5.4: A distribuição exponencial

A distribuição exponencial geralmente se preocupa com a quantidade de tempo até que algum evento específico ocorra. Por exemplo, a quantidade de tempo (começando agora) até que um terremoto ocorra tem uma distribuição exponencial. Outros exemplos incluem a duração, em minutos, das chamadas telefônicas comerciais de longa distância e a quantidade de tempo, em meses, que a bateria de um carro dura. Também pode ser mostrado que o valor do troco que você tem no bolso ou na bolsa segue aproximadamente uma distribuição exponencial.

Os valores de uma variável aleatória exponencial ocorrem da seguinte forma. Há menos valores grandes e mais valores pequenos. Por exemplo, a quantidade de dinheiro que os clientes gastam em uma ida ao supermercado segue uma distribuição exponencial. Há mais pessoas que gastam pequenas quantias de dinheiro e menos pessoas que gastam grandes quantias de dinheiro.

A distribuição exponencial é amplamente utilizada no campo da confiabilidade. A confiabilidade lida com a quantidade de tempo que um produto dura.

Exemplo\(\PageIndex{1}\)

Seja\(X\) = quantidade de tempo (em minutos) que um funcionário postal passa com seu cliente. Sabe-se que o tempo tem uma distribuição exponencial com a quantidade média de tempo igual a quatro minutos.

\(X\)é uma variável aleatória contínua, pois o tempo é medido. São dados esses\(\mu = 4\) minutos. Para fazer qualquer cálculo, você deve saber\(m\) o parâmetro de decaimento.

\(m = \dfrac{1}{\mu}\). Portanto,\(m = \dfrac{1}{4} = 0.25\).

O desvio padrão,\(\sigma\), é o mesmo que a média. \(\mu = \sigma\)

A notação de distribuição é\(X \sim Exp(m)\). Portanto,\(X \sim Exp(0.25)\).

A função de densidade de probabilidade é\(f(x) = me^{-mx}\). O número\(e = 2.71828182846\)... É um número usado com frequência em matemática. As calculadoras científicas têm a chave "”\(e^{x}\). Se você inserir um para\(x\), a calculadora exibirá o valor\(e\).

A curva é:

\(f(x) = 0.25e^{-0.25x}\)onde\(x\) é pelo menos zero\(m = 0.25\) e.

Por exemplo,\(f(5) = 0.25e^{-(0.25)(5)} = 0.072\). O valor 0,072 é a altura da curva quando x = 5. No exemplo\(\PageIndex{2}\) abaixo, você aprenderá como encontrar probabilidades usando o parâmetro de decaimento.

O gráfico é o seguinte:

Figura\(\PageIndex{1}\).

Observe que o gráfico é uma curva decrescente. Quando\(x = 0\),

\(f(x) = 0.25e^{(-0.25)(0)} = (0.25)(1) = 0.25 = m\). O valor máximo no eixo y é m.

Exercício\(\PageIndex{1}\)

A quantidade de tempo que os cônjuges compram cartões de aniversário pode ser modelada por uma distribuição exponencial com a quantidade média de tempo igual a oito minutos. Escreva a distribuição, indique a função de densidade de probabilidade e represente graficamente a distribuição.

Responda

\(X \sim Exp(0.125)\);

\(f(x) = 0.125e^{-0.125x}\);

Figura\(\PageIndex{2}\).

Exemplo\(\PageIndex{2}\)

1. Usando as informações do Exercício, encontre a probabilidade de um funcionário passar de quatro a cinco minutos com um cliente selecionado aleatoriamente.
2. Metade de todos os clientes termina em quanto tempo? ^{(Encontre o percentil 50)}
3. Qual é maior, a média ou a mediana?

Responda

a. Encontre\(P(4 < x < 5)\).

A função de distribuição cumulativa (CDF) fornece a área à esquerda.

\[P(x < x) = 1 – e^{-mx}\]

\[P(x < 5) = 1 – e(–0.25)(5) = 0.7135\]

e

\[(P(x < 4) = 1 – e^{(-0.25)(4)} = 0.6321\]

Figura\(\PageIndex{3}\).

Você pode fazer esses cálculos facilmente em uma calculadora.

A probabilidade de um funcionário postal passar de quatro a cinco minutos com um cliente selecionado aleatoriamente é

\[P(4 < x < 5) = P(x < 5) – P(x < 4) = 0.7135 − 0.6321 = 0.0814.\]

Na tela inicial, digite (1 — e^ (—0,25*5)) — (1 — e^ (—0,25*4)) ou digite e^ (—0,25*4) — e^ (—0,25*5).

^{b. Encontre o percentil 50.}

Figura\(\PageIndex{4}\).

\(P(x < k) = 0.50\),\(k = 2.8\) minutos (calculadora ou computador)

Metade de todos os clientes termina em 2,8 minutos.

Você também pode fazer o cálculo da seguinte forma:

\[P(x < k) = 0.50\]

e

\[P(x < k) = 1 – e^{-0.25k}\]

Portanto,

\[0.50 = 1 − e^{-0.25k}\]

e

\[e^{-0.25k} = 1 − 0.50 = 0.5\]

Pegue troncos naturais:

\[\ln(e^{-0.25k}) = \ln(0.50).\]

Então,

\[-0.25k = ln(0.50).\]

Resolva por\(k: k = \dfrac{ln(0.50)}{-0.25} = 0.28\) minutos. A calculadora simplifica o cálculo do percentil k. Veja as duas notas a seguir.

Uma fórmula para o percentil\(k\) é\(k = ln(1 − \text{Area To The Left}) - mk = ln(1 - \text{Area To The Left}) - m\) onde\(ln\) está o registro natural.

^{c. Da parte b, a mediana do percentil 50 é de 2,8 minutos.} A média teórica é de quatro minutos. A média é maior.

Nota

Exercício colaborativo

Na tela inicial, digite ln (1 — 0,50) /—0,25. Pressione o botão (-) para o negativo.

Exercício\(\PageIndex{2}\)

O número de dias antes de os viajantes comprarem suas passagens aéreas pode ser modelado por uma distribuição exponencial com a quantidade média de tempo igual a 15 dias. Descubra a probabilidade de um viajante comprar uma passagem com menos de dez dias de antecedência. Quantos dias metade de todos os viajantes espera?

Responda

\(P(x < 10) = 0.4866\)

^{Percentil 50 = 10,40}

Exercício colaborativo

Peça a cada aluno que conte o troco que tem no bolso ou na bolsa. Seu instrutor registrará os valores em dólares e centavos. Construa um histograma dos dados obtidos pela classe. Use cinco intervalos. Desenhe uma curva suave através das barras. O gráfico deve parecer aproximadamente exponencial. Em seguida, calcule a média.

Deixe\(X =\) a quantia de dinheiro que um aluno de sua turma tem no bolso ou na bolsa.

A distribuição para\(X\) é aproximadamente exponencial com média,\(\mu =\) _______ e\(m =\) _______. O desvio padrão,\(\sigma =\) ________.

Desenhe o gráfico exponencial apropriado. Você deve rotular os eixos x e y, a taxa de decaimento e a média. Sombreie a área que representa a probabilidade de um aluno ter menos de $.40 no bolso ou na bolsa. (Sombra\(P(x < 0.40)\)).

Exemplo\(\PageIndex{3}\)

Em média, uma determinada parte do computador dura dez anos. O tempo de duração da peça do computador é distribuído exponencialmente.

1. Qual é a probabilidade de uma peça de computador durar mais de 7 anos?
2. Em média, quanto tempo durariam cinco peças de computador se fossem usadas uma após a outra?
3. Oitenta por cento das peças de computador duram no máximo quanto tempo?
4. Qual é a probabilidade de uma peça de computador durar entre nove e 11 anos?

Responda

a. Deixe\(x =\) a quantidade de tempo (em anos) que uma peça do computador dure.

\[\mu = 10\]

então

\[m = \dfrac{1}{\mu} = \dfrac{1}{10} = 0.1\]

Encontre\(P(x > 7)\). Desenhe o gráfico.

\[P(x > 7) = 1 – P(x < 7).\]

Desde\(P(X < x) = 1 – e^{-mx}\) então

\[P(X > x) = 1 –(1 –e^{-mx}​) = e^{-mx}\]

\[P(x > 7) = e^{(–0.1)(7)} = 0.4966.\]

A probabilidade de uma peça de computador durar mais de sete anos é de 0,4966.

Na tela inicial, digite e^ (-.1*7).

Figura\(\PageIndex{5}\).

b. Em média, uma parte do computador dura dez anos. Portanto, cinco peças de computador, se usadas uma após a outra, durariam, em média, (5) (10) = 50 anos.

c. Encontre o ^80º percentil. Desenhe o gráfico. Seja k = o ^80º percentil.

Figura\(\PageIndex{6}\).

Resolva por\(k: k = \dfrac{ln(1-0.80)}{-0.1} = 16.1\) anos

Oitenta por cento das peças do computador duram no máximo 16,1 anos.

Na tela inicial, digite\(\dfrac{ln(1-0.80)}{-0.1}\)

d. Encontre\(P(9 < x < 11)\). Desenhe o gráfico.

Figura\(\PageIndex{7}\).

\[P(9 < x < 11) = P(x < 11) - P(x < 9) = (1 - e^{(–0.1)(11)}) - (1 - e^{(–0.1)(9)}) = 0.6671 - 0.5934 = 0.0737.\]

A probabilidade de uma peça de computador durar entre nove e 11 anos é de 0,0737.

Na tela inicial, digite e ^ (—0,1*9) — e ^ (—0,1*11).

Exercício\(\PageIndex{3}\)

Em média, um par de tênis de corrida pode durar 18 meses se usado todos os dias. O tempo de duração dos tênis de corrida é distribuído exponencialmente. Qual é a probabilidade de um par de tênis de corrida durar mais de 15 meses? Em média, quanto tempo durariam seis pares de tênis de corrida se fossem usados um após o outro? Oitenta por cento dos tênis de corrida duram no máximo quanto tempo se usados todos os dias?

Responda

\(P(x > 15) = 0.4346\)

Seis pares de tênis de corrida durariam em média 108 meses.

^80º percentil = 28,97 meses

Exemplo\(\PageIndex{4}\)

Suponha que a duração de uma chamada telefônica, em minutos, seja uma variável aleatória exponencial com o parâmetro de decaimento =\(\dfrac{1}{12}\). Se outra pessoa chegar a um telefone público pouco antes de você, encontre a probabilidade de você ter que esperar mais de cinco minutos. Seja\(X\) = a duração de uma chamada telefônica, em minutos.

O que é\(m\)\(\mu\), e\(\sigma\)? A probabilidade de você esperar mais de cinco minutos é _______.

Responda

• \(m = \dfrac{1}{12}\)
• \(\mu = 12\)
• \(\sigma = 12\)

\(P(x > 5) = 0.6592\)

Exercício\(\PageIndex{4}\)

Suponha que a distância, em milhas, em que as pessoas estejam dispostas a se deslocar para o trabalho seja uma variável aleatória exponencial com um parâmetro de decaimento\(\dfrac{1}{20}\). Deixe\(S =\) a distância que as pessoas estão dispostas a percorrer em milhas. O que é\(m\)\(\mu\), e\(\sigma\)? Qual é a probabilidade de uma pessoa estar disposta a se deslocar mais de 25 milhas?

Responda

\(m = \dfrac{1}{20}\);\(\mu = 20\);\(\sigma = 20\);\(P(x > 25) = 0.2865\)

Exemplo\(\PageIndex{5}\)

O tempo gasto esperando entre os eventos geralmente é modelado usando a distribuição exponencial. Por exemplo, suponha que uma média de 30 clientes por hora cheguem a uma loja e o tempo entre as chegadas seja distribuído exponencialmente.

1. Em média, quantos minutos se passam entre duas chegadas sucessivas?
2. Quando a loja abre pela primeira vez, quanto tempo, em média, leva para três clientes chegarem?
3. Depois que um cliente chegar, encontre a probabilidade de levar menos de um minuto para o próximo cliente chegar.
4. Depois que um cliente chegar, descubra a probabilidade de levar mais de cinco minutos para o próximo cliente chegar.
5. Setenta por cento dos clientes chegam dentro de quantos minutos do cliente anterior?
6. Uma distribuição exponencial é razoável para essa situação?

Responda

1. Como esperamos que 30 clientes cheguem por hora (60 minutos), esperamos que, em média, um cliente chegue a cada dois minutos, em média.
2. Como um cliente chega a cada dois minutos, em média, serão necessários seis minutos para que três clientes cheguem.
3. Deixe\(X =\) o tempo entre as chegadas, em minutos. Pela parte a\(\mu = 2\), então\(m = \dfrac{1}{2} = 0.5\).
   Portanto,\(X \sim Exp(0.5)\).
   A função de distribuição cumulativa é\(P(X < x) = 1 – e(–0.5x)^{e}\).
   Portanto\(P(X < 1) = 1 - e^{(–0.5)(1)} \approx 0.3935\).

   \(1 - e^(–0.5) \approx 0.3935\)

   

   Figura\(\PageIndex{8}\).

   \(P(X > 5) = 1 - P(X < 5) = 1 - (1 - e^{(-5)(0.5)}) = e^{-2.5} \approx 0.0821\).

   

   Figura\(\PageIndex{9}\).

   \(1 - (1 - e^{( – 5*0.5)}\)ou\(e^{(-5*0.5)}\)

4. Queremos resolver\(0.70 = P(X < x)\) para\(x\).
   Substituir na função de distribuição cumulativa dá\(0.70 = 1 – e^{–0.5x}\), de modo que\(e^{–0.5x} = 0.30\). A conversão para a forma logarítmica fornece\(-0.5x = ln(0.30)\), ou\(x = \dfrac{ln(0.30)}{-0.5} \approx 2.41\) minutos.
   Assim, setenta por cento dos clientes chegam dentro de 2,41 minutos do cliente anterior.
   Você está encontrando o ^70º percentil\(k\) para poder usar a fórmula\(k = \dfrac{ln(1-\text{Area To The left Of k})}{-m}\)
   \(k = \dfrac{ln(1-0.70)}{(-0.5)} \approx 2.41\) minutos

   

   Figura\(\PageIndex{10}\).

   Esse modelo pressupõe que um único cliente chegue por vez, o que pode não ser razoável, pois as pessoas podem comprar em grupos, fazendo com que vários clientes cheguem ao mesmo tempo. Também pressupõe que o fluxo de clientes não muda ao longo do dia, o que não é válido se alguns horários do dia forem mais movimentados do que outros.

Exercício\(\PageIndex{5}\)

Suponha que em um determinado trecho da rodovia, os carros passem a uma taxa média de cinco carros por minuto. Suponha que a duração do tempo entre carros sucessivos siga a distribuição exponencial.

1. Em média, quantos segundos se passam entre dois carros sucessivos?
2. Depois que um carro passa, quanto tempo, em média, serão necessários para outros sete carros passarem?
3. Determine a probabilidade de que, após a passagem de um carro, o próximo carro passe nos próximos 20 segundos.
4. Encontre a probabilidade de que, após a passagem de um carro, o próximo carro não passe por pelo menos mais 15 segundos.

Responda

1. Com uma taxa de cinco carros por minuto, esperamos que, em média, passem\(\dfrac{60}{5} = 12\) segundos entre carros sucessivos.
2. Usando a resposta da parte a, vemos que são necessários\((12)(7) = 84\) segundos para os próximos sete carros passarem.
3. Deixe\(T =\) o tempo (em segundos) entre carros sucessivos.
   A média de\(T\) é 12 segundos, então o parâmetro de decaimento é\(\dfrac{1}{12}\)\(T \sim Exp\dfrac{1}{12}\) e. A função de distribuição cumulativa de\(T\) é\(P(T < t) = 1 – e^{−\dfrac{t}{12}}\). Então\(P(T < 20) = 1 –e^{−\dfrac{20}{12}} \approx 0.8111\).

   

   Figura\(\PageIndex{11}\).

   \(P(T > 15) = 1 – P(T < 15) = 1 – (1 – e^{−\dfrac{15}{12}}) = e^{−\dfrac{15}{12}} \approx 0.2865\).

Falta de memória da distribuição exponencial

No exemplo, lembre-se de que a quantidade de tempo entre os clientes é distribuída exponencialmente com uma média de dois minutos (\(X \sim Exp (0.5)\)). Suponha que tenham decorrido cinco minutos desde a chegada do último cliente. Como já passou um tempo excepcionalmente longo, parece ser mais provável que um cliente chegue no próximo minuto. Com a distribuição exponencial, esse não é o caso — o tempo adicional gasto esperando pelo próximo cliente não depende de quanto tempo já passou desde o último cliente. Isso é conhecido como propriedade sem memória. Especificamente, a propriedade sem memória diz que

\[P(X > r + t | X > r) = P(X > t)\]

para todos\(r \geq 0\)\(t \geq 0\) e.

Por exemplo, se tiverem decorrido cinco minutos desde a chegada do último cliente, a probabilidade de mais de um minuto passar antes da chegada do próximo cliente é calculada usando\(r = 5\) e\(t = 1\) na equação anterior.

\(P(X > 5 + 1 | X > 5) = P(X > 1) = e(–0.5)(1) e(–0.5)(1) \approx 0.6065\).

Essa é a mesma probabilidade de esperar mais de um minuto para que um cliente chegue após a chegada anterior.

A distribuição exponencial é frequentemente usada para modelar a longevidade de um dispositivo elétrico ou mecânico. No exemplo, a vida útil de uma determinada peça do computador tem a distribuição exponencial com uma média de dez anos (\(X \sim Exp(0.1)\)). A propriedade sem memória diz que o conhecimento do que ocorreu no passado não afeta as probabilidades futuras. Nesse caso, isso significa que uma peça antiga não tem mais probabilidade de quebrar em um determinado momento do que uma peça nova. Em outras palavras, a peça permanece como nova até que se quebre repentinamente. Por exemplo, se a peça já durou dez anos, a probabilidade de ela durar mais sete anos é\(P(X > 17 | X > 10) = P(X > 7) = 0.4966\).

Exemplo\(\PageIndex{6}\)

Consulte o exemplo em que o tempo que um funcionário postal passa com seu cliente tem uma distribuição exponencial com uma média de quatro minutos. Suponha que um cliente tenha passado quatro minutos com um funcionário dos correios. Qual é a probabilidade de ele ou ela passar pelo menos mais três minutos com o funcionário dos correios?

O parâmetro de decaimento de\(X\) é\(m = \dfrac{1}{4} = 0.25\), então\(X \sim Exp(0.25)\).

A função de distribuição cumulativa é\(P(X < x) = 1 - e^{–0.25x}\).

Queremos encontrar\(P(X > 7 | X > 4)\). A propriedade sem memória diz isso\(P(X > 7 | X > 4) = P(X > 3)\), então só precisamos encontrar a probabilidade de um cliente passar mais de três minutos com um funcionário dos correios.

Isso é\(P(X > 3) = 1 - P(X < 3) = 1 - (1 - e^{-0.25 \cdot 3}) = e^{–0.75} \approx 0.4724\).

3) = 0,4724." src="http://cnx.org/resources/a2baaab0fdb...5_M04_005N.jpg" width="380">

Figura\(\PageIndex{12}\).

\(1 - (1 - e^(-0.25*2)) = e^(-0.25*2)\).

Exercício\(\PageIndex{6}\)

Suponha que a longevidade de uma lâmpada seja exponencial com uma vida útil média de oito anos. Se uma lâmpada já durou 12 anos, encontre a probabilidade de durar um total de mais de 19 anos.

Responda

Deixe\(T =\) a vida útil da lâmpada. Então\(T \sim Exp\left(\dfrac{1}{8}\right)\).

A função de distribuição cumulativa é\(P(T < t) = 1 − e^{-\dfrac{t}{8}}\)

Precisamos encontrar\(P(T > 19 | T = 12)\). Pela propriedade sem memória,

\(P(T > 19 | T = 12) = P(T > 7) = 1 - P(T < 7) = 1 - (1 - e^{-7/8}) = e^{-7/8} \approx 0.4169\).

1 - (1 — e^ (—7/8)) = e^ (—7/8).

Relação entre a distribuição de Poisson e a distribuição exponencial

Há uma relação interessante entre a distribuição exponencial e a distribuição de Poisson. Suponha que o tempo decorrido entre dois eventos sucessivos siga a distribuição exponencial com uma média de\(\mu\) unidades de tempo. Suponha também que esses tempos sejam independentes, o que significa que o tempo entre os eventos não é afetado pelos tempos entre os eventos anteriores. Se essas suposições se mantiverem, o número de eventos por unidade de tempo segue uma distribuição de Poisson com média\(\lambda = \dfrac{1}{\mu}\). Lembre-se do capítulo sobre Variáveis aleatórias discretas que, se\(X\) tiver a distribuição de Poisson com média\(\lambda\), então\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\). Por outro lado, se o número de eventos por unidade de tempo segue uma distribuição de Poisson, a quantidade de tempo entre os eventos segue a distribuição exponencial. \((k! = k*(k-1*)(k - 2)*(k - 3) \dotsc 3*2*1)\)

Suponha que\(X\) tenha a distribuição de Poisson com média\(\lambda\). Calcule\(P(X = k)\) inserindo ^2nd, VARS (DISTR), C: poissonpdf\((\lambda, k\)). Para calcular\(P(X \leq k\)), digite 2 ^nd, VARS (DISTR), d:PoissonCDF (\(\lambda, k\)).

Exemplo\(\PageIndex{7}\)

Em uma delegacia de polícia em uma grande cidade, as chamadas chegam a uma taxa média de quatro ligações por minuto. Suponha que o tempo decorrido de uma chamada para a próxima tenha a distribuição exponencial. Observe que estamos preocupados apenas com a taxa de recebimento das chamadas e ignoramos o tempo gasto no telefone. Também devemos supor que os tempos gastos entre as chamadas são independentes. Isso significa que um atraso particularmente longo entre duas chamadas não significa que haverá um período de espera mais curto para a próxima chamada. Podemos então deduzir que o número total de chamadas recebidas durante um período de tempo tem a distribuição de Poisson.

1. Encontre o tempo médio entre duas chamadas sucessivas.
2. Determine a probabilidade de que, após o recebimento de uma chamada, a próxima chamada ocorra em menos de dez segundos.
3. Encontre a probabilidade de que exatamente cinco chamadas ocorram em um minuto.
4. Determine a probabilidade de que menos de cinco chamadas ocorram em um minuto.
5. Encontre a probabilidade de que mais de 40 chamadas ocorram em um período de oito minutos.

Responda

1. Em média, ocorrem quatro chamadas por minuto, portanto, 15 segundos ou\(\dfrac{15}{60} = 0.25\) minutos ocorrem entre chamadas sucessivas, em média.
2. Deixe\(T =\) o tempo transcorrer entre as chamadas. Da parte a\(\mu = 0.25\), então\(m = \dfrac{1}{0.25} = 4\). Assim,\(T \sim Exp(4)\).
   A função de distribuição cumulativa é\(P(T < t) = 1 - e^{–4t}\).
   A probabilidade de que a próxima chamada ocorra em menos de dez segundos (dez segundos\(= \dfrac{1}{6}\) minutos) é\(P(T < \dfrac{1}{6}) = 1 - e^{-4 (\dfrac{1}{6})} \approx 0.4866)\).

   

   Figura\(\PageIndex{13}\)

3. Deixe\(X =\) o número de chamadas por minuto. Conforme mencionado anteriormente, o número de chamadas por minuto tem uma distribuição de Poisson, com uma média de quatro chamadas por minuto.
   Portanto\(X \sim Poisson(4)\), e assim por diante\(P(X = 5) = \dfrac{4^{5}e^{-4}}{5!} \approx 0.1563\). (\(5! = (5)(4)(3)(2)(1)\))

   \(\text{poissonpdf}(4, 5) = 0.1563\).

4. Lembre-se de que\(X\) deve ser um número inteiro, então\(P(X < 5) = P(X \leq 4)\).
   Para calcular isso, poderíamos pegar\(P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) + P(X = 3) + P(X = 4)\).
   Usando a tecnologia, vemos isso\(P(X \approx 4) = 0.6288\).

   \(\text{poisssoncdf}(4, 4) = 0.6288\)

5. Informe\(Y =\) o número de chamadas que ocorrem durante um período de oito minutos.
   Como há uma média de quatro chamadas por minuto, há uma média de\((8)(4) = 32\) chamadas durante cada período de oito minutos.
   Conseqüentemente,\(Y \sim Poisson(32)\). Portanto,\(P(Y > 40) = 1 - P(Y \leq 40) = 1 - 0.9294 = 0.0707\).

   \(1 - \text{poissoncdf}(32, 40). = 0.0707\)

Exercício\(\PageIndex{7}\)

Em uma cidade pequena, o número de acidentes automobilísticos ocorre com uma distribuição de Poisson em uma média de três por semana.

1. Calcule a probabilidade de que no máximo 2 acidentes ocorram em uma determinada semana.
2. Qual é a probabilidade de haver pelo menos duas semanas entre dois acidentes?

Responda

1. Deixe\(X =\) o número de acidentes por semana, para que\(X \sim Poisson(3)\). Precisamos encontrar\(P(X \leq 2) \approx 0.4232\)

   \(\text{poissoncdf}(3, 2)\)

2. Deixe\(T =\) o tempo (em semanas) entre os sucessivos acidentes.
   Como o número de acidentes ocorre com uma distribuição de Poisson, o tempo entre os acidentes segue a distribuição exponencial.
   Se houver uma média de três por semana, então, em média, há\(\mu = \dfrac{1}{3}\) uma semana entre acidentes, e o parâmetro de decaimento é\(m = \dfrac{1}{\left(\dfrac{1}{3}\right)} = 3\).
   Para descobrir a probabilidade de que haja pelo menos duas semanas entre dois acidentes,\(P(T > 2) = 1 - P(T < 2) = 1 – (1 – e(–3)(2)) = e^{–6} \approx 0.0025\).

   e^ (-3*2).

Revisão

Se\(X\) tem uma distribuição exponencial com média\(\mu\), então o parâmetro de decaimento é\(m = \dfrac{1}{\mu}\), e escrevemos\(X \sim Exp(m)\) onde\(x \geq 0\)\(m > 0\) e. A função de densidade de probabilidade de\(X\) é\(f(x) = me^{-mx}\) (ou equivalentemente\(f(x) = \dfrac{1}{\mu}e^{-\dfrac{x}{\mu}}\)). A função de distribuição cumulativa de\(X\) é\(P(X \leq X) = 1 - e^{-mx}\).

A distribuição exponencial tem a propriedade sem memória, que diz que as probabilidades futuras não dependem de nenhuma informação passada. Matematicamente, diz isso\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\).

Se\(T\) representa o tempo de espera entre eventos e se\(T \sim Exp(\lambda)\), então o número de eventos\(X\) por unidade de tempo segue a distribuição de Poisson com média\(\lambda\). A função de densidade de probabilidade de\(PX\) é\((X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-k}}{k!}\). Isso pode ser calculado usando uma calculadora TI-83, 83+, 84, 84+ com o comando\(\text{poissonpdf}(\lambda, k)\). A função de distribuição cumulativa\(P(X \leq k)\) pode ser calculada usando a calculadora TI-83, 83+,84, 84+ com o comando\(\text{poissoncdf}(\lambda, k)\).

Revisão da fórmula

Exponencial:\(X \sim Exp(m)\) onde\(m =\) o parâmetro de decaimento

• pdf:\(f(x) = me^{(–mx)}\) onde\(x \geq 0\) e\(m > 0\)
• cdf:\(P(X \leq x) = 1 - e^{(–mx)}\)
• quero dizer\(\mu = \dfrac{1}{m}\)
• desvio padrão\(\sigma = \mu\)
• percentil\(k: k = \dfrac{ln(1 - \text{Area To The Left Of k})}{-m}\)
• Além disso
  • \(P(X > x) = e^{(–mx)}\)
  • \(P(a < X < b) = e^{(–ma)} - e^{(–mb)}\)
• Propriedade sem memória:\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\)
• Probabilidade de Poisson:\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{k}}{k!}\) com média\(\lambda\)
• \(k! = k*(k - 1)*(k - 2)*(k - 3) \dotsc 3*2*1\)

Referências

1. Dados do Departamento de Censo dos Estados Unidos.
2. Dados do World Earthquakes, 2013. Disponível on-line em http://www.world-earthquakes.com/ (acessado em 11 de junho de 2013).
3. “Sem rebatidas”. Baseball-reference.com, 2013. Disponível on-line em http://www.baseball-reference.com/bullpen/No-hitter (acessado em 11 de junho de 2013).
4. Zhou, Rick. “Slides das palestras sobre distribuição exponencial”. Disponível on-line em www.public.iastate.edu/~riczw/stat330s11/lecture/lec13.pdf (acessado em 11 de junho de 2013).

Glossário

parâmetro de decaimento

O parâmetro de decaimento descreve a taxa na qual as probabilidades caem para zero para valores crescentes de\(x\). É o valor\(m\) na função densidade de probabilidade\(f(x) = me^{(-mx)}\) de uma variável aleatória exponencial. Também é igual a\(m = \dfrac{1}{\mu}\), onde\(\mu\) está a média da variável aleatória.

propriedade sem memória

Para uma variável aleatória exponencial\(X\), a propriedade sem memória é a afirmação de que o conhecimento do que ocorreu no passado não tem efeito sobre as probabilidades futuras. Isso significa que a probabilidade que\(X\) excede\(x + k\), dado que foi excedida\(x\), é a mesma que\(X\) excederia\(k\) se não tivéssemos conhecimento sobre ela. Em símbolos, dizemos que\(P(X > x + k | X > x) = P(X > k)\)

Distribuição de Poisson

Se houver uma média conhecida de\(\lambda\) eventos ocorrendo por unidade de tempo e esses eventos forem independentes uns dos outros, o número de eventos\(X\) que ocorrem em uma unidade de tempo tem a distribuição de Poisson. A probabilidade de k eventos ocorrerem em uma unidade de tempo é igual\(P(X = k) = \dfrac{\lambda^{k}e^{-\lambda}}{k!}\) a.