# 7.R: Identidades e equações trigonométricas (Revisão)

$$\newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} }$$ $$\newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}}$$$$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$ $$\newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$$ $$\newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$$ $$\newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$$ $$\newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$$ $$\newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$$ $$\newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$$ $$\newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$$ $$\newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$$

## 7.1: Resolvendo equações trigonométricas com identidades

Para os exercícios 1-6, encontre exatamente todas as soluções que existem no intervalo$$[0,2\pi )$$.

1)$$\csc ^2 t=3$$

Resposta

$$\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), \pi +\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right ), 2\pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{3} \right )$$

2)$$\cos ^2 x=\dfrac{1}{4}$$

3)$$2\sin \theta =-1$$

Resposta

$$\dfrac{7\pi }{6}, \dfrac{11\pi }{6}$$

4)$$\tan x \sin x+\sin(-x)=0$$

5)$$9\sin \omega -2=4\sin^2 \omega$$

Resposta

$$\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right ), \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right )$$

6)$$1-2\tan(\omega )=\tan^2(\omega )$$

Para os exercícios 7-8, use identidades básicas para simplificar a expressão.

7)$$\sec x \cos x+\cos x-\dfrac{1}{\sec x}$$

Resposta

$$1$$

8)$$\sin^3 x+\cos^2 x \sin x$$

Para os exercícios 9-10, determine se as identidades fornecidas são equivalentes.

9)$$\sin^2 x+\sec^2 x -1=\dfrac{(1-\cos ^2 x)(1+\cos ^2 x)}{\cos ^2 x}$$

Resposta

sim

10)$$\tan^3 x \csc^2 x \cot^2 x \cos x \sin x=1$$

## 7.2: Identidades de soma e diferença

Para os exercícios 1-4, encontre o valor exato.

1)$$\tan \left (\dfrac{7\pi }{12} \right )$$

Resposta

$$-2-\sqrt{3}$$

2)$$\cos \left (\dfrac{25\pi }{12} \right )$$

3)$$\sin(70^{\circ})\cos(25^{\circ})-\cos(70^{\circ})\sin(25^{\circ})$$

Resposta

$$\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

4)$$\cos(83^{\circ})\cos(23^{\circ})+\sin(83^{\circ})\sin(23^{\circ})$$

Para os exercícios 5-6, prove a identidade.

5)$$\cos(4x)-\cos(3x)\cos x=\sin^2 x-4\cos^2 x \sin^2 x$$

Resposta

\ (\ begin {align*}
\ cos (4x) -\ cos (3x)\ cos x &=\ cos (2x+2x) -\ cos (x+2x)\ cos x\\
&=\ cos (2x)\ cos (2x) -\ sin (2x)\ sin (2x) -\ cos x\ cos (2x)\ cos x+\ sin x\ sin (2x)\ cos x\\
&= (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) ^2-4\ cos ^2 x\ sin ^2 x-\ cos ^2 x (\ cos ^2
x-\ sin ^2 x) +\ sin x (2)\ sin x\ cos x\ cos x\\
&= (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) ^2-4\ cos ^2 x\ sin ^2 x-\ cos ^2 x (\ cos ^2 x-\ sin ^2 x) +2\ sin ^2 x\ cos ^2 x\\
&=\ cos ^4x-2\ cos^2x\ sin^2x+\ sin ^4-\ cos^2x\ sin^2x-\ cos^4x+\ cos^2x\ sin^2x+2\ sin^2x\ cos^2x\\
&= \ sin^4x-4\ cos^2x\ sin^2x+\ cos^2x\ sin^2x\\
&=\ sin^2x (\ sin^2x+\ cos^2x) -4\ cos^2x\ sin^2x\\
&=\ sin^2 x-4\ cos^2 x\ sin^2 x
\ end {alinhamento*}\)

6)$$\cos(3x)-\cos^3x=-\cos x \sin^2x-\sin x \sin(2x)$$

Para o exercício 7, simplifique a expressão.

7)$$\dfrac{\tan \left ( \tfrac{1}{2}x \right )+\tan \left ( \tfrac{1}{8}x \right )}{1-\tan \left ( \tfrac{1}{8}x \right )\tan \left ( \tfrac{1}{2}x \right )}$$

Resposta

$$\tan \left ( \dfrac{5}{8}x \right )$$

Para os exercícios 8-9, encontre o valor exato.

8)$$\cos \left ( \sin^{-1}(0)-\cos^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \right )$$

9)$$\tan \left ( \sin^{-1}(0)-\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right ) \right )$$

Resposta

$$\dfrac{\sqrt{3}}{3}$$

## 7.3: Fórmulas de ângulo duplo, meio ângulo e redução

Para os exercícios 1-4, encontre o valor exato.

1) Encontre$$\sin (2\theta )$$,$$\cos (2\theta )$$,e$$\tan (2\theta )$$ dado$$\cos \theta =-\dfrac{1}{3}$$ e$$\theta$$ está no intervalo$$\left [\dfrac{\pi }{2} , \pi \right ]$$.

2) Encontre$$\sin (2\theta )$$$$\cos (2\theta )$$, e$$\tan (2\theta )$$$$\sec \theta =-\dfrac{5}{3}$$ forneça e$$\theta$$ esteja no intervalo$$\left [\dfrac{\pi }{2} , \pi \right ]$$.

Resposta

$$-\dfrac{24}{25}, -\dfrac{7}{25}, \dfrac{24}{7}$$

3)$$\sin \left (\dfrac{7\pi }{8} \right )$$

4)$$\sec \left (\dfrac{3\pi }{8} \right )$$

Resposta

$$\sqrt{2(2+\sqrt{2})}$$

Para os exercícios 5-6, use a Figura abaixo para encontrar as quantidades desejadas.

5)$$\sin(2\beta ),\cos(2\beta ),\tan(2\beta ),\sin(2\alpha ),\cos(2\alpha ),\tan(2\alpha )$$

6)$$\sin \left (\frac{\beta }{2} \right ) ,\cos\left (\frac{\beta }{2} \right ),\tan\left (\frac{\beta }{2} \right ),\sin\left (\frac{\alpha }{2} \right ),\cos\left (\frac{\alpha }{2} \right ),\tan\left (\frac{\alpha }{2} \right )$$

Resposta

$$\dfrac{\sqrt{2}}{10},\dfrac{7\sqrt{2}}{10},\dfrac{1}{7},\dfrac{3}{5},\dfrac{4}{5},\dfrac{3}{4}$$

Para os exercícios 7-8, prove a identidade.

7)$$\dfrac{2\cos (2x)}{\sin (2x)}=\cot x-\tan x$$

8)$$\cot x \cos (2x) = -\sin (2x)+\cot x$$

Resposta

\begin{align*} \cot x \cos (2x) &= \cot x(1-2\sin ^2 x)\\ &= \cot x-\dfrac{\cos x}{\sin x}(2)\sin ^2 x\\ &= -2\sin x \cos \\ &= -\sin (2x)+\cot x \end{align*}

Para os exercícios 9-10, reescreva a expressão sem poderes.

9)$$\cos ^2 x \sin ^4 (2x)$$

10)$$\tan ^2 x \sin ^3 x$$

Resposta

$$\dfrac{10\sin x-5\sin (3x)+\sin (5x)}{8(\cos (2x)+1)}$$

## 7.4: Fórmulas de soma para produto e produto para soma

Para os exercícios 1-3, avalie o produto para a expressão dada usando uma soma ou diferença de duas funções. Escreva a resposta exata.

1)$$\cos \left ( \dfrac{\pi }{3} \right )\sin \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )$$

2)$$2\sin \left ( \dfrac{2\pi }{3} \right )\sin \left ( \dfrac{5\pi }{6} \right )$$

Resposta

$$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$$

3)$$2\cos \left ( \dfrac{\pi }{5} \right )\cos \left ( \dfrac{\pi }{3} \right )$$

Para os exercícios 4-5, avalie a soma usando uma fórmula de produto. Escreva a resposta exata.

4)$$\sin \left ( \dfrac{\pi }{12} \right )-\sin \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )$$

Resposta

$$-\dfrac{\sqrt{2}}{2}$$

5)$$\cos \left ( \dfrac{5\pi }{12} \right )+\cos \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )$$

Para os exercícios 6-9, altere as funções de um produto para uma soma ou de uma soma para um produto.

6)$$\sin(9x)\cos(3x)$$

Resposta

$$\dfrac{1}{2}(\sin(6x)+\sin(12x))$$

7)$$\cos(7x)\cos(12x)$$

8)$$\sin(11x)+\sin(2x)$$

Resposta

$$2\sin \left (\dfrac{13}{2}x \right )\cos \left (\dfrac{9}{2}x \right )$$

9)$$\cos(6x)+\cos(5x)$$

## 7.5: Resolvendo equações trigonométricas

Para os exercícios 1-2, encontre todas as soluções exatas no intervalo$$[0,2\pi )$$.

1)$$\tan x+1=0$$

Resposta

$$\dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}$$

2)$$2\sin(2x)+\sqrt{2}=0$$

Para os exercícios 3-7, encontre todas as soluções exatas no intervalo$$[0,2\pi )$$.

3)$$2\sin^2 x-\sin x=0$$

Resposta

$$0, \dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}, \pi$$

4)$$\cos^2 x-\cos x -1=0$$

5)$$2\sin^2 x+5\sin x +3=0$$

Resposta

$$\dfrac{3\pi }{2}$$

6)$$\cos x - 5\sin(2x)=0$$

7)$$\dfrac{1}{\sec ^2 x}+2+\sin^2 x+4\cos ^2 x=0$$

Resposta

Sem solução.

Para os exercícios 8-9, simplifique a equação algebricamente o máximo possível. Em seguida, use uma calculadora para encontrar as soluções no intervalo$$[0,2\pi )$$. Arredonde para quatro casas decimais.

8)$$\sqrt{3}\cot ^2 x+\cot x=1$$

9)$$\csc ^2 x-3\csc x-4=0$$

Resposta

$$0.2527,2.8889,4.7124$$

Para os exercícios 10-11, represente graficamente cada lado da equação para encontrar os zeros no intervalo$$[0,2\pi )$$.

10)$$20\cos^2x+21\cos x+1=0$$

11)$$\sec^2x-2\sec x=15$$

Resposta

$$1.3694, 1.9106, 4.3726, 4.9137$$

## 7.6: Modelagem com equações trigonométricas

Para os exercícios 1-3, faça um gráfico dos pontos e encontre uma possível fórmula para os valores trigonométricos na tabela fornecida.

1)

 $$x$$ $$y$$ 0 1 2 3 4 5 1 6 11 6 1 6

2)

$$x$$ $$y$$
\ (x\) ">0 \ (y\) ">-2
\ (x\) ">1 \ (y\) ">1
\ (x\) ">2 \ (y\) ">-2
\ (x\) ">3 \ (y\) ">-5
\ (x\) ">4 \ (y\) ">-2
\ (x\) ">5 \ (y\) ">1
Resposta

$$3\sin \left ( \dfrac{x\pi }{2} \right )-2$$

3)

$$x$$ $$y$$
\ (x\) ">-3 \ (y\) ">$$3+2\sqrt{2}$$
\ (x\) ">-2 \ (y\) ">3
\ (x\) ">-1 \ (y\) ">$$2\sqrt{2}-1$$
\ (x\) ">0 \ (y\) ">1
\ (x\) ">1 \ (y\) ">$$3-2\sqrt{2}$$
\ (x\) ">2 \ (y\) ">-1
\ (x\) ">3 \ (y\) ">$$-1-2\sqrt{2}$$

4) Um homem com$$6$$ os pés na altura dos olhos acima do solo está a poucos$$3$$ metros da base de uma escada vertical$$15$$ de um metro. Se ele olhar para o topo da escada, em que ângulo acima da horizontal ele está olhando?

Resposta

$$71.6^{\circ}$$

5) Usando a escada do exercício anterior, se um trabalhador da construção civil$$6$$ de um metro de altura parado no topo da escada olhar para os pés do homem parado na parte inferior, que ângulo da horizontal ele está olhando?

Para os exercícios 6-7, construa funções que modelem o comportamento descrito.

6) A população de lemingues varia com uma baixa anual$$500$$ de março. Se a população média anual de lemingues for$$950$$, escreva uma função que modela a população em relação a$$t$$,o mês.

Resposta

$$P(t)=950-450\sin \left ( \dfrac{\pi }{6}t \right )$$

7) As temperaturas diárias no deserto podem ser muito extremas. Se a temperatura variar de$$90^{\circ}$$ F a$$30^{\circ}$$ F e a temperatura média diária ocorrer pela primeira vez às 10h, escreva uma função modelando esse comportamento.

Para os exercícios 8-9, determine a amplitude, a frequência e o período das equações dadas.

8)$$y=3\cos(x\pi )$$

Resposta

Amplitude:$$3$$, período:$$2$$, frequência:$$\dfrac{1}{2}$$ Hz

9)$$y=-2\sin(16x\pi )$$

Para os exercícios 10-11, modele o comportamento descrito e encontre os valores solicitados.

10) Uma espécie invasora de carpa é introduzida no Lago de Água Doce. Inicialmente, há$$100$$ carpas no lago e a população varia de acordo com os$$20$$ peixes sazonalmente. Se por ano$$5$$, houver$$625$$ carpas, encontre uma função modelando a população de carpas em relação a$$t$$,o número de anos a partir de agora.

Resposta

$$C(t)=20\sin (2\pi t)+100(1.4427)^t$$

11) A população de peixes nativos de Lake Freshwater calcula a média de$$2500$$ peixes, variando de acordo com os$$100$$ peixes sazonalmente. Devido à competição por recursos da carpa invasora, espera-se que a população de peixes nativos diminua a$$5\%$$ cada ano. Encontre uma função modelando a população de peixes nativos em relação a$$t$$,o número de anos a partir de agora. Também determine quantos anos a carpa levará para ultrapassar a população de peixes nativos.

## Teste prático

Para os exercícios 1-2, simplifique a expressão dada.

1)$$\cos(-x)\sin x \cot x+\sin^2x$$

Resposta

$$1$$

2)$$\sin(-x)\cos(-2x)-\sin(-x)\cos(-2x)$$

Para os exercícios 3-6, encontre o valor exato.

3)$$\cos \left ( \dfrac{7\pi }{12} \right )$$

Resposta

$$\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}$$

4)$$\tan \left ( \dfrac{3\pi }{8} \right )$$

5)$$\tan \left (\sin^{-1}\left (\dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )+\tan^{-1}\sqrt{3} \right )$$

Resposta

$$-\sqrt{2}-\sqrt{3}$$

6)$$2\sin \left (\dfrac{\pi }{4} \right )\sin \left (\dfrac{\pi }{6} \right )$$

Para os exercícios 7-16, encontre todas as soluções exatas para a equação em$$[0,2\pi )$$.

7)$$\cos^2x-\sin^2x-1=0$$

Resposta

$$0, \pi$$

8)$$\cos^2x=\cos x$$

Resposta

$$\sin^{-1}\left (\dfrac {1}{4}\left(\sqrt{13}-1\right) \right ), \pi - \sin^{-1}\left (\dfrac {1}{4}\left(\sqrt{13}-1\right) \right )$$

9)$$\cos (2x)+\sin ^2 x = 0$$

10)$$2\sin ^2 x - \sin x = 0$$

Resposta

$$0, \dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}, \pi$$

11) Reescreva a expressão como um produto em vez de uma soma:$$\cos (2x)+\cos (-8x)$$

12) Encontre todas as soluções do$$\tan (x)-\sqrt{3}=0$$.

Resposta

$$\dfrac{\pi }{3}+k\pi$$

13) Encontre as soluções de$$\sec ^2x -2\sec x=15$$ no intervalo$$[0,2\pi )$$ algebricamente; em seguida, represente graficamente os dois lados da equação para determinar a resposta.

14) Encontre$$\sin (2\theta )$$,$$\cos (2\theta )$$, e$$\tan (2\theta )$$$$\cot \theta =-\dfrac{3}{4}$$ forneça e$$\theta$$ está no intervalo$$\left [ \dfrac{\pi }{2}, \pi \right ]$$.

Resposta

$$-\dfrac{24}{25}, -\dfrac{7}{25}, \dfrac{24}{7}$$

15) Encontre$$\sin \left (\dfrac{\theta }{2} \right )$$,$$\cos \left (\dfrac{\theta }{2} \right )$$, e$$\tan \left (\dfrac{\theta }{2} \right )$$ forneça$$\cos \theta =-\dfrac{7}{25}$$ e$$\theta$$ está no quadrante$$\mathrm{IV}$$.

16) Reescreva a expressão$$\sin ^4 x$$ sem poderes maiores que$$1$$.

Resposta

$$\dfrac{1}{8}(3+\cos (4x)-4\cos (2x))$$

Para os exercícios 17-19, prove a identidade.

17)$$\tan^3x-\tan x \sec^2x=\tan(-x)$$

18)$$\sin(3x)-\cos x \sin(2x)=\cos^2x \sin x-\sin^3x$$

Resposta

\begin{align*} \sin(3x)-\cos x \sin(2x) &= \\ \sin(x+2x)-\cos x(2\sin x \cos x) &= \\ \sin x \cos(2x)+\sin(2x)\cos x -2\sin x \cos ^2x &= \\ \sin x(\cos ^2x - \sin ^2x)+2\sin x \cos x \cos x - 2\sin x \cos ^2x &= \\ \sin x \cos ^2x - \sin ^3x +0 &= \\ \cos^2x \sin x - \sin ^3x &= \cos^2x \sin x-\sin^3x \end{align*}

19)$$\dfrac{\sin (2x)}{\sin x}-\dfrac{\cos (2x)}{\cos x}=\sec x$$

20) Faça um gráfico dos pontos e encontre uma função do formulário$$y=A\cos(Bx+C)+D$$ que se ajuste aos dados fornecidos.

 $$x$$ $$y$$ 0 1 2 3 4 5 -2 2 -2 2 -2 2
Resposta

$$y=2\cos(\pi x+\pi )$$

21) O deslocamento$$h(t)$$ em centímetros de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função$$h(t)=\dfrac{1}{4}\sin (120\pi t)$$,onde$$t$$ é medido em segundos. Encontre a amplitude, o período e a frequência desse deslocamento.

22) Uma mulher está a poucos$$300$$ metros de distância de um prédio$$2000$$ de pés. Se ela olhar para o topo do prédio, em que ângulo acima da horizontal ela está olhando? Um trabalhador entediado olha para ela do 15º andar ($$1500$$pés acima dela). Em que ângulo ele está olhando para ela? Arredonde para o décimo de grau mais próximo.

Resposta

$$81.5^{\circ}, 78.7^{\circ}$$

23) Duas frequências de som são tocadas em um instrumento regido pela equação$$n(t)=8\cos(20\pi t)\cos(1000\pi t)$$.Quais são o período e a frequência das oscilações “rápidas” e “lentas”? Qual é a amplitude?

24) A queda de neve média mensal em uma pequena vila no Himalaia é de$$6$$ polegadas, com a baixa de$$1$$ polegada ocorrendo em julho. Construa uma função que modela esse comportamento. Durante qual período há mais de$$10$$ centímetros de neve?

Resposta

$$6+5\cos \left ( \dfrac{\pi }{6}(1-x) \right )$$. De 23 de novembro a 6 de fevereiro.

25) Uma mola presa a um teto é puxada para baixo em$$20$$ cm. Depois de$$3$$ segundos, em que completa períodos$$6$$ completos, a amplitude é de apenas$$15$$ cm. Encontre a função que modela a posição da mola$$t$$ segundos após ser liberada. A que horas a primavera vai descansar? Nesse caso, use a amplitude de$$1$$ cm como repouso.

26) Os níveis de água próximos a uma geleira atualmente têm uma média de$$9$$ pés, variando sazonalmente em$$2$$ polegadas acima e abaixo da média e atingindo seu ponto mais alto em janeiro. Devido ao aquecimento global, a geleira começou a derreter mais rápido do que o normal. Todos os anos, os níveis da água sobem em$$3$$ centímetros constantes. Encontre uma função que modele a profundidade da água daqui a$$t$$ meses. Se as docas estiverem$$2$$ pés acima dos níveis atuais da água, em que ponto a água subirá primeiro acima das docas?

Resposta

$$D(t)=2\cos \left ( \dfrac{\pi }{6}t \right )+108+\dfrac{1}{4}t$$,$$93.5855$$ meses (ou$$7.8$$ anos) a partir de agora