9.6: Resolver equações com raízes quadradas
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Ao final desta seção, você poderá:
- Resolva equações radicais
- Use raízes quadradas em aplicações
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
- Simplifique: ⓐ\(\sqrt{9}\) ⓑ\(9^2\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exemplo 9.1.1 e o Exercício 1.3.22. - Resolva: 5 (x+1) −4=3 (2x−7).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 2.4.16. - Resolver:\(n^2−6n+8=0\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 7.6.13.
Resolva equações radicais
Nesta seção, resolveremos equações que têm a variável no radicando de uma raiz quadrada. Equações desse tipo são chamadas de equações radicais.
Uma equação na qual a variável está no radicando de uma raiz quadrada é chamada de equação radical.
Como de costume, ao resolver essas equações, o que fazemos em um lado de uma equação também devemos fazer no outro lado. Como o quadrado de uma quantidade e a obtenção de uma raiz quadrada são operações “opostas”, vamos quadrar os dois lados para remover o sinal radical e resolver a variável interna.
Mas lembre-se de que, quando\(\sqrt{a}\) escrevemos, queremos dizer a raiz quadrada principal. Então,\(\sqrt{a} \ge 0\) sempre. Quando resolvemos equações radicais ao quadrado de ambos os lados, podemos obter uma solução algébrica que tornaria\(\sqrt{a}\) negativa. Essa solução algébrica não seria uma solução para a equação radical original; é uma solução estranha. Também vimos soluções estranhas quando resolvemos equações racionais.
Para a equação\(\sqrt{x+2}=x\):
- x=2 é uma solução?
- x=−1 é uma solução?
- Responda
-
1. x=2 é uma solução?
Seja x = 2. 
Simplifique. 
2 é uma solução. 2. x=−1 é uma solução?
Seja x = −1. 
Simplifique. 
−1 não é uma solução. −1 é uma solução estranha para a equação.
Para a equação\(\sqrt{x+6}=x\):
- x=−2 é uma solução?
- x=3 é uma solução?
- Responda
-
- não
- sim
Para a equação\(\sqrt{−x+2}=x\):
- x=−2 é uma solução?
- x=1 é uma solução?
- Responda
-
- não
- sim
Para\(a \ge 0\),\((\sqrt{a})^2=a\)
Como resolver equações radicais
Resolver:\(\sqrt{2x−1}=7\)
- Responda
-
Resolver:\(\sqrt{3x−5}=5\).
- Responda
-
10
Resolver:\(\sqrt{4x+8}=6\).
- Responda
-
7
- Isole o radical em um lado da equação.
- Faça o quadrado dos dois lados da equação.
- Resolva a nova equação.
- Verifique a resposta.
Resolver:\(\sqrt{5n−4}−9=0\).
- Responda
-
Para isolar o radical, adicione 9 nos dois lados. 
Simplifique. 
Faça o quadrado dos dois lados da equação. 
Resolva a nova equação. 
Verifique a resposta.
A solução é n = 17.
Resolver:\(\sqrt{3m+2}−5=0\).
- Responda
-
\(\frac{23}{3}\)
Resolver:\(\sqrt{10z+1}−2=0\).
- Responda
-
\(\frac{3}{10}\)
Resolver:\(\sqrt{3y+5}+2=5\).
- Responda
-
Para isolar o radical, subtraia 2 dos dois lados. 
Simplifique. 
Faça o quadrado dos dois lados da equação. 
Resolva a nova equação. 
Verifique a resposta.
A solução é\(y=\frac{4}{3}\)
Resolver:\(\sqrt{3p+3}+3=5\).
- Responda
-
\(\frac{1}{3}\)
Resolver:\(\sqrt{5q+1}+4=6\).
- Responda
-
\(\frac{3}{5}\)
Quando usamos um sinal radical, queremos dizer a raiz principal ou positiva. Se uma equação tiver uma raiz quadrada igual a um número negativo, essa equação não terá solução.
Resolver:\(\sqrt{9k−2}+1=0\).
- Responda
-
Para isolar o radical, subtraia 1 dos dois lados. 
Simplifique. 
Como a raiz quadrada é igual a um número negativo, a equação não tem solução.
Resolver:\(\sqrt{2r−3}+5=0\)
- Responda
-
sem solução
Resolver:\(\sqrt{7s−3}+2=0\).
- Responda
-
sem solução
\[\begin{array}{cc} {(a+b)^2=a^2+2ab+b^2}&{(a−b)^2=a^2−2ab+b^2}\\ \nonumber \end{array}\]
Não se esqueça do meio termo!
Resolver:\(\sqrt{p−1}+1=p\).
- Responda
-
Para isolar o radical, subtraia 1 dos dois lados. 
Simplifique. 
Faça o quadrado dos dois lados da equação. 
Simplifique e resolva a nova equação. 
É uma equação quadrática, então obtenha zero em um lado. 
Considere o lado direito. 
Use a propriedade zero do produto. 
Resolva cada equação. 
Confira as respostas.
As soluções são p = 1, p = 2.
Resolver:\(\sqrt{x−2}+2=x\).
- Responda
-
2, 3
Resolver:\(\sqrt{y−5}+5=y\).
- Responda
-
5, 6
Resolver:\(\sqrt{r+4}−r+2=0\).
- Responda
-
\(\sqrt{r+4}−r+2=0\) Isole o radical. \(\sqrt{r+4}=r−2\) Faça o quadrado dos dois lados da equação. \((\sqrt{r+4})^2=(r−2)^2\) Resolva a nova equação. \(r+4=r^2−4r+4\) É uma equação quadrática, então obtenha zero em um lado. \(0=r^2−5r\) Considere o lado direito. \(0=r(r−5)\) Use a propriedade zero do produto. 0=r 0=r−5 Resolva a equação. r=0 r=5 Verifique a resposta.
r=5 r=0 é uma solução estranha.
Resolver:\(\sqrt{m+9}−m+3=0\).
- Responda
-
7
Resolver:\(\sqrt{n+1}−n+1=0\)
- Responda
-
3
Quando há um coeficiente na frente do radical, também devemos ajustá-lo ao quadrado.
Resolver:\(3\sqrt{3x−5}−8=4\).
- Responda
-
\(3\sqrt{3x−5}−8=4\) Isole o radical. \(3\sqrt{3x−5}=12\) Faça o quadrado dos dois lados da equação. \((3\sqrt{3x−5})^2=(12)^2\) Simplifique e resolva a nova equação. 9 (3x−5) =144 Distribuir. 27x−45 = 144 Resolva a equação. 27x=189 x=7 Verifique a resposta.
A solução é x=7.
Resolver:\(\sqrt{24a+2}−16=16\).
- Responda
-
\(\frac{127}{2}\)
Resolver:\(\sqrt{36b+3}−25=50\).
- Responda
-
\(\frac{311}{3}\)
Resolver:\(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\).
- Responda
-
\(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\) Os termos radicais são isolados \(\sqrt{4z−3}=\sqrt{3z+2}\) Faça o quadrado dos dois lados da equação. \((\sqrt{4z−3})^2=(\sqrt{3z+2})^2\) Simplifique e resolva a nova equação 4z−3 = 3z+2 z−3=2 z=5 x=7 Verifique a resposta.
Deixamos que você mostre que 5 cheques!
A solução é z = 5.
Resolver:\(\sqrt{2x−5}=\sqrt{5x+3}\).
- Responda
-
sem solução
Resolver:\(\sqrt{7y+1}=\sqrt{2y−5}\).
- Responda
-
sem solução
Às vezes, depois de quadrar os dois lados de uma equação, ainda temos uma variável dentro de um radical. Quando isso acontece, repetimos as etapas 1 e 2 do nosso procedimento. Isolamos o radical e o quadrado de ambos os lados da equação novamente.
Resolver:\(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\).
- Responda
-
\(\sqrt{m}+1=\sqrt{m+9}\) O radical do lado direito está isolado.
Quadrar os dois lados
\((\sqrt{m}+1)^2=(\sqrt{m+9})^2\) Simplifique — tenha muito cuidado ao multiplicar! \(m+2\sqrt{m}+1=m+9\) Ainda há um radical na equação.
Portanto, devemos repetir as etapas anteriores. Isole o radical.
\(2\sqrt{m}=8\) Quadrar os dois lados. \((2\sqrt{m})^2=(8)^2\) Simplifique e resolva a nova equação. 4m = 64 m=16 Verifique a resposta.
Deixamos que você mostre que m=16 verifica!
A solução é m=16.
Resolver:\(\sqrt{x}+3=\sqrt{x+5}\).
- Responda
-
sem solução
Resolver:\(\sqrt{m}+5=\sqrt{m+16}\).
- Responda
-
sem solução
Resolver:\(\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}\).
- Responda
-
\(\sqrt{q−2}+3=\sqrt{4q+1}\) O radical do lado direito está isolado.
Quadrar os dois lados
\((\sqrt{q−2}+3)^2=(\sqrt{4q+1})^2\) Simplifique. \(q−2+6\sqrt{q−2}+9=4q+1\) Ainda há um radical na equação.
Portanto, devemos repetir as etapas anteriores. Isole o radical.
\(6\sqrt{q−2}=3q−6\) Quadrar os dois lados. \((6\sqrt{q−2})^2=(3q−6)^2\) Simplifique e resolva a nova equação. \(36(q−2)=9q^2−36q+36\) Distribuir. \(36q−72=9q^2−36q+36\) É uma equação quadrática, então obtenha zero em um lado. \(0=9q^2−72q+108\) Considere o lado direito. \(0=9(q^2−8q+12)\)
\(0=9(q−6)(q−2)\)
Use a propriedade zero do produto \[\begin{array}{ll} {q−6=0}&{q−2=0}\\ {q=6}&{q=2}\\ \nonumber \end{array}\] Os cheques são deixados para você. (Ambas as soluções devem funcionar.)
As soluções são q=6 e q=2.
Resolver:\(\sqrt{y−3}+2=\sqrt{4y+2}\).
- Responda
-
sem solução
Resolver:\(\sqrt{n−4}+5=\sqrt{3n+3}\).
- Responda
-
sem solução
Use raízes quadradas em aplicativos
Conforme você avança nos cursos universitários, você encontrará fórmulas que incluem raízes quadradas em muitas disciplinas. Já usamos fórmulas para resolver aplicações de geometria.
Usaremos nossa Estratégia de Solução de Problemas para Aplicações Geométricas, com pequenas modificações, para nos dar um plano para resolver aplicativos com fórmulas de qualquer disciplina.
- Leia o problema e certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas. Quando apropriado, desenhe uma figura e identifique-a com as informações fornecidas.
- Identifique o que estamos procurando.
- Nomeie o que estamos procurando escolhendo uma variável para representá-la.
- Traduza em uma equação escrevendo a fórmula ou modelo apropriado para a situação. Substitua as informações fornecidas.
- Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
- Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
- Responda à pergunta com uma frase completa.
Usamos a fórmula A=L·W para encontrar a área de um retângulo com comprimento L e largura W. Um quadrado é um retângulo no qual o comprimento e a largura são iguais. Se deixarmos s ser o comprimento de um lado de um quadrado, a área do quadrado será\(s^2\).
A fórmula nos\(A=s^2\) dá a área de um quadrado se soubermos o comprimento de um lado. E se quisermos encontrar o comprimento de um lado para uma determinada área? Em seguida, precisamos resolver a equação para s.
\[\begin{array}{ll} {}&{A=s^2}\\ {\text{Take the square root of both sides.}}&{\sqrt{A}=\sqrt{s^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{s=\sqrt{A}}\\ \nonumber \end{array}\]
Podemos usar a fórmula\(s=\sqrt{A}\) para encontrar o comprimento de um lado de um quadrado para uma determinada área.
Mostraremos um exemplo disso no próximo exemplo.
Mike e Lychelle querem fazer um pátio quadrado. Eles têm concreto suficiente para pavimentar uma área de 200 pés quadrados. Use a fórmula\(s=\sqrt{A}\) para encontrar o comprimento de cada lado do pátio. Arredonde sua resposta para o décimo de pé mais próximo.
- Responda
-
Etapa 1. Leia o problema. Desenhe uma figura e
identifique-a com as informações fornecidas.
A = 200 pés quadrados Etapa 2. Identifique o que você está procurando. O comprimento de um lado do pátio quadrado. Etapa 3. Nomeie o que você está procurando
escolhendo uma variável para representá-la.Seja s = o comprimento de um lado. Etapa 4. Traduza em uma equação escrevendo a fórmula ou modelo
apropriado para a situação.
Substitua as informações fornecidas.
Etapa 5. Resolva a equação usando boas
técnicas de álgebra. Arredonde para uma casa decimal.
Etapa 6. Verifique a resposta do problema e
verifique se faz sentido.
Isso está perto o suficiente porque arredondamos a raiz
quadrada.
Um pátio com 14,1 pés laterais é razoável?
Sim.Etapa 7. Responda à pergunta com uma
frase completa.Cada lado do pátio deve ter 14,1 pés.
Katie quer plantar um gramado quadrado em seu jardim. Ela tem grama suficiente para cobrir uma área de 370 pés quadrados. Use a fórmula\(s=\sqrt{A}\) para encontrar o comprimento de cada lado do gramado. Arredonde sua resposta para o décimo de pé mais próximo.
- Responda
-
19,2 pés
Sergio quer fazer um mosaico quadrado como incrustação de uma mesa que ele está construindo. Ele tem azulejos suficientes para cobrir uma área de 2704 centímetros quadrados. Use a fórmula\(s=\sqrt{A}\) para encontrar o comprimento de cada lado do mosaico. Arredonde sua resposta para o décimo de pé mais próximo.
- Responda
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52,0 cm
Outra aplicação de raízes quadradas tem a ver com a gravidade.
Na Terra, se um objeto cair de uma altura de hh pés, o tempo em segundos necessário para chegar ao solo é encontrado usando a fórmula,
\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\)
Por exemplo, se um objeto cair de uma altura de 64 pés, podemos encontrar o tempo necessário para chegar ao solo substituindo h=64 na fórmula.
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| Pegue a raiz quadrada de 64. |  |
| Simplifique a fração. |  |
Levaria 2 segundos para que um objeto caído de uma altura de 64 pés alcançasse o solo.
Christy deixou cair os óculos de sol de uma ponte de 400 pés acima de um rio. Use a fórmula\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) para descobrir quantos segundos foram necessários para os óculos de sol chegarem ao rio.
- Responda
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Etapa 1. Leia o problema. Etapa 2. Identifique o que você está procurando. O tempo necessário para os óculos de sol chegarem
ao rio.Etapa 3. Nomeie o que você está procurando
escolhendo uma variável para representá-la.Deixe t = tempo. Etapa 4. Traduza em uma equação escrevendo a fórmula ou modelo
apropriado para a situação.
Substitua as informações fornecidas.
Etapa 5. Resolva a equação usando boas
técnicas de álgebra.
Etapa 6. Verifique a resposta do problema e
verifique se faz sentido.
5=5 ✓5 segundos parecem razoáveis?
Sim.Etapa 7. Responda à pergunta com uma
frase completa.Serão necessários 5 segundos para que os óculos de sol caiam
na água.
Um helicóptero lançou um pacote de resgate de uma altura de 1.296 pés. Use a fórmula\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) para descobrir quantos segundos o pacote levou para chegar ao solo.
- Responda
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9 segundos
Um lavador de janelas derrubou um rodo de uma plataforma a 196 pés acima da calçada. Use\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\) a fórmula para descobrir quantos segundos o rodo levou para chegar à calçada.
- Responda
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3,5 segundos
Policiais que investigam acidentes de carro medem o comprimento das marcas de derrapagem na calçada. Em seguida, eles usam raízes quadradas para determinar a velocidade, em milhas por hora, que um carro estava andando antes de acionar os freios.
Se o comprimento das marcas de derrapagem for d pés, a velocidade, s, do carro antes da aplicação dos freios pode ser encontrada usando a fórmula,
\(s=\sqrt{24d}\)
Depois de um acidente de carro, as marcas de derrapagem de um carro mediram 190 pés. Use a fórmula\(s=\sqrt{24d}\) para determinar a velocidade do carro antes que os freios sejam aplicados. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.
- Responda
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Etapa 1. Leia o problema. Etapa 2. Identifique o que estamos procurando. A velocidade de um carro. Etapa 3. Diga o que estamos procurando. Seja s = a velocidade. Etapa 4. Traduza em uma equação escrevendo a fórmula apropriada. 
Substitua as informações fornecidas. 
Etapa 5. Resolva a equação. 
Arredonde para 1 casa decimal. 
Etapa 6. Verifique a resposta no problema.
67,5 ≈? 24 (190) √
67,5≈? 4560√
67,5 ≈? 67.5277...67,5 mph é uma velocidade razoável? Sim. Etapa 7. Responda à pergunta com uma frase completa. A velocidade do carro era de aproximadamente 67,5 milhas por hora.
Um investigador de acidentes mediu as marcas de derrapagem do carro. O comprimento das marcas de derrapagem foi de 76 pés. Use a fórmula\(s=\sqrt{24d}\) para determinar a velocidade do carro antes que os freios sejam aplicados. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.
- Responda
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42,7 pés
As marcas de derrapagem de um veículo envolvido em um acidente tinham 122 pés de comprimento. Use a fórmula\(s=\sqrt{24d}\) para determinar a velocidade do veículo antes que os freios sejam aplicados. Arredonde sua resposta para o décimo mais próximo.
- Responda
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54,1 pés
Conceitos-chave
- Para resolver uma equação radical:
- Isole o radical em um lado da equação.
- Faça o quadrado dos dois lados da equação.
- Resolva a nova equação.
- Verifique a resposta. Algumas soluções obtidas podem não funcionar na equação original.
- Resolvendo aplicativos com fórmulas
- Leia o problema e certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas. Quando apropriado, desenhe uma figura e identifique-a com as informações fornecidas.
- Identifique o que estamos procurando.
- Nomeie o que estamos procurando escolhendo uma variável para representá-la.
- Traduza em uma equação escrevendo a fórmula ou modelo apropriado para a situação. Substitua as informações fornecidas.
- Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
- Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
- Responda à pergunta com uma frase completa.
- Área de um quadrado
- Objetos caindo
- Na Terra, se um objeto cair de uma altura de hh pés, o tempo em segundos necessário para chegar ao solo é encontrado usando a fórmula\(t=\frac{\sqrt{h}}{4}\).
- Marcas de derrapagem e velocidade de um carro
- Se o comprimento das marcas de derrapagem for d pés, a velocidade, s, do carro antes da aplicação dos freios pode ser encontrada usando a fórmula\(s=\sqrt{24d}\).
Glossário
- equação radical
- Uma equação na qual a variável está no radicando de uma raiz quadrada é chamada de equação radical