7.E: Identidades e equações trigonométricas (exercícios)

7.1: Resolvendo equações trigonométricas com identidades

Nesta seção, iniciaremos um exame das identidades trigonométricas fundamentais, incluindo como podemos verificá-las e como podemos usá-las para simplificar expressões trigonométricas.

Verbal

1) Sabemos que\(g(x)=\cos x\) é uma função par\(f(x)=\sin x\) e\(h(x)=\tan x\) são funções ímpares. E quanto a\(G(x)=\cos ^2 x\),\(F(x)=\sin ^2 x\) e\(H(x)=\tan ^2 x\)? Eles são pares, estranhos ou nenhum? Por quê?

Resposta

Todas as três funções\(F,G,\) e\(H\),estão empatados.

Isso ocorre porque

\(F(-x)=\sin(-x)\sin(-x)=(-\sin x)(-\sin x)=\sin^2 x=F(x),G(-x)=\cos(-x)\cos(-x)=\cos x\cos x= cos^2 x=H(-x)=\tan(-x)\tan(-x)=(-\tan x)(-\tan x)=\tan2x=H(x)\)

2) Examine o gráfico de\(f(x)=\sec x\) no intervalo\([-\pi ,\pi ]\). Como podemos saber se a função é par ou ímpar observando apenas o gráfico de\(f(x)=\sec x\)?

3) Depois de examinar a identidade recíproca para\(\sec t\),explique por que a função é indefinida em determinados pontos.

Resposta

Quando\(\cos t = 0\),então\(\sec t = 10\),que é indefinido.

4) Todas as identidades pitagóricas estão relacionadas. Descreva como manipular as equações\(\sin^2t+\cos^2t=1\) para passar das outras formas.

Algébrico

Para os exercícios 5-15, use as identidades fundamentais para simplificar totalmente a expressão.

5)\(\sin x \cos x \sec x\)

Resposta

\(\sin x\)

6)\(\sin(-x)\cos(-x)\csc(-x)\)

7)\(\tan x\sin x+\sec x\cos^2x\)

Resposta

\(\sec x\)

8)\(\csc x+\cos x\cot(-x)\)

9)\(\dfrac{\cot t+\tan t}{\sec (-t)}\)

Resposta

\(\csc x\)

10)\(3\sin^3 t\csc t+\cos^2 t+2\cos(-t)\cos t\)

11)\(-\tan(-x)\cot(-x)\)

Resposta

\(-1\)

12)\(\dfrac{-\sin (-x)\cos x\sec x\csc x\tan x}{\cot x}\)

13)\(\dfrac{1+\tan ^2\theta }{\csc ^2\theta }+\sin ^2\theta +\dfrac{1}{\sec ^2 \theta }\)

Resposta

\(\sec^2 x\)

14)\(\left (\dfrac{\tan x}{\csc ^2 x}+\dfrac{\tan x}{\sec ^2 x} \right )\left (\dfrac{1+\tan x}{1+\cot x} \right )-\dfrac{1}{\cos ^2 x}\)

15)\(\dfrac{1-\cos ^2 x}{\tan ^2 x}+2\sin ^2 x\)

Resposta

\(\sin^2 x+1\)

Para os exercícios 16-28, simplifique a primeira expressão trigonométrica escrevendo a forma simplificada em termos da segunda expressão.

16)\(\dfrac{\tan x+\cot x}{\csc x}; \cos x\)

17)\(\dfrac{\sec x+\csc x}{1+\tan x}; \sin x\)

Resposta

\(\dfrac{1}{\sin x}\)

18)\(\dfrac{\cos x}{1+\sin x}+\tan x; \cos x\)

19)\(\dfrac{1}{\sin x\cos x}-\cot x; \cot x\)

Resposta

\(\dfrac{1}{\cot x}\)

20)\(\dfrac{1}{1-\cos x}-\dfrac{\cos x}{1+\cos x}; \csc x\)

21)\((\sec x+\csc x)(\sin x+\cos x)-2-\cot x; \tan x\)

Resposta

\(\tan x\)

22)\(\dfrac{1}{\csc x-\sin x}; \sec x\) e\(\tan x\)

23)\(\dfrac{1-\sin x}{1+\sin x}-\dfrac{1+\sin x}{1-\sin x}; \sec x\) e\(\tan x\)

Resposta

\(-4\sec x \tan x\)

24)\(\tan x; \sec x\)

25)\(\sec x; \cot x\)

Resposta

\(\pm \sqrt{\dfrac{1}{\cot ^2 x}+1}\)

26)\(\sec x; \sin x\)

27)\(\cot x; \sin x\)

Resposta

\(\dfrac{\pm \sqrt{1-\sin ^2 x}}{\sin x}\)

28)\(\cot x; \csc x\)

Para os exercícios 29-33, verifique a identidade.

29)\(\cos x-\cos^3x=\cos x \sin^2 x\)

Resposta

As respostas podem variar. Prova de amostra:

\(\begin{align*} \cos x-\cos^3x &= \cos x (1-\cos^2 x)\\ &= \cos x\sin ^x \end{align*}\)

30)\(\cos x(\tan x-\sec(-x))=\sin x-1\)

31)\(\dfrac{1+\sin ^2x}{\cos ^2 x}=\dfrac{1}{\cos ^2 x}+\dfrac{\sin ^2x}{\cos ^2 x}=1+2\tan ^2x\)

Resposta

As respostas podem variar. Prova de amostra:

\(\begin{align*} \dfrac{1+\sin ^2x}{\cos ^2 x} &= \dfrac{1}{\cos ^2 x}+\dfrac{\sin ^2x}{\cos ^2 x}\\ &= \sec ^2x+\tan ^2x\\ &= \tan ^2x+1+\tan ^2x\\ &= 1+2\tan ^2x \end{align*}\)

32)\((\sin x+\cos x)^2=1+2 \sin x\cos x\)

33)\(\cos^2x-\tan^2x=2-\sin^2x-\sec^2x\)

Resposta

As respostas podem variar. Prova de amostra:

\(\begin{align*} \cos^2x-\tan^2x &= 1-\sin^2x-\left (\sec^2x -1 \right )\\ &= 1-\sin^2x-\sec^2x +1\\ &= 2-\sin^2x-\sec^2x \end{align*}\)

Extensões

Para os exercícios 34-39, prove ou refute a identidade.

34)\(\dfrac{1}{1+\cos x}-\dfrac{1}{1-\cos (-x)}=-2\cot x\csc x\)

(35)\(\csc^2x(1+\sin^2x)=\cot^2x\)

Resposta

Falso

36)\(\left (\dfrac{\sec ^2(-x)-\tan ^2x}{\tan x} \right )\left (\dfrac{2+2\tan x}{2+2\cot x} \right )-2\sin ^2 x=\cos (2x) \)

37)\(\dfrac{\tan x}{\sec x}\sin (-x)=\cos ^2x\)

Resposta

Falso

38)\(\dfrac{\sec (-x)}{\tan x+\cot x}=-\sin (-x)\)

39)\(\dfrac{1+\sin x}{\cos x}=\dfrac{\cos x}{1+\sin (-x)}\)

Resposta

Comprovado com identidades negativas e pitagóricas

Para os exercícios 40-, determine se a identidade é verdadeira ou falsa. Se for falso, encontre uma expressão equivalente apropriada.

40)\(\dfrac{\cos ^2 \theta -\sin ^2 \theta }{1-\tan ^2 \theta }=\sin ^2 \theta\)

41)\(3\sin^2\theta + 4\cos^2\theta =3+\cos^2\theta\)

Resposta

É verdade

\(\begin{align*} 3\sin^2\theta + 4\cos^2\theta &= 3\sin ^2\theta +3\cos ^2\theta +\cos^2\theta \\ &= 3\left ( \sin ^2\theta +\cos ^2\theta \right )+\cos^2\theta \\ &= 3+\cos^2\theta \end{align*}\)

(42)\(\dfrac{\sec \theta +\tan \theta }{\cot \theta+\cos ^\theta }=\sec ^2 \theta\)

7.2: Identidades de soma e diferença

Nesta seção, aprenderemos técnicas que nos permitirão resolver problemas úteis. As fórmulas a seguir simplificarão muitas expressões e equações trigonométricas. Lembre-se de que, ao longo desta seção, o termo fórmula é usado como sinônimo da palavra identidade.

Verbal

1) Explique a base para as identidades da cofunção e quando elas se aplicam.

Resposta

As identidades da cofunção se aplicam a ângulos complementares. Visualizando os dois ângulos agudos de um triângulo reto, se um desses ângulos medir\(x\),o segundo ângulo mede\(\dfrac{\pi }{2}-x\). Então\(\sin x=\cos \left (\dfrac{\pi }{2}-x \right )\). O mesmo vale para as outras identidades de cofunção. A chave é que os ângulos sejam complementares.

2) Existe apenas uma maneira de avaliar\(\cos \left (\dfrac{5\pi }{4} \right )\)? Explique como configurar a solução de duas maneiras diferentes e, em seguida, calcule para garantir que elas forneçam a mesma resposta.

3) Explique a alguém que esqueceu as propriedades pares e ímpares das funções senoidais como as fórmulas de adição e subtração podem determinar essa característica para\(f(x)=\sin (x)\) e\(g(x)=\cos (x)\). (Dica:\(0-x=-x\))

Resposta

\(\sin (-x)=-\sin x\), então\(\sin x\) é estranho. \(\cos (-x)=\cos (0-x)=\cos x\), assim\(\cos x\) é mesmo.

Algébrico

Para os exercícios 4-9, encontre o valor exato.

4)\(\cos \left (\dfrac{7\pi }{12} \right)\)

5)\(\cos \left (\dfrac{\pi }{12} \right)\)

Resposta

\(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{6}}{4}\)

6)\(\sin \left (\dfrac{5\pi }{12} \right)\)

7)\(\sin \left (\dfrac{11\pi }{12} \right)\)

Resposta

\(\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}\)

8)\(\tan \left (-\dfrac{\pi }{12} \right)\)

9)\(\tan \left (\dfrac{19\pi }{12} \right)\)

Resposta

\(-2-\sqrt{3}\)

Para os exercícios 10-13, reescreva em termos de\(\sin x\) e\(\cos x\)

10)\(\sin \left (x+\dfrac{11\pi }{6} \right)\)

11)\(\sin \left (x-\dfrac{3\pi }{4} \right)\)

Resposta

\(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\sin x-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\cos x\)

12)\(\cos \left (x-\dfrac{5\pi }{6} \right)\)

13)\(\cos \left (x+\dfrac{2\pi }{3} \right)\)

Resposta

\(-\dfrac{1}{2}\cos x-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin x\)

Para os exercícios 14-19, simplifique a expressão dada.

14)\(\csc \left (\dfrac{\pi }{2}-t \right)\)

15)\(\sec \left (\dfrac{\pi }{2}-\theta \right)\)

Resposta

\(\csc \theta\)

16)\(\cot \left (\dfrac{\pi }{2}-x \right)\)

17)\(\tan \left (\dfrac{\pi }{2}-x \right)\)

Resposta

\(\cot x\)

18)\(\sin(2x)\cos(5x)-\sin(5x)\cos(2x)\)

19)\(\dfrac{\tan \left (\dfrac{3}{2}x \right)-\tan \left (\dfrac{7}{5}x \right)}{1+\tan \left (\dfrac{3}{2}x \right)\tan \left (\dfrac{7}{5}x \right)}\)

Resposta

\(\tan \left (\dfrac{x}{10} \right)\)

Para os exercícios 20-21, encontre as informações solicitadas.

20) Dado que\(\sin a=\dfrac{2}{3}\) e\(\cos b=-\dfrac{1}{4}\),com\(a\) e\(b\) ambos no intervalo\(\left [ \dfrac{\pi }{2}, \pi \right )\),encontre\(\sin (a+b)\)\(\cos (a-b)\) e.

21) Dado isso\(\sin a=\dfrac{4}{5}\) e\(\cos b=\dfrac{1}{3}\), com\(a\) e\(b\) ambos no intervalo\(\left [ 0, \dfrac{\pi }{2} \right )\), encontre\(\sin (a-b)\)\(\cos (a+b)\) e.

Resposta

\(\sin (a-b)=\left ( \dfrac{4}{5} \right )\left ( \dfrac{1}{3} \right )-\left ( \dfrac{3}{5} \right )\left ( \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right )=\dfrac{4-6\sqrt{2}}{15}\)

\(\cos (a+b)=\left ( \dfrac{3}{5} \right )\left ( \dfrac{1}{3} \right )-\left ( \dfrac{4}{5} \right )\left ( \dfrac{2\sqrt{2}}{3} \right )=\dfrac{3-8\sqrt{2}}{15}\)

Para os exercícios 22-24, encontre o valor exato de cada expressão.

22)\(\sin \left ( \cos^{-1}\left ( 0 \right )- \cos^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right )\right )\)

23)\(\cos \left ( \cos^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{2}}{2} \right )+ \sin^{-1}\left ( \dfrac{\sqrt{3}}{2} \right )\right )\)

Resposta

\(\dfrac{\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}\)

24)\(\tan \left ( \sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right )- \cos^{-1}\left ( \dfrac{1}{2} \right )\right )\)

Gráfica

Para os exercícios 25-32, simplifique a expressão e, em seguida, represente graficamente ambas as expressões como funções para verificar se os gráficos são idênticos.

25)\(\cos \left ( \dfrac{\pi }{2}-x \right )\)

Resposta

\(\sin x\)

26)\(\sin (\pi -x)\)

27)\(\tan \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right )\)

Resposta

\(\cot \left ( \dfrac{\pi }{6}-x \right )\)

28)\(\sin \left ( \dfrac{\pi }{3}+x \right )\)

29)\(\tan \left ( \dfrac{\pi }{4}-x \right )\)

Resposta

\(\cot \left ( \dfrac{\pi }{4}+x \right )\)

30)\(\cos \left ( \dfrac{7\pi }{6}+x \right )\)

31)\(\sin \left ( \dfrac{\pi }{4}+x \right )\)

Resposta

\(\dfrac{\sin x}{\sqrt{2}}+\dfrac{\cos x}{\sqrt{2}}\)

32)\(\cos \left ( \dfrac{5\pi }{4}+x \right )\)

Para os exercícios 33-41, use um gráfico para determinar se as funções são iguais ou diferentes. Se forem iguais, mostre o porquê. Se forem diferentes, substitua a segunda função por uma que seja idêntica à primeira. (Dica: pense\(2x=x+x\))

33)\(f(x)=\sin(4x)-\sin(3x)\cos x, g(x)=\sin x \cos(3x)\)

Resposta

Eles são iguais.

34)\(f(x)=\cos(4x)+\sin x \sin(3x), g(x)=-\cos x \cos(3x)\)

(35)\(f(x)=\sin(3x)\cos(6x), g(x)=-\sin(3x)\cos(6x)\)

Resposta

Eles são diferentes, tente\(g(x)=\sin(9x)-\cos(3x)\sin(6x)\)

36)\(f(x)=\sin(4x), g(x)=\sin(5x)\cos x-\cos(5x)\sin x\)

37)\(f(x)=\sin(2x), g(x)=2 \sin x \cos x\)

Resposta

Eles são iguais.

38)\(f(\theta )=\cos(2\theta ), g(\theta )=\cos^2\theta -\sin^2\theta\)

39)\(f(\theta )=\tan(2\theta ), g(\theta )=\dfrac{\tan \theta }{1+\tan^2\theta }\)

Resposta

Eles são diferentes, tente\(g(\theta )=\dfrac{2\tan \theta }{1-\tan^2\theta }\)

40)\(f(x)=\sin(3x)\sin x, g(x)=\sin^2(2x)\cos^2x-\cos^2(2x)\sin2x\)

41)\(f(x)=\tan(-x), g(x)=\dfrac{\tan x-\tan(2x)}{1-\tan x \tan(2x)}\)

Resposta

Eles são diferentes, tente\(g(x)=\dfrac{\tan x-\tan(2x)}{1+\tan x \tan(2x)}\)

Tecnologia

Para os exercícios 42-46, encontre o valor exato algebricamente e confirme a resposta com uma calculadora até o quarto ponto decimal.

(42)\(\sin (75^{\circ})\)

43)\(\sin (195^{\circ})\)

Resposta

\(-\dfrac{\sqrt{3}-1}{2\sqrt{2}}\), ou\(-0.2588\)

44)\(\cos (165^{\circ})\)

45)\(\cos (345^{\circ})\)

Resposta

\(\dfrac{1+\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}\), ou\(-0.9659\)

46)\(\tan (-15^{\circ})\)

Extensões

Para os exercícios 47-51, prove as identidades fornecidas.

47)\(\tan \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right )=\dfrac{\tan x+1}{1-\tan x}\)

Resposta

\(\begin{align*} \tan \left ( x+\dfrac{\pi }{4} \right ) &= \\ \dfrac{\tan x + \tan\left (\tfrac{\pi}{4} \right )}{1-\tan x \tan\left (\tfrac{\pi}{4} \right )} &= \\ \dfrac{\tan x+1}{1-\tan x(1)} &= \dfrac{\tan x+1}{1-\tan x} \end{align*}\)

48)\(\dfrac{\tan (a+b)}{\tan (a-b)}=\dfrac{\sin a \cos a + \sin b \cos b}{\sin a \cos a - \sin b \cos b}\)

49)\(\dfrac{\cos (a+b)}{\cos a \cos b}=1-\tan a \tan b\)

Resposta

\(\begin{align*} \dfrac{\cos (a+b)}{\cos a \cos b} &= \\ \dfrac{\cos a \cos b}{\cos a \cos b}- \dfrac{\sin a \sin b}{\cos a \cos b} &= 1-\tan a \tan b \end{align*}\)

50)\(\cos(x+y)\cos(x-y)=\cos^2x-\sin^2y\)

51)\(\dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h}=\cos x\dfrac{\cos h-1}{h}-\sin x \dfrac{\sin h}{h}\)

Resposta

\(\begin{align*} \dfrac{\cos(x+h)-\cos(x)}{h} &= \\ \dfrac{\cos x\cosh - \sin x\sinh -\cos x}{h} &= \\ \dfrac{\cos x(\cosh-1) - \sin x(\sinh-1)}{h} &= \cos x\dfrac{\cos h-1}{h}-\sin x \dfrac{\sin h}{h} \end{align*}\)

Para os exercícios 52-, prove ou refute as declarações.

52)\(\tan (u+v)=\dfrac{\tan u+\tan v}{1-\tan u \tan v}\)

53)\(\tan (u-v)=\dfrac{\tan u-\tan v}{1+\tan u \tan v}\)

Resposta

É verdade

54)\(\dfrac{\tan (x+y)}{1+\tan x \tan x}=\dfrac{\tan x + \tan y}{1-\tan^2 x \tan^2 y}\)

55) Se\(\alpha ,\beta\),e\(\gamma\) são ângulos no mesmo triângulo, então prove ou refute\(\sin(α+β)=\sin γ\).

Resposta

É verdade. Observe isso\(\sin (\alpha +\beta )=\sin (\pi -\gamma )\) e expanda o lado direito.

56) Se\(\alpha ,\beta\), e\(\gamma\) são ângulos no mesmo triângulo, então prove ou refute\(\tan \alpha +\tan \beta +\tan \gamma =\tan \alpha \tan \beta \tan \gamma\).

7.3: Fórmulas de ângulo duplo, meio ângulo e redução

Nesta seção, investigaremos três categorias adicionais de identidades. As identidades de ângulo duplo são derivadas das fórmulas de soma das funções trigonométricas fundamentais: seno, cosseno e tangente. As fórmulas de redução são especialmente úteis no cálculo, pois permitem reduzir o poder do termo trigonométrico. As fórmulas de meio ângulo nos permitem encontrar o valor das funções trigonométricas envolvendo meio-ângulos, independentemente de o ângulo original ser conhecido ou não.

Verbal

1) Explique como determinar as identidades de redução a partir da identidade de ângulo duplo\(\cos(2x)=\cos^2x-\sin^2x\)

Resposta

Use as identidades pitagóricas e isole o termo quadrado.

2) Explique como determinar a fórmula de ângulo duplo para\(\tan(2x)\) usar as fórmulas de ângulo duplo para\(\cos(2x)\)\(\sin (2x)\) e.

3) Podemos determinar a fórmula do meio ângulo para\(\tan \left ( \dfrac{x}{2} \right )=\dfrac{\sqrt{1-\cos x}}{\sqrt{1+\cos x}}\) dividindo a fórmula para\(\sin \left ( \dfrac{x}{2} \right )\) por\(\cos \left ( \dfrac{x}{2} \right )\). Explique como determinar duas fórmulas\(\tan \left ( \dfrac{x}{2} \right )\) que não envolvem raízes quadradas.

Resposta

\(\dfrac{1-\cos x}{\sin x}\)\(\dfrac{\sin x}{1+\cos x}\), multiplicando a parte superior e inferior por\(\sqrt{1-\cos x}\) e\(\sqrt{1+\cos x}\), respectivamente.

4) Para a fórmula de meio ângulo dada no exercício anterior para\(\tan \left ( \dfrac{x}{2} \right )\),explique por que dividir por não\(0\) é uma preocupação. (Dica: examine os valores\(\cos x\) necessários para que o denominador seja\(0\).)

Algébrico

Para os exercícios 5-8, encontre os valores exatos de a)\(\sin (2x)\), b)\(\cos(2x)\),e c)\(\tan(2x)\) sem resolver para\(x\).

5) Se\(\sin x =\dfrac{1}{8}\),e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{I}\).

Resposta

1. \(\dfrac{3\sqrt{7}}{32}\)
2. \(\dfrac{31}{32}\)
3. \(\dfrac{3\sqrt{7}}{31}\)

6) Se\(\cos x =\dfrac{2}{3}\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{I}\).

7) Se\(\cos x =-\dfrac{1}{2}\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{III}\).

Resposta

1. \(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
2. \(-\dfrac{1}{2}\)
3. \(-\sqrt{3}\)

8) Se\(\tan x =-8\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{IV}\).

Para os exercícios 9-10, encontre os valores das seis funções trigonométricas se as condições fornecidas forem válidas.

9)\(\cos(2\theta )=\dfrac{3}{5}\) e\(90^{\circ}\leq \theta \leq 180^{\circ}\)

Resposta

\(\cos \theta =-\frac{2\sqrt{5}}{5},\sin \theta =\frac{\sqrt{5}}{5},\tan \theta =-\frac{1}{2},\csc \theta =\sqrt{5},\sec \theta =-\frac{\sqrt{5}}{2},\cot \theta =-2\)

10)\(\cos(2\theta )=\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) e\(180^{\circ}\leq \theta \leq 270^{\circ}\)

Para os exercícios 11-12, simplifique para uma expressão trigonométrica.

11)\(2\sin \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )2\cos \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )\)

Resposta

\(2\sin \left ( \dfrac{\pi }{2} \right )\)

12)\(4\sin \left ( \dfrac{\pi }{8} \right )\cos \left ( \dfrac{\pi }{8} \right )\)

Para os exercícios 13-19, encontre o valor exato usando fórmulas de meio ângulo.

13)\(\sin \left ( \dfrac{\pi }{8} \right )\)

Responda

\(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}\)

14)\(\cos \left ( -\dfrac{11\pi }{12} \right )\)

15)\(\sin \left ( \dfrac{11\pi }{12} \right )\)

Responda

\(\dfrac{\sqrt{2-\sqrt{3}}}{2}\)

16)\(\cos \left ( \dfrac{7\pi }{8} \right )\)

17)\(\tan \left ( \dfrac{5\pi }{12} \right )\)

Responda

\(2+\sqrt{3}\)

18)\(\tan \left ( -\dfrac{3\pi }{12} \right )\)

19)\(\tan \left ( -\dfrac{3\pi }{8} \right )\)

Responda

\(-1-\sqrt{2}\)

Para os exercícios 20-23, encontre os valores exatos de a)\(\sin \left ( \dfrac{x}{2} \right )\) b)\(\cos \left ( \dfrac{x}{2} \right )\),e c)\(\tan \left ( \dfrac{x}{2} \right )\) sem resolver para\(x\),quando\(0^{\circ}\leq \theta \leq 360^{\circ}\)

20) Se\(\tan x =-\dfrac{4}{3}\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{IV}\).

21) Se\(\sin x =-\dfrac{12}{13}\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{III}\).

Responda

1. \(\dfrac{3\sqrt{13}}{13}\)
2. \(-\dfrac{2\sqrt{13}}{13}\)
3. \(-\dfrac{3}{2}\)

22) Se\(\csc x =7\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{II}\).

23) Se\(\sec x =-4\), e\(x\) está no quadrante\(\mathrm{II}\).

Responda

1. \(\dfrac{\sqrt{10}}{4}\)
2. \(\dfrac{\sqrt{6}}{4}\)
3. \(\dfrac{\sqrt{15}}{3}\)

Para os exercícios 24-27, use a Figura abaixo para encontrar os ângulos médio e duplo solicitados.

24) Encontre\(\sin (2\theta )\),\(\cos (2\theta )\),\(\tan (2\theta )\)e.

25) Encontre\(\sin (2\alpha )\)\(\cos (2\alpha )\),\(\tan (2\alpha )\) e.

Responda

\(\dfrac{120}{169}, -\dfrac{119}{169}, -\dfrac{120}{119}\)

26) Encontre\(\sin \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\)\(\cos \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\),\(\tan \left (\dfrac{\theta }{2} \right )\) e.

27) Encontre\(\sin \left (\dfrac{\alpha }{2} \right )\)\(\cos \left (\dfrac{\alpha }{2} \right )\),\(\tan \left (\dfrac{\alpha }{2} \right )\) e.

Responda

\(\dfrac{2\sqrt{13}}{13}, \dfrac{3\sqrt{13}}{13}, \dfrac{2}{3}\)

Para os exercícios 28-33, simplifique cada expressão. Não avalie.

28)\(\cos ^2(28^{\circ})-\sin ^2(28^{\circ})\)

29)\(2\cos ^2(37^{\circ})-1\)

Responda

\(\cos (74^{\circ})\)

30)\(1-2\sin ^2(17^{\circ})\)

31)\(\cos ^2(9x)-\sin ^2(9x)\)

Responda

\(\cos (18x)\)

32)\(4\sin (8x)\cos (8x)\)

33)\(6\sin (5x)\cos (5x)\)

Responda

\(3\sin (10x)\)

Para os exercícios 34-37, prove a identidade dada.

34)\((\sin t-\cos t)^2=1-\sin(2t)\)

35)\(\sin(2x)=-2 \sin(-x) \cos(-x)\)

Responda

\(-2 \sin(-x)\cos(-x)=-2(-\sin(x)\cos(x))=\sin(2x)\)

36)\(\cot x-\tan x=2 \cot(2x)\)

37)\(\dfrac{1+\cos (2\theta )}{\sin (2\theta )}\tan ^2\theta =\tan \theta\)

Responda

\(\dfrac{\sin (2\theta )}{1+\cos (2\theta )}\tan ^2\theta =\dfrac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{1+\cos ^2\theta -\sin ^2\theta }\tan ^2\theta=\)

\(\dfrac{2\sin (\theta )\cos (\theta )}{2\cos ^2\theta }\tan ^2\theta=\dfrac{\sin (\theta )}{\cos (\theta )}\tan ^2\theta=\)

\(\cot (\theta )\tan ^2\theta=\tan \theta\)

Para os exercícios 38-44, reescreva a expressão com um expoente não superior a 1.

38)\(\cos ^2 (5x)\)

39)\(\cos ^2 (6x)\)

Responda

\(\dfrac{1+\cos (12x)}{2}\)

40)\(\sin ^4 (8x)\)

41)\(\sin ^4 (3x)\)

Responda

\(\dfrac{3+\cos(12x)-4\cos(6x)}{8}\)

42)\(\cos^2x \sin^4x\)

43)\(\cos^4x \sin^2x\)

Responda

\(\dfrac{2+\cos(2x)-2\cos(4x)-\cos(6x)}{32}\)

44)\(\tan^2x \sin^2x\)

Tecnologia

Para os exercícios 45-52, reduza as equações para potências de um e, em seguida, verifique a resposta graficamente.

45)\(\tan^4x\)

Responda

\(\dfrac{3+\cos(4x)-4\cos(2x)}{3+\cos(4x)+4\cos(2x)}\)

46)\(\sin^2(2x)\)

47)\(\sin^2x \cos^2x\)

Responda

\(\dfrac{1-\cos(4x)}{8}\)

48)\(\tan^2x \sin x\)

49)\(\tan^4x \cos^2 x\)

Responda

\(\dfrac{3+\cos(4x)-4\cos(2x)}{4(\cos(2x)+1)}\)

50)\(\cos^2x \sin (2x)\)

51)\(\cos^2(2x) \sin x\)

Responda

\(\dfrac{(1+\cos(4x))\sin x}{2}\)

52)\(\tan ^2\left ( \dfrac{x}{2} \right )\sin x\)

Para os exercícios 53-54, encontre algebricamente uma função equivalente, somente em termos de\(\sin x\) e/ou\(\cos x\),e, em seguida, verifique a resposta representando graficamente as duas equações.

53)\(\sin (4x)\)

Responda

\(4\sin x\cos x(\cos^2x-\sin^2x)\)

54)\(\cos (4x)\)

Extensões

Para os exercícios 55-63, prove as identidades.

55)\(\sin (2x)=\dfrac{2\tan x}{1+\tan ^2x}\)

Responda

\(\dfrac{2\tan x}{1+\tan ^2x}=\dfrac{\tfrac{2\sin x}{\cos x}}{1+\tfrac{\sin ^2x}{\cos ^2x}}=\dfrac{\tfrac{2\sin x}{\cos x}}{\tfrac{\cos ^2x+\sin ^2x}{\cos ^2x}}=\dfrac{2\sin x}{\cos x}\cdot \dfrac{\cos ^2x}{1}=2\sin x \cos x=\sin (2x)\)

56)\(\cos (2\alpha )=\dfrac{1-\tan ^2\alpha }{1+\tan ^2\alpha }\)

57)\(\tan (2x)=\dfrac{2\sin x \cos x }{2\cos ^2 x-1}\)

Responda

\(\dfrac{2\sin x \cos x }{2\cos ^2 x-1}=\dfrac{\sin (2x)}{ \cos (2x)}=\tan (2x)\)

58)\((\sin^2x-1)^2=\cos(2x)+\sin^4x\)

59)\(\sin(3x)=3\sin x \cos^2x-\sin^3x\)

Responda

\(\begin{align*} \sin (x+2x) &= \sin x \cos (2x)+\sin (2x) \cos x\\ &= \sin x(\cos ^2 x - \sin ^2 x)+2\sin x \cos x \cos x\\ &= \sin x \cos ^2 x-\sin ^3 x + 2\sin x\cos ^2 x\\ &= 3\sin x\cos ^2 x - \sin ^3 x \end{align*}\)

60)\(\cos(3x)=\cos^3x-3\sin^2x\cos x\)

61)\(\dfrac{1+\cos (2t)}{\sin (2t)-\cos t}=\dfrac{2\cos t}{2\sin t-1}\)

Responda

\(\begin{align*} \dfrac{1+\cos (2t)}{\sin (2t)-\cos t} &= \dfrac{1+2\cos ^2t-1}{2\sin t\cos t-\cos t}\\ &= \dfrac{2\cos ^2t}{\cos t(2\sin t-1)}\\ &= \dfrac{2\cos t}{2\sin t-1} \end{align*}\)

62)\(\sin(16x)=16 \sin x \cos x \cos(2x)\cos(4x)\cos(8x)\)

63)\(\cos(16x)=(\cos^2(4x)-\sin^2(4x)-\sin(8x))(\cos^2(4x)-\sin^2(4x)+\sin(8x))\)

Responda

\(\begin{align*} (\cos^2(4x)-\sin^2(4x)-\sin(8x))(\cos^2(4x)-\sin^2(4x)+\sin(8x)) &= (\cos(8x)-\sin(8x))(\cos(8x)+\sin(8x))\\ &= \cos ^2 (8x)-\sin ^2 (8x)\\ &= \cos(16x) \end{align*}\)

7.4: Fórmulas de soma para produto e produto para soma

A partir das identidades de soma e diferença, podemos derivar as fórmulas de produto para soma e as fórmulas de soma para produto para seno e cosseno. As fórmulas produto-soma podem reescrever produtos de senos, produtos de cossenos e produtos de seno e cosseno como somas ou diferenças de senos e cossenos. Também podemos derivar as identidades soma-produto a partir das identidades produto-a-soma usando a substituição. As fórmulas da soma do produto são usadas para reescrever a soma ou a diferença como produtos de senos e cossenos.

Verbal

1) Começando com a fórmula do produto para somar\(\sin \alpha \cos \beta =\dfrac{1}{2} \left[\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta ) \right]\),explique como determinar a fórmula para\(\cos \alpha \sin \beta\).

Responda

Substitua\(\alpha \) em cosseno e\(\beta \) em seno e avalie.

2) Explique dois métodos diferentes de cálculo\(\cos (195^{\circ}) \cos (105^{\circ})\),um dos quais usa o produto para somar. Qual método é mais fácil?

3) Explique uma situação em que converteríamos uma equação de uma soma em um produto e daríamos um exemplo.

Responda

As respostas podem variar. Existem algumas equações que envolvem a soma de duas expressões trigonométricas em que, quando convertidas em um produto, são mais fáceis de resolver. Por exemplo:\(\dfrac{\sin (3x)+\sin x}{\cos x}=1\). Ao converter o numerador em um produto, a equação se torna:\(\dfrac{2\sin (2x)\cos x}{\cos x}=1\)

4) Explique uma situação em que converteríamos uma equação de um produto em uma soma e daríamos um exemplo.

Algébrico

Para os exercícios 5-10, reescreva o produto como soma ou diferença.

5)\(16\sin(16x)\sin(11x)\)

Responda

\(8(\cos(5x)-\cos(27x))\)

6)\(2\cos(36t)\cos(6t)\)

7)\(2\sin(5x)\cos(3x)\)

Responda

\(\sin(2x)+\sin(8x)\)

8)\(10\cos(5x)\sin(10x)\)

9)\(\sin(-x)\sin(5x)\)

Responda

\(\dfrac{1}{2}(\cos(6x)-\cos(4x))\)

10)\(\sin(3x)\cos(5x)\)

Para os exercícios 11-16, reescreva a soma ou a diferença como um produto.

11)\(\cos(6t)+\cos(4t)\)

Responda

\(2\cos(5t)\cos t\)

12)\(\sin(3x)+\sin(7x)\)

13)\(\cos(7x)+\cos(-7x)\)

Responda

\(2\cos(7x)\)

14)\(\sin(3x)-\sin(-3x)\)

15)\(\cos(3x)+\cos(9x)\)

Responda

\(2\cos(6x)\cos(3x)\)

16)\(\sin h-\sin(3h)\)

Para os exercícios 17-21, avalie o produto para o seguinte usando uma soma ou diferença de duas funções.

17)\(\cos (45^{\circ}) \cos (15^{\circ})\)

Responda

\(\dfrac{1}{4}(1+\sqrt{3})\)

18)\(\cos (45^{\circ}) \sin (15^{\circ})\)

19)\(\sin (-345^{\circ}) \sin (-15^{\circ})\)

Responda

\(\dfrac{1}{4}(\sqrt{3}-2)\)

20)\(\sin (195^{\circ}) \cos (15^{\circ})\)

21)\(\sin (-45^{\circ}) \sin (-15^{\circ})\)

Responda

\(\dfrac{1}{4}(\sqrt{3}-1)\)

Para os exercícios 22-26, avalie o produto usando a soma ou diferença de duas funções. Deixe em termos de seno e cosseno.

22)\(\cos (23^{\circ}) \sin (17^{\circ})\)

23)\(2\sin (100^{\circ}) \sin (20^{\circ})\)

Responda

\(\cos (80^{\circ})-\cos (120^{\circ})\)

24)\(2\sin (-100^{\circ})\sin (-20^{\circ})\)

25)\(\sin (213^{\circ})\cos (8^{\circ})\)

Responda

\(\dfrac{1}{2}\left (\sin (221^{\circ})+\sin (205^{\circ}) \right )\)

26)\(2\cos (56^{\circ})\cos (47^{\circ})\)

Para os exercícios 27-31, reescreva a soma como um produto de duas funções. Deixe em termos de seno e cosseno.

27)\(\sin (76^{\circ})+\sin (14^{\circ})\)

Responda

\(\sqrt{3}\cos (31^{\circ})\)

28)\(\cos (58^{\circ})-\cos (12^{\circ})\)

29)\(\sin (101^{\circ})-\sin (32^{\circ})\)

Responda

\(2\cos (66.5^{\circ})\sin (34.5^{\circ})\)

30)\(\cos (100^{\circ})+\cos (200^{\circ})\)

31)\(\sin (-1^{\circ})+\sin (-2^{\circ})\)

Responda

\(2\sin (-1.5^{\circ})\cos (0.5^{\circ})\)

Para os exercícios 32-38, prove a identidade.

32)\(\dfrac{\cos (a-b)}{\cos (a+b)}=\dfrac{1-\tan a \tan b}{1+\tan a \tan b}\)

33)\(4\sin(3x)\cos(4x)=2\sin(7x)-2\sin x\)

Responda

\(\begin{align*} 2\sin(7x)-2\sin x &= 2\sin(4x+3x)-2\sin(4x-3x)\\ &= 2(\sin(4x)\cos(3x)+\sin(3x)\cos(4x))-2(\sin(4x)\cos(3x)-\sin(3x)\cos(4x))\\ &= 2\sin(4x)\cos(3x)+2\sin(3x)\cos(4x))-2\sin(4x)\cos(3x)+2\sin(3x)\cos(4x))\\ &= 4\sin(3x)\cos(4x) \end{align*}\)

34)\(\dfrac{6\cos (8x)\sin (2x)}{\sin (-6x)}=-3\sin(10x)\csc(6x)+3\)

35)\(\sin x + \sin(3x)=4\sin x\cos^2 x\)

Responda

\(\begin{align*} \sin x + \sin(3x) &= 2\sin\left ( \dfrac{4x}{2} \right )\cos\left ( -\dfrac{2x}{2} \right )\\ &= 2\sin(2x)\cos x\\ &= 2(2\sin x \cos x)\cos x\\ &= 4\sin x\cos^2 x \end{align*}\)

36)\(2(\cos^3x-\cos x \sin^2x)=\cos(3x)+\cos x\)

37)\(2\tan x \cos(3x)=\sec x(\sin(4x)-\sin(2x))\)

Responda

\(\begin{align*} 2\tan x \cos(3x) &= \dfrac{2\sin x\cos (3x)}{\cos x}\\ &= \dfrac{2(.5(\sin (4x)-\sin (2x)))}{\cos x}\\ &= \dfrac{1}{\cos x}(\sin(4x)-\sin(2x))\\ &= \sec x(\sin(4x)-\sin(2x)) \end{align*}\)

38)\(\cos(a+b)+\cos(a-b)=2\cos a \cos b\)

Numérico

Para os exercícios 39-43, reescreva a soma como um produto de duas funções ou o produto como a soma de duas funções. Dê sua resposta em termos de senos e cossenos. Em seguida, avalie a resposta final numericamente, arredondada para quatro casas decimais.

39)\(\cos (58^{\circ})+\cos (12^{\circ})\)

Responda

\(2\cos (35^{\circ})\cos (23^{\circ}),1.5081\)

40)\(\sin (2^{\circ})-\sin (3^{\circ})\)

41)\(\cos (44^{\circ})-\cos (22^{\circ})\)

Responda

\(-2\sin (33^{\circ})\sin (11^{\circ}),-0.2078\)

42)\(\cos (176^{\circ})\sin (9^{\circ})\)

43)\(\sin (-14^{\circ})\sin (85^{\circ})\)

Responda

\(\dfrac{1}{2}\left (\cos (99^{\circ})-\cos (71^{\circ}) \right ),-0.2410\)

Tecnologia

Para os exercícios 44-48, determine algebricamente se cada uma das expressões dadas é uma identidade verdadeira. Se não for uma identidade, substitua o lado direito por uma expressão equivalente ao lado esquerdo. Verifique os resultados representando graficamente as duas expressões em uma calculadora.

44)\(2\sin(2x)\sin(3x)=\cos x-\cos(5x)\)

45)\(\dfrac{\cos(10\theta )+\cos(6\theta )}{\cos(6\theta )-\cos(10\theta )}=\cot(2\theta )\cot(\theta )\)

Responda

É uma identidade.

46)\(\dfrac{\sin(3x)-\sin(5x)}{\cos(3x)+\cos(5x)}=\tan x\)

47)\(2\cos(2x)\cos x+\sin(2x)\sin x=2\sin x\)

Responda

Não é uma identidade, mas\(2\cos ^3 x\) é.

48)\(\dfrac{\sin(2x)+\sin(4x)}{\sin(2x)-\sin(4x)}=-\tan (3x)\cot x\)

Para os exercícios 49-53, simplifique a expressão para um termo e, em seguida, represente graficamente a função original e sua versão simplificada para verificar se elas são idênticas.

49)\(\dfrac{\sin(9t)-\sin(3t)}{\cos(9t)+\cos(3t)}\)

Responda

\(\tan (3t)\)

50)\(2\sin(8x)\cos(6x)-\sin(2x)\)

51)\(\dfrac{\sin(3x)-\sin(x)}{\sin x}\)

Responda

\(2\cos (2x)\)

52)\(\dfrac{\cos(5x)+\cos(3x)}{\sin(5x)+\sin(3x)}\)

53)\(\sin x \cos(15x)-\cos x \sin(15x)\)

Responda

\(-\sin (14x)\)

Extensões

Para os exercícios 54-55, prove as seguintes fórmulas de soma do produto.

54)\(\sin x - \sin y = 2\sin \left ( \dfrac{x-y}{2} \right )\cos \left ( \dfrac{x+y}{2} \right )\)

55)\(\cos x + \cos y = 2\cos \left ( \dfrac{x+y}{2} \right )\cos \left ( \dfrac{x-y}{2} \right )\)

Responda

Comece com\(\cos x + \cos y\). Faça uma substituição e deixe\(x=\alpha +\beta\) e deixe\(y=\alpha -\beta\),então\(\cos x + \cos y\) se torna:

\(\cos(\alpha +\beta )+\cos(\alpha -\beta )=\cos\alpha \cos\beta -\sin\alpha \sin\beta +\cos\alpha \cos\beta +\sin\alpha \sin\beta =2\cos\alpha \cos \beta\)

Desde\(x=\alpha +\beta\) e\(y=\alpha -\beta\),podemos resolver\(\alpha \) e\(\beta \) em termos de\(x\)\(y\) e e substituir por\(2\cos\alpha \cos \beta\) e obter

\(2\cos \left ( \dfrac{x+y}{2} \right )\cos \left ( \dfrac{x-y}{2} \right )\)

Para os exercícios 56-63, prove a identidade.

56)\(\dfrac{\sin(6x)+\sin(4x)}{\sin(6x)-\sin(4x)}=\tan (5x)\cot x\)

57)\(\dfrac{\cos(3x)+\cos x}{\cos(3x)-\cos(4x)}=-\cot (2x)\cot x\)

Responda

\(\dfrac{\cos(3x)+\cos x}{\cos(3x)-\cos(4x)}=\dfrac{2\cos(2x)\cos x}{-2\sin(2x)\sin x}=-\cot (2x)\cot x\)

58)\(\dfrac{\cos(6y)+\cos(8y)}{\sin(6y)-\sin(4y)}=\cot y\cos(7y)\sec(5y)\)

59)\(\dfrac{\cos(2y)-\cos(4y)}{\sin(2y)+\sin(4y)}=\tan y\)

Responda

\(\begin{align*} \dfrac{\cos(2y)-\cos(4y)}{\sin(2y)+\sin(4y)} &= \dfrac{-2\sin(3y)\sin(-y)}{2\sin(3y)\cos y}\\ &= \dfrac{2\sin(3y)\sin(y)}{2\sin(3y)\cos y}\\ &= \tan y \end{align*}\)

60)\(\dfrac{\sin(10x)-\sin(2x)}{\cos(10x)+\cos(2x)}=\tan(4x)\)

61)\(\cos x-\cos(3x)=4\sin^2x \cos x\)

Responda

\(\begin{align*} \cos x-\cos(3x) &= -2\sin(2x)\sin(-x)\\ &= 2(2\sin x \cos x)\sin x\\ &= 4\sin^2x \cos x \end{align*}\)

62)\((\cos(2x)-\cos(4x))^2+(\sin(4x)+\sin(2x))^2=4\sin^2(3x)\)

63)\(\tan \left ( \dfrac{\pi }{4}-t \right )=\dfrac{1-\tan t}{1+\tan t}\)

Responda

\(\tan \left ( \dfrac{\pi }{4}-t \right )=\dfrac{\tan \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )-\tan t}{1+\tan \left ( \dfrac{\pi }{4} \right )\tan t}=\dfrac{1-\tan t}{1+\tan t}\)

7.5: Resolvendo equações trigonométricas

Nas seções anteriores deste capítulo, analisamos as identidades trigonométricas. As identidades são verdadeiras para todos os valores no domínio da variável. Nesta seção, começamos nosso estudo de equações trigonométricas para estudar cenários do mundo real, como a descoberta das dimensões das pirâmides.

Verbal

1) Sempre haverá soluções para equações de funções trigonométricas? Caso contrário, descreva uma equação que não teria uma solução. Explique por que ou por que não.

Responda

Nem sempre haverá soluções para equações de funções trigonométricas. Para um exemplo básico,\(\cos(x)=-5\).

2) Ao resolver uma equação trigonométrica envolvendo mais de uma função trigonométrica, sempre queremos tentar reescrever a equação para que ela seja expressa em termos de uma função trigonométrica? Por que ou por que não?

3) Ao resolver equações trigonométricas lineares em termos apenas de seno ou cosseno, como sabemos se haverá soluções?

Responda

Se a função seno ou cosseno tiver um coeficiente de um, isole o termo em um lado do sinal de igual. Se o número definido como igual tiver um valor absoluto menor ou igual a um, a equação tem soluções, caso contrário, não tem. Se o seno ou cosseno não tiver um coeficiente igual a um, ainda isole o termo, mas divida os dois lados da equação pelo coeficiente principal. Então, se o número definido como igual tiver um valor absoluto maior que um, a equação não tem solução.

Algébrico

Para os exercícios 4-12, encontre todas as soluções exatamente no intervalo \(0\leq \theta < 2\pi\)

4)\(2\sin \theta=-\sqrt{2}\)

5)\(2\sin \theta=\sqrt{3}\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{3}, \dfrac{2\pi }{3}\)

6)\(2\cos \theta=1\)

7)\(2\cos \theta=-\sqrt{2}\)

Responda

\(\dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}\)

8)\(\tan \theta=-1\)

9)\(\tan x=1\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}\)

10)\(\cot x+1=0\)

11)\(4\sin^2 x-2=0\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{4}, \dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}\)

12)\(\csc^2 x-4=0\)

Para os exercícios 13-22, resolva exatamente em\([0,2\pi )\)

13)\(2\cos \theta=\sqrt{2}\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}\)

14)\(2\cos \theta=-1\)

15)\(2\sin \theta=-1\)

Responda

\(\dfrac{7\pi }{6}, \dfrac{11\pi }{6}\)

16)\(2\sin \theta=-\sqrt{3}\)

17)\(2\sin (3\theta )=1\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{18}, \dfrac{5\pi }{18}, \dfrac{13\pi }{18}, \dfrac{17\pi }{18}, \dfrac{25\pi }{18}, \dfrac{29\pi }{18}\)

18)\(2\sin (2\theta )=\sqrt{3}\)

19)\(2\cos (3\theta )=-\sqrt{2}\)

Responda

\(\dfrac{3\pi }{12}, \dfrac{5\pi }{12}, \dfrac{11\pi }{12}, \dfrac{13\pi }{12}, \dfrac{19\pi }{12}, \dfrac{21\pi }{12}\)

20)\(\cos (2\theta )=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\)

21)\(2\sin(\pi \theta )=1\)

Responda

\(\dfrac{1}{6}, \dfrac{5}{6}, \dfrac{13}{6}, \dfrac{17}{6}, \dfrac{25}{6}, \dfrac{29}{6}, \dfrac{37}{6}\)

22)\(2\cos \left(\dfrac{\pi }{5}\theta \right)=\sqrt{3}\)

Para os exercícios 23-32, encontre todas as soluções exatas em\([0,2\pi )\)

23)\(\sec(x)\sin(x)-2\sin(x)=0\)

Responda

\(0, \dfrac{\pi }{3}, \pi , \dfrac{5\pi }{3}\)

24)\(\tan(x)-2\sin(x)\tan(x)=0\)

25)\(2\cos^2 t+\cos(t)=1\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{3}, \pi , \dfrac{5\pi }{3}\)

26)\(2\tan^2(t)=3\sec(t)\)

27)\(2\sin(x)\cos(x)-\sin(x)+2\cos(x)-1=0\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{3}, \dfrac{3\pi }{2}, \dfrac{5\pi }{3}\)

28)\(\cos^2\theta =\dfrac{1}{2}\)

29)\(\sec^2 x =1\)

Responda

\(0, \pi \)

30)\(\tan^2(x)=-1+2\tan(-x)\)

31)\(8\sin^2(x)+6\sin(x)+1=0\)

Responda

\(\pi -\sin^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right ), \dfrac{7\pi }{6}, \dfrac{11\pi }{6}, 2\pi +\sin^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right )\)

32)\(\tan^5(x)=\tan(x)\)

Para os exercícios 33-40, resolva com os métodos mostrados nesta seção exatamente no intervalo\([0,2\pi )\)

33)\(\sin(3x)\cos(6x)-\cos(3x)\sin(6x)=-0.9\)

Responda

\(\dfrac{1}{3}\left (\sin^{-1}\left ( \dfrac{9}{10} \right ) \right ), \dfrac{\pi }{3}-\dfrac{1}{3}\left (\sin^{-1}\left ( \dfrac{9}{10} \right ) \right ), \dfrac{2\pi }{3}+\dfrac{1}{3}\left (\sin^{-1}\left ( \dfrac{9}{10} \right ) \right ), \pi -\dfrac{1}{3}\left (\sin^{-1}\left ( \dfrac{9}{10} \right ) \right ), \dfrac{4\pi }{3}+\dfrac{1}{3}\left (\sin^{-1}\left ( \dfrac{9}{10} \right ) \right ), \dfrac{5\pi }{3}-\)

34)\(\sin(6x)\cos(11x)-\cos(6x)\sin(11x)=-0.1\)

(35)\(\cos(2x)\cos x+\sin(2x)\sin x=1\)

Responda

\(0\)

36)\(6\sin(2t)+9\sin t=0\)

37)\(9\cos(2\theta )=9\cos^2\theta -4\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}, \dfrac{7\pi }{6}, \dfrac{11\pi }{6}\)

38)\(\sin(2t)=\cos t\)

39)\(\cos(2t)=\sin t\)

Responda

\(\dfrac{3\pi }{2}, \dfrac{\pi }{6}, \dfrac{5\pi }{6}\)

40)\(\cos(6x)-\cos(3x)=0\)

Para os exercícios 41-49, resolva exatamente no intervalo\([0,2\pi )\). Use a fórmula quadrática se as equações não fatorarem.

41)\(\tan^2 x-\sqrt{3}\tan x=0\)

Responda

\(0, \dfrac{\pi }{3}, \pi , \dfrac{4\pi }{3}\)

(42)\(\sin^2 x+\sin x-2=0\)

43)\(\sin^2 x-2\sin x-4=0\)

Responda

Não há soluções.

44)\(5\cos^2 x+3\cos x-1=0\)

45)\(3\cos^2 x-3\cos x-2=0\)

Responda

\(\cos^{-1}\left (\dfrac{1}{3}\left ( 1-\sqrt{7} \right ) \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left (\dfrac{1}{3}\left ( 1-\sqrt{7} \right ) \right )\)

(46)\(5\sin^2 x+2\sin x-1=0\)

47)\(\tan^2 x+5\tan x-1=0\)

Responda

\(\tan^{-1}\left (\dfrac{1}{2}\left ( \sqrt{29}-5 \right ) \right ), \pi +\tan^{-1}\left (\dfrac{1}{2}\left ( -\sqrt{29}-5 \right ) \right ), \pi +\tan^{-1}\left (\dfrac{1}{2}\left ( \sqrt{29}-5 \right ) \right ), 2\pi +\tan^{-1}\left (\dfrac{1}{2}\left ( -\sqrt{29}-5 \right ) \right )\)

48)\(\cot^2 x=-\cot x\)

49)\(-\tan^2 x-\tan x-2=0\)

Responda

Não há soluções.

Para os exercícios 50-65, encontre soluções exatas no intervalo\([0,2\pi )\). Procure oportunidades de usar identidades trigonométricas.

50)\(\sin^2 x-\cos^2 x-\sin x=0\)

51)\(\sin^2 x+\cos^2 x=0\)

Responda

Não há soluções.

52)\(\sin(2x)-\sin x=0\)

53)\(\cos(2x)-\cos x=0\)

Responda

\(0, \dfrac{2\pi }{3}, \dfrac{4\pi }{3}\)

54)\(\dfrac{2\tan x}{2-\sec ^2 x}-\sin^2 x=\cos^2 x\)

55)\(1-\cos(2x)=1+\cos(2x)\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{4}, \dfrac{3\pi }{4}, \dfrac{5\pi }{4}, \dfrac{7\pi }{4}\)

(56)\(\sec^2 x=7\)

57)\(10\sin x \cos x=6 \cos x\)

Responda

\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{3}{5} \right ), \dfrac{\pi }{2}, \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{3}{5} \right ), \dfrac{3\pi }{2}\)

(58)\(-3\sin t=15\cos t \sin t\)

(59)\(4\cos^2x - 4 = 15\cos x\)

Responda

\(\cos^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right )\)

60)\(8\sin^2 x+6\sin x+1=0\)

61)\(8\cos^2 \theta =3-2\cos \theta\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{3}, \cos^{-1}\left ( -\dfrac{3}{4} \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left ( -\dfrac{3}{4} \right ), \dfrac{5\pi }{3}\)

62)\(6\cos^2 x+7\sin x-8=0\)

63)\(12\sin^2 t+\cos t-6=0\)

Responda

\(\cos^{-1}\left ( \dfrac{3}{4} \right ), \cos^{-1}\left ( -\dfrac{2}{3} \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left ( -\dfrac{2}{3} \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left ( \dfrac{3}{4} \right )\)

64)\(\tan x=3\sin x\)

65)\(\cos^3 t=\cos t\)

Responda

\(0, \dfrac{\pi }{2}, \pi , \dfrac{3\pi }{2}\)

Gráfica

Para os exercícios 66-72, determine algebricamente todas as soluções da equação trigonométrica com exatidão e, em seguida, verifique os resultados representando graficamente a equação e encontrando os zeros.

66)\(6\sin^2 x-5\sin x+1=0\)

67)\(8\cos^2 x-2\cos x-1=0\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{3}, \cos^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right ), 2\pi -\cos^{-1}\left ( -\dfrac{1}{4} \right ), \dfrac{5\pi }{3}\)

68)\(100\tan^2x+20\tan x-3=0\)

69)\(2\cos^2 x-\cos x+15=0\)

Responda

Não há soluções.

70)\(20\sin^2 x-27\sin x+7=0\)

71)\(2\tan^2 x+7\tan x+6=0\)

Responda

\(\pi +\tan^{-1}(-2), \pi +\tan^{-1}\left (-\dfrac{3}{2}\right ), 2\pi +\tan^{-1}(-2), 2\pi +\tan^{-1}\left (-\dfrac{3}{2} \right )\)

72)\(130\tan^2 x+69\tan x-130=0\)

Tecnologia

Para os exercícios 73-76, use uma calculadora para encontrar todas as soluções com quatro casas decimais.

73)\(\sin x=0.27\)

Responda

\(2\pi k+0.2734, 2\pi k+2.8682\)

74)\(\sin x=-0.55\)

75)\(\tan x=-0.34\)

Responda

\(\pi k-0.3277\)

76)\(\cos x=0.71\)

77)\(\tan^2 x+3\tan x-3=0\)

Responda

\(0.6694,1.8287,3.8110,4.9703\)

78)\(6\tan^2 x+13\tan x=-6\)

79)\(\tan^2 x-\sec x=1\)

Responda

\(1.0472,3.1416,5.2360\)

80)\(\sin^2 x-2\cos^2 x=0\)

81)\(2\tan^2 x+9\tan x-6=0\)

Responda

\(0.5326,1.7648,3.6742,4.9064\)

(82)\(4\sin^2 x+\sin(2x)\sec x-3=0\)

Extensões

Para os exercícios 83-92, encontre todas as soluções exatamente para as equações no intervalo\([0,2\pi )\).

83)\(\csc^2 x-3\csc x-4=0\)

Responda

\(\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right ), \pi -\sin^{-1}\left ( \dfrac{1}{4} \right ), \dfrac{3\pi }{2}\)

84)\(\sin^2 x-\cos^2 x-1=0\)

85)\(\sin^2 x(1-\sin^2 x)+\cos^2 x(1-\sin^2 x)=0\)

Responda

\(\dfrac{\pi }{2}, \dfrac{3\pi }{2}\)

86)\(3\sec^2 x+2+\sin^2 x-\tan^2 x+\cos^2 x=0\)

87)\(\sin^2 x-1+2\cos(2x)-\cos^2 x=1\)

Responda

Não há soluções.

88)\(\tan^2 x-1-\sec^3 x \cos x=0\)

89)\(\dfrac{\sin (2x)}{\sec ^2 x}=0\)

Responda

\(0, \dfrac{\pi }{2}, \pi , \dfrac{3\pi }{2}\)

90)\(\dfrac{\sin (2x)}{2\csc ^2 x}=0\)

91)\(2\cos^2 x-\sin^2 x-\cos x-5=0\)

Responda

Não há soluções.

92)\(\dfrac{1}{\sec ^2 x}+2+\sin ^2 x+4\cos ^2 x=4\)

Aplicativos do mundo real

93) Um avião tem apenas gasolina suficiente para voar até uma cidade a\(200\) milhas a nordeste de sua localização atual. Se o piloto souber que a cidade fica\(25\) a milhas ao norte, quantos graus ao norte do leste o avião deve voar?

Responda

\(7.2^{\circ}\)

94) Se uma rampa de carregamento for colocada ao lado de um caminhão, a uma altura de\(4\) pés, e a rampa tiver\(15\) pés de comprimento, que ângulo a rampa faz com o solo?

95) Se uma rampa de carregamento for colocada ao lado de um caminhão, a uma altura de\(2\) pés, e a rampa tiver\(20\) pés de comprimento, que ângulo a rampa faz com o solo?

Responda

\(5.7^{\circ}\)

96) Uma mulher está assistindo a um foguete lançado atualmente\(11\) a milhas de altitude. Se ela estiver a\(4\) quilômetros da plataforma de lançamento, em que ângulo ela está olhando da horizontal?

97) Um astronauta está em um foguete lançado atualmente\(15\) a milhas de altitude. Se um homem está a\(2\) quilômetros da plataforma de lançamento, em que ângulo ela está olhando para ele da horizontal? (Dica: isso é chamado de ângulo da depressão.)

Responda

\(82.4^{\circ}\)

98) Uma mulher está a\(8\) metros de distância de um prédio\(10\) de um metro de altura. Em que ângulo ela está olhando para o topo do prédio?

99) Um homem está a\(10\) metros de distância de um prédio\(6\) de um metro de altura. Alguém no topo do prédio está olhando para ele. Em que ângulo a pessoa está olhando para ele?

Responda

\(31.0^{\circ}\)

100) Um prédio\(20\) de um metro de altura tem uma sombra com\(55\) pés de comprimento. Qual é o ângulo de elevação do sol?

101) Um prédio\(90\) de um metro de altura tem uma sombra com\(2\) pés de comprimento. Qual é o ângulo de elevação do sol?

Responda

\(88.7^{\circ}\)

102) Um holofote no chão a\(3\) metros de um homem\(2\) de um metro de altura projeta uma sombra de um\(6\) metro em uma parede a\(6\) metros do homem. Em que ângulo está a luz?

103) Um holofote nos\(3\) pés do chão de uma mulher\(5\) de um metro de altura projeta uma sombra\(15\) de 30 centímetros de altura na parede, a\(6\) pés da mulher. Em que ângulo está a luz?

Responda

\(59.0^{\circ}\)

Para os exercícios 104-106, encontre uma solução para a palavra problema algebricamente. Em seguida, use uma calculadora para verificar o resultado. Arredonde a resposta para o décimo de grau mais próximo.

104) Uma pessoa faz uma parada de mão com os pés tocando uma parede e as mãos com\(1.5\) os pés afastados da parede. Se a pessoa tem\(6\) pés de altura, que ângulo seus pés fazem com a parede?

105) Uma pessoa faz uma parada de mão com os pés tocando uma parede e as mãos a\(3\) pés afastados da parede. Se a pessoa tem\(5\) pés de altura, que ângulo seus pés fazem com a parede?

Responda

\(36.9^{\circ}\)

106) Uma escada\(23\) de um pé é posicionada ao lado de uma casa. Se a escada deslizar a\(7\) pés da casa quando não há tração suficiente, que ângulo a escada deve fazer com o solo para evitar escorregar?

7.6: Modelagem com equações trigonométricas

Muitos fenômenos naturais também são periódicos. Por exemplo, as fases da lua têm um período de aproximadamente\(28\) dias, e os pássaros sabem voar para o sul quase na mesma época todos os anos. Então, como podemos modelar uma equação para refletir o comportamento periódico? Primeiro, devemos coletar e registrar dados. Em seguida, encontramos uma função que se assemelha a um padrão observado e alteramos a função para obter um modelo confiável. Aqui, examinaremos mais profundamente tipos específicos de comportamento periódico e equações de modelo para ajustar os dados.

Verbal

1) Explique quais tipos de fenômenos físicos são melhor modelados por funções senoidais. Quais são as características necessárias?

Responda

O comportamento físico deve ser periódico ou cíclico.

2) Quais informações são necessárias para construir um modelo trigonométrico da temperatura diária? Dê exemplos de dois conjuntos diferentes de informações que permitiriam a modelagem com uma equação.

3) Se quisermos modelar chuvas cumulativas ao longo de um ano, uma função senoidal seria um bom modelo? Por que ou por que não?

Responda

Como as chuvas cumulativas estão sempre aumentando, uma função sinusoidal não seria ideal aqui.

4) Explique o efeito de um fator de amortecimento nos gráficos das funções de movimento harmônico.

Algébrico

Para os exercícios 5-13, encontre uma possível fórmula para a função trigonométrica representada pela tabela de valores fornecida.

5)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(−4\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y\) ">\(−1\)
\ (x\) ">\(6\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(9\)	\ (y\) ">\(−1\)
\ (x\) ">\(12\)	\ (y\) ">\(−4\)
\ (x\) ">\(15\)	\ (y\) ">\(−1\)
\ (x\) ">\(18\)	\ (y\) ">\(2\)

 

Responda

\(y=−3 \cos \left(\dfrac{π}{6}x \right)−1\)

6)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(5\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(4\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(6\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(8\)	\ (y\) ">\(5\)
\ (x\) ">\(10\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(12\)	\ (y\) ">\(−3\)

7)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{π}{4}\)	\ (y\) ">\(7\)
\ (x\) ">\(\frac{π}{2}\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{3π}{4}\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(π\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{5π}{4}\)	\ (y\) ">\(7\)
\ (x\) ">\(\frac{3π}{2}\)	\ (y\) ">\(2\)

Responda

\(5 \sin (2x)+2\)

8)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{π}{4}\)	\ (y\) ">\(7\)
\ (x\) ">\(\frac{π}{2}\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{3π}{4}\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(π\)	\ (y\) ">\(2\)
\ (x\) ">\(\frac{5π}{4}\)	\ (y\) ">\(7\)
\ (x\) ">\(\frac{3π}{2}\)	\ (y\) ">\(2\)

9)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(−7\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(4\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(5\)	\ (y\) ">\(−3\)
\ (x\) ">\(6\)	\ (y\) ">\(−7\)

Responda

\(4\cos \left(\dfrac{xπ}{2} \right)−3\)

10)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(−2\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(4\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(10\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y\) ">\(4\)
\ (x\) ">\(4\)	\ (y\) ">\(−2\)
\ (x\) ">\(5\)	\ (y\) ">\(4\)
\ (x\) ">\(6\)	\ (y\) ">\(10\)

11)

\(x\)	\(y\)
\ (x\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">\(0\)	\ (y\)” style="background-attachment:scroll; background-clip: border-box; background-image:none; background-origin:padding-box; background-position-x: 0%; background-position-y: 0%; background-repeat:repeat; background-size:auto; border-bottom-color:rgb (204, 204, 204); estilo border-bottom:tracejado; largura da borda inferior: 1px; borda -image-outset:0; border-image-repeat:stretch; border-image-slice: 100%; border-image-source:none; border-image-width:1; border-left-color:rgb (204, 204, 204); border-left-style:tracejado; border-esquerda-largura:1px; border-right-color:rgb (204, 204, 204); estilo borda direita:tracejado; largura da borda direita:1 px; cor da borda superior:rgb (204, 204 , 204); estilo borda superior:tracejado; largura da borda superior:1 px; tamanho da caixa: caixa com borda; fundo de preenchimento: 16 px; preenchimento à esquerda: 16 px; preenchimento à direita: 16 px; preenchimento superior: 16 px; preenchimento superior: 16 px; alinhamento de texto: centro; alinhamento vertical: topo; encapsulamento de palavras: palavra quebrada; ">\(5\)
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Responda

\(5−8 \sin \left(\dfrac{xπ}{2} \right)\)

12)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(−3\)	\ (y\) ">\(−1−\sqrt{2}\)
\ (x\) ">\(−2\)	\ (y\) ">\(−1\)
\ (x\) ">\(−1\)	\ (y\) ">\(1−\sqrt{2}\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(\sqrt{2}−1\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y\) ">\(\sqrt{2}+1\)

13)

\(x\)	\(y\)
\ (x\) ">\(−1\)	\ (y\) ">\(\sqrt{3}−2\)
\ (x\) ">\(0\)	\ (y\) ">\(0\)
\ (x\) ">\(1\)	\ (y\) ">\(2−\sqrt{3}\)
\ (x\) ">\(2\)	\ (y\) ">\(\frac{\sqrt{3}}{3}\)
\ (x\) ">\(3\)	\ (y\) ">\(1\)
\ (x\) ">\(4\)	\ (y\) ">\(\sqrt{3}\)
\ (x\) ">\(5\)	\ (y\) ">\(2+\sqrt{3}\)

Responda

\(\tan \left(\dfrac{xπ}{12} \right)\)

Gráfica

Para os exercícios 14-16, represente graficamente a função dada e, em seguida, encontre um possível processo físico que a equação possa modelar.

14)\(f(x)=−30 \cos \left(\dfrac{xπ}{6} \right)−20 \cos ^2 \left(\dfrac{xπ}{6} \right)+80 \; [0,12]\)

15)\(f(x)=−18 \cos \left(\dfrac{xπ}{12} \right)−5 \sin \left(\dfrac{xπ}{12} \right)+100\) no intervalo\([0,24]\)

Responda

As respostas podem variar. Exemplo de resposta: Essa função pode modelar mudanças de temperatura ao longo de um dia muito quente em Phoenix, Arizona.

16)\(f(x)=10−\sin \left(\dfrac{xπ}{6} \right)+24 \tan \left(\dfrac{xπ}{240} \right)\) no intervalo\([0,80]\)

Tecnologia

Para o exercício 17, construa um comportamento de modelagem de função e use uma calculadora para encontrar os resultados desejados.

17) A precipitação média anual de uma cidade é atualmente de\(20\) polegadas e varia sazonalmente em\(5\) polegadas. Devido a circunstâncias imprevistas, as chuvas parecem estar diminuindo a\(15\%\) cada ano. Daqui a quantos anos esperaríamos que as chuvas atingissem inicialmente\(0\) polegadas? Observe que o modelo é inválido uma vez que prevê chuvas negativas, então escolha o primeiro ponto em que ele vai abaixo\(0\).

Responda

\(9\)daqui a alguns anos

Aplicativos do mundo real

Para os exercícios 18-29, construa uma função senoidal com as informações fornecidas e, em seguida, resolva a equação para os valores solicitados.

18) As temperaturas externas ao longo de um dia podem ser modeladas como uma função senoidal. Suponha que a alta temperatura de\(105°F\) ocorra às 17h e a temperatura média do dia seja\(85°F\). Encontre a temperatura, até o grau mais próximo, às 9h.

19) As temperaturas externas ao longo de um dia podem ser modeladas como uma função senoidal. Suponha que a alta temperatura de\(84°F\) ocorra às 18h e a temperatura média do dia seja\(70°F.\) Encontre a temperatura, no grau mais próximo, às 7h.

Responda

\(56 °F\)

20) As temperaturas externas ao longo de um dia podem ser modeladas como uma função senoidal. Suponha que a temperatura\(47°F\) varie entre e\(63°F\) durante o dia e que a temperatura média diária ocorra primeiro às 10h. Quantas horas depois da meia-noite a temperatura atinge pela primeira vez\(51°F\)?

21) As temperaturas externas ao longo de um dia podem ser modeladas como uma função senoidal. Suponha que a temperatura\(64°F\) varie entre e\(86°F\) durante o dia e que a temperatura média diária ocorra pela primeira vez às 12h. Quantas horas depois da meia-noite a temperatura atinge pela primeira vez\(70°F\)?

Responda

\(1.8024\)horas

22) Uma roda gigante tem\(20\) metros de diâmetro e é embarcada em uma plataforma que está\(2\) metros acima do solo. A posição das seis horas na roda gigante está nivelada com a plataforma de carregamento. A roda\(1\) completa a rotação em\(6\) minutos. Quanto do passeio, em minutos e segundos, é gasto a mais de\(13\) metros acima do solo?

23) Uma roda gigante tem\(45\) metros de diâmetro e é embarcada em uma plataforma que está\(1\) metros acima do solo. A posição das seis horas na roda gigante está nivelada com a plataforma de carregamento. A roda\(1\) completa a rotação em\(10\) minutos. Quantos minutos de viagem são gastos a mais de\(27\) metros acima do solo? Arredonde para o segundo mais próximo.

Responda

\(4:30\)

24) A área de gelo marinho ao redor do Pólo Norte flutua entre cerca\(6\) de um milhão de quilômetros quadrados em 1º de setembro a\(14\) milhões de quilômetros quadrados em 1º de março. Supondo uma flutuação sinusoidal, quando há menos de 9 milhões de quilômetros quadrados de gelo marinho? Dê sua resposta em um intervalo de datas, até o dia mais próximo.

25) A área de gelo marinho ao redor do Pólo Sul flutua entre cerca\(18\) de um milhão de quilômetros quadrados em setembro e\(3\) milhões de quilômetros quadrados em março. Supondo uma flutuação sinusoidal, quando existem mais de 15 milhões de quilômetros quadrados de gelo marinho? Dê sua resposta em um intervalo de datas, até o dia mais próximo.

Responda

De 8 de julho a 23 de outubro

26) Durante uma estação\(90\) de monções de um dia, as chuvas diárias podem ser modeladas por funções sinusoidais. Se a precipitação flutuar entre um mínimo de\(2\) polegadas no dia\(10\) e\(12\) polegadas no dia\(55\), durante qual período a precipitação diária é superior a\(10\) polegadas?

27) Durante uma estação\(90\) de monções de um dia, as chuvas diárias podem ser modeladas por funções sinusoidais. Uma baixa de\(4\) polegadas de chuva foi registrada no dia e\(30\), no geral, a precipitação média diária foi de\(8\) polegadas. Durante qual período a precipitação diária foi inferior a\(5\) polegadas?

Responda

De um dia para\(19\) o outro\(40\)

28) Em uma determinada região, a precipitação mensal atinge o pico em\(8\) polegadas em 1º de junho e cai para um mínimo de\(1\) polegada em 1º de dezembro. Identifique os períodos em que a região está sob condições de inundação (maiores que\(7\) polegadas) e condições de seca (menos de\(2\) polegadas). Dê sua resposta em termos do dia mais próximo.

29) Em uma determinada região, a precipitação mensal atinge o pico em\(24\) polegadas em setembro e cai para um mínimo de\(4\) polegadas em março. Identifique os períodos em que a região está sob condições de inundação (maiores que\(22\) polegadas) e condições de seca (menos de\(5\) polegadas). Dê sua resposta em termos do dia mais próximo.

Responda

Inundações: 24 de julho a 7 de outubro. Secas: 4 de fevereiro a 27 de março

Para os exercícios 30-32, determine a amplitude, o período e a frequência da função dada.

30) O deslocamento\(h(t)\) em centímetros de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função\(h(t)=8 \sin (6πt),\) onde\(t\) é medida em segundos. Encontre a amplitude, o período e a frequência desse deslocamento.

31) O deslocamento\(h(t)\) em centímetros de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função\(h(t)=11 \sin (12πt),\) onde\(t\) é medida em segundos. Encontre a amplitude, o período e a frequência desse deslocamento.

Responda

Amplitude:\(11\), período:\(\dfrac{1}{6}\), frequência:\(6\) Hz

32) O deslocamento\(h(t)\) em centímetros de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função\(h(t)=4 \cos \left(\dfrac{π}{2}t \right)\), onde\(t\) é medido em segundos. Encontre a amplitude, o período e a frequência desse deslocamento.

Para o exercício 33, construa uma equação que modela o comportamento descrito.

33) O deslocamento\(h(t)\), em centímetros, de uma massa suspensa por uma mola é modelado pela função\(h(t)=−5 \cos (60πt)\), onde\(t\) é medido em segundos. Encontre a amplitude, o período e a frequência desse deslocamento.

Responda

Amplitude:\(5\), período:\(\dfrac{1}{30}\), frequência:\(30\) Hz

Para os exercícios 34-41, construa uma equação que modela o comportamento descrito.

34) A população de veados oscila\(19\) acima e abaixo da média durante o ano, atingindo o valor mais baixo em janeiro. A população média começa em\(800\) veados e aumenta a\(160\) cada ano. Encontre uma função que modela a população,\(P\), em termos de meses desde janeiro,\(t\).

35) A população de coelhos oscila\(15\) acima e abaixo da média durante o ano, atingindo o valor mais baixo em janeiro. A população média começa em\(650\) coelhos e aumenta a\(110\) cada ano. Encontre uma função que modela a população,\(P\), em termos de meses desde janeiro,\(t\).

Responda

\(P(t)=−15 \cos \left(\dfrac{π}{6}t \right)+650+\dfrac{55}{6}t\)

36) A população de ratos almiscarados oscila\(33\) acima e abaixo da média durante o ano, atingindo o valor mais baixo em janeiro. A população média começa com\(900\) ratos almiscarados e aumenta a\(7\%\) cada mês. Encontre uma função que modela a população,\(P\), em termos de meses desde janeiro,\(t\).

37) A população de peixes oscila\(40\) acima e abaixo da média durante o ano, atingindo o valor mais baixo em janeiro. A população média começa com\(800\) peixes e aumenta a\(4\%\) cada mês. Encontre uma função que modela a população,\(P\), em termos de meses desde janeiro,\(t\).

Responda

\(P(t)=−40 \cos \left(\dfrac{π}{6}t \right)+800(1.04)^t\)

38) Uma mola presa ao teto é puxada\(10\) cm para baixo do equilíbrio e liberada. A amplitude diminui a\(15\%\) cada segundo. A mola oscila\(18\) vezes a cada segundo. Encontre uma função que modela a distância\(D\),, o final da mola está do equilíbrio em termos de segundos\(t\), desde que a mola foi liberada.

39) Uma mola presa ao teto é puxada\(7\) cm para baixo do equilíbrio e liberada. A amplitude diminui a\(11\%\) cada segundo. A mola oscila\(20\) vezes a cada segundo. Encontre uma função que modela a distância\(D\), o final da mola está em equilíbrio em termos de segundos,\(t,\) desde que a mola foi liberada.

Responda

\(D(t)=7(0.89)^t \cos (40πt)\)

40) Uma mola presa ao teto é puxada\(17\) cm para baixo do equilíbrio e liberada. Após\(3\) segundos, a amplitude diminuiu para\(13\) cm. A mola oscila\(14\) vezes a cada segundo. Encontre uma função que modela a distância,\(D,\) o final da mola está em equilíbrio em termos de segundos\(t\), desde que a mola foi liberada.

41) Uma mola presa ao teto é puxada\(19\) cm para baixo do equilíbrio e liberada. Após\(4\) segundos, a amplitude diminuiu para\(14\) cm. A mola oscila\(13\) vezes a cada segundo. Encontre uma função que modela a distância\(D\),, o final da mola está do equilíbrio em termos de segundos\(t\), desde que a mola foi liberada.

Responda

\(D(t)=19(0.9265)^t \cos (26πt)\)

Para os exercícios 42-47, crie uma função modelando o comportamento descrito. Em seguida, calcule o resultado desejado usando uma calculadora.

42) Atualmente, um determinado lago tem uma população média de trutas de\(20,000\). A população oscila naturalmente acima e abaixo da média a\(2,000\) cada ano. Este ano, o lago foi aberto aos pescadores. Se os pescadores pescarem\(3,000\) peixe todos os anos, quanto tempo demorará para o lago não ter mais trutas?

43) As populações de peixes brancos estão atualmente\(500\) em um lago. A população oscila naturalmente acima e abaixo a\(25\) cada ano. Se os humanos pescarem demais, tirando\(4\%\) a população todos os anos, em quantos anos o lago primeiro terá menos do que\(200\) peixes brancos?

Responda

\(20.1\)anos

44) Uma mola presa a um teto é puxada para baixo em\(11\) cm do equilíbrio e liberada. Após\(2\) segundos, a amplitude diminuiu para\(6\) cm. A mola oscila\(8\) vezes a cada segundo. Descubra quando a mola se aproxima pela primeira vez\(−0.1\) e\(0.1\) cm, efetivamente em repouso.

45) Uma mola presa a um teto é puxada para baixo em\(21\) cm do equilíbrio e liberada. Após\(6\) segundos, a amplitude diminuiu para\(4\) cm. A mola oscila\(20\) vezes a cada segundo. Descubra quando a mola se aproxima pela primeira vez\(−0.1\) e\(0.1\) cm, efetivamente em repouso.

Responda

\(17.8\)segundos

46) Duas molas são puxadas para baixo do teto e liberadas ao mesmo tempo. A primeira mola, que oscila\(8\) vezes por segundo, foi inicialmente puxada para baixo em\(32\) cm do equilíbrio, e a amplitude diminui a\(50\%\) cada segundo. A segunda mola,\(18\) tempos oscilantes por segundo, foi inicialmente puxada para baixo em\(15\) cm do equilíbrio e após\(4\) segundos tem uma amplitude de\(2\) cm. Qual primavera descansa primeiro e a que horas? Considere “descanso” como uma amplitude menor que\(0.1\) cm.

47) Duas molas são puxadas para baixo do teto e liberadas ao mesmo tempo. A primeira mola, que oscila\(14\) vezes por segundo, foi inicialmente puxada para baixo em\(2\) cm do equilíbrio, e a amplitude diminui a\(8\%\) cada segundo. A segunda mola,\(22\) tempos oscilantes por segundo, foi inicialmente puxada para baixo em\(10\) cm do equilíbrio e após\(3\) segundos tem uma amplitude de\(2\) cm. Qual primavera descansa primeiro e a que horas? Considere “descanso” como uma amplitude menor que\(0.1\) cm.

Responda

A primavera 2 descansa primeiro depois de\(8.0\) segundos.

Extensões

48) Um avião voa\(1\) horas a\(150\) mph a\(22^∘\) leste do norte, depois continua a voar por\(1.5\) horas a\(120\) mph, desta vez em um rumo de\(112^∘\) leste para norte. Encontre a distância total do ponto de partida e o ângulo direto voado ao norte do leste.

49) Um avião voa\(2\) horas a\(200\) mph em um rumo de\(60^∘\), depois continua a voar por\(1.5\) horas na mesma velocidade, desta vez em um rumo de\(150^∘\). Encontre a distância do ponto inicial e o rumo do ponto de partida. (Dica: o rolamento é medido no sentido anti-horário a partir do norte.)

Responda

\(500\)milhas, em\(90^∘\)

Para os exercícios 50-52, encontre uma função do formulário\(y=ab^x \sin \left(\dfrac{π}{2}x \right)+c\) que se ajuste aos dados fornecidos.

50)

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	6	29	96	379

51)

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	6	34	150	746

Responda

\(y=6(5)^x+4 \sin \left(\dfrac{π}{2}x \right)\)

52)

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	4	0	16	-40

Para os exercícios 53-54, encontre uma função do formulário\(y=ab^x \cos \left(\dfrac{π}{2}x \right)+c\) que se ajuste aos dados fornecidos.

53)

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	11	3	1	3

Responda

\(y=8\left(\dfrac{1}{2} \right)^x \cos \left(\dfrac{π}{2}x \right)+3\)

54)

\(x\)	0	1	2	3
\(y\)	4	1	−11	1

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