,-5)\)
- Responda
-
\((\sqrt{34},5.253)\)
14)\((-10,-13)\)
15)\((8,8)\)
- Responda
-
\(\left(8\sqrt{2},\dfrac{\pi }{4}\right)\)
Para os exercícios 16-27, converta a equação cartesiana dada em uma equação polar.
16)\(x=3\)
17)\(y=4\)
- Responda
-
\(r=4\csc \theta \)
18)\(y=4x^2\)
19)\(y=2x^4\)
- Responda
-
\(r=\sqrt[3]{\dfrac{\sin \theta }{2\cos ^4\theta }}\)
20)\(x^2 + y^2 = 4y\)
21)\(x^2 + y^2 = 3x\)
- Responda
-
\(r=3\cos \theta \)
22)\(x^2 - y^2 = x\)
23)\(x^2 - y^2 = 3y\)
- Responda
-
\(r=\dfrac{3\sin \theta }{\cos (2\theta )}\)
24)\(x^2 + y^2 = 9\)
25)\(x^2 = 9y\)
- Responda
-
\(r=\dfrac{9\sin \theta }{\cos ^2\theta }\)
26)\(y^2 = 9x\)
27)\(9xy = 1\)
- Responda
-
\(r=\sqrt{\dfrac{1}{9\cos \theta \sin \theta }}\)
Para os exercícios 28-39, converta a equação polar dada em uma equação cartesiana. Escreva na forma padrão de uma cônica, se possível, e identifique a seção cônica representada.
28)\(r=3\sin \theta\)
29)\(r=4\cos \theta\)
- Responda
-
\(x^2 + y^2 =4x\)ou\(\dfrac{(x-2)^2}{4} + \dfrac{y^2}{4} = 1\); círculo
30)\(r = \dfrac{4}{\sin \theta +7\cos \theta }\)
31)\(r = \dfrac{6}{\cos \theta +3\sin \theta }\)
- Responda
-
\(3y+x=6\); linha
32)\(r=2\sec \theta\)
33)\(r=3\csc \theta\)
- Responda
-
\(y=3\); linha
34)\(r = \sqrt{r\cos \theta +2}\)
(35)\(r^2 = 4\sec \theta \csc \theta\)
- Responda
-
\(xy=4\); hipérbole
36)\(r =4\)
37)\(r^2 = 4\)
- Responda
-
\(x^2 + y^2 =4\); círculo
38)\(r = \dfrac{1}{4\cos \theta - 3\sin \theta }\)
39)\(r = \dfrac{3}{\cos \theta - 5\sin \theta }\)
- Responda
-
\(x-5y=3\); linha
Gráfica
Para os exercícios 40-44, encontre as coordenadas polares do ponto.
40)
41)
- Responda
-
\(\left (3,\dfrac{3\pi }{4} \right )\)
(42)
43)
- Responda
-
\((5,\pi )\)
44)
Para os exercícios 45-54, faça um gráfico dos pontos.
45)\(\left (-2,\dfrac{\pi }{3} \right )\)
- Responda
-
(46)\(\left (-1,-\dfrac{\pi }{2} \right )\)
47)\(\left (3.5,\dfrac{7\pi }{4} \right )\)
- Responda
-
48)\(\left (-4,\dfrac{\pi }{3} \right )\)
49)\(\left (5,\dfrac{\pi }{2} \right )\)
- Responda
-
50)\(\left (4,\dfrac{-5\pi }{4} \right )\)
51)\(\left (3,\dfrac{5\pi }{6} \right )\)
- Responda
-
52)\(\left (-1.5,\dfrac{7\pi }{6} \right )\)
53)\(\left (-2,\dfrac{\pi }{4} \right )\)
- Responda
-
54)\(\left (1,\dfrac{3\pi }{2} \right )\)
Para os exercícios 55-61, converta a equação da forma retangular para a polar e faça um gráfico no eixo polar.
55)\(5x-y = 6\)
- Responda
-
\(r = \dfrac{6}{5\cos \theta - \sin \theta }\)
(56)\(2x + 7y = -3\)
57)\(x^2 + (y-1)^2 = 1\)
- Responda
-
\(r = 2\sin \theta \)
(58)\((x+2)^2+(y+3)^2=13\)
(59)\(x = 2\)
- Responda
-
\(r = \dfrac{2}{\cos \theta }\)
60)\(x^2 + y^2 =5y\)
61)\(x^2 + y^2 =3x\)
- Responda
-
\(r = 3\cos \theta \)
Para os exercícios 62-68, converta a equação da forma polar para a retangular e faça um gráfico no plano retangular.
62)\(r = 6\)
63)\(r = -4\)
- Responda
-
\(x^2 + y^2 =16\)
64)\(\theta = -\dfrac{2\pi }{3}\)
65)\(\theta = \dfrac{\pi }{4}\)
- Responda
-
\(y=x\)
66)\(r = \sec \theta \)
67)\(r = -10\sin \theta \)
- Responda
-
\(x^2 + (y+5)^2 = 25\)
68)\(r = 3\cos \theta \)
Tecnologia
69) Use uma calculadora gráfica para encontrar as coordenadas retangulares de\(\left (2,-\dfrac{\pi }{5} \right )\)
- Responda
-
\((1.618,-1.176)\)
70) Use uma calculadora gráfica para encontrar as coordenadas retangulares de\(\left (-3,\dfrac{3\pi }{7} \right )\). Arredonde para o milésimo mais próximo.
71) Use uma calculadora gráfica para encontrar as coordenadas polares de\((-7,8)\) em graus. Arredonde para o milésimo mais próximo.
- Responda
-
\((10.630,131.186^{\circ})\)
72) Use uma calculadora gráfica para encontrar as coordenadas polares de\((3,-4)\) em graus. Arredonde para o centésimo mais próximo.
73) Use uma calculadora gráfica para encontrar as coordenadas polares de\((-2,0)\) em graus. Arredonde para o centésimo mais próximo.
- Responda
-
\((2,3.14)\)ou\((2,\pi )\)
Extensões
74) Descreva o gráfico de\(r=a\sec \theta \);\(a>0\).
75) Descreva o gráfico de\(r=a\sec \theta \);\(a<0\).
- Responda
-
Uma linha vertical com\(a\) unidades à esquerda\(y\) do eixo.
76) Descreva o gráfico de\(r=a\csc \theta \);\(a>0\).
77) Descreva o gráfico de\(r=a\csc \theta \);\(a<0\).
- Responda
-
Uma linha horizontal com\(a\) unidades abaixo\(x\) do eixo.
78) Quais equações polares darão uma linha oblíqua?
Para os exercícios 79-84, represente graficamente a desigualdade polar.
79)\(r<4\)
- Responda
-
80)\(0\leq \theta \leq \dfrac{\pi }{4}\)
81)\(\theta = \dfrac{\pi }{4}, r\geq 2\)
- Responda
-
(82)\(\theta = \dfrac{\pi }{4}, r\geq -3\)
83)\(0\leq \theta \leq \dfrac{\pi }{3}, r<2\)
- Responda
-
84)\(\dfrac{-\pi }{6} < \theta \leq \dfrac{\pi }{3}, -3
8.4: Coordenadas polares - Gráficos
Verbal
1) Descreva os três tipos de simetria nos gráficos polares e compare-os com a simetria do plano cartesiano.
- Responda
-
A simetria em relação ao eixo polar é semelhante à simetria sobre o\(x\) eixo -, a simetria em relação ao polo é semelhante à simetria sobre a origem e simétrica em relação à linha\(\theta = \dfrac{\pi }{2}\) é semelhante à simetria sobre o\(y\) eixo.
2) Quais dos três tipos de simetrias para gráficos polares correspondem às simetrias em relação ao\(x\) eixo -,\(y\) eixo -e origem?
3) Quais são as etapas a seguir ao representar graficamente equações polares?
- Responda
-
Teste a simetria; encontre zeros, interceptos e máximos; faça uma tabela de valores. Decida o tipo geral de gráfico, cardióide, limaçon, lemniscate, etc., depois plote os pontos em\(\theta = 0\)\(\dfrac{\pi }{2}\),\(\pi \),\(\dfrac{3\pi }{2}\) e esboce o gráfico.
4) Descreva as formas dos gráficos de cardióides, limaçons e lemniscates.
5) Que parte da equação determina a forma do gráfico de uma equação polar?
- Responda
-
A forma do gráfico polar é determinada pelo fato de incluir ou não um seno, um cosseno e constantes na equação.
Gráfica
Para os exercícios 6-15, teste a equação quanto à simetria.
6)\(r=5\cos 3\theta\)
7)\(r=3-3\cos \theta\)
- Responda
-
simétrico em relação ao eixo polar
8)\(r=3+2\sin \theta\)
9)\(r=3\sin 2\theta\)
- Responda
-
simétrico em relação ao eixo polar, simétrico em relação à linha\(\theta = \dfrac{\pi }{2}\)
simétrico em relação ao pólo,
10)\(r=4\)
11)\(r=2\theta \)
- Responda
-
sem simetria
12)\(r=4\cos \dfrac{\theta }{2}\)
13)\(r=\dfrac{2}{\theta }\)
- Responda
-
sem simetria
14)\(r=3\sqrt{1-\cos ^2\theta }\)
15)\(r=\sqrt{5\sin 2\theta }\)
- Responda
-
simétrico em relação ao pólo
Para os exercícios 16-43, represente graficamente a equação polar. Identifique o nome da forma.
16)\(r=3\cos \theta\)
17)\(r=4\sin \theta\)
- Responda
-
circular
18)\(r=2+2\cos \theta\)
19)\(r=2-2\cos \theta\)
- Responda
-
cardióide
20)\(r=5-5\sin \theta\)
21)\(r=3+3\sin \theta\)
- Responda
-
cardióide
22)\(r=3+2\sin \theta\)
23)\(r=7+4\sin \theta\)
- Responda
-
limaçon de um laço/com covinhas
24)\(r=4+3\cos \theta\)
25)\(r=5+4cos \theta\)
- Responda
-
limaçon de um laço/com covinhas
26)\(r=10+9\cos \theta\)
27)\(r=1+3\sin \theta\)
- Responda
-
laço interno/limaçon de dois circuitos
28)\(r=2+5\sin \theta\)
29)\(r=5+7\sin \theta\)
- Responda
-
laço interno/limaçon de dois circuitos
30)\(r=2+4\cos \theta\)
31)\(r=5+6\cos \theta\)
- Responda
-
laço interno/limaçon de dois circuitos
32)\(r^2=36\cos (2\theta )\)
33)\(r^2=10\cos (2\theta )\)
- Responda
-
lemniscar
34)\(r^2=4\sin (2\theta )\)
(35)\(r^2=10\sin (2\theta )\)
- Responda
-
lemniscar
36)\(r=3\sin (2\theta )\)
37)\(r=3\cos (2\theta )\)
- Responda
-
curva rosa
38)\(r=5\sin (3\theta )\)
39)\(r=4\sin (4\theta )\)
- Responda
-
curva rosa
40)\(r=4\sin (5\theta )\)
41)\(r=-\theta\)
- Responda
-
A espiral de Arquimedes
(42)\(r=2\theta\)
43)\(r=-3\theta\)
- Responda
-
A espiral de Arquimedes
Tecnologia
Para os exercícios 44-53, use uma calculadora gráfica para esboçar o gráfico da equação polar.
44)\(r=\dfrac{1}{\theta }\)
45)\(r=\dfrac{1}{\sqrt{\theta }}\)
- Responda
-
46)\(r=2\sin \theta \tan \theta\), um cissoide
47)\(r=2\sqrt{1-\sin ^2\theta }\), um hipopéde
- Responda
-
48)\(r=5+\cos (4\theta )\)
49)\(r=2-\sin (2\theta )\)
- Responda
-
50)\(r=\theta ^2\)
51)\(r=\theta +1\)
- Responda
-
52)\(r=\theta \sin \theta\)
53)\(r=\theta \cos \theta\)
- Responda
-
Para os exercícios 54-63, use um utilitário gráfico para representar graficamente cada par de equações polares em um domínio de\([0,4\pi ]\) e depois explicar as diferenças mostradas nos gráficos.
54)\(r=\theta ,r=-\theta\)
55)\(r=\theta ,r=\theta +\sin \theta\)
- Responda
-
Ambos são espirais, mas não são exatamente iguais.
(56)\(r=\sin \theta +\theta ,r=\sin \theta -\theta\)
57)\(r=2\sin \left (\dfrac{\theta }{2} \right ),r=\theta \sin \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\)
- Responda
-
Ambos os gráficos são curvas com\(2\) loops. A equação com um coeficiente de\(\theta \) tem dois loops à esquerda, a equação com um coeficiente de\(2\) tem dois loops lado a lado. Faça um gráfico de\(0\) até\(4\pi \) para obter uma imagem melhor.
(58)\(r=\sin (\cos (3\theta )),r=\sin (3\theta )\)
59) Em um utilitário gráfico,\(r=\sin \left (\dfrac{16}{5}\theta \right )\) grafe em\([0,4\pi ]\)\([0,8\pi ]\),\([0,12\pi ]\) e\([0,16\pi ]\)
- Responda
-
Quando a largura do domínio é aumentada, mais pétalas da flor são visíveis.
60) Em um utilitário gráfico, faça gráficos e esboços\(r=\sin \theta + \left(\sin \left(\dfrac{5}{2}\theta \right) \right)^3\)\([0,4\pi ]\).
61) Em um utilitário gráfico, represente graficamente cada equação polar. Explique as semelhanças e diferenças que você observa nos gráficos. \[\begin{align*} r_1 &= 3\sin(3\theta )\\ r_2 &= 2\sin(3\theta )\\ r_3 &= \sin(3\theta ) \end{align*}\]
- Responda
-
Os gráficos são curvas de rosas de três pétalas. Quanto maior o coeficiente, maior a distância da curva em relação ao polo.
62) Em um utilitário gráfico, represente graficamente cada equação polar. Explique as semelhanças e diferenças que você observa nos gráficos. \[\begin{align*} r_1 &= 3+3\cos(\theta )\\ r_2 &= 2+2\cos(\theta )\\ r_3 &= 1+\cos(\theta ) \end{align*}\]
63) Em um utilitário gráfico, represente graficamente cada equação polar. Explique as semelhanças e diferenças que você observa nos gráficos. \[\begin{align*} r_1 &= 3\theta \\ r_2 &= 2\theta \\ r_3 &= \theta \end{align*}\]
- Responda
-
Os gráficos são espirais. Quanto menor o coeficiente, mais apertada é a espiral.
Extensões
Para os exercícios 64-72, desenhe cada equação polar no mesmo conjunto de eixos polares e encontre os pontos de interseção.
64)\(r_1=3+2\sin \theta , r_2=2\)
65)\(r_1=6-4\cos \theta , r_2=4\)
- Responda
-
\(\left ( 4,\dfrac{\pi }{3} \right ), \left ( 4,\dfrac{5\pi }{3} \right )\)
66)\(r_1=1+\sin \theta , r_2=3\sin \theta\)
67)\(r_1=1+\cos \theta , r_2=3\cos \theta\)
- Responda
-
\(\left ( \dfrac{3}{2},\dfrac{\pi }{3} \right ), \left ( \dfrac{3}{2},\dfrac{5\pi }{3} \right )\)
68)\(r_1=\cos (2\theta ), r_2=\sin (2\theta )\)
69)\(r_1=\sin ^2(2\theta ), r_2=1-\cos (4\theta )\)
- Responda
-
\(\left ( 0,\dfrac{\pi }{2} \right ), (0,\pi ), \left ( 0,\dfrac{3\pi }{2} \right ), (0,2\pi )\)
70)\(r_1=\sqrt{3}, r_2=2\sin (\theta )\)
71)\(r_1^2=\sin \theta , r_2^2=\cos \theta\)
- Responda
-
\(\left ( \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2},\dfrac{\pi }{4} \right )\),\(\left ( \dfrac{\sqrt[4]{8}}{2},\dfrac{5\pi }{4} \right )\), e em\(\theta =\dfrac{3\pi }{4}\),\(\dfrac{7\pi }{4}\) uma vez que\(r\) está ao quadrado
72)\(r_1=1+\cos \theta , r_2=1-\sin \theta\)
8.5: Forma polar de números complexos
Verbal
1) Um número complexo é\(a+bi\). Explique cada parte.
- Responda
-
\(a\)é a parte real,\(b\) é a parte imaginária, e\(i=\sqrt{-1}\)
2) O que o valor absoluto de um número complexo representa?
3) Como um número complexo é convertido na forma polar?
- Responda
-
A forma polar converte a parte real e imaginária do número complexo na forma polar usando\(x=r\cos \theta\)\(y=r\sin \theta\) e.
4) Como encontramos o produto de dois números complexos?
5) O que é o Teorema de De Moivre e para que é usado?
- Responda
-
\(z^n=r^n(\cos (n\theta )+i\sin (n\theta ))\)
É usado para simplificar a forma polar quando um número é elevado a uma potência.
Algébrico
Para os exercícios 6-11, encontre o valor absoluto do número complexo dado.
6)\(5+3i\)
7)\(-7+i\)
- Responda
-
\(5\sqrt{2}\)
8)\(-3-3i\)
9)\(\sqrt{2}-6i\)
- Responda
-
\(\sqrt{38}\)
10)\(2i\)
11)\(2.2-3.1i\)
- Responda
-
\(\sqrt{14.45}\)
Para os exercícios 12-16, escreva o número complexo na forma polar.
12)\(2+2i\)
13)\(8-4i\)
- Responda
-
\(4\sqrt{5}\mathbf{cis}(333.4^{\circ})\)
14)\(-\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{2}i\)
15)\(\sqrt{3}+i\)
- Responda
-
\(2\mathbf{cis}\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )\)
16)\(3i\)
Para os exercícios 17-22, converta o número complexo da forma polar para a retangular.
17)\(z=7\mathbf{cis}\left ( \dfrac{\pi }{6} \right )\)
- Responda
-
\(\dfrac{7\sqrt{3}}{2}+i\dfrac{7}{2}\)
18)\(z=2\mathbf{cis}\left ( \dfrac{\pi }{3} \right )\)
19)\(z=4\mathbf{cis}\left ( \dfrac{7\pi }{6} \right )\)
- Responda
-
\(-2\sqrt{3}-2i\)
20)\(z=7\mathbf{cis}(25^{\circ})\)
21)\(z=3\mathbf{cis}(240^{\circ})\)
- Responda
-
\(-1.5-i\dfrac{3\sqrt{3}}{2}\)
22)\(z=\sqrt{2}\mathbf{cis}(100^{\circ})\)
Para os exercícios 23-28, encontre\(z_1 z_2\) na forma polar.
23)\(z_1=2\sqrt{3}\mathbf{cis}(116^{\circ}); z_2=2\mathbf{cis}(82^{\circ})\)
- Responda
-
\(4\sqrt{3}\mathbf{cis}(198^{\circ})\)
24)\(z_1=\sqrt{2}\mathbf{cis}(205^{\circ}); z_2=2\sqrt{2}\mathbf{cis}(118^{\circ})\)
25)\(z_1=3\mathbf{cis}(120^{\circ}); z_2=\dfrac{1}{4}\mathbf{cis}(60^{\circ})\)
- Responda
-
\(\dfrac{3}{4}\mathbf{cis}(180^{\circ})\)
26)\(z_1=3\mathbf{cis} \left(\dfrac{\pi }{4} \right); z_2=5\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{6} \right)\)
27)\(z_1=\sqrt{5}\mathbf{cis} \left(\dfrac{5\pi }{8} \right); z_2=\sqrt{15}\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{12} \right)\)
- Responda
-
\(5\sqrt{3}\mathbf{cis} \left(\dfrac{17\pi }{24} \right)\)
28)\(z_1=4\mathbf{cis} \left(\dfrac{\pi }{2} \right); z_2=2\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\)
Para os exercícios 29-,34 encontre\(\dfrac{z_1}{z_2}\) na forma polar.
29)\(z_1=21\mathbf{cis}(135^{\circ}); z_2=3\mathbf{cis}(65^{\circ})\)
- Responda
-
\(7\mathbf{cis}(70^{\circ})\)
30)\(z_1=\sqrt{2}\mathbf{cis}(90^{\circ}); z_2=2\mathbf{cis}(60^{\circ})\)
31)\(z_1=15\mathbf{cis}(120^{\circ}); z_2=3\mathbf{cis}(40^{\circ})\)
- Responda
-
\(5\mathbf{cis}(80^{\circ})\)
32)\(z_1=6\mathbf{cis} \left(\dfrac{\pi }{3} \right); z_2=2\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\)
33)\(z_1=5\sqrt{2}\mathbf{cis} (\pi ); z_2=\sqrt{2}\mathbf{cis}\left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\)
- Responda
-
\(5\mathbf{cis} \left(\dfrac{\pi }{3} \right)\)
34)\(z_1=2\mathbf{cis} \left(\dfrac{3\pi }{5} \right); z_2=3\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\)
Para os exercícios 35-40, encontre as potências de cada número complexo na forma polar.
35) Descubra\(z^3\) quando\(z=5\mathbf{cis} (45^{\circ})\).
- Responda
-
\(125\mathbf{cis} (135^{\circ})\)
36) Descubra\(z^4\) quando\(z=2\mathbf{cis} (70^{\circ})\).
37) Descubra\(z^2\) quando\(z=3\mathbf{cis} (120^{\circ})\).
- Responda
-
\(9\mathbf{cis} (240^{\circ})\)
38) Descubra\(z^2\) quando\(z=4\mathbf{cis}\left(\dfrac{\pi }{4} \right)\).
39) Descubra\(z^4\) quando\(z=\mathbf{cis}\left(\dfrac{3\pi }{16} \right)\).
- Responda
-
\(\mathbf{cis}\left(\dfrac{3\pi }{4} \right) \)
40) Descubra\(z^3\) quando\(z=3\mathbf{cis}\left(\dfrac{5\pi }{3} \right)\).
Para os exercícios 41-45, avalie cada raiz.
41) Avalie a raiz cúbica de\(z\) quando\(z=27\mathbf{cis} (240^{\circ})\).
- Responda
-
\(3\mathbf{cis}(80^{\circ}), 3\mathbf{cis}(200^{\circ}), 3\mathbf{cis}(320^{\circ})\)
42) Avalie a raiz quadrada de\(z\) quando\(z=16\mathbf{cis} (100^{\circ})\).
43) Avalie a raiz cúbica de\(z\) quando\(z=32\mathbf{cis} \left(\dfrac{2\pi }{3} \right)\).
- Responda
-
\(2\sqrt[3]{4}\mathbf{cis} \left(\dfrac{2\pi }{9} \right), 2\sqrt[3]{4}\mathbf{cis} \left(\dfrac{8\pi }{9} \right), 2\sqrt[3]{4}\mathbf{cis} \left(\dfrac{14\pi }{9} \right)\)
44) Avalie a raiz quadrada de\(z\) quando\(z=32\mathbf{cis} (\pi )\).
45) Avalie a raiz cúbica de\(z\) quando\(z=8\mathbf{cis} \left(\dfrac{7\pi }{4} \right)\).
- Responda
-
\(2\sqrt{2}\mathbf{cis} \left(\dfrac{7\pi }{8} \right), 2\sqrt{2}\mathbf{cis} \left(\dfrac{15\pi }{8} \right)\)
Gráfica
Para os exercícios 46-55, plote o número complexo no plano complexo.
(46)\(2+4i\)
47)\(-3-3i\)
- Responda
-
48)\(5-4i\)
49)\(-1-5i\)
- Responda
-
50)\(3+2i\)
51)\(2i\)
- Responda
-
52)\(-4\)
53)\(6-2i\)
- Responda
-
54)\(-2+i\)
55)\(1-4i\)
- Responda
-
Tecnologia
Para os exercícios 56-, encontre todas as respostas arredondadas para o centésimo mais próximo.
56) Use o recurso retangular para polar na calculadora gráfica para mudar\(5+5i\) para a forma polar.
57) Use o recurso retangular para polar na calculadora gráfica para mudar\(3-2i\) para a forma polar.
- Responda
-
\(3.61e^{-0.59i}\)
58) Use o recurso retangular para polar na calculadora gráfica para mudar\(-3-8i\) para a forma polar.
59) Use o recurso polar para retangular na calculadora gráfica para mudar\(4\mathbf{cis} (120^{\circ})\) para a forma retangular.
- Responda
-
\(-2+3.46i\)
60) Use o recurso polar para retangular na calculadora gráfica para mudar\(2\mathbf{cis} (45^{\circ})\) para a forma retangular.
61) Use o recurso polar para retangular na calculadora gráfica para mudar\(5\mathbf{cis} (210^{\circ})\) para a forma retangular.
- Responda
-
\(-4.33-2.50i\)
8.6: Equações paramétricas
Verbal
1) O que é um sistema de equações paramétricas?
- Responda
-
Um par de funções que depende de um fator externo. As duas funções são escritas em termos do mesmo parâmetro. Por exemplo,\(x=f(t)\)\(y=f(t)\) e.
2) Alguns exemplos de um terceiro parâmetro são tempo, comprimento, velocidade e escala. Explique quando o tempo é usado como parâmetro.
3) Explique como eliminar um parâmetro dado um conjunto de equações paramétricas.
- Responda
-
Escolha uma equação para resolver\(t\), substitua pela outra equação e simplifique.
4) Qual é a vantagem de escrever um sistema de equações paramétricas como uma equação cartesiana?
5) Qual é a vantagem de usar equações paramétricas?
- Responda
-
Algumas equações não podem ser escritas como funções, como um círculo. No entanto, quando escritas como duas equações paramétricas, separadamente, as equações são funções.
6) Por que existem muitos conjuntos de equações paramétricas para representar na função cartesiana?
Algébrico
Para os exercícios 7-25, elimine o parâmetro\(t\) para reescrever a equação paramétrica como uma equação cartesiana.
7)\(\begin{cases} & x(t)= 5-t\\ & y(t)= 8-2t \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=-2+2x\)
8)\(\begin{cases} & x(t)= 6-3t\\ & y(t)= 10-t \end{cases}\)
9)\(\begin{cases} & x(t)= 2t+1\\ & y(t)= 3\sqrt{t} \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=3\sqrt{\dfrac{x-1}{2}}\)
10)\(\begin{cases} & x(t)= 3t-1\\ & y(t)= 2t^2 \end{cases}\)
11)\(\begin{cases} & x(t)= 2e^t\\ & y(t)= 1-5t \end{cases}\)
- Responda
-
\(x=2e^{\tfrac{1-y}{5}}\)ou\(y=1-5\ln \left ( \dfrac{x}{2} \right )\)
12)\(\begin{cases} & x(t)= e^{-2t}\\ & y(t)= 2e^{-t} \end{cases}\)
13)\(\begin{cases} & x(t)= 4\log (t)\\ & y(t)= 3+2t \end{cases}\)
- Responda
-
\(x=4\log \left ( \dfrac{y-3}{2} \right )\)
14)\(\begin{cases} & x(t)= \log (2t)\\ & y(t)= \sqrt{t-1} \end{cases}\)
15)\(\begin{cases} & x(t)= t^3-t\\ & y(t)= 2t \end{cases}\)
- Responda
-
\(x=\left ( \dfrac{y}{2} \right )^3-\dfrac{y}{2}\)
16)\(\begin{cases} & x(t)= t-t^4\\ & y(t)= t+2 \end{cases}\)
17)\(\begin{cases} & x(t)= e^{2t}\\ & y(t)= e^{6t} \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=x^3\)
18)\(\begin{cases} & x(t)= t^{5}\\ & y(t)= t^{10} \end{cases}\)
19)\(\begin{cases} & x(t)= 4\cos t\\ & y(t)= 5\sin t \end{cases}\)
- Responda
-
\(\left ( \dfrac{x}{4} \right )^2+\left ( \dfrac{y}{5} \right )^2=1\)
20)\(\begin{cases} & x(t)= 3\sin t\\ & y(t)= 6\cos t \end{cases}\)
21)\(\begin{cases} & x(t)= 2\cos ^2t\\ & y(t)= -\sin t \end{cases}\)
- Responda
-
\(y^2=1-\dfrac{1}{2}x\)
22)\(\begin{cases} & x(t)= \cos t+4\\ & y(t)= 2\sin ^2t \end{cases}\)
23)\(\begin{cases} & x(t)= t-1\\ & y(t)= t^2 \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=x^2+2x+1\)
24)\(\begin{cases} & x(t)= -t\\ & y(t)= t^3+1 \end{cases}\)
25)\(\begin{cases} & x(t)= 2t-1\\ & y(t)= t^3-2 \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=\left ( \dfrac{x+1}{2} \right )^3 - 2\)
Para os exercícios 26-29, reescreva a equação paramétrica como uma equação cartesiana construindo uma\(x-y\) tabela.
26)\(\begin{cases} & x(t)= 2t-1\\ & y(t)= t+4 \end{cases}\)
27)\(\begin{cases} & x(t)= 4-t\\ & y(t)= 3t+2 \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=-3x+14\)
28)\(\begin{cases} & x(t)= 2t-1\\ & y(t)= 5t \end{cases}\)
29)\(\begin{cases} & x(t)= 4t-1\\ & y(t)= 4t+2 \end{cases}\)
- Responda
-
\(y=x+3\)
Para os exercícios 30-33, parametrize (escreva equações paramétricas para) cada equação cartesiana por configuração\(x(t)=t\) ou configuração\(y(t)=t\).
30)\(y(x)=3x^2 + 3\)
31)\(y(x)=2\sin x + 1\)
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= t\\ & y(t)= 2\sin t + 1 \end{cases}\)
32)\(x(y)=3\log (y)+y\)
33)\(x(y)=\sqrt{y}+2y\)
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= \sqrt{t}+2t\\ & y(t)= t \end{cases}\)
Para os exercícios 34-41, parametrize (escreva equações paramétricas para) cada equação cartesiana usando\(x(t)=a\cos t\)\(y(t)=b\sin t\) e. Identifique a curva.
34)\(\dfrac{x^2}{4}+\dfrac{x^2}{9}=1\)
(35)\(\dfrac{x^2}{16}+\dfrac{x^2}{36}=1\)
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= 4\cos t\\ & y(t)= 6\sin t \end{cases}; \text{Ellipse}\)
36)\(x^2 + y^2 = 16\)
37)\(x^2 + y^2 = 10\)
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= \sqrt{10}\cos t\\ & y(t)= \sqrt{10}\sin t \end{cases}; \text{Circle}\)
38) Parametrize\((3,0)\) a linha de\((-2,-5)\) para que a linha esteja\((3,0)\) em\(t=0\) em e\((-2,-5)\) em\(t=1\).
39) Parametrize a linha de\((-1,0)\)\((3,-2)\) até para que a linha esteja\((-1,0)\) em\(t=0\) em e\((3,-2)\) em\(t=1\).
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= -1+4t\\ & y(t)= -2t \end{cases}\)
40) Parametrize\((-1,5)\) a linha de\((2,3)\) para que a linha esteja\((-1,5)\) em\(t=0\) em e\((2,3)\) em\(t=1\).
41) Parametrize\((4,1)\) a linha de\((6,-2)\) para que a linha esteja\((4,1)\) em\(t=0\) em e\((6,-2)\) em\(t=1\).
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= 4+2t\\ & y(t)= 1-3t \end{cases}\)
Tecnologia
Para os exercícios 42-43, use o recurso de tabela na calculadora gráfica para determinar se os gráficos se cruzam.
(42)\(\begin{cases} & x_1(t)= 3t\\ & y_1(t)= 2t-1 \end{cases}\; \; \text{and}\; \; \begin{cases} & x_2(t)= t+3\\ & y_2(t)= 4t-4 \end{cases}\)
43)\(\begin{cases} & x_1(t)= t^2\\ & y_1(t)= 2t-1 \end{cases}\; \; \text{and}\; \; \begin{cases} & x_2(t)= -t+6\\ & y_2(t)= t+1 \end{cases}\)
- Responda
-
sim, em\(t=2\)
Para os exercícios 44-46, use uma calculadora gráfica para completar a tabela de valores para cada conjunto de equações paramétricas.
44)\(\begin{cases} & x_1(t)= 3t^2-3t+7\\ & y_1(t)= 2t+3 \end{cases}\)
\(t\) | \(x\) | \(y\) |
---|---|---|
\ (t\) ">-1 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">0 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">1 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
45)\(\begin{cases} & x_1(t)= t^2-4\\ & y_1(t)= 2t^2-1 \end{cases}\)
\(t\) | \(x\) | \(y\) |
---|---|---|
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento texto:centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">1 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> |
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo acolchoado: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento direito: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; vertical; al-align:top; quebra de palavra:palavra quebrada; ">2 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-position y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; al-align:top; quebra de palavra:quebra de palavra; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo acolchoado: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento direito: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; vertical; al-align:top; quebra de palavra:quebra de palavra; "> |
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo da borda superior:tracejada; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">3 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> |
- Responda
-
\(t\) \(x\) \(y\) \ (t\) ">1 \ (x\) ">-3 \ (y\) ">1 \ (t\) ">2 \ (x\) ">0 \ (y\) ">7 \ (t\) ">3 \ (x\) ">5 \ (y\) ">17
(46)\(\begin{cases} & x_1(t)= t^4\\ & y_1(t)= t^3+4 \end{cases}\)
\(t\) | \(x\) | \(y\) |
---|---|---|
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento texto:centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">-1 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> |
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo acolchoado: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento direito: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; vertical; al-align:top; quebra de palavra:palavra quebrada; ">0 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-position y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo acolchoado: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento direito: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; vertical; al-align:top; quebra de palavra:quebra de palavra; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-color: rgb (239, 239, 239); imagem de fundo: nenhuma; origem do fundo-:caixa de preenchimento; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x: 0%; background-repeat; background-sition-y: 0%; background-repeat:repeat; background-sition-x ze:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom-: tracejado; border-bottom-width:1px; border-image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; borda esquerda:borda -largura esquerda:1 px; cor da borda direita:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejada; borda direita- largura: 1 px; cor da borda superior: rgb (204, 204, 204); estilo borda superior: tracejado; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo acolchoado: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento direito: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; texto alinhado: centro; vertical; al-align:top; quebra de palavra:quebra de palavra; "> |
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento esquerdo: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento texto:centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">1 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> |
\ (t\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo da borda superior:tracejada; largura da borda superior: 1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">2 | \ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> | \ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; "> |
Extensões
47) Encontre dois conjuntos diferentes de equações paramétricas para\(y=(x+1)^2\).
- Responda
-
as respostas podem variar:\(\begin{cases} & x(t)= t-1\\ & y(t)= t^2 \end{cases}\; \; \text{and}\; \; \begin{cases} & x(t)= t+1\\ & y(t)= (t+2)^2 \end{cases}\)
48) Encontre dois conjuntos diferentes de equações paramétricas para\(y=3x-2\).
49) Encontre dois conjuntos diferentes de equações paramétricas para\(y=x^2-4x+4\).
- Responda
-
as respostas podem variar:\(\begin{cases} & x(t)= t\\ & y(t)= t^2-4t+4 \end{cases}\; \; \text{and}\; \; \begin{cases} & x(t)= t+2\\ & y(t)= t^2 \end{cases}\)
8.7: Equações paramétricas - Gráficos
Verbal
1) Quais são os dois métodos usados para representar graficamente equações paramétricas?
- Responda
-
traçar pontos com a seta de orientação e uma calculadora gráfica
2) Qual é a diferença nas equações paramétricas de plotagem de pontos em comparação com as equações cartesianas?
3) Por que alguns gráficos são desenhados com setas?
- Responda
-
As setas mostram a orientação, a direção do movimento de acordo com os valores crescentes de\(t\).
4) Cite alguns tipos comuns de gráficos de equações paramétricas.
5) Por que os gráficos paramétricos são importantes para entender o movimento do projétil?
- Responda
-
As equações paramétricas mostram os diferentes movimentos verticais e horizontais ao longo do tempo.
Gráfica
Para os exercícios 6-11, represente graficamente cada conjunto de equações paramétricas fazendo uma tabela de valores. Inclua a orientação no gráfico.
6)\(\begin{cases} & x(t)= t\\ & y(t)= t^2-1 \end{cases}\)
\(t\) | \(x\) | \(y\) |
---|---|---|
\ (t\) ">-3 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">-2 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">-1 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">0 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">1 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">2 | \ (x\) "> | \ (y\) "> |
\ (t\) ">3 |
7)\(\begin{cases} & x(t)= t-1\\ & y(t)= t^2 \end{cases}\)
\(t\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|---|
\(x\) | ||||||
\(y\) |
- Responda
-
8)\(\begin{cases} & x(t)= 2+t\\ & y(t)= 3-2t \end{cases}\)
\(t\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
---|---|---|---|---|---|---|
\(x\) | ||||||
\(y\) |
9)\(\begin{cases} & x(t)= -2-2t\\ & y(t)= 3+t \end{cases}\)
\(t\) | -3 | -2 | -1 | 0 | 1 |
---|---|---|---|---|---|
\(x\) | |||||
\(y\) |
- Responda
-
10)\(\begin{cases} & x(t)= t^3\\ & y(t)= t+2 \end{cases}\)
\(t\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
\(x\) | |||||
\(y\) |
11)\(\begin{cases} & x(t)= t^2\\ & y(t)= t+3 \end{cases}\)
\(t\) | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 |
---|---|---|---|---|---|
\(x\) | |||||
\(y\) |
- Responda
-
Para os exercícios 12-22, desenhe a curva e inclua a orientação.
12)\(\begin{cases} & x(t)= t\\ & y(t)= \sqrt{t} \end{cases}\)
13)\(\begin{cases} & x(t)= -\sqrt{t}\\ & y(t)= t \end{cases}\)
- Responda
-
14)\(\begin{cases} & x(t)= 5-\left | t \right |\\ & y(t)= t+2 \end{cases}\)
15)\(\begin{cases} & x(t)= -t+2\\ & y(t)= 5-\left | t \right | \end{cases}\)
- Responda
-
16)\(\begin{cases} & x(t)= 4\sin t\\ & y(t)= 2\cos t \end{cases}\)
17)\(\begin{cases} & x(t)= 2\sin t\\ & y(t)= 4\cos t \end{cases}\)
- Responda
-
18)\(\begin{cases} & x(t)= 3\cos ^2t\\ & y(t)= -3\sin t \end{cases}\)
19)\(\begin{cases} & x(t)= 3\cos ^2t\\ & y(t)= -3\sin ^2t \end{cases}\)
- Responda
-
20)\(\begin{cases} & x(t)= \sec t\\ & y(t)= \tan t \end{cases}\)
21)\(\begin{cases} & x(t)= \sec t\\ & y(t)= \tan ^2t \end{cases}\)
- Responda
-
22)\(\begin{cases} & x(t)= \dfrac{1}{e^{2t}}\\ & y(t)= e^{-t} \end{cases}\)
Para os exercícios 23-27, faça um gráfico da equação e inclua a orientação. Em seguida, escreva a equação cartesiana.
23)\(\begin{cases} & x(t)= t-1\\ & y(t)= -t^2 \end{cases}\)
- Responda
-
24)\(\begin{cases} & x(t)= t^3\\ & y(t)= t+3 \end{cases}\)
25)\(\begin{cases} & x(t)= 2\cos t\\ & y(t)= -\sin t \end{cases}\)
- Responda
-
26)\(\begin{cases} & x(t)= 7\cos t\\ & y(t)= 7\sin t \end{cases}\)
27)\(\begin{cases} & x(t)= e^{2t}\\ & y(t)= -e^{t} \end{cases}\)
- Responda
-
Para os exercícios 28-33, faça um gráfico da equação e inclua a orientação.
28)\(x=t^2, y = 3t, 0\leq t\leq 5\)
29)\(x=2t, y = t^2, -5\leq t\leq 5\)
- Responda
-
30)\(x=t, y=\sqrt{25-t^2}, 0<t\leq>
31)\(x(t)=-t,y(t)=\sqrt{t}, t\geq 0\)
- Responda
-
32)\(x=-2\cos t, y=6\sin t, 0\leq t\leq \pi\)
33)\(x=-\sec t, y=\tan t, -\dfrac{\pi }{2}< t< \dfrac{\pi }{2}\)
- Responda
-
Para os exercícios 34-41, use as equações paramétricas para números inteiros\(a\) e\(b\):\[\begin{align*} x(t) &= a\cos ((a+b)t)\\ y(t) &= a\cos ((a-b)t) \end{align*} \nonumber\]
34) Gráfico sobre o domínio\([-\pi ,0]\), onde\(a=2\) e e\(b=1\) inclua a orientação.
35) Gráfico sobre o domínio\([-\pi ,0]\), onde\(a=3\) e e\(b=2\) inclua a orientação.
- Responda
-
36) Gráfico sobre o domínio\([-\pi ,0]\), onde\(a=4\) e e\(b=3\) inclua a orientação.
37) Gráfico sobre o domínio\([-\pi ,0]\), onde\(a=5\) e e\(b=4\) inclua a orientação.
- Responda
-
38) Se\(a\) for\(1\) maior que\(b\), descreva o efeito que os valores de\(a\) e\(b\) têm no gráfico das equações paramétricas.
39) Descreva o gráfico se\(a=100\)\(b=99\) e.
- Responda
-
Haverá movimentos de\(100\) ida e volta.
40) O que acontece se\(b\)
41) Se as equações\(x(t)=t^2\) paramétricas\(y(t)=6-3t\) tivessem o gráfico de uma parábola horizontal se abrindo para a direita, o que mudaria a direção da curva?
- Responda
-
Veja o oposto da\(x(t)\) equação.
Para os exercícios 42-46, descreva o gráfico do conjunto de equações paramétricas.
42)\(x(t)=-t^2\) e\(y(t)\) é linear
43)\(y(t)=t^2\) e\(x(t)\) é linear
- Responda
-
A parábola se abre.
44)\(y(t)=-t^2\) e\(x(t)\) é linear
45) Escreva as equações paramétricas de uma circunferência com centro\((0,0)\)
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= 5\cos t\\ & y(t)= 5\sin t \end{cases}\)
46) Escreva as equações paramétricas de uma elipse com centro\((0,0)\)
Para os exercícios 47-52, use um utilitário gráfico para representar graficamente\([-3,3]\) na janela\([-3,3]\) por no domínio\([0,2\pi )\) os seguintes valores de \(a\)e e\(b\) e incluir a orientação. \[\begin{cases} & x(t)= \sin (at)\\ & y(t)= \sin (bt) \end{cases} \nonumber\]
47)\(a=1,b=2\)
- Responda
-
48)\(a=2, b=1\)
49)\(a=3, b=3\)
- Responda
-
50)\(a=5, b=5\)
51)\(a=2, b=5\)
- Responda
-
52)\(a=5, b=2\)
Tecnologia
Para os exercícios 53-56, veja os gráficos que foram criados por equações paramétricas do formulário\[\begin{cases} & x(t)= a\cos (bt)\\ & y(t)= c\sin (dt) \end{cases} \nonumber\] Use o modo paramétrico na calculadora gráfica para encontrar os valores e\(d\) obter cada gráfico.\(a, b, c \)
53)
- Responda
-
\(a=4, b=3, c=6, d=1\)
54)
55)
- Responda
-
\(a=4, b=2, c=3, d=3\)
(56)
Para os exercícios 57-62, use um utilitário gráfico para representar graficamente as equações paramétricas fornecidas.
\[\begin{cases} & x(t)= \cos t-1\\ & y(t)= \sin t+t \end{cases} \nonumber\]
\[\begin{cases} & x(t)= \cos t+t\\ & y(t)= \sin t-1 \end{cases} \nonumber\]
\[\begin{cases} & x(t)= t-\sin t\\ & y(t)= \cos t-1 \end{cases} \nonumber\]
57) Representar graficamente todos os três conjuntos de equações paramétricas no domínio\([0,2\pi ]\).
- Responda
-
58) Representar graficamente todos os três conjuntos de equações paramétricas no domínio\([0,4\pi]\).
59) Representar graficamente todos os três conjuntos de equações paramétricas no domínio\([-4\pi ,6\pi]\).
- Responda
-
60) O gráfico de cada conjunto de equações paramétricas parece “se arrastar” ao longo de um dos eixos. O que controla em qual eixo o gráfico se arrasta?
61) Explique o efeito no gráfico da equação paramétrica quando trocamos\(\sin t\)\(\cos t\) e.
- Responda
-
O\(y\) -intercept muda.
62) Explique o efeito no gráfico da equação paramétrica quando mudamos o domínio.
Extensões
63) Um objeto é lançado no ar com velocidade vertical de\(20\) pés/s e velocidade horizontal de\(15\) pés/s. A altura do objeto pode ser descrita pela equação\(y(t)=-16t^2+20t\), enquanto o objeto se move horizontalmente com velocidade constante\(15\) ft/s. Escreva equações paramétricas para o objeto posição e, em seguida, elimine o tempo para escrever a altura em função da posição horizontal.
- Responda
-
\(y(x)=-16\left ( \dfrac{x}{15} \right )^2+20\left ( \dfrac{x}{15} \right )\)
64) Um skatista andando em uma superfície nivelada a uma velocidade constante de\(9\) pés/s joga uma bola no ar, cuja altura pode ser descrita pela equação\(y(t)=-16t^2+10t+5\). Escreva equações paramétricas para a posição da bola e, em seguida, elimine o tempo para escrever a altura em função da posição horizontal.
Para os exercícios 65-69, use este cenário: Um dardo é lançado para cima com uma velocidade inicial de\(65\) pés/s em um ângulo de elevação de\(52^{\circ}\). Considere a posição do dardo a qualquer momento\(t\). Negligencie a resistência do ar.
65) Encontre equações paramétricas que modelam a situação do problema.
- Responda
-
\(\begin{cases} & x(t)= 64t\cos (52^{\circ})\\ & y(t)= -16t^2+64t\sin (52^{\circ}) \end{cases}\)
66) Encontre todos os valores possíveis\(x\) que representem a situação.
67) Quando o dardo atingirá o chão?
- Responda
-
aproximadamente\(3.2\) segundos
68) Encontre a altura máxima do dardo.
69) Em que momento o dardo atingirá a altura máxima?
- Responda
-
\(1.6\)segundos
Para os exercícios 70-73, veja os gráficos de cada uma das quatro equações paramétricas. Embora pareçam incomuns e bonitas, são tão comuns que têm nomes, conforme indicado em cada exercício. Use um utilitário gráfico para representar graficamente cada um no domínio indicado.
70)\(\text{An epicycloid}\begin{cases} & x(t)= 14\cos t-\cos (14t)\\ & y(t)= 14\sin t+\sin (14t) \end{cases}\; \; \text{on the domain }[0,2\pi ]\)
71)\(\text{An hypocycloid}\begin{cases} & x(t)= 6\sin t+2\sin (6t)\\ & y(t)= 6\cos t-2\cos (6t) \end{cases}\; \; \text{on the domain }[0,2\pi ]\)
- Responda
-
72)\(\text{An hypotrochoid}\begin{cases} & x(t)= 2\sin t+5\cos (6t)\\ & y(t)= 5\cos t-2\sin (6t) \end{cases}\; \; \text{on the domain }[0,2\pi ]\)
73)\(\text{A rose}\begin{cases} & x(t)= 5\sin (2t)\sin t\\ & y(t)= 5\sin (2t)\cos t \end{cases}\; \; \text{on the domain }[0,2\pi ]\)
- Responda
-
8.8: Vetores
Verbal
1) Quais são as características das letras que são comumente usadas para representar vetores?
- Responda
-
minúscula, letra em negrito, geralmente\(u, v, w\)
2) Como um vetor é mais específico do que um segmento de linha?
3) O que são\(i\) e\(j\) o que eles representam?
- Responda
-
Eles são vetores unitários. Eles são usados para representar os componentes horizontais e verticais de um vetor. Cada um deles tem uma magnitude de\(1\).
4) O que é formulário de componente?
5) Quando um vetor unitário é expresso como\(\left \langle a,b \right \rangle\) qual letra é o coeficiente de\(i\) e qual o\(j\)?
- Responda
-
O primeiro número sempre representa o coeficiente de\(i\) e o segundo representa\(j\) o.
Algébrico
6) Dado um vetor com ponto inicial\((5,2)\) e ponto terminal\((-1,-3)\), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja\((0,0)\). Escreva o vetor em forma de componente\(\left \langle a,b \right \rangle\).
7) Dado um vetor com ponto inicial\((-4,2)\) e ponto terminal,\((3,-3)\), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja\((0,0)\). Escreva o vetor na forma de componente\(\left \langle a,b \right \rangle\).
- Responda
-
\(\left \langle 7,-5 \right \rangle\)
8) Dado um vetor com ponto inicial\((7,-1)\) e ponto terminal,\((-1,-7)\), encontre um vetor equivalente cujo ponto inicial seja\((0,0)\). Escreva o vetor na forma de componente\(\left \langle a,b \right \rangle\).
Para os exercícios 9-15, determine se os dois vetores\(u\)\(v\) são iguais, onde\(u\) tem um ponto inicial\(P_1\) e um ponto terminal\(P_2\) e\(v\) tem um ponto inicial\(P_3\) e um ponto terminal\(P_4\).
9)\(P_1=(5,1), P_2=(3,-2), P_3=(-1,3), P4=(9,−4)\)
- Responda
-
não é igual
10)\(P_1=(2,-3), P_2=(5,1), P_3=(6,-1), P_4=(9,3)\)
11)\(P_1=(-1,-1), P_2=(-4,5), P_3=(-10,6), P_4=(-13,12)\)
- Responda
-
igual
12)\(P_1=(3,7), P_2=(2,1), P_3=(1,2), P_4=(-1,-4)\)
13)\(P_1=(8,3), P_2=(6,5), P_3=(11,8), P4=(9,10)\)
- Responda
-
igual
14) Dado o ponto inicial\(P_1=(-3,1)\) e o ponto terminal\(P_2=(5,2)\), escreva o vetor\(v\) em termos de\(i\)\(j\) e.
15) Dado o ponto inicial\(P_1=(6,0)\) e o ponto terminal,\(P_2=(-1,-3)\), escreva o vetor\(v\) em termos de\(i\) e\(j\).
- Responda
-
\(7i-3j\)
Para os exercícios 16-17, use os vetores\(u = i+5j, v = -2i-3j, w = 4i-j\)
16) Encontre\(u+(v-w)\)
17) Encontre\(4v+2u\)
- Responda
-
\(-6i-2j\)
Para os exercícios 18-21, use os vetores fornecidos para calcular\(u + v, u - v, 2u - 3v\)
18)\(u=\left \langle 2,-3 \right \rangle, v=\left \langle 1,5 \right \rangle\)
1 (9)\(u=\left \langle -3,4 \right \rangle, v=\left \langle -2,1 \right \rangle\)
- Responda
-
\(u+v=\left \langle -5,5 \right \rangle,u-v=\left \langle -1,3 \right \rangle,2u-3v=\left \langle 0,5 \right \rangle\)
20) Deixe\(v = -4i + 3j\). Encontre um vetor que tenha metade do comprimento e aponte na mesma direção que\(v\).
21) Deixe\(v = 5i + 2j\). Encontre um vetor que tenha o dobro do comprimento e aponte na direção oposta\(v\).
- Responda
-
\(-10i-4j\)
Para os exercícios 22-27, encontre um vetor unitário na mesma direção do vetor fornecido.
22)\(a = 3i + 4j\)
23)\(b = -2i + 5j\)
- Responda
-
\(-\dfrac{2\sqrt{29}}{29}i+\dfrac{5\sqrt{29}}{29}j\)
24)\(c = 10i - j\)
25)\(d=-\dfrac{1}{3}i+\dfrac{5}{2}j\)
- Responda
-
\(-\dfrac{2\sqrt{229}}{229}i+\dfrac{15\sqrt{229}}{229}j\)
26)\(u = 100i + 200j\)
27)\(u = -14i + 2j\)
- Responda
-
\(-\dfrac{7\sqrt{2}}{10}i+\dfrac{\sqrt{2}}{10}j\)
Para os exercícios 28-35, determine a magnitude e a direção do vetor,\(0\leq \theta < 2\pi\).
28)\(\left \langle 0,4 \right \rangle\)
29)\(\left \langle 6,5 \right \rangle\)
- Responda
-
\(\left | v \right |=7.810, \theta =39.806^{\circ}\)
30)\(\left \langle 2,-5 \right \rangle\)
31)\(\left \langle -4,-6 \right \rangle\)
- Responda
-
\(\left | v \right |=7.211, \theta =236.310^{\circ}\)
32) Dado\(u = 3i − 4j\) e\(v = −2i + 3j\), calcule\(u\cdot v\).
33) Dado\(u = −i − j\) e\(v = i + 5j\), calcule\(u\cdot v\).
- Responda
-
\(-6\)
34) Dado\(u=\left \langle -2,4 \right \rangle\) e\(v=\left \langle -3,1 \right \rangle\)
35) Dado\(u=\left \langle -1,6 \right \rangle\) e\(v=\left \langle 6,-1 \right \rangle\)
- Responda
-
\(-12\)
Gráfica
Para os exercícios de 36-,38 dados\(v\)\(v\), desenhe\(3v\),\(\dfrac{1}{2}v\) e.
36)\(\left \langle 2,-1 \right \rangle\)
37)\(\left \langle -1,4 \right \rangle\)
- Responda
-
38)\(\left \langle -3,-2 \right \rangle\)
Para os exercícios 39-41, use os vetores mostrados para esboçar\(u + v\)\(u − v\),\(2u\) e.
39)
- Responda
-
40)
41)
- Responda
-
Para os exercícios 42-43, use os vetores mostrados para esboçar\(2u + v\).
(42)
43)
- Responda
-
Para os exercícios 44-45, use os vetores mostrados para esboçar\(u − 3v\).
44)
45)
- Responda
-
Para os exercícios 46-47, escreva o vetor mostrado na forma de componente.
(46)
47)
- Responda
-
\(\left \langle 4,1 \right \rangle\)
48) Dado o ponto inicial\(P_1=(2,1\) e o ponto terminal\(P_2=(-1,2)\)
49) Dado o ponto inicial\(P_1=(4,-1\) e o ponto terminal\(P_2=(-3,2)\), escreva o vetor\(v\) em termos de\(i\)\(j\) e. Desenhe os pontos e o vetor no gráfico.
- Responda
-
\(v=-7i+3j\)
50) Dado o ponto inicial\(P_1=(3,3\) e o ponto terminal\(P_2=(-3,3)\), escreva o vetor\(v\) em termos de\(i\)\(j\) e. Desenhe os pontos e o vetor no gráfico.
Extensões
Para os exercícios 51-54, use a magnitude e a direção dadas na posição padrão, escreva o vetor na forma de componente.
51)\(\left | v \right |=6, \theta =45^{\circ}\)
- Responda
-
\(3\sqrt{2}i+3\sqrt{2}j\)
52)\(\left | v \right |=8, \theta =220^{\circ}\)
53)\(\left | v \right |=2, \theta =300^{\circ}\)
- Responda
-
\(i-\sqrt{3}j\)
54)\(\left | v \right |=5, \theta =135^{\circ}\)
55) Uma caixa de 2\(60\) libras está apoiada em uma rampa inclinada\(12^{\circ}\). Arredondando para o décimo mais próximo,
- Determine a magnitude do componente normal (perpendicular) da força.
- Determine a magnitude do componente da força que é paralelo à rampa.
- Responda
-
- \(58.7\)
- \(12.5\)
56) Uma caixa de 2\(25\) libras está apoiada em uma rampa inclinada\(8^{\circ}\). Arredondando para o décimo mais próximo,
- Determine a magnitude do componente normal (perpendicular) da força.
- Determine a magnitude do componente da força que é paralelo à rampa.
57) Encontre a magnitude dos componentes horizontal e vertical de um vetor com\(8\) libras de magnitude apontadas em uma direção\(27^{\circ}\) acima da horizontal. Arredonde para o centésimo mais próximo.
- Responda
-
\(x=7.13\)libras,\(y=3.63\) libras
58) Encontre a magnitude dos componentes horizontal e vertical do vetor com\(4\) libras de magnitude apontadas em uma direção\(127^{\circ}\) acima da horizontal. Arredonde para o centésimo mais próximo.
59) Encontre a magnitude dos componentes horizontal e vertical de um vetor com\(5\) libras de magnitude apontadas em uma direção\(55^{\circ}\) acima da horizontal. Arredonde para o centésimo mais próximo.
- Responda
-
\(x=2.87\)libras,\(y=4.10\) libras
60) Encontre a magnitude dos componentes horizontal e vertical do vetor com a\(1\) libra de magnitude apontada em uma direção\(8^{\circ}\) acima da horizontal. Arredonde para o centésimo mais próximo.
Aplicativos do mundo real
61) Uma mulher sai de casa e caminha\(3\) milhas para oeste, depois\(2\) milhas para sudoeste. A que distância ela está de casa e em que direção ela deve caminhar para ir diretamente para casa?
- Responda
-
\(4.635\)milhas,\(17.764^{\circ}\) N ou E
62) Um barco sai da marina e navega\(6\) milhas ao norte, depois\(2\) milhas a nordeste. A que distância da marina está o barco e em que direção ele deve navegar para voltar diretamente para a marina?
63) Um homem começa a andar de casa e caminha\(4\) milhas a leste,\(2\) milhas sudeste,\(5\) milhas ao sul,\(4\) milhas a sudoeste e\(2\) milhas a leste. Até onde ele andou? Se ele fosse direto para casa, até onde ele teria que andar?
- Responda
-
\(17\)milhas,\(10.318\) milhas
64) Uma mulher começa a andar de casa e caminha\(4\) milhas a leste,\(7\) milhas sudeste,\(6\) milhas ao sul,\(5\) milhas a sudoeste e\(3\) milhas a leste. Até onde ela andou? Se ela fosse direto para casa, até onde ela teria que andar?
65) Um homem começa a andar de casa e caminha\(3\) milhas\(20^{\circ}\) ao norte do oeste, depois\(5\) milhas a\(10^{\circ}\) oeste do sul, depois\(4\) milhas ao\(15^{\circ}\) norte do leste. Se ele fosse direto para casa, até onde ele teria até a caminhada e em que direção?
- Responda
-
Distância:\(2.868\), Direção:\(86.474^{\circ}\) Norte do Oeste ou\(3.526^{\circ}\) Oeste do Norte
66) Uma mulher começa a andar de casa e caminha\(6\) milhas\(40^{\circ}\) ao norte do leste, depois\(2\) milhas a\(15^{\circ}\) leste do sul, depois\(5\) milhas ao\(30^{\circ}\) sul do oeste. Se ela fosse direto para casa, até onde ela teria que andar e em que direção?
67) Um avião está indo para o norte a uma velocidade aérea de\(600\) km/h, mas há um vento soprando do sudoeste a\(80\) km/h. A quantos graus de distância o avião acabará voando e qual é a velocidade do avião em relação ao solo?
- Responda
-
\(4.924^{\circ}\), 659 km/h
68) Um avião está indo para o norte a uma velocidade aérea de\(500\) km/h, mas há um vento soprando do noroeste a\(50\) km/h. A quantos graus de distância o avião acabará voando e qual é a velocidade do avião em relação ao solo?
69) Um avião precisa seguir para o norte, mas há um vento soprando do sudoeste a\(60\) km/h. O avião voa com uma velocidade aérea de\(550\) km/h. Para acabar voando para o norte, quantos graus a oeste do norte o piloto precisará para pilotar o avião?
- Responda
-
\(4.424^{\circ}\)
70) Um avião precisa seguir para o norte, mas há um vento soprando do noroeste a\(80\) km/h. O avião voa com uma velocidade aérea de\(500\) km/h. Para acabar voando para o norte, quantos graus a oeste do norte o piloto precisará para pilotar o avião?
71) Como parte de um videogame, o ponto\((5,7)\) é girado no sentido anti-horário em torno da origem através de um ângulo de\(35^{\circ}\). Encontre as novas coordenadas deste ponto.
- Responda
-
\((0.081,8.602)\)
72) Como parte de um videogame, o ponto\((7,3)\) é girado no sentido anti-horário em torno da origem através de um ângulo de\(40^{\circ}\). Encontre as novas coordenadas desse ponto.
73) Duas crianças estão jogando uma bola para frente e para trás diretamente no banco traseiro de um carro. A bola está sendo lançada\(10\) mph em relação ao carro, e o carro está viajando\(25\) mph pela estrada. Se uma criança não pega a bola e ela voa pela janela, em que direção a bola voa (ignorando a resistência do vento)?
- Responda
-
\(21.801^{\circ}\), em relação à direção para frente do carro
74) Duas crianças estão jogando uma bola para frente e para trás diretamente no banco traseiro de um carro. A bola está sendo lançada\(8\) mph em relação ao carro, e o carro está viajando\(45\) mph pela estrada. Se uma criança não pega a bola e ela voa pela janela, em que direção a bola voa (ignorando a resistência do vento)?
75) Um objeto\(50\) de 5 quilos repousa sobre uma rampa inclinada\(19^{\circ}\). Encontre a magnitude dos componentes da força paralela e perpendicular (normal) à rampa até o décimo de libra mais próximo.
- Responda
-
paralelo:\(16.28\), perpendicular:\(47.28\) libras
76) Suponha que um corpo tenha uma força de\(10\) libras agindo sobre ele para a direita,\(25\) libras agindo sobre ele para cima e\(5\) libras agindo sobre ele a\(45^{\circ}\) partir da horizontal. Qual força única é a força resultante atuando no corpo?
77) Suponha que um corpo tenha uma força de\(10\) libras agindo sobre ele para a direita,\(25\) libras agindo sobre ele ─\(135^{\circ}\) da horizontal e\(5\) libras agindo sobre ele direcionadas\(150^{\circ}\) da horizontal. Qual força única é a força resultante atuando no corpo?
- Responda
-
\(19.35\)libras,\(231.54^{\circ}\) a partir da horizontal
78) A condição de equilíbrio é quando a soma das forças que atuam em um corpo é o vetor zero. Suponha que um corpo tenha uma força de\(2\) libras agindo sobre ele para a direita,\(5\) libras agindo sobre ele para cima e\(3\) libras agindo sobre ele a\(45^{\circ}\) partir da horizontal. Que força única é necessária para produzir um estado de equilíbrio no corpo?
79) Suponha que um corpo tenha uma força de\(3\) libras agindo sobre ele para a esquerda,\(4\) libras agindo sobre ele para cima e\(2\) libras agindo sobre ele a\(30^{\circ}\) partir da horizontal. Que força única é necessária para produzir um estado de equilíbrio no corpo? Desenhe o vetor.
- Responda
-
\(5.1583\)libras,\(75.8^{\circ}\) a partir da horizontal