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4.7: Distribuição de Poisson

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    A distribuição de Poisson é popular para modelar o número de vezes que um evento ocorre em um intervalo de tempo ou espaço. É uma distribuição de probabilidade discreta que expressa a probabilidade de um determinado número de eventos ocorrer em um intervalo fixo de tempo e/ou espaço se esses eventos ocorrerem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento.

    duas características principais de um experimento de Poisson

    1. A distribuição de probabilidade de Poisson fornece a probabilidade de vários eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço se esses eventos acontecerem com uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. Por exemplo, um editor de livros pode estar interessado no número de palavras escritas incorretamente em um livro específico. Pode ser que, em média, haja cinco palavras escritas incorretamente em 100 páginas. O intervalo é de 100 páginas.
    2. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar o binômio se a probabilidade de sucesso for “pequena” (como 0,01) e o número de ensaios for “grande” (como 1.000). Você verificará o relacionamento nos exercícios de lição de casa. \(n\)é o número de tentativas e\(p\) é a probabilidade de um “sucesso”.

    A variável aleatória\(X =\) é o número de ocorrências no intervalo de interesse.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    O número médio de pães colocados em uma prateleira de uma padaria em um período de meia hora é 12. Interessante é o número de pães colocados na prateleira em cinco minutos. O intervalo de tempo de interesse é de cinco minutos. Qual é a probabilidade de que o número de pães, selecionados aleatoriamente, colocados na prateleira em cinco minutos seja três?

    Solução

    Deixe\(X =\) o número de pães colocar na prateleira em cinco minutos. Se o número médio de pães colocados na prateleira em 30 minutos (meia hora) for 12, o número médio de pães colocados na prateleira em cinco minutos é de\(\left(\frac{5}{30}\right)(12) = 2\) pães.

    A pergunta de probabilidade pede que você encontre\(P(x = 3)\).

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    O número médio de peixes capturados em uma hora é oito. Interessante é o número de peixes capturados em 15 minutos. O intervalo de tempo de interesse é de 15 minutos. Qual é o número médio de peixes capturados em 15 minutos?

    Responda

    \(\left(\frac{15}{60}\right)(8) = 2\)peixe

    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Um banco espera receber seis cheques sem fundos por dia, em média. Qual é a probabilidade de o banco receber menos de cinco cheques sem fundos em um determinado dia? De interesse é o número de cheques que o banco recebe em um dia, portanto, o intervalo de juros é de um dia. Deixe\(X =\) o número de cheques sem fundos que o banco recebe em um dia. Se o banco espera receber seis cheques sem fundos por dia, a média é de seis cheques por dia. Escreva uma declaração matemática para a pergunta probabilística.

    Responda

    \(P(x < 5)\)

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Uma loja de eletrônicos espera ter dez retornos por dia, em média. O gerente quer saber a probabilidade de a loja receber menos de oito retornos em um determinado dia. Indique a questão probabilística matematicamente.

    Responda

    \(P(x < 8)\)

    Exemplo\(\PageIndex{3}\)

    Você percebe que um repórter diz “uh”, em média, duas vezes por transmissão. Qual é a probabilidade de o repórter dizer “uh” mais de duas vezes por transmissão. Esse é um problema de Poisson porque você está interessado em saber quantas vezes o repórter diz “ah” durante uma transmissão.

    1. Qual é o intervalo de interesse?
    2. Qual é o número médio de vezes que o repórter diz “ah” durante uma transmissão?
    3. Deixe\(X =\) ____________. Quais valores o X assume?
    4. A questão da probabilidade é\(P(\) ______\()\).

    Soluções

    1. uma transmissão
    2. 2
    3. Deixe\(X =\) o número de vezes que o repórter diz “uh” durante uma transmissão. \[x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\]
    4. \(P(x > 2)\)

    Exercício\(\PageIndex{3}\)

    Um pronto-socorro de um hospital específico recebe em média cinco pacientes por hora. Um médico quer saber a probabilidade de o pronto-socorro receber mais de cinco pacientes por hora. Dê a razão pela qual essa seria uma distribuição de Poisson.

    Responda

    Esse problema quer encontrar a probabilidade de eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo com uma taxa média conhecida. Os eventos são independentes.

    Notação para a função de distribuição de probabilidade de\(P =\) Poisson: Poisson

    \[X \sim P(\mu)\]

    Leia isso como “\(X\)é uma variável aleatória com uma distribuição de Poisson”. O parâmetro é\(\mu\) (ou\(\lambda\));\(\mu\) (ou\(\lambda) =\) a média para o intervalo de interesse.

    Exemplo\(\PageIndex{4}\)

    A secretária eletrônica de Leah recebe cerca de seis chamadas telefônicas entre 8h e 10h. Qual é a probabilidade de Leah receber mais de uma ligação nos próximos 15 minutos?

    Solução

    Seja\(X\) = o número de chamadas que Leah recebe em 15 minutos. (O intervalo de interesse é de 15 minutos ou\(\frac{1}{4}\) hora.)

    \[x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\]

    Se Leah recebe, em média, seis chamadas telefônicas em duas horas e há oito intervalos de 15 minutos em duas horas, então Leah recebe

    \(\left(\frac{1}{8}\right)(6) = 0.75\)chamadas em 15 minutos, em média. Então,\(\mu = 0.75\) para esse problema.

    \(X \sim P(0.75)\)

    Encontre\(P(x > 1)\). \(P(x > 1) = 0.1734\)(calculadora ou computador)

    • Pressione 1 — e depois pressione 2 e DISTR.
    • Seta para baixo até poissoncdf. Pressione ENTER.
    • Digite (.75,1).
    • O resultado é\(P(x > 1) = 0.1734\).

    As calculadoras de TI usam\(\lambda\) (lambda) para a média.

    A probabilidade de Leah receber mais de um telefonema nos próximos 15 minutos é de cerca de 0,1734:

    \(P(x > 1) = 1 − \text{poissoncdf}(0.75, 1)\).

    O gráfico de\(X \sim P(0.75)\) é:

    Este gráfico mostra uma distribuição de probabilidade de poisson. Tem 5 barras que diminuem de altura da esquerda para a direita. O eixo x mostra valores em incrementos de 1 começando com 0, representando o número de chamadas que Leah recebe em 15 minutos. O eixo y varia de 0 a 0,5 em incrementos de 0,1.
    Figura\(\PageIndex{1}\)

    O eixo y contém a probabilidade de\(x\) onde está\(X =\) o número de chamadas em 15 minutos.

    Exercício\(\PageIndex{4}\)

    Um centro de atendimento ao cliente recebe cerca de dez e-mails a cada meia hora. Qual é a probabilidade de o centro de atendimento ao cliente receber mais de quatro e-mails nos próximos seis minutos? Use a calculadora TI-83+ ou TI-84 para encontrar a resposta.

    Responda

    \(P(x > 4) = 0.0527\)

    Exemplo\(\PageIndex{5}\)

    De acordo com a Baydin, uma empresa de gerenciamento de e-mail, um usuário de e-mail recebe, em média, 147 e-mails por dia. Informe\(X =\) o número de e-mails que um usuário recebe por dia. A variável aleatória\(X\) discreta assume os valores\(x = 0, 1, 2 \dotsc\). A variável aleatória\(X\) tem uma distribuição de Poisson:\(X \sim P(147)\). A média é de 147 e-mails.

    1. Qual é a probabilidade de um usuário de e-mail receber exatamente 160 e-mails por dia?
    2. Qual é a probabilidade de um usuário de e-mail receber no máximo 160 e-mails por dia?
    3. Qual é o desvio padrão?

    Soluções

    1. \(P(x = 160) = \text{poissonpdf}(147, 160) \approx 0.0180\)
    2. \(P(x \leq 160) = \text{poissoncdf}(147, 160) \approx 0.8666\)
    3. Desvio padrão\(= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{147} \approx 12.1244\)

    Exercício\(\PageIndex{5}\)

    De acordo com uma pesquisa recente do Pew Internet Project, meninas entre 14 e 17 anos enviam uma média de 187 mensagens de texto por dia. Deixe\(X =\) o número de mensagens de texto que uma garota de 14 a 17 anos envia por dia. A variável aleatória\(X\) discreta assume os valores\(x = 0, 1, 2 \dotsc\). A variável aleatória\(X\) tem uma distribuição de Poisson:\(X \sim P(187)\). A média é de 187 mensagens de texto.

    1. Qual é a probabilidade de uma adolescente enviar exatamente 175 mensagens de texto por dia?
    2. Qual é a probabilidade de uma adolescente enviar no máximo 150 mensagens de texto por dia?
    3. Qual é o desvio padrão?

    Responda

    1. \(P(x = 175) = \text{poissonpdf}(187, 175) \approx 0.0203\)
    2. \(P(x \leq 150) = \text{poissoncdf}(187, 150) \approx 0.0030\)
    3. Desvio padrão\(= \sigma = \sqrt{\mu} = \sqrt{187} \approx 13.6748\)

    Exemplo\(\PageIndex{6}\)

    Os usuários de mensagens de texto recebem ou enviam uma média de 41,5 mensagens de texto por dia.

    1. Quantas mensagens de texto um usuário recebe ou envia por hora?
    2. Qual é a probabilidade de um usuário de mensagem de texto receber ou enviar duas mensagens por hora?
    3. Qual é a probabilidade de um usuário de mensagem de texto receber ou enviar mais de duas mensagens por hora?

    Soluções

    1. Deixe\(X =\) o número de textos que um usuário envia ou recebe em uma hora. O número médio de textos recebidos por hora é\(\frac{41.5}{24} \approx 1.7292\).
    2. \(X \sim P(1.7292)\), então\(P(x = 2) = \text{poissonpdf}(1.7292, 2) \approx 0.2653\)
    3. \(P(x > 2) = 1 – P(x \leq 2) = 1 – \text{poissoncdf}(1.7292, 2) \approx 1 – 0.7495 = 0.2505\)

    Exercício\(\PageIndex{6}\)

    O Aeroporto Internacional Hartsfield-Jackson de Atlanta é o aeroporto mais movimentado do mundo. Em média, há 2.500 chegadas e partidas por dia.

    1. Quantos aviões chegam e partem do aeroporto por hora?
    2. Qual é a probabilidade de haver exatamente 100 chegadas e partidas em uma hora?
    3. Qual é a probabilidade de haver no máximo 100 chegadas e partidas em uma hora?

    Responda

    1. Deixe\(X =\) o número de aviões chegando e partindo de Hartsfield-Jackson em uma hora. O número médio de chegadas e partidas por hora é\(\frac{2,500}{24} \approx 104.1667\).
    2. \(X \sim P(104.1667)\), então\(P(x = 100) = \text{poissonpdf}(104.1667, 100) \approx 0.0366\).
    3. \(P(x \leq 100) = \text{poissoncdf}(104.1667, 100) \approx 0.3651\).

    A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar as probabilidades de uma distribuição binomial. O próximo exemplo demonstra a relação entre as distribuições de Poisson e binomiais. Vamos\(n\) representar o número de ensaios binomiais e\(p\) representar a probabilidade de sucesso de cada tentativa. Se\(n\) for grande o suficiente e\(p\) pequeno o suficiente, o Poisson se aproxima muito bem do binômio. Em geral,\(n\) é considerado “grande o suficiente” se for maior ou igual a 20. A probabilidade\(p\) da distribuição binomial deve ser menor ou igual a 0,05. Quando o Poisson é usado para aproximar o binômio, usamos a média binomial\(\mu = np\). A variância de\(X\) é\(\sigma^{2} = \sqrt{\mu}\) e o desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{\mu}\). A aproximação de Poisson para uma distribuição binomial era comumente usada nos dias anteriores à tecnologia tornar os dois valores muito fáceis de calcular.

    Exemplo\(\PageIndex{7}\)

    Em 13 de maio de 2013, a partir das 16h30, a probabilidade de baixa atividade sísmica nas próximas 48 horas no Alasca foi relatada em cerca de 1,02%. Use essas informações para os próximos 200 dias para descobrir a probabilidade de que haverá baixa atividade sísmica em dez dos próximos 200 dias. Use as distribuições binomial e de Poisson para calcular as probabilidades. Eles estão perto?

    Responda

    Seja\(X\) = o número de dias com baixa atividade sísmica.

    Usando a distribuição binomial:

    • \(P(x = 10) = \text{binompdf}(200, .0102, 10) \approx\ 0.000039\)

    Usando a distribuição de Poisson:

    • Calcular\(\mu = np = 200(0.0102) \approx 2.04\)
    • \(P(x = 10) = \text{poissonpdf}(2.04, 10) \approx 0.000045\)

    Esperamos que a aproximação seja boa porque\(n\) é grande (maior que 20) e\(p\) pequena (menor que 0,05). Os resultados estão próximos — ambas as probabilidades relatadas são quase 0.

    Exercício\(\PageIndex{7}\)

    Em 13 de maio de 2013, a partir das 16h30, a probabilidade de atividade sísmica moderada nas próximas 48 horas nas Ilhas Curilas, na costa do Japão, foi relatada em cerca de 1,43%. Use essas informações para os próximos 100 dias para descobrir a probabilidade de que haverá baixa atividade sísmica em cinco dos próximos 100 dias. Use as distribuições binomial e de Poisson para calcular as probabilidades. Eles estão perto?

    Responda

    Deixe\(X =\) o número de dias com atividade sísmica moderada.

    Usando a distribuição binomial:\(P(x = 5) = \text{binompdf}(100, 0.0143, 5) \approx 0.0115\)

    Usando a distribuição de Poisson:

    • Calcular\(\mu = np = 100(0.0143) = 1.43\)
    • \(P(x = 5) = \text{poissonpdf}(1.43, 5) = 0.0119\)

    Esperamos que a aproximação seja boa porque\(n\) é grande (maior que 20) e\(p\) pequena (menor que 0,05). Os resultados estão próximos — a diferença entre os valores é 0,0004.

    Referências

    1. “ATL Fact Sheet”, Departamento de Aviação do Aeroporto Internacional Hartsfield-Jackson Atlanta, 2013. Disponível on-line em www.atl.com/about-atl/atl-factsheet/ (acessado em 15 de maio de 2013).
    2. Centro de Controle e Prevenção de Doenças. “Teen Drivers: Fact Sheet”, Prevenção e Controle de Lesões: Segurança de Veículos Motorizados, 2 de outubro de 2012. Disponível on-line em http://www.cdc.gov/Motorvehiclesafet...factsheet.html (acessado em 15 de maio de 2013).
    3. “Crianças e Educação Infantil”, Ministério da Saúde, Trabalho e Bem-Estar. Disponível on-line em http://www.mhlw.go.jp/english/policy...ing/index.html (acessado em 15 de maio de 2013).
    4. “Estatísticas de transtornos alimentares”, Departamento de Saúde Mental da Carolina do Sul, 2006. Disponível on-line em http://www.state.sc.us/dmh/anorexia/statistics.htm (acessado em 15 de maio de 2013).
    5. “Dar à luz em Manila: a maternidade do Hospital Memorial Dr. Jose Fabella em Manila, a mais movimentada das Filipinas, onde há uma média de 60 nascimentos por dia”, theguardian, 2013. Disponível on-line em www.theguardian.com/world/gal... 471900&index=2 (acessado em 15 de maio de 2013).
    6. “Como os americanos usam mensagens de texto”, Pew Internet, 2013. Disponível on-line em pewinternet.org/reports/2011/... in-Report.aspx (acessado em 15 de maio de 2013).
    7. Lenhart, Amanda. “Adolescentes, smartphones e testes: o volume de mensagens de texto aumenta enquanto a frequência das chamadas de voz diminui. Cerca de um em cada quatro adolescentes diz ter smartphones”, Pew Internet, 2012. Disponível on-line em www.pewinternet.org/~/media/F... nd_Texting.pdf (acessado em 15 de maio de 2013).
    8. “Um nascido a cada minuto: a maternidade onde as mães estão três em uma cama”, MailOnline. Disponível on-line em http://www.dailymail.co.uk/news/arti...thers-bed.html (acessado em 15 de maio de 2013).
    9. Vanderkam, Laura. “Pare de verificar seu e-mail agora.” CNNMoney, 2013. Disponível on-line em management.fortune.cnn.com/20... our-email-now/ (acessado em 15 de maio de 2013).
    10. “World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. www.world-earthquakes.com/ind... thq_prediction (acessado em 15 de maio de 2013).

    Revisão

    Uma distribuição de probabilidade de Poisson de uma variável aleatória discreta fornece a probabilidade de vários eventos ocorrerem em um intervalo fixo de tempo ou espaço, se esses eventos acontecerem em uma taxa média conhecida e independentemente do tempo desde o último evento. A distribuição de Poisson pode ser usada para aproximar o binômio, se a probabilidade de sucesso for “pequena” (menor ou igual a 0,05) e o número de ensaios for “grande” (maior ou igual a 20).

    Revisão da fórmula

    \(X \sim P(\mu)\)significa que\(X\) tem uma distribuição de probabilidade de Poisson onde\(X =\) o número de ocorrências no intervalo de interesse.

    \(X\)assume os valores\(x = 0, 1, 2, 3, \dotsc\)

    A média\(\mu\) é normalmente dada.

    A variância é\(\sigma = \mu\), e o desvio padrão é

    \[\sigma = \sqrt{\mu}\].

    Quando\(P(\mu)\) é usado para aproximar uma distribuição binomial,\(\mu = np\) onde\(n\) representa o número de ensaios independentes e\(p\) representa a probabilidade de sucesso em um único ensaio.

    Use as informações a seguir para responder aos próximos seis exercícios: Em média, uma loja de roupas recebe 120 clientes por dia.

    Exercício\(\PageIndex{8}\)

    Suponha que o evento ocorra de forma independente em qualquer dia. Defina a variável aleatória\(X\).

    Exercício\(\PageIndex{9}\)

    Quais valores\(X\) assume?

    Responda

    0, 1, 2, 3, 4,...

    Exercício\(\PageIndex{10}\)

    Qual é a probabilidade de conseguir 150 clientes em um dia?

    Exercício\(\PageIndex{11}\)

    Qual é a probabilidade de conseguir 35 clientes nas primeiras quatro horas? Suponha que a loja esteja aberta 12 horas por dia.

    Responda

    0,0485

    Exercício\(\PageIndex{12}\)

    Qual é a probabilidade de a loja ter mais de 12 clientes na primeira hora?

    Exercício\(\PageIndex{13}\)

    Qual é a probabilidade de a loja ter menos de 12 clientes nas primeiras duas horas?

    Responda

    0,0214

    Exercício\(\PageIndex{14}\)

    Qual tipo de distribuição o modelo de Poisson pode ser usado para aproximar? Quando você faria isso?

    Use as informações a seguir para responder aos próximos seis exercícios: Em média, oito adolescentes nos EUA morrem de ferimentos em veículos motorizados por dia. Como resultado, estados de todo o país estão debatendo o aumento da idade para dirigir.

    Exercício\(\PageIndex{15}\)

    Suponha que o evento ocorra de forma independente em qualquer dia. Em palavras, defina a variável aleatória\(X\).

    Responda

    \(X =\)o número de adolescentes americanos que morrem de ferimentos em veículos motorizados por dia.

    Exercício\(\PageIndex{16}\)

    \(X \sim\)_____ (_____, _____)

    Exercício\(\PageIndex{17}\)

    Quais valores\(X\) assume?

    Responda

    \(0, 1, 2, 3, 4, \dotsc\)

    Exercício\(\PageIndex{18}\)

    Para os valores fornecidos da variável aleatória\(X\), preencha as probabilidades correspondentes.

    Exercício\(\PageIndex{19}\)

    É provável que nenhum adolescente morra por ferimentos em veículos motorizados em um determinado dia nos EUA? Justifique sua resposta numericamente.

    Responda

    Não

    Exercício\(\PageIndex{20}\)

    É provável que haja mais de 20 adolescentes mortos por ferimentos em veículos motorizados em um determinado dia nos EUA? Justifique sua resposta numericamente.

    Glossário

    Distribuição de probabilidade de Pois
    uma variável aleatória discreta (RV) que conta o número de vezes que um determinado evento ocorrerá em um intervalo específico; características da variável:
    • A probabilidade de que o evento ocorra em um determinado intervalo é a mesma para todos os intervalos.
    • Os eventos ocorrem com uma média conhecida e independentemente do tempo decorrido desde o último evento.
    A distribuição é definida pela média\(\mu\) do evento no intervalo. Notação:\(X \sim P(\mu)\). A média é\(\mu = np\). O desvio padrão é\(\sigma = \sqrt{\mu}\). A probabilidade de ter exatamente\(x\) sucessos em\(r\) testes é\(P(X = x) =\)

    \[\left(e^{-\mu}\right)\frac{\mu^{x}}{x!}\]

    . A distribuição de Poisson é frequentemente usada para aproximar a distribuição binomial, quando\(n\)\(p\) é “grande” e é “pequena” (uma regra geral é que\(n\) deve ser maior ou igual a 20 e\(p\) deve ser menor ou igual a 0,05).