2.1: Resolva equações usando as propriedades de subtração e adição da igualdade
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Ao final desta seção, você poderá:
- Verificar a solução de uma equação
- Resolva equações usando as propriedades de subtração e adição da igualdade
- Resolva equações que exigem simplificação
- Traduza para uma equação e resolva
- Traduza e resolva aplicativos
Antes de começar, faça este teste de prontidão.
- Avalie\(x+4\) quando\(x=−3\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.5.25. - Avalie\(15−y\) quando\(y=−5\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.5.31. - Simplifique\(4(4n+1)−15n\).
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.10.49. - Traduza para álgebra “5 é menor que x”.
Se você perdeu esse problema, revise o Exercício 1.3.43.
Verificar a solução de uma equação
Resolver uma equação é como descobrir a resposta para um quebra-cabeça. O propósito de resolver uma equação é encontrar o valor ou valores da variável que tornam cada lado da equação o mesmo — para que acabemos com uma afirmação verdadeira. Qualquer valor da variável que torna a equação verdadeira é chamado de solução para a equação. É a resposta para o quebra-cabeça!
A solução de uma equação é o valor de uma variável que faz uma afirmação verdadeira quando substituída pela equação.
- Substitua o número pela variável na equação.
- Simplifique as expressões nos dois lados da equação.
- Determine se a equação resultante é verdadeira (o lado esquerdo é igual ao lado direito)
- Se for verdade, o número é uma solução.
- Se não for verdade, o número não é uma solução.
Determine se\(x = \frac{3}{2}\) é uma solução de\(4x−2=2x+1\).
- Responda
-
Como uma solução para uma equação é um valor da variável que torna a equação verdadeira, comece substituindo o valor da solução pela variável.
\(4 x-2=2 x+1\) 
\(4\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)-2 \stackrel{?}{=} 2\left(\color{red}\frac{3}{2}\color{black}\right)+1\) Multiplique. \(6-2 \stackrel{?}{=} 3+1\) Subtrair. \(4=4 \checkmark \) Como\(x = \frac{3}{2}\) resulta em uma equação verdadeira (4 é de fato igual a 4),\(\frac{3}{2}\) é uma solução para a equação\(4x−2=2x+1\).
É\(y = \frac{4}{3}\) uma solução de\(9y+2=6y+3\)?
- Responda
-
não
É\(y = \frac{7}{5}\) uma solução de\(5y+3=10y-4\)?
- Responda
-
sim
Resolva equações usando as propriedades de subtração e adição da igualdade
Vamos usar um modelo para esclarecer o processo de resolução de uma equação. Um envelope representa a variável — já que seu conteúdo é desconhecido — e cada contador representa uma. Vamos colocar um envelope e alguns contadores em nosso espaço de trabalho, conforme mostrado na Figura\(\PageIndex{1}\). Os dois lados do espaço de trabalho têm o mesmo número de contadores, mas alguns estão “ocultos” no envelope. Você pode dizer quantos contadores estão no envelope?
O que você está pensando? Que medidas você está tomando em mente para descobrir quantos contadores estão no envelope?
Talvez você esteja pensando: “Preciso remover os 3 contadores no canto inferior esquerdo para pegar o envelope sozinho. Os 3 contadores à esquerda podem ser combinados com 3 à direita e, portanto, posso tirá-los dos dois lados. Isso deixa cinco à direita — então deve haver 5 contadores no envelope.” Consulte a Figura\(\PageIndex{2}\) para obter uma ilustração desse processo.
Qual equação algébrica corresponderia a essa situação? Na Figura,\(\PageIndex{3}\) cada lado da área de trabalho representa uma expressão e a linha central toma o lugar do sinal de igual. Chamaremos o conteúdo do envelope x.
Vamos escrever algebricamente os passos que tomamos para descobrir quantos contadores estavam no envelope:
 |
|
| Primeiro, tiramos três de cada lado. |  |
| Então ficamos com cinco. |  |
Confira:
Cinco no envelope mais três equivalem a oito!
\[5+3=8\]
Nosso modelo nos deu uma ideia do que precisamos fazer para resolver um tipo de equação. O objetivo é isolar a variável sozinha em um lado da equação. Para resolver equações como essas matematicamente, usamos a Propriedade de Subtração da Igualdade.
Para qualquer número a, b e c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a - c = b - c} \end{array}\]
Quando você subtrai a mesma quantidade dos dois lados de uma equação, você ainda tem igualdade.
Fazer a atividade de Matemática Manipulativa “Propriedade de Subtração da Igualdade” ajudará você a desenvolver uma melhor compreensão de como resolver equações usando a Propriedade de Subtração da Igualdade.
Vamos ver como usar essa propriedade para resolver uma equação. Lembre-se de que o objetivo é isolar a variável em um lado da equação. E verificamos nossas soluções substituindo o valor na equação para garantir que tenhamos uma afirmação verdadeira.
Resolver:\(y+37=−13\).
- Responda
-
Para obter y por si só, desfaremos a adição de 37 usando a Propriedade de Subtração da Igualdade.
Subtraia 37 de cada lado para “desfazer” a adição. 
Simplifique. 
Confira: 
Substituto\(y=−50\) 
Como y=−50 faz de y+37=−13 uma afirmação verdadeira, temos a solução para essa equação.
Resolver:\(x+19=−27\).
- Responda
-
\(x=−46\)
Resolver:\(x+16=−34\).
- Responda
-
\(x=−50\)
O que acontece quando uma equação tem um número subtraído da variável, como na equação\(x−5=8\)? Usamos outra propriedade das equações para resolver equações em que um número é subtraído da variável. Queremos isolar a variável, então, para 'desfazer' a subtração, adicionaremos o número aos dois lados. Usamos a Propriedade de Adição da Igualdade.
Para qualquer número a, b e c,
\[\begin{array} {ll} {\text{If}} &{a = b} \\ {\text{then}} &{a + c = b + c} \end{array}\]
Quando você adiciona a mesma quantidade dos dois lados de uma equação, você ainda tem igualdade.
No Exercício\(\PageIndex{4}\), 37 foi adicionado ao y e, portanto, subtraímos 37 para 'desfazer' a adição. No Exercício\(\PageIndex{7}\), precisaremos 'desfazer' a subtração usando a Propriedade de Adição de Igualdade.
Resolver:\(a−28=−37\).
- Responda
-
Adicione 28 em cada lado para “desfazer” a subtração. 
Simplifique. 
Confira: 
Substituto\(a=−9\) 
A solução para\(a−28=−37\) é\(a=−9\).
Resolver:\(n−61=−75\).
- Responda
-
\(n=−14\)
Resolver:\(p−41=−73\).
- Responda
-
\(p=−32\)
Resolver:\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\)
- Responda
-
Use a propriedade de adição da igualdade. 
Encontre o LCD para adicionar as frações à direita. \(x-\frac{5}{8}+\frac{5}{8}=\frac{6}{8}+\frac{5}{8}\) Simplifique. \(x=\frac{11}{8}\) Confira: 
Substituto\(x= \frac{11}{8}\) 
Subtrair. 
Simplifique. 
A solução para\(x - \frac{5}{8} = \frac{3}{4}\) é\(x= \frac{11}{8}\).
Resolver:\(p−\frac{2}{3}=\frac{5}{6}\).
- Responda
-
\(p = \frac{9}{6} p =\frac{3}{2}\)
Resolver:\(q−\frac{1}{2}=\frac{5}{6}\).
- Responda
-
\(q =\frac{4}{3}\)
O próximo exemplo será uma equação com decimais.
Resolver:\(n−0.63=−4.2\).
- Responda
-
\(n-0.63=-4.2\) Use a propriedade de adição da igualdade. 
Adicionar. \(n=-3.57\) Confira: \(n=-3.57\) Deixe\(n=−3.57\). 
Resolver:\(b−0.47=−2.1\).
- Responda
-
\(b=−1.63\)
Resolver:\(c−0.93=−4.6\).
- Responda
-
\(c=−3.67\)
Resolva equações que exigem simplificação
Nos exemplos anteriores, conseguimos isolar a variável com apenas uma operação. A maioria das equações que encontramos na álgebra exigirá mais etapas para serem resolvidas. Normalmente, precisaremos simplificar um ou ambos os lados de uma equação antes de usar as propriedades de igualdade de subtração ou adição.
Você deve sempre simplificar o máximo possível antes de tentar isolar a variável. Lembre-se de que simplificar uma expressão significa realizar todas as operações na expressão. Simplifique um lado da equação por vez. Observe que a simplificação é diferente do processo usado para resolver uma equação na qual aplicamos uma operação em ambos os lados.
Resolver:\(9x−5−8x−6=7\).
- Responda
-
Resolver:\(8y−4−7y−7=4\).
- Responda
-
\(y=15\)
Resolver:\(6z+5−5z−4=3\).
- Responda
-
\(z=2\)
Resolver: 5 (n−4) −4n=−8.
- Responda
-
Simplificamos os dois lados da equação o máximo possível antes de tentarmos isolar a variável.
\(5(n-4)-4 n=-8\)
Distribua à esquerda. \(5 n-20-4 n=-8\) Use a propriedade comutativa para reorganizar os termos. \(5 n-4 n-20=-8\) Combine termos semelhantes. \(n-20=-8\) Cada lado é o mais simplificado possível. Em seguida, isole n. Desfaça a subtração usando a Propriedade de Adição de Igualdade. \(n-20 \; \color{red}{+ 20} \;\color{black}{=-8}\; \color{red}{+20}\) Adicionar. \(n=12\) Verifique. Substitua n=12.
A solução para\(5(n−4)−4n=−8\) é\(n=12\).
Resolver:\(5(p−3)−4p=−10\).
- Responda
-
\(p=5\)
Resolver:\(4(q+2)−3q=−8\).
- Responda
-
\(q=−16\)
Resolver:\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\).
- Responda
-
Simplificamos os dois lados da equação antes de isolar a variável.
\(3(2 y-1)-5 y=2(y+1)-2(y+3)\) Distribua nos dois lados. \(6 y-3-5 y=2 y+2-2 y-6\) Use a propriedade comutativa da adição. \(6 y-5 y-3=2 y-2 y+2-6\) Combine termos semelhantes. \(y-3=-4\) Cada lado é o mais simplificado possível. Em seguida, isole y. Desfaça a subtração usando a Propriedade de Adição de Igualdade. \(y-3 \color{red} + 3 \color{black} = -4 \color{red} +3\) Adicionar. \(y=-1\) Verifique. Seja y=−1.
A solução para\(3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)3(2y−1)−5y=2(y+1)−2(y+3)\) é\(y=−1\).
Resolver:\(4(2h−3)−7h=6(h−2)−6(h−1)\).
- Responda
-
\(h = 6\)
Resolver:\(2(5x+2)−9x=3(x−2)−3(x−4)\).
- Responda
-
\(x=2\)
Traduza para uma equação e resolva
Para resolver aplicativos algebricamente, começaremos traduzindo frases em inglês para equações. Nosso primeiro passo é procurar a palavra (ou palavras) que se traduziria no sinal de igual. Aqui estão algumas das palavras mais usadas.
Igual a =
- é
- é igual a
- é o mesmo que
- o resultado é
- concede
- estava
- será
As etapas que usamos para traduzir uma frase em uma equação estão listadas abaixo.
- Localize a (s) palavra (s) “igual (s)”. Traduza para um sinal de igual (=).
- Traduza as palavras à esquerda da (s) palavra (s) “igual (s)” em uma expressão algébrica.
- Traduza as palavras à direita da (s) palavra (s) “igual (s)” em uma expressão algébrica.
Traduzir e resolver: Onze a mais de x é igual a 54.
- Responda
-
Traduzir. 
Subtraia 11 dos dois lados. 
Simplifique. 
Confira: 54 onze é mais do que 43?
\[\begin{array} {rrr} {43 + 11} &{\stackrel{?}{=}} &{54}\\ {54} &{=} &{54\checkmark} \end{array}\]
Traduzir e resolver: Dez a mais de x é igual a 41.
- Responda
-
\(x+10=41;x=31\)
Traduzir e resolver: Doze a menos de x é igual a 51.
- Responda
-
y−12=51; y=63
Traduzir e resolver: A diferença de 12t e 11t é −14.
- Responda
-
Traduzir. 
Simplifique. 
Confira:
\[\begin{array} {rrl} {12(-14) - 11(-14)} &{\stackrel{?}{=}} &{-14}\\{-168 + 154} &{\stackrel{?}{=}} &{-14} \\ {-14} &{=} &{-14\checkmark}\end{array}\]
Traduzir e resolver: a diferença de 4x e 3x é 14.
- Responda
-
\(4x−3x=14;x=14\)
Traduzir e resolver: A diferença de 7a e 6a é −8.
- Responda
-
\(7a−6a=−8;a=−8\)
Traduza e resolva aplicativos
Na maioria das vezes, uma pergunta que exige uma solução algébrica surge de uma pergunta da vida real. Para começar, essa pergunta é feita em inglês (ou no idioma da pessoa que está perguntando) e não em símbolos matemáticos. Por isso, é uma habilidade importante ser capaz de traduzir uma situação cotidiana em linguagem algébrica.
Começaremos reafirmando o problema em apenas uma frase, atribuiremos uma variável e depois traduziremos a frase em uma equação para resolver. Ao atribuir uma variável, escolha uma letra que o lembre do que você está procurando. Por exemplo, você poderia usar q para o número de trimestres se estivesse resolvendo um problema com moedas.
A família MacIntyre reciclou jornais por dois meses. Os dois meses de jornais pesaram um total de 57 libras. No segundo mês, os jornais pesavam 28 libras. Quanto pesaram os jornais no primeiro mês?
- Responda
-
Traduza em uma equação algébrica e resolva:
A família Pappas tem dois gatos, Zeus e Athena. Juntos, eles pesam 23 libras. Zeus pesa 16 libras. Quanto pesa Athena?
- Responda
-
7 libras
Traduza em uma equação algébrica e resolva:
Sam e Henry são colegas de quarto. Juntos, eles têm 68 livros. Sam tem 26 livros. Quantos livros Henry tem?
- Responda
-
42 livros
- Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
- Identifique o que estamos procurando.
- Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
- Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com as informações importantes.
- Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
- Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
- Responda à pergunta com uma frase completa.
Randell pagou $28.675 por seu carro novo. Isso foi $875 a menos do que o preço do adesivo. Qual foi o preço do adesivo do carro?
- Responda
-
\(\begin{array} {ll} {\textbf {Step 1. Read}\text{ the problem. }} &{}\\\\ {\textbf {Step 2. Identify}\text{ what we are looking for.}} &{\text{"What was the sticker price of the car?"}} \\\\ {\textbf{Step 3. Name}\text{ what we are looking for.}} &{} \\ {\text{Choose a variable to represent that quantity.}} &{\text{Let s = the sticker price of the car.}} \\\\{\textbf {Step 4. Translate}\text{ into an equation. Restate }} &{} \\ {\text{the problem in one sentence.}} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than the sticker price}} \\ \\ {} &{$\text{28675 is } $\text{875 less than s}}\\ {}&{28675 = s - 875} \\ {\textbf {Step 5. Solve}\text{ the equation. }} &{28675 + 875 = s - 875 + 875}\\ {} &{29550 = s} \\ \\ {\textbf {Step 6. Check}\text{ the answer. }} &{} \\ {\text{Is }$875\text{ less than }$29550\text{ equal to } $28675?} &{} \\ {29550 - 875 \stackrel{?}{=} 28675} &{} \\ {28675 = 28675\checkmark} &{} \\ \\ {\textbf {Step 7. Answer}\text{ the question with }} &{\text{The sticker price of the car was }$29550.} \\ {\text{a complete sentence.}} &{} \end{array}\)
Traduza em uma equação algébrica e resolva:
Eddie pagou $19875 por seu carro novo. Isso foi $1025 a menos do que o preço do adesivo. Qual foi o preço do adesivo do carro?
- Responda
-
$20.900
Traduza em uma equação algébrica e resolva:
O preço da entrada para os filmes durante o dia é de $7,75. Isso é $3,25 menos o preço à noite. Quanto custa o filme à noite?
- Responda
-
$11,00
Conceitos-chave
- Para determinar se um número é uma solução para uma equação
- Substitua o número pela variável na equação.
- Simplifique as expressões nos dois lados da equação.
- Determine se a afirmação resultante é verdadeira.
- Se for verdade, o número é uma solução.
- Se não for verdade, o número não é uma solução.
- Adição: propriedade da igualdade
- Para qualquer número a, b e c, se a=b, então a+c=b+c.
- Propriedade de subtração da igualdade
- Para qualquer número a, b e c, se a=b, então a−c=b−c.
- Para traduzir uma frase em uma equação
- Localize a (s) palavra (s) “igual (s)”. Traduza para um sinal de igual (=).
- Traduza as palavras à esquerda da (s) palavra (s) “igual (s)” em uma expressão algébrica.
- Traduza as palavras à direita da (s) palavra (s) “igual (s)” em uma expressão algébrica.
- Para resolver um aplicativo
- Leia o problema. Certifique-se de que todas as palavras e ideias sejam compreendidas.
- Identifique o que estamos procurando.
- Diga o que estamos procurando. Escolha uma variável para representar essa quantidade.
- Traduza em uma equação. Pode ser útil reafirmar o problema em uma frase com as informações importantes.
- Resolva a equação usando boas técnicas de álgebra.
- Verifique a resposta do problema e verifique se faz sentido.
- Responda à pergunta com uma frase completa.
Glossário
- solução de uma equação
- A solução de uma equação é o valor de uma variável que faz uma afirmação verdadeira quando substituída pela equação.