4.3: Valor médio ou esperado e desvio padrão

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$ \newcommand{\vecs}[1]{\overset { \scriptstyle \rightharpoonup} {\mathbf{#1}} } $ $ \newcommand{\vecd}[1]{\overset{-\!-\!\rightharpoonup}{\vphantom{a}\smash {#1}}} $$\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $\newcommand{\id}{\mathrm{id}}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$ $ \newcommand{\kernel}{\mathrm{null}\,}$ $ \newcommand{\range}{\mathrm{range}\,}$ $ \newcommand{\RealPart}{\mathrm{Re}}$ $ \newcommand{\ImaginaryPart}{\mathrm{Im}}$ $ \newcommand{\Argument}{\mathrm{Arg}}$ $ \newcommand{\norm}[1]{\| #1 \|}$ $ \newcommand{\inner}[2]{\langle #1, #2 \rangle}$ $ \newcommand{\Span}{\mathrm{span}}$$\newcommand{\AA}{\unicode[.8,0]{x212B}}$

O valor esperado geralmente é chamado de média ou média de “longo prazo”. Isso significa que, a longo prazo, fazendo um experimento repetidamente, você esperaria essa média.

Você joga uma moeda e registra o resultado. Qual é a probabilidade de o resultado ser cabeças? Se você jogar uma moeda duas vezes, a probabilidade indica que essas jogadas resultarão em uma cabeça e uma cauda? Você pode jogar uma moeda justa dez vezes e registrar nove cabeças. Como você aprendeu no Capítulo 3, a probabilidade não descreve os resultados de curto prazo de um experimento. Ele fornece informações sobre o que pode ser esperado a longo prazo. Para demonstrar isso, Karl Pearson uma vez jogou uma moeda justa 24.000 vezes! Ele registrou os resultados de cada sorteio, obtendo cabeças 12.012 vezes. Em seu experimento, Pearson ilustrou a Lei dos Grandes Números.

A Lei dos Grandes Números afirma que, à medida que o número de ensaios em um experimento de probabilidade aumenta, a diferença entre a probabilidade teórica de um evento e a frequência relativa se aproxima de zero (a probabilidade teórica e a frequência relativa se aproximam cada vez mais). Ao avaliar os resultados de longo prazo de experimentos estatísticos, muitas vezes queremos saber o resultado “médio”. Essa “média de longo prazo” é conhecida como o valor médio ou esperado do experimento e é indicada pela letra grega$\mu$. Em outras palavras, depois de realizar muitos testes de um experimento, você esperaria esse valor médio.

Para encontrar o valor esperado ou a média de longo prazo$\mu$, basta multiplicar cada valor da variável aleatória por sua probabilidade e adicionar os produtos.

Exemplo$\PageIndex{1}$

Um time de futebol masculino joga futebol zero, um ou dois dias por semana. A probabilidade de jogarem zero dias é 0,2, a probabilidade de jogarem um dia é 0,5 e a probabilidade de jogarem dois dias é 0,3. Encontre a média de longo prazo ou o valor esperado$\mu$,, do número de dias por semana em que o time masculino de futebol joga futebol.

Solução

Para resolver o problema, primeiro deixe a variável aleatória$X =$ o número de dias em que o time masculino de futebol joga futebol por semana. $X$assume os valores 0, 1, 2. Crie uma tabela PDF adicionando uma coluna$x*P(x)$. Nesta coluna, você multiplicará cada$x$ valor por sua probabilidade.

Tabela de valores esperados Essa tabela é chamada de tabela de valores esperados. A tabela ajuda você a calcular o valor esperado ou a média de longo prazo.
$x$	$P(x)$	*$xP(x)$**
\ (x\) ">0	\ (P (x)\) ">0,2	\ (x*P (x)\) "> (0) (0,2) = 0
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) ">0,5	\ (x*P (x)\) "> (1) (0,5) = 0,5
\ (x\) ">2	\ (P (x)\) ">0,3	\ (x*P (x)\) "> (2) (0,3) = 0,6

Adicione a última coluna$x*P(x)$ para encontrar a média de longo prazo ou o valor esperado:

\[(0)(0.2) + (1)(0.5) + (2)(0.3) = 0 + 0.5 + 0.6 = 1.1. \nonumber\]

O valor esperado é 1,1. O time de futebol masculino espera, em média, jogar futebol 1,1 dia por semana. O número 1.1 é a média de longo prazo ou o valor esperado se o time de futebol masculino jogar futebol semana após semana após semana. Nós dizemos$\mu = 1.1$.

Exemplo$\PageIndex{2}$

Encontre o valor esperado do número de vezes que o choro de um bebê recém-nascido acorda a mãe depois da meia-noite. O valor esperado é o número esperado de vezes por semana que o choro de um bebê recém-nascido acorda a mãe depois da meia-noite. Calcule também o desvio padrão da variável.

Você espera que um recém-nascido acorde a mãe depois da meia-noite 2,1 vezes por semana, em média.
$x$	$P(x)$	*$xP(x)$**	(x) —$\mu)^{2} ⋅ P(x)$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 0) = \dfrac{2}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(0)\left(\dfrac{2}{50}\right) = 0$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (0 — 2,1) ² □ 0,04 = 0,1764
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 1) = \dfrac{11}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(1)\left(\dfrac{11}{50}\right) = \dfrac{11}{50}$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (1 — 2,1) ² □ 0,22 = 0,2662
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 2) = \dfrac{23}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(2)\left(\dfrac{23}{50}\right) = \dfrac{46}{50}$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (2 — 2,1) ² □ 0,46 = 0,0046 = 0,0046
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">3	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 3) = \dfrac{9}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(3)\left(\dfrac{9}{50}\right) = \dfrac{27}{50}$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (3 — 2,1) ² □ 0,18 = 0,1458
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">4	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 4) = \dfrac{4}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(4)\left(\dfrac{4}{50}\right) = \dfrac{16}{50}$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (4 — 2,1) ² □ 0,08 = 0,2888
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 5) = \dfrac{1}{50}$	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">$(5)\left(\dfrac{1}{50}\right) = \dfrac{5}{50}$	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (5 — 2,1) ² □ 0,02 = 0,1682

Adicione os valores na terceira coluna da tabela para encontrar o valor esperado de$X$:

\[\mu = \text{Expected Value} = \dfrac{105}{50} = 2.1 \nonumber\]

Use$\mu$ para completar a tabela. A quarta coluna desta tabela fornecerá os valores necessários para calcular o desvio padrão. Para cada valor$x$, multiplique o quadrado do desvio pela probabilidade. (Cada desvio tem o formato$x – \mu$.

Adicione os valores na quarta coluna da tabela:

\[0.1764 + 0.2662 + 0.0046 + 0.1458 + 0.2888 + 0.1682 = 1.05 \nonumber\]

O desvio padrão de$X$ é a raiz quadrada dessa soma:$\sigma = \sqrt{1.05} \approx 1.0247$

A média, μ, de uma função de probabilidade discreta é o valor esperado.

\[μ=∑(x∙P(x))\nonumber\]

O desvio padrão, σ, do PDF é a raiz quadrada da variância.

\[σ=\sqrt{∑[(x – μ)2 ∙ P(x)]}\nonumber\]

Quando todos os resultados na distribuição de probabilidade são igualmente prováveis, essas fórmulas coincidem com a média e o desvio padrão do conjunto de resultados possíveis.

Exercício$\PageIndex{2}$

Um pesquisador do hospital está interessado no número de vezes que um paciente médio no pós-operatório liga para a enfermeira durante um turno de 12 horas. Para uma amostra aleatória de 50 pacientes, as seguintes informações foram obtidas. Qual é o valor esperado?

$x$	$P(x)$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 0) = \dfrac{4}{50}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 1) = \dfrac{8}{50}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 2) = \dfrac{16}{50}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">3	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 3) = \dfrac{14}{50}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">4	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 4) = \dfrac{6}{50}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$P(x = 5) = \dfrac{2}{50}$

Resposta

O valor esperado é 2,24

\[(0)\dfrac{4}{50} + (1)\dfrac{8}{50} + (2)\dfrac{16}{50} + (3)\dfrac{14}{50} + (4)\dfrac{6}{50} + (5)\dfrac{2}{50} = 0 + \dfrac{8}{50} + \dfrac{32}{50} + \dfrac{42}{50} + \dfrac{24}{50} + \dfrac{10}{50} = \dfrac{116}{50} = 2.32\]

Exemplo$\PageIndex{2}$

Suponha que você jogue um jogo de azar no qual cinco números são escolhidos entre 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Um computador seleciona aleatoriamente cinco números de zero a nove com substituição. Você paga $2 para jogar e pode lucrar $100.000 se acertar todos os cinco números em ordem (você recebe seus $2 de volta mais $100.000). A longo prazo, qual é o lucro esperado ao jogar o jogo?

Para resolver esse problema, configure uma tabela de valores esperados para a quantidade de dinheiro que você pode lucrar.

Deixe$X =$ a quantidade de dinheiro que você lucra. Os valores de não$x$ são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Como você está interessado em seu lucro (ou perda), os valores de$x$ são 100.000 dólares e −2 dólares.

Para ganhar, você deve acertar todos os cinco números, em ordem. A probabilidade de escolher um número correto é$\dfrac{1}{10}$ porque existem dez números. Você pode escolher um número mais de uma vez. A probabilidade de escolher todos os cinco números corretamente e em ordem é

\[\begin{align*} \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) \left(\dfrac{1}{10}\right) &= (1)(10^{-5}) \\[5pt] &= 0.00001. \end{align*}\]

Portanto, a probabilidade de ganhar é 0,00001 e a probabilidade de perder é

\[1−0.00001=0.99999.1−0.00001 = 0.99999.\nonumber\]

A tabela de valores esperados é a seguinte:

ΑAdicione a última coluna. —1,99998 + 1 = —0,99998
	$x$	$P(x)$	$xP(x)$
Perda	\ (x\) ">—2	\ (P (x)\) ">0,99999	\ (xP (x)\) "> (—2) (0,99999) = —1,99998
Lucro	\ (x\) ">100.000	\ (P (x)\) ">0,00001	\ (xP (x)\) "> (100000) (0,00001) = 1

Como —0,99998 é cerca de -1, você esperaria, em média, perder aproximadamente $1 por cada jogo que jogar. No entanto, cada vez que você joga, você perde $2 ou lucra $100.000. O $1 é a perda média ou esperada por jogo depois de jogar este jogo repetidamente.

Exercício$\PageIndex{3}$

Você está jogando um jogo de azar no qual quatro cartas são retiradas de um baralho padrão de 52 cartas. Você adivinha o naipe de cada carta antes de ser sorteada. As cartas são substituídas no baralho em cada sorteio. Você paga $1 para jogar. Se você adivinhar sempre o traje certo, receberá seu dinheiro de volta e $256. Qual é o lucro esperado de jogar o jogo a longo prazo?

Resposta

Deixe$X =$ a quantidade de dinheiro que você lucra. Os$x$ valores -são —$1 e $256.

A probabilidade de adivinhar o traje certo a cada vez é$\left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) \left(\dfrac{1}{4}\right) = \dfrac{1}{256} = 0.0039$

A probabilidade de perder é$1 – \dfrac{1}{256} = \dfrac{255}{256} = 0.9961$

$(0.0039)256 + (0.9961)(–1) = 0.9984 + (–0.9961) = 0.0023$ou$0.23$ centavos.

Exemplo$\PageIndex{4}$

Suponha que você jogue um jogo com uma moeda tendenciosa. Você joga cada jogo jogando a moeda uma vez. $P(\text{heads}) = \dfrac{2}{3}$$P(\text{tails}) = \dfrac{1}{3}$e. Se você jogar uma cabeça, você paga $6. Se você jogar uma cauda, você ganha $10. Se você jogar este jogo muitas vezes, você sairá na frente?

Defina uma variável aleatória$X$.
Preencha a tabela de valores esperados a seguir.
Qual é o valor esperado,$\mu$? Você sai na frente?

Soluções

uma.

$X$= quantidade de lucro

	$x$	____	____
GANHAR	\ (x\)” class="lt-stats-739">10	$\dfrac{1}{3}$	____
PERDER	\ (x\)” class="lt-stats-739">____	____	$\dfrac{-12}{3}$

	$x$	$P(x)$	$xP(x)$
GANHAR	\ (x\)” class="lt-stats-739">10	\ (P (x)\)” class="lt-stats-739">$\dfrac{1}{3}$	\ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">$\dfrac{10}{3}$
PERDER	\ (x\)” class="lt-stats-739">—6	\ (P (x)\)” class="lt-stats-739">$\dfrac{2}{3}$	\ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">$\dfrac{-12}{3}$

Adicione a última coluna da tabela. O valor esperado$\mu = \dfrac{-2}{3}$. Você perde, em média, cerca de 67 centavos cada vez que joga o jogo para não sair na frente.

Exercício$\PageIndex{4}$

Suponha que você jogue um jogo com um spinner. Você joga cada jogo girando o spinner uma vez. $P(\text{red}) = \dfrac{2}{5}$,$P(\text{blue}) = \dfrac{2}{5}$,$P(\text{green}) = \dfrac{1}{5}$ e. Se você cair no vermelho, você paga $10. Se você pousar no azul, você não paga nem ganha nada. Se você cair no verde, você ganha $10. Preencha a tabela de valores esperados a seguir.

	$x$	$P(x)$
Vermelho	\ (x\) ">	\ (P (x)\) ">	$-\dfrac{20}{5}$
Azul	\ (x\) ">	\ (P (x)\) ">$\dfrac{2}{5}$
Verde	\ (x\) ">10	\ (P (x)\) ">

Resposta

	$x$	$P(x)$	$x*P(x)$
Vermelho	\ (x\) ">—10	\ (P (x)\) ">$\dfrac{2}{5}$	\ (x*P (x)\) ">$-\dfrac{20}{5}$
Azul	\ (x\) ">0	\ (P (x)\) ">$\dfrac{2}{5}$	\ (x*P (x)\) ">$\dfrac{0}{5}$
Verde	\ (x\) ">10	\ (P (x)\) ">$\dfrac{1}{5}$	\ (x*P (x)\) ">$\dfrac{1}{5}$

Como os dados, as distribuições de probabilidade têm desvios padrão. Para calcular o desvio padrão (σ) de uma distribuição de probabilidade, encontre cada desvio de seu valor esperado, eleve ao quadrado, multiplique pela probabilidade, adicione os produtos e pegue a raiz quadrada. Para entender como fazer o cálculo, veja a tabela do número de dias por semana em que um time de futebol masculino joga futebol. Para encontrar o desvio padrão, adicione as entradas na coluna rotulada$(x) – \mu^{2}P(x)$ e pegue a raiz quadrada.

$x$	$P(x)$	$x*P(x)$	$(x – \mu)^{2}P(x)$
\ (x\) ">0	\ (P (x)\) ">0,2	\ (x*P (x)\) "> (0) (0,2) = 0	\ (x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (0 — 1,1) ² (0,2) = 0,242
\ (x\) ">1	\ (P (x)\) ">0,5	\ (x*P (x)\) "> (1) (0,5) = 0,5	\ (x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (1 — 1,1) ² (0,5) = 0,005
\ (x\) ">2	\ (P (x)\) ">0,3	\ (x*P (x)\) "> (2) (0,3) = 0,6	\ (x —\ mu) ^ {2} P (x)\) "> (2 — 1,1) ² (0,3) = 0,243

Adicione a última coluna na tabela. $0.242 + 0.005 + 0.243 = 0.490$. O desvio padrão é a raiz quadrada de 0,49, ou$\sigma = \sqrt{0.49} = 0.7$

Geralmente, para distribuições de probabilidade, usamos uma calculadora ou um computador para calcular$\mu$ e$\sigma$ reduzir o erro de arredondamento. Para algumas distribuições de probabilidade, existem fórmulas de atalho para calcular$\mu$$\sigma$ e.

Exemplo$\PageIndex{5}$

Lance um dado justo de seis lados duas vezes. Seja$X$ = o número de faces que mostram um número par. Construa uma tabela como Tabela e calcule a média$\mu$ e o desvio padrão$\sigma$ de$X$.

Solução

Jogar um dado justo de seis lados duas vezes tem o mesmo espaço de amostra que lançar dois dados justos de seis lados. O espaço amostral tem 36 resultados:

(1, 1)	(1, 2)	(1, 3)	(1, 4)	(1, 5)	(1, 6)
(2, 1)	(2, 2)	(2, 3)	(2, 4)	(2, 5)	(2, 6)
(3, 1)	(3, 2)	(3, 3)	(3, 4)	(3, 5)	(3, 6)
(4, 1)	(4, 2)	(4, 3)	(4, 4)	(4, 5)	(4, 6)
(5, 1)	(5, 2)	(5, 3)	(5, 4)	(5, 5)	(5, 6)
(6, 1)	(6, 2)	(6, 3)	(6, 4)	(6, 5)	(6, 6)

Use o espaço da amostra para preencher a tabela a seguir:

Calculando$\mu$$\sigma$ e.
$x$	$P(x)$	$xP(x)$	$(x – \mu)^{2} ⋅ P(x)$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$\dfrac{9}{36}$	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical:médio; ">0	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$(0 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$\dfrac{18}{36}$	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$\dfrac{18}{36}$	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$(1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{18}{36} = 0$
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$\dfrac{9}{36}$	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$\dfrac{18}{36}$	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">$(1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}$

Adicione os valores na terceira coluna para encontrar o valor esperado:$\mu$ =$\dfrac{36}{36}$ = 1. Use esse valor para completar a quarta coluna.

Adicione os valores na quarta coluna e pegue a raiz quadrada da soma:

\[\sigma = \sqrt{\dfrac{18}{36}} \approx 0.7071.\]

Exemplo$\PageIndex{6}$

Em 11 de maio de 2013, às 21h30, a probabilidade de que atividade sísmica moderada (um terremoto moderado) ocorresse nas próximas 48 horas no Irã era de cerca de 21,42%. Suponha que você aposte que um terremoto moderado ocorrerá no Irã durante esse período. Se você ganhar a aposta, você ganha $50. Se você perder a aposta, você paga $20. Seja X = o valor do lucro de uma aposta.

$P(\text{win}) = P(\text{one moderate earthquake will occur}) = 21.42%$

$P(\text{loss}) = P(\text{one moderate earthquake will not occur}) = 100% – 21.42%$

Se você apostar muitas vezes, você sairá na frente? Explique sua resposta em uma frase completa usando números. Qual é o desvio padrão de$X$? Crie uma tabela semelhante a Tabela e Tabela para ajudá-lo a responder a essas perguntas.

Resposta

	$x$	$P(x)$	$xP(x)$	$(x – \mu^{2})P(x)$
ganhar	\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">50	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0,2142	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical:médio; ">10,71	\ ((x —\ mu^ {2}) P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; "> [50 — (—5,006)] ² (0,2142) = 648,0964
prejuízo	\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">—20	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0,7858	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">—15,716	\ (x —\ mu^ {2}) P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; "> [—20 — (—5,006)] ² (0,7858) = 176,636

Média = Valor esperado = 10,71 + (—15,716) = —5,006.

Se você fizer essa aposta várias vezes nas mesmas condições, seu resultado a longo prazo será uma perda média de $5,01 por aposta.

Desvio padrão$= \sqrt{648.0964+176.6636} \approx 28.7186$

Exercício$\PageIndex{6}$

Em 11 de maio de 2013, às 21h30, a probabilidade de que atividade sísmica moderada (um terremoto moderado) ocorresse nas próximas 48 horas no Japão era de cerca de 1,08%. Você pode apostar que um terremoto moderado ocorrerá no Japão durante esse período. Se você ganhar a aposta, você ganha $100. Se você perder a aposta, você paga $10. Seja$X$ = o valor do lucro de uma aposta. Encontre a média e o desvio padrão de$X$.

Resposta

	$x$	$P(x)$	$x ⋅ P(x)$	$(x - \mu^{2}) ⋅ P(x)$
ganhar	\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">100	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0,0108	\ (x ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical:médio; ">1,08	\ ((x -\ mu^ {2}) ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; "> [100 — (—8.812)] ² 0.0108 = 127,8726
prejuízo	\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">—10	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0,9892	\ (x ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: médio; ">—9,892	\ ((x -\ mu^ {2}) ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> [—10 — (—8.812)] ² ‣ 0,9892 = 1,3961

Média = valor esperado$= \mu = 1.08 + (–9.892) = –8.812$

Se você fizer essa aposta várias vezes nas mesmas condições, seu resultado a longo prazo será uma perda média de $8,81 por aposta.

Desvio padrão$= \sqrt{127.7826+1.3961} \approx 11.3696$

Algumas das funções discretas de probabilidade mais comuns são binomial, geométrica, hipergeométrica e Poisson. A maioria dos cursos elementares não abrange o geométrico, o hipergeométrico e o Poisson. Seu instrutor informará se ele ou ela deseja cobrir essas distribuições.

Uma função de distribuição de probabilidade é um padrão. Você tenta encaixar um problema de probabilidade em um padrão ou distribuição para realizar os cálculos necessários. Essas distribuições são ferramentas para facilitar a solução de problemas de probabilidade. Cada distribuição tem suas próprias características especiais. Aprender as características permite distinguir entre as diferentes distribuições.

Resumo

O valor esperado, ou média, de uma variável aleatória discreta prediz os resultados de longo prazo de um experimento estatístico que foi repetido várias vezes. O desvio padrão de uma distribuição de probabilidade é usado para medir a variabilidade dos resultados possíveis.

Revisão da fórmula

Valor médio ou esperado:$\mu = \sum_{x \in X}xP(x)$
Desvio padrão:$\sigma = \sqrt{\sum_{x \in X}(x - \mu)^{2}P(x)}$

Glossário

Valor esperado: média aritmética esperada quando um experimento é repetido várias vezes; também chamada de média. Anotações:$\mu$. Para uma variável aleatória discreta (RV) com função de distribuição de probabilidade$P(x)$, a definição também pode ser escrita no formulário$\mu = \sum{xP(x)}$.

Significa: um número que mede a tendência central; um nome comum para média é “média”. O termo “média” é uma forma abreviada de “média aritmética”. Por definição, a média de uma amostra (detonada por$\bar{x}$) é$\bar{x} = \dfrac{\text{Sum of all values in the sample}}{\text{Number of values in the sample}}$ e a média de uma população (indicada por$\mu$) é$\mu = \dfrac{\text{Sum of all values in the population}}{\text{Number of values in the population}}$.

Média de uma distribuição de probabilidade: a média de longo prazo de muitos ensaios de um experimento estatístico

Desvio padrão de uma distribuição de probabilidade: um número que mede a distância entre os resultados de um experimento estatístico e a média da distribuição

A Lei dos Grandes Números: À medida que o número de ensaios em um experimento de probabilidade aumenta, a diferença entre a probabilidade teórica de um evento e a probabilidade de frequência relativa se aproxima de zero.

Referências

Catálogo de aulas na Florida State University. Disponível on-line em apps.oti.fsu.edu/Registrarco... ArchFormLegacy (acessado em 15 de maio de 2013).
“World Earthquakes: Live Earthquake News and Highlights”, World Earthquakes, 2012. www.world-earthquakes.com/ind... thq_prediction (acessado em 15 de maio de 2013).

\(x\)	\(P(x)\)	*\(xP(x)\)**	(x) —\(\mu)^{2} ⋅ P(x)\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 0) = \dfrac{2}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((0)\left(\dfrac{2}{50}\right) = 0\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (0 — 2,1) ² □ 0,04 = 0,1764
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 1) = \dfrac{11}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((1)\left(\dfrac{11}{50}\right) = \dfrac{11}{50}\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (1 — 2,1) ² □ 0,22 = 0,2662
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 2) = \dfrac{23}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((2)\left(\dfrac{23}{50}\right) = \dfrac{46}{50}\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (2 — 2,1) ² □ 0,46 = 0,0046 = 0,0046
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">3	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 3) = \dfrac{9}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((3)\left(\dfrac{9}{50}\right) = \dfrac{27}{50}\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (3 — 2,1) ² □ 0,18 = 0,1458
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">4	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 4) = \dfrac{4}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((4)\left(\dfrac{4}{50}\right) = \dfrac{16}{50}\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (4 — 2,1) ² □ 0,08 = 0,2888
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 5) = \dfrac{1}{50}\)	\ (x*P (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((5)\left(\dfrac{1}{50}\right) = \dfrac{5}{50}\)	\ (\ mu) ^ {2} ‣ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; "> (5 — 2,1) ² □ 0,02 = 0,1682

\(x\)	\(P(x)\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 0) = \dfrac{4}{50}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 1) = \dfrac{8}{50}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 2) = \dfrac{16}{50}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">3	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 3) = \dfrac{14}{50}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">4	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 4) = \dfrac{6}{50}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">5	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(P(x = 5) = \dfrac{2}{50}\)

	\(x\)	\(P(x)\)	\(xP(x)\)
GANHAR	\ (x\)” class="lt-stats-739">10	\ (P (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{1}{3}\)	\ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{10}{3}\)
PERDER	\ (x\)” class="lt-stats-739">—6	\ (P (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{2}{3}\)	\ (xP (x)\)” class="lt-stats-739">\(\dfrac{-12}{3}\)

	\(x\)	\(P(x)\)	\(x*P(x)\)
Vermelho	\ (x\) ">—10	\ (P (x)\) ">\(\dfrac{2}{5}\)	\ (x*P (x)\) ">\(-\dfrac{20}{5}\)
Azul	\ (x\) ">0	\ (P (x)\) ">\(\dfrac{2}{5}\)	\ (x*P (x)\) ">\(\dfrac{0}{5}\)
Verde	\ (x\) ">10	\ (P (x)\) ">\(\dfrac{1}{5}\)	\ (x*P (x)\) ">\(\dfrac{1}{5}\)

\(x\)	\(P(x)\)	\(xP(x)\)	\((x – \mu)^{2} ⋅ P(x)\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">0	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(\dfrac{9}{36}\)	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical:médio; ">0	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((0 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">1	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(\dfrac{18}{36}\)	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(\dfrac{18}{36}\)	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{18}{36} = 0\)
\ (x\)” style="alinhamento vertical: médio; ">2	\ (P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(\dfrac{9}{36}\)	\ (xP (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(\dfrac{18}{36}\)	\ (x —\ mu) ^ {2} ≠ P (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((1 – 1)^{2} ⋅ \dfrac{9}{36} = \dfrac{9}{36}\)

	\(x\)	____	____
GANHAR	\ (x\)” class="lt-stats-739">10	\(\dfrac{1}{3}\)	____
PERDER	\ (x\)” class="lt-stats-739">____	____	\(\dfrac{-12}{3}\)