9.2: Simplifique as raízes quadradas
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Ao final desta seção, você poderá:
- Use a propriedade do produto para simplificar as raízes quadradas
- Use a propriedade do quociente para simplificar as raízes quadradas
Na última seção, estimamos a raiz quadrada de um número entre dois números inteiros consecutivos. Podemos dizer que\(\sqrt{50}\) está entre 7 e 8. Isso é bastante fácil de fazer quando os números são pequenos o suficiente para que possamos usar [link].
Mas e se quisermos estimar\(\sqrt{500}\)? Se simplificarmos primeiro a raiz quadrada, poderemos estimá-la facilmente. Também há outros motivos para simplificar as raízes quadradas, como você verá mais adiante neste capítulo.
Uma raiz quadrada é considerada simplificada se seu radicando não contiver fatores quadrados perfeitos.
\(\sqrt{a}\)é considerado simplificado se a não tiver fatores quadrados perfeitos.
Então,\(\sqrt{31}\) é simplificado. Mas não\(\sqrt{32}\) é simplificado, porque 16 é um fator quadrado perfeito de 32.
Use a propriedade do produto para simplificar as raízes quadradas
As propriedades que usaremos para simplificar expressões com raízes quadradas são semelhantes às propriedades dos expoentes. Nós sabemos disso\((ab)^m=a^{m}b^{m}\). A propriedade correspondente das raízes quadradas diz isso\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Se a, b são números reais não negativos, então\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\).
Usamos a propriedade do produto de raízes quadradas para remover todos os fatores quadrados perfeitos de um radical. Mostraremos como fazer isso no Example.
Como usar a propriedade do produto para simplificar uma raiz quadrada
Simplifique:\(\sqrt{50}\).
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-
Simplifique:\(\sqrt{48}\).
- Responda
-
\(4\sqrt{3}\)
Simplifique:\(\sqrt{45}\).
- Responda
-
\(3\sqrt{5}\)
Observe no exemplo anterior que a forma simplificada de\(\sqrt{50}\) is \(5\sqrt{2}\), which is the product of an integer and a square root. We always write the integer in front of the square root.
- Encontre o maior fator quadrado perfeito do radicando. Reescreva o radicando como um produto usando o fator quadrado perfeito.
- Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
- Simplifique a raiz quadrada do quadrado perfeito.
Simplifique:\(\sqrt{500}\).
- Responda
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{500}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{100·5}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{100}·\sqrt{5}}\\ {\text{Simplify}}&{10\sqrt{5}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{288}\).
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-
\(12\sqrt{2}\)
Simplifique:\(\sqrt{432}\).
- Responda
-
\(12\sqrt{3}\)
Poderíamos usar o formulário simplificado\(10\sqrt{5}\) para estimar\(\sqrt{500}\). Sabemos que\(\sqrt{5}\) está entre 2 e 3, e\(\sqrt{500}\) é\(10\sqrt{5}\). Então,\(\sqrt{500}\) está entre 20 e 30.
O exemplo a seguir é muito parecido com os exemplos anteriores, mas com variáveis.
Simplifique:\(\sqrt{x^3}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{x^3}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor}}&{\sqrt{x^2·x}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals}}&{\sqrt{x^2}·\sqrt{x}}\\ {\text{Simplify}}&{x\sqrt{x}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{b^5}\).
- Resposta
-
\(b^2\sqrt{b}\)
Simplifique:\(\sqrt{p^9}\).
- Resposta
-
\(p^4\sqrt{p}\)
Também seguimos o mesmo procedimento quando há um coeficiente no radical.
Simplifique:\(\sqrt{25y^5}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{25y^5}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{25y^4·y}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{25y^4}·\sqrt{y}}\\ {\text{Simplify.}}&{5y^2\sqrt{y}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{16x^7}\).
- Resposta
-
\(4x^3\sqrt{x}\)
Simplifique:\(\sqrt{49v^9}\).
- Resposta
-
\(7v^4\sqrt{v}\)
No próximo exemplo, tanto a constante quanto a variável têm fatores quadrados perfeitos.
Simplifique:\(\sqrt{72n^7}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{72n^7}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{36n^{6}·2n}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{36n^{6}}·\sqrt{2n}}\\ {\text{Simplify.}}&{6n^3\sqrt{2n}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{32y^5}\).
- Resposta
-
\(4y^2\sqrt{2y}\)
Simplifique:\(\sqrt{75a^9}\).
- Resposta
-
\(5a^4\sqrt{3a}\)
Simplifique:\(\sqrt{63u^{3}v^{5}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{63u^{3}v^{5}}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}·7uv}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\sqrt{9u^{2}v^{4}}·\sqrt{7uv}}\\ {\text{Simplify.}}&{3uv^{2}\sqrt{7uv}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{98a^{7}b^{5}}\).
- Resposta
-
\(7a^{3}b^{2}\sqrt{2ab}\)
Simplifique:\(\sqrt{180m^{9}n^{11}}\).
- Resposta
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\(6m^{4}n^{5}\sqrt{5mn}\)
Vimos como usar a Ordem das Operações para simplificar algumas expressões com radicais. Para simplificar\(\sqrt{25}+\sqrt{144}\) we must simplify each square root separately first, then add to get the sum of 17.
A expressão\(\sqrt{17}+\sqrt{7}\) não pode ser simplificada — para começar, precisaríamos simplificar cada raiz quadrada, mas nem 17 nem 7 contêm um fator quadrado perfeito.
No próximo exemplo, temos a soma de um inteiro e uma raiz quadrada. Simplificamos a raiz quadrada, mas não podemos adicionar a expressão resultante ao número inteiro.
Simplifique:\(3+\sqrt{32}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{3+\sqrt{32}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using the largest perfect square factor.}}&{3+\sqrt{16·2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{3+\sqrt{16}·\sqrt{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{3+4\sqrt{2}}\\ \end{array}\]
Os termos não são iguais e, portanto, não podemos adicioná-los. Tentar adicionar um inteiro e um radical é como tentar adicionar um inteiro e uma variável — eles não são como termos!
Simplifique:\(5+\sqrt{75}\).
- Resposta
-
\(5+5\sqrt{3}\)
Simplifique:\(2+\sqrt{98}\).
- Resposta
-
\(2+7\sqrt{2}\)
O próximo exemplo inclui uma fração com um radical no numerador. Lembre-se de que, para simplificar uma fração, você precisa de um fator comum no numerador e no denominador.
Simplifique:\(\frac{4−\sqrt{48}}{2}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\frac{4−\sqrt{48}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radicand as a product using thelargest perfect square factor.}}&{\frac{4−\sqrt{16·3}}{2}}\\ {\text{Rewrite the radical as the product of two radicals.}}&{\frac{4−\sqrt{16}·\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{4−4\sqrt{3}}{2}}\\ {\text{Factor the common factor from thenumerator.}}&{\frac{4(1−\sqrt{3})}{2}}\\ {\text{Remove the common factor, 2, from thenumerator and denominator.}}&{2(1−\sqrt{3})}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\frac{10−\sqrt{75}}{5}\).
- Resposta
-
\(2−\sqrt{3}\)
Simplifique:\(\frac{6−\sqrt{45}}{3}\).
- Resposta
-
\(2−\sqrt{5}\)
Use a propriedade quociente para simplificar as raízes quadradas
Sempre que você precisar simplificar uma raiz quadrada, o primeiro passo é determinar se o radicando é um quadrado perfeito. Uma fração quadrada perfeita é uma fração na qual tanto o numerador quanto o denominador são quadrados perfeitos.
Simplifique:\(\sqrt{\frac{9}{64}}\).
- Resposta
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\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{9}{64}}}\\ {\text{Since} (\frac{3}{8})^2}&{\frac{3}{8}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{25}{16}}\).
- Resposta
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{49}{81}}\).
- Resposta
-
\(\frac{7}{9}\)
Se o numerador e o denominador tiverem algum fator comum, remova-os. Você pode encontrar uma fração quadrada perfeita!
Simplifique:\(\sqrt{\frac{45}{80}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45}{80}}}\\ {\text{Simplify inside the radical first. Rewrite showing the common factors of the numerator and denominator.}}&{\sqrt{\frac{5·9}{5·16}}}\\ {\text{Simplify the fraction by removing common factors.}}&{\sqrt{\frac{9}{16}}}\\ {\text{Simplify.} (\frac{3}{4})^2 =\frac{9}{16}}&{\frac{3}{4}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{75}{48}}\).
- Resposta
-
\(\frac{5}{4}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{98}{162}}\).
- Resposta
-
\(\frac{7}{9}\)
No último exemplo, nosso primeiro passo foi simplificar a fração sob o radical, removendo fatores comuns. No próximo exemplo, usaremos a propriedade do quociente para simplificar sob o radical. Dividimos as bases semelhantes subtraindo seus expoentes,\(\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}\),\(a \ne 0\).
Simplifique:\(\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{m^6}{m^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first}}&{}\\ {}&{\sqrt{m^2}}\\ {\text{Divide the like bases by subtracting the exponents.}}&{}\\ {\text{Simplify.}}&{m}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{a^8}{a^6}}\).
- Resposta
-
uma
Simplifique:\(\sqrt{\frac{x^{14}}{x^{10}}}\).
- Resposta
-
\(x^2\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{48p^7}{3p^3}}}\\ {\text{Simplify the fraction inside the radical first.}}&{\sqrt{16p^4}}\\ {\text{Simplify.}}&{4p^2}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{75x^5}{3x}}\).
- Resposta
-
\(5x^2\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{72z^{12}}{2z^{10}}}\).
- Resposta
-
6z
Lembra do quociente de uma propriedade de poder? Dizia que poderíamos elevar uma fração a uma potência elevando o numerador e o denominador à potência separadamente.
\((\frac{a}{b})^m=\frac{a^{m}}{b^{m}}\),\( b \ne 0\)
Podemos usar uma propriedade similar para simplificar a raiz quadrada de uma fração. Depois de remover todos os fatores comuns do numerador e do denominador, se a fração não for um quadrado perfeito, simplificamos o numerador e o denominador separadamente.
Se a, b são números reais não negativos e\(b \ne 0\), então
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{21}{64}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{21}{64}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{64}}}\\ {\text{Simplify the square root of 64. The numerator cannot be simplified.}}&{\frac{\sqrt{21}}{8}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{19}{49}}\).
- Resposta
-
\(\frac{\sqrt{19}}{7}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{28}{81}}\)
- Resposta
-
\(\frac{2\sqrt{7}}{9}\)
Como usar a propriedade quociente para simplificar uma raiz quadrada
Simplifique:\(\sqrt{\frac{27m^3}{196}}\).
- Resposta
-
Simplifique:\(\sqrt{\frac{24p^3}{49}}\)
- Resposta
-
\(\frac{2p\sqrt{6p}}{7}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{48x^5}{100}}\)
- Resposta
-
\(\frac{2x^2\sqrt{3x}}{5}\)
- Simplifique a fração no radicando, se possível.
- Use a propriedade do quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
- Simplifique os radicais no numerador e no denominador.
Simplifique:\(\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{45x^5}{y^4}}}\\ {\text{We cannot simplify the fraction inside the radical. Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{45x^5}}{\sqrt{y^4}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9x^4}\sqrt{5x}}{y^2}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3x^2\sqrt{5x}}{y^2}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{80m^3}{n^6}}\)
- Resposta
-
\(\frac{4m\sqrt{5m}}{n^3}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{54u^7}{v^8}}\).
- Resposta
-
\(\frac{3u^3\sqrt{6u}}{v^4}\)
Certifique-se de simplificar primeiro a fração no radicand, se possível.
Simplifique:\(\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{81d^9}{25d^4}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{81d^5}{25}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{81d^5}}{\sqrt{25}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{81d^4}\sqrt{d}}{5}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{9d^2\sqrt{d}}{5}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{64x^7}{9x^3}}\).
- Resposta
-
\(\frac{8x^2}{3}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{16a^9}{100a^5}}\).
- Resposta
-
\(\frac{2a^2}{5}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}\).
- Resposta
-
\[\begin{array}{ll} {}&{\sqrt{\frac{18p^5q^7}{32pq^2}}}\\ {\text{Simplify the fraction in the radicand.}}&{\sqrt{\frac{9p^4q^5}{16}}}\\ {\text{Rewrite using the quotient property.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^5}}{\sqrt{16}}}\\ {\text{Simplify the radicals in the numerator and the denominator.}}&{\frac{\sqrt{9p^4q^4}\sqrt{q}}{4}}\\ {\text{Simplify.}}&{\frac{3p^2q^2\sqrt{q}}{4}}\\ \end{array}\]
Simplifique:\(\sqrt{\frac{50x^5y^3}{72x^4y}}\).
- Resposta
-
\(\frac{5y\sqrt{x}}{6}\)
Simplifique:\(\sqrt{\frac{48m^7n^2}{125m^5n^9}}\).
- Resposta
-
\(\frac{4m\sqrt{3}}{5n^3\sqrt{5n}}\)
Conceitos-chave
- A raiz quadrada simplificada\(\sqrt{a}\) é considerada simplificada se a não tiver fatores de quadrado perfeito.
- Propriedade do produto de raízes quadradas Se a, b são números reais não negativos, então
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}·\sqrt{b}\)
- Simplifique uma raiz quadrada usando a propriedade do produto Para simplificar uma raiz quadrada usando a propriedade do produto:
- Encontre o maior fator quadrado perfeito do radicando. Reescreva o radicand como um produto usando o fator quadrado perfeito.
- Use a regra do produto para reescrever o radical como o produto de dois radicais.
- Simplifique a raiz quadrada do quadrado perfeito.
- Propriedade quociente de raízes quadradas Se a, b são números reais não negativos e\(b \ne 0\), então
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
- Simplifique uma raiz quadrada usando a propriedade quociente Para simplificar uma raiz quadrada usando a propriedade quociente:
- Simplifique a fração no radicando, se possível.
- Use a Regra do Quociente para reescrever o radical como o quociente de dois radicais.
- Simplifique os radicais no numerador e no denominador.