7.1: Maior fator comum e fator por agrupamento
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Ao final desta seção, você poderá:
- Encontre o maior fator comum de duas ou mais expressões
- Fator o maior fator comum de um polinômio
- Fatorar por agrupamento
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
- Fator 56 em números primos.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.2.19. - Encontre o múltiplo menos comum de 18 e 24.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.2.28. - Simplifique\(−3(6a+11)\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.10.40.
Encontre o maior fator comum de duas ou mais expressões
Anteriormente, multiplicamos os fatores para obter um produto. Agora, vamos reverter esse processo; começaremos com um produto e depois o dividiremos em seus fatores. Dividir um produto em fatores é chamado de fatoração.
Aprendemos como fatorar números para encontrar o mínimo múltiplo comum (LCM) de dois ou mais números. Agora vamos fatorar expressões e encontrar o maior fator comum de duas ou mais expressões. O método que usamos é semelhante ao que usamos para encontrar o LCM.
O maior fator comum (GCF) de duas ou mais expressões é a maior expressão que é um fator de todas as expressões.
Primeiro, encontraremos o GCF de dois números.
Encontre o GCF de 54 e 36.
- Responda
-
Observe que, como o GCF é um fator de ambos os números, 54 e 36 podem ser escritos como múltiplos de 18.
\[\begin{array}{l}{54=18 \cdot 3} \\ {36=18 \cdot 2}\end{array}\]
Encontre o GCF de 48 e 80.
- Resposta
-
16
Encontre o GCF de 18 e 40.
- Resposta
-
2
Resumimos as etapas que usamos para encontrar o GCF abaixo.
Encontre o maior fator comum (GCF) de duas expressões.
- Etapa 1. Fatore cada coeficiente em números primos. Escreva todas as variáveis com expoentes na forma expandida.
- Etapa 2. Liste todos os fatores, correspondendo aos fatores comuns em uma coluna. Em cada coluna, circule os fatores comuns.
- Etapa 3. Reduza os fatores comuns que todas as expressões compartilham.
- Etapa 4. Multiplique os fatores.
No primeiro exemplo, o GCF era uma constante. Nos próximos dois exemplos, obteremos variáveis no maior fator comum.
Encontre o maior fator comum de\(27x^3\)\(18x^4\) e.
- Resposta
-
Fatore cada coeficiente em números primos e escreva as variáveis com expoentes na forma expandida. Circule os fatores comuns em cada coluna. Reduza os fatores comuns. Multiplique os fatores. O GCF de 27\(x^{3}\) e
18\(x^{4}\) é 9\(x^{3}\).
Encontre o GCF:\(12 x^{2}, 18 x^{3}\)
- Resposta
-
\(6x^2\)
Encontre o GCF:\(16 y^{2}, 24 y^{3}\)
- Resposta
-
\(8y^2\)
Encontre o GCF de\(4 x^{2} y, 6 x y^{3}\)
- Resposta
-
Fatore cada coeficiente em números primos e escreva as variáveis com expoentes na forma expandida. Circule os fatores comuns em cada coluna. Reduza os fatores comuns. Multiplique os fatores. O GCF de 4\(x^{2} y\) e
6\(x y^{3}\) é 2\(x y .\)
Encontre o GCF:\(6 a b^{4}, 8 a^{2} b\)
- Resposta
-
\(2ab\)
Encontre o GCF:\(9 m^{5} n^{2}, 12 m^{3} n\)
- Resposta
-
\(3m^3 n\)
Encontre o GCF de:\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\)
- Resposta
-
Fatore cada coeficiente em números primos e escreva as variáveis com expoentes na forma expandida. Circule os fatores comuns em cada coluna. Reduza os fatores comuns. Multiplique os fatores. O GCF de\(21 x^{3}, 9 x^{2}\)
e 15\(x\) é 3\(x\)
Encontre o maior fator comum:\(25 m^{4}, 35 m^{3}, 20 m^{2}\)
- Resposta
-
\(5m^2\)
Encontre o maior fator comum:\(14 x^{3}, 70 x^{2}, 105 x\)
- Resposta
-
\(7x\)
Fator o maior fator comum de um polinômio
Assim como na aritmética, onde às vezes é útil representar um número na forma fatorada (por exemplo, 12 como 2,6 ou 3,4), em álgebra, pode ser útil representar um polinômio na forma fatorada. Uma maneira de fazer isso é encontrar o GCF de todos os termos. Lembre-se de que multiplicamos um polinômio por um monômio da seguinte forma:
\[\begin{array}{cc}{2(x+7)} & {\text { factors }} \\ {2 \cdot x+2 \cdot 7} & { } \\ {2 x+14} & {\text { product }}\end{array}\]
Agora vamos começar com um produto, como\(2 x+14\), e terminar com seus fatores, 2\((x+7)\). Para fazer isso, aplicamos a propriedade distributiva “ao contrário”.
Declaramos a Propriedade Distributiva aqui exatamente como você a viu nos capítulos anteriores e “ao contrário”.
Se\(a,b,c\) forem números reais, então
\[a(b+c)=a b+a c \quad\text{ and }\quad a b+a c=a(b+c)\]
O formulário à esquerda é usado para multiplicar. O formulário à direita é usado para fatorar.
Então, como você usa a propriedade distributiva para fatorar um polinômio? Basta encontrar o GCF de todos os termos e escrever o polinômio como um produto!
Fator:\(4 x+12\)
- Resposta
-
Fator:\(6 a+24\)
- Resposta
-
\(6(a+4)\)
Fator:\(2 b+14\)
- Resposta
-
\(2(b+7)\)
Fator o maior fator comum de um polinômio.
Etapa 1. Encontre o GCF de todos os termos do polinômio.
Etapa 2. Reescreva cada termo como um produto usando o GCF.
Etapa 3. Use a propriedade distributiva “reversa” para fatorar a expressão.
Etapa 4. Verifique multiplicando os fatores.
Usamos “fator” como substantivo e verbo.
Fator:\(5 a+5\)
- Resposta
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Encontre o GCF de 5 a e 5. Reescreva cada termo como um produto usando o GCF. Use a propriedade distributiva “ao contrário” para fatorar o GCF. Verifique multiplicando os fatores para obter o polinômio original. 5\((a+1)\) \(5 \cdot a+5 \cdot 1\) \(5 a+5 \checkmark\)
Fator:\(14 x+14\)
- Resposta
-
\(14(x+1)\)
Fator:\(12 p+12\)
- Resposta
-
\(12(p+1)\)
As expressões no próximo exemplo têm vários fatores em comum. Lembre-se de escrever o GCF como o produto de todos os fatores comuns.
Fator:\(12 x-60\)
- Resposta
-
Encontre o GCF de 12 x e 60. Reescreva cada termo como um produto usando o GCF. Considere o GCF. Verifique multiplicando os fatores. 12 (x−5) \(12 \cdot x-12 \cdot 5\) \(12 x-60 \checkmark\)
Fator:\(18 u-36\)
- Resposta
-
\(8(u-2)\)
Fator:\(30 y-60\)
- Resposta
-
\(30(y-2)\)
Agora vamos considerar o maior fator comum a partir de um trinômio. Começamos encontrando o GCF de todos os três termos.
Fator:\(4 y^{2}+24 y+28\)
- Resposta
-
Começamos encontrando o GCF de todos os três termos.
Encontre o GCF de\(4 y^{2}, 24 y\) e 28 Reescreva cada termo como um produto usando o GCF. Considere o GCF. Verifique multiplicando. 4\(\left(y^{2}+6 y+7\right)\) \(4 \cdot y^{2}+4 \cdot 6 y+4 \cdot 7\) \(4 y^{2}+24 y+28 \checkmark\)
Fator:\(5 x^{2}-25 x+15\)
- Resposta
-
\(5\left(x^{2}-5 x+3\right)\)
Fator:\(3 y^{2}-12 y+27\)
- Resposta
-
\(3\left(y^{2}-4 y+9\right)\)
Fator:\(5 x^{3}-25 x^{2}\)
- Resposta
-
Encontre o GCF de 5\(x^{3}\) e 25\(x^{2}\) Reescreva cada termo. Considere o GCF. Verifique. 5\(x^{2}(x-5)\) \(5 x^{2} \cdot x-5 x^{2} \cdot 5\) \(5 x^{3}-25 x^{2}\checkmark\)
Fator:\(2 x^{3}+12 x^{2}\)
- Resposta
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\(2x^2(x+6)\)
Fator:\(6 y^{3}-15 y^{2}\)
- Resposta
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\(3y^2(2y-5)\)
Fator:\(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\)
- Resposta
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Em um exemplo anterior, descobrimos que o GCF\(21 x^{3}, 9 x^{2}, 15 x\) de é 3\(x\).
Reescreva cada termo usando o GCF, 3 x. Considere o GCF. Verifique. 3\(x\left(7 x^{2}-3 x+5\right)\) \(3 x \cdot 7 x^{2}-3 x \cdot 3 x+3 x \cdot 5\) \(21 x^{3}-9 x^{2}+15 x\checkmark\)
Fator:\(20 x^{3}-10 x^{2}+14 x\)
- Resposta
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\(2x(10x^2-5x+7)\)
Fator:\(24 y^{3}-12 y^{2}-20 y\)
- Resposta
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\(4y(6y^2-3y-5)\)
Fator:\(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\)
- Resposta
-
Encontre o GCF de\(8 m^{3}, 12 m^{2} n, 20 m n^{2}\) Reescreva cada termo. Considere o GCF. Verifique. 4\(m\left(2 m^{2}-3 m n+5 n^{2}\right)\) \(4 m \cdot 2 m^{2}-4 m \cdot 3 m n+4 m \cdot 5 n^{2}\) \(8 m^{3}-12 m^{2} n+20 m n^{2}\checkmark\)
Fator:\(9 x y^{2}+6 x^{2} y^{2}+21 y^{3}\)
- Resposta
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\(3y^2(3x+2x^2+7y)\)
Fator:\(3 p^{3}-6 p^{2} q+9 p q^{3}\)
- Resposta
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\(3p(p^2-2pq+3q^2\)
Quando o coeficiente principal é negativo, consideramos o negativo como parte do GCF.
Fator:\(-8 y-24\)
- Resposta
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Quando o coeficiente inicial for negativo, o GCF será negativo.
Ignorando os sinais dos termos, primeiro descobrimos que o GCF de 8 y e 24 é 8. Como a expressão −8 y − 24 tem um coeficiente inicial negativo, usamos −8 como o GCF. Reescreva cada termo usando o GCF.
Considere o GCF. Verifique. \(-8(y+3)\) \(-8 \cdot y+(-8) \cdot 3\) \(-8 y-24 \checkmark\)
Fator:\(-16 z-64\)
- Resposta
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\(-16(z+4)\)
Fator:\(-9 y-27\)
- Resposta
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\(-9(y+3)\)
Fator:\(-6 a^{2}+36 a\)
- Resposta
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O coeficiente principal é negativo, então o GCF será negativo.?
Como o coeficiente principal é negativo, o GCF é negativo, −6 a.
Reescreva cada termo usando o GCF. Considere o GCF. Verifique. \(-6 a(a-6)\) \(-6 a \cdot a+(-6 a)(-6)\) \(-6 a^{2}+36 a v\)
Fator:\(-4 b^{2}+16 b\)
- Resposta
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\(-4b(b-4)\)
Fator:\(-7 a^{2}+21 a\)
- Resposta
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\(-7a(a-3)\)
Fator:\(5 q(q+7)-6(q+7)\)
- Resposta
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O GCF é o binômio q+7.
Considere o GCF, (q + 7). Verifique por conta própria multiplicando.
Fator:\(4 m(m+3)-7(m+3)\)
- Resposta
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\( (m+3)(4m-7) \)
Fator:\(8 n(n-4)+5(n-4)\)
- Resposta
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\( (n-4)(8n+5) \)
Fator por agrupamento
Quando não há um fator comum de todos os termos de um polinômio, procure um fator comum em apenas alguns dos termos. Quando há quatro termos, uma boa maneira de começar é separando o polinômio em duas partes com dois termos em cada parte. Em seguida, procure o GCF em cada parte. Se o polinômio puder ser fatorado, você verá que um fator comum emerge de ambas as partes.
(Nem todos os polinômios podem ser fatorados. Assim como alguns números são primos, alguns polinômios são primos.)
Fator:\(x y+3 y+2 x+6\)
- Resposta
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Fator:\(x y+8 y+3 x+24\)
- Resposta
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\( (x+8)(y+3) \)
Fator:\(a b+7 b+8 a+56\)
- Resposta
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\( (a+7)(b+8) \)
Fator por agrupamento.
Etapa 1. Agrupe termos com fatores comuns.
Etapa 2. Considere o fator comum em cada grupo.
Etapa 3. Considere o fator comum da expressão.
Etapa 4. Verifique multiplicando os fatores.
Fator:\(x^{2}+3 x-2 x-6\)
- Resposta
-
\(\begin{array}{ll}{\text { There is no GCF in all four terms. }} & x^{2}+3 x-2 x-6\\ {\text { Separate into two parts. }} & \underbrace{x^{2}+3 x}\underbrace{-2 x-6} \\ \\ {\text { Factor the GCF from both parts. Be careful }} \\ {\text { with the signs when factoring the GCF from }}& \begin{array}{c}{x(x+3)-2(x+3)} \\ {(x+3)(x-2)}\end{array} \\ {\text { the last two terms. }} \\ \\ \text { Check on your own by multinlying. }\end{array}\)
Fator:\(x^{2}+2 x-5 x-10\)
- Resposta
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\( (x-5)(x+2) \)
Fator:\(y^{2}+4 y-7 y-28\)
- Resposta
-
\( (y+4)(y-7) \)
Acesse esses recursos on-line para obter instruções e práticas adicionais com os maiores fatores comuns (GFCs) e fatoração por agrupamento.
- Maior fator comum (GCF)
- Considerando o GCF de um binômio
- Maior fator comum (GCF) de polinômios
Glossário
- fatorar
- Fatorar é dividir um produto em fatores; em outras palavras, é o processo inverso de multiplicação.
- maior fator comum
- O maior fator comum é a maior expressão que é um fator de duas ou mais expressões é o maior fator comum (GCF).