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4.2: Função de distribuição de probabilidade (PDF) para uma variável aleatória discreta

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    Uma função discreta de distribuição de probabilidade tem duas características:

    1. Cada probabilidade está entre zero e um, inclusive.
    2. A soma das probabilidades é uma.

    Exemplo\(\PageIndex{1}\)

    Um psicólogo infantil está interessado no número de vezes que o choro de um bebê recém-nascido acorda a mãe depois da meia-noite. Para uma amostra aleatória de 50 mães, as seguintes informações foram obtidas. Deixe\(X =\) o número de vezes por semana que o choro de um bebê recém-nascido acorde sua mãe depois da meia-noite. Para este exemplo,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\).

    \(P(x) =\)probabilidade que\(X\) assume um valor\(x\).

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{2}{50}\)
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{11}{50}\)
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{23}{50}\)
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{9}{50}\)
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{4}{50}\)
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{1}{50}\)

    \(X\)assume os valores 0, 1, 2, 3, 4, 5. Esse é um PDF discreto porque:

    1. Cada um\(P(x)\) está entre zero e um, inclusive.
    2. A soma das probabilidades é uma, ou seja,

    \[\dfrac{2}{50} + \dfrac{11}{50} + \dfrac{23}{50} + \dfrac{9}{50} + \dfrac{4}{50} + \dfrac{1}{50} = 1\]

    Exercício\(\PageIndex{1}\)

    Um pesquisador do hospital está interessado no número de vezes que um paciente médio no pós-operatório liga para a enfermeira durante um turno de 12 horas. Para uma amostra aleatória de 50 pacientes, as seguintes informações foram obtidas. Deixe\(X =\) o número de vezes que um paciente liga para a enfermeira durante um turno de 12 horas. Para este exercício,\(x = 0, 1, 2, 3, 4, 5\). \(P(x) =\)a probabilidade que\(X\) assume valor\(x\). Por que essa é uma função discreta de distribuição de probabilidade (duas razões)?

    \(X\) \(P(x)\)
    \ (X\) ">0 \ (P (x)\) ">\(P(x = 0) = \dfrac{4}{50}\)
    \ (X\) ">1 \ (P (x)\) ">\(P(x = 1) = \dfrac{8}{50}\)
    \ (X\) ">2 \ (P (x)\) ">\(P(x = 2) = \dfrac{16}{50}\)
    \ (X\) ">3 \ (P (x)\) ">\(P(x = 3) = \dfrac{14}{50}\)
    \ (X\) ">4 \ (P (x)\) ">\(P(x = 4) = \dfrac{6}{50}\)
    \ (X\) ">5 \ (P (x)\) ">\(P(x = 5) = \dfrac{2}{50}\)

    Responda

    Cada um\(P(x)\) está entre 0 e 1, inclusive, e a soma das probabilidades é 1, ou seja:

    \[\dfrac{4}{50} + \dfrac{8}{50} +\dfrac{16}{50} +\dfrac{14}{50} +\dfrac{6}{50} + \dfrac{2}{50} = 1\]

    Exemplo\(\PageIndex{2}\)

    Suponha que Nancy tenha aulas três dias por semana. Ela frequenta as aulas três dias por semana 80% do tempo, dois dias 15% do tempo, um dia 4% do tempo e nenhum dia 1% do tempo. Suponha que uma semana seja selecionada aleatoriamente.

    1. Seja\(X\) = o número de dias Nancy ____________________.
    2. \(X\)assume quais valores?
    3. Suponha que uma semana seja escolhida aleatoriamente. Crie uma tabela de distribuição de probabilidade (chamada de tabela PDF) como a do Example. A tabela deve ter duas colunas rotuladas\(x\)\(P(x)\) e. Qual é a soma\(P(x)\) da coluna?

    Soluções

    a. Seja\(X\) = o número de dias em que Nancy frequenta as aulas por semana.

    b. 0, 1, 2 e 3

    c

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0,01
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,04
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,15
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,80

    Exercício\(\PageIndex{2}\)

    Jeremiah pratica basquete dois dias por semana. Noventa por cento das vezes, ele frequenta os dois treinos. Oito por cento das vezes, ele frequenta um treino. Dois por cento das vezes, ele não frequenta nenhum dos consultórios. O que é X e quais valores ele assume?

    Responda

    \(X\)é o número de dias em que Jeremiah frequenta o treino de basquete por semana. X assume os valores 0, 1 e 2.

    Revisão

    As características de uma função de distribuição de probabilidade (PDF) para uma variável aleatória discreta são as seguintes:

    1. Cada probabilidade está entre zero e um, inclusive (inclusive significa incluir zero e um).
    2. A soma das probabilidades é uma.

    Use as informações a seguir para responder aos próximos cinco exercícios: Uma empresa quer avaliar sua taxa de desgaste, ou seja, por quanto tempo os novos contratados permanecem na empresa. Ao longo dos anos, eles estabeleceram a seguinte distribuição de probabilidade.

    Deixe\(X =\) o número de anos em que uma nova contratação permanecerá na empresa.

    Deixe\(P(x) =\) a probabilidade de uma nova contratação permanecer na empresa x anos.

    Exercício 4.2.3

    Tabela completa usando os dados fornecidos.

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0,12
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,18
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,30
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,15
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0,10
    \ (x\) ">6 \ (P (x)\) ">0,05

    Responda

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0,12
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,18
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,30
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,15
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0,10
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0,10
    \ (x\) ">6 \ (P (x)\) ">0,05

    Exercício 4.2.4

    \(P(x = 4) =\)_______

    Exercício 4.2.5

    \(P(x \geq 5) =\)_______

    Responda

    0,10 + 0,05 = 0,15

    Exercício 4.2.6

    Em média, por quanto tempo você esperaria que um novo contratado permanecesse na empresa?

    Exercício 4.2.7

    Qual a soma da coluna “P (x)”?

    Responda

    1

    Use as seguintes informações para responder aos próximos seis exercícios: Um padeiro está decidindo quantos lotes de muffins fazer para vender em sua padaria. Ele quer ganhar o suficiente para vender cada um e nada menos. Por meio da observação, o padeiro estabeleceu uma distribuição de probabilidade.

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,15
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,35
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,40
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0,10

    Exercício 4.2.8

    Defina a variável aleatória\(X\).

    Exercício 4.2.9

    Qual é a probabilidade de o padeiro vender mais de um lote? \(P(x > 1) =\)_______

    Responda

    0,35 + 0,40 + 0,10 = 0,85

    Exercício 4.2.10

    Qual é a probabilidade de o padeiro vender exatamente um lote? \(P(x = 1) =\)_______

    Exercício 4.2.11

    Em média, quantos lotes o padeiro deve fazer?

    Responda

    1 (0,15) + 2 (0,35) + 3 (0,40) + 4 (0,10) = 0,15 + 0,70 + 1,20 + 0,40 = 2,45

    Use as informações a seguir para responder aos próximos quatro exercícios: Ellen pratica música três dias por semana. Ela pratica durante todos os três dias 85% do tempo, dois dias 8% do tempo, um dia 4% do tempo e nenhum dia 3% do tempo. Uma semana é selecionada aleatoriamente.

    Exercício 4.2.12

    Defina a variável aleatória\(X\).

    Exercício 4.2.13

    Crie uma tabela de distribuição de probabilidade para os dados.

    Responda

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0,03
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,04
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,08
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,85

    Exercício 4.2.14

    Sabemos que para uma função de distribuição de probabilidade ser discreta, ela deve ter duas características. Uma é que a soma das probabilidades é uma. Qual é a outra característica?

    Use as informações a seguir para responder aos próximos cinco exercícios: Javier é voluntário em eventos comunitários todos os meses. Ele não faz mais do que cinco eventos em um mês. Ele participa de exatamente cinco eventos 35% das vezes, quatro eventos 25% das vezes, três eventos 20% das vezes, dois eventos 10% das vezes, um evento 5% das vezes e nenhum evento 5% das vezes.

    Exercício 4.2.15

    Defina a variável aleatória\(X\).

    Responda

    Deixe\(X =\) o número de eventos voluntários de Javier para cada mês.

    Exercício 4.2.16

    Quais valores\(x\) assume?

    Exercício 4.2.17

    Crie uma tabela em PDF.

    Responda

    \(x\) \(P(x)\)
    \ (x\) ">0 \ (P (x)\) ">0,05
    \ (x\) ">1 \ (P (x)\) ">0,05
    \ (x\) ">2 \ (P (x)\) ">0,10
    \ (x\) ">3 \ (P (x)\) ">0,20
    \ (x\) ">4 \ (P (x)\) ">0,25
    \ (x\) ">5 \ (P (x)\) ">0,35

    Exercício 4.2.18

    Descubra a probabilidade de Javier ser voluntário em menos de três eventos por mês. \(P(x < 3) =\)_______

    Exercício 4.2.19

    Descubra a probabilidade de Javier ser voluntário em pelo menos um evento por mês. \(P(x > 0) =\)_______

    Responda

    1 — 0,05 = 0,95

    Glossário

    Função de distribuição de probabilidade (PDF)
    uma descrição matemática de uma variável aleatória discreta (RV), dada na forma de uma equação (fórmula) ou na forma de uma tabela listando todos os resultados possíveis de um experimento e a probabilidade associada a cada resultado.