1.10: Propriedades dos números reais

Objetivos de

Ao final desta seção, você poderá:

• Use as propriedades comutativas e associativas
• Use a identidade e as propriedades inversas de adição e multiplicação
• Use as propriedades de zero
• Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva

Nota

Uma introdução mais completa aos tópicos abordados nesta seção pode ser encontrada no capítulo Pré-álgebra, As propriedades dos números reais.

Use as propriedades comutativas e associativas

Pense em adicionar dois números, digamos, 5 e 3. A ordem em que os adicionamos não afeta o resultado, não é?

$$\begin{array} { cc } { 5 + 3 } & { 3 + 5 } \\ { 8 } & { 8 } \\ { 5 + 3 = } & { 3 + 5 } \end{array}$$

Os resultados são os mesmos.

Como podemos ver, a ordem em que adicionamos não importa!

Que tal multiplicar 5 por 3?

$$\begin{array} { c c } { 5 \cdot 3 } & { 3 \cdot 5 } \\ { 15 } & { 15 } \\ { 5 \cdot 3=} &{3 \cdot 5 } \end{array}$$

Novamente, os resultados são os mesmos!

A ordem em que multiplicamos não importa!

Esses exemplos ilustram a propriedade comutativa. Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado.

PROPRIEDADE COMUTATIVA

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a + b = b + a } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b \text { are real numbers, then } \quad a \cdot b = b \cdot a } \end{array}$$

Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado.

A propriedade comutativa tem a ver com a ordem. Se você alterar a ordem dos números ao adicionar ou multiplicar, o resultado será o mesmo.

E quanto à subtração? A ordem importa quando subtraímos números? 7−3 dá o mesmo resultado que 3−7?

$$\begin{array} { c c } { 7 - 3 } & { 3 - 7 } \\ { 4 } & { - 4 } \end{array}$$

$$\begin{aligned} 4 & \neq - 4 \\ 7 - 3 & \neq 3 - 7 \end{aligned}$$

Os resultados não são os mesmos.

Como a alteração da ordem da subtração não deu o mesmo resultado, sabemos que a subtração não é comutativa.

Vamos ver o que acontece quando dividimos dois números. A divisão é comutativa?

$$\begin{array} { cc} { 12 \div 4 } & { 4 \div 12 } \\ { \frac { 12 } { 4 } } & { \frac { 4 } { 12 } } \\ { 3 } & { \frac { 1 } { 3 } } \end{array}$$
$$\begin{aligned} 3 \neq & \frac { 1 } { 3 } \\ 12 \div 4 & \neq 4 \div 12 \end{aligned}$$

Os resultados não são os mesmos.

Como a alteração da ordem da divisão não deu o mesmo resultado, a divisão não é comutativa. As propriedades comutativas só se aplicam à adição e multiplicação!

• A adição e a multiplicação são comutativas.
• Subtração e divisão não são comutativas.

Se você fosse solicitado a simplificar essa expressão, como você faria isso e qual seria sua resposta?

$$7 + 8 + 2$$

Algumas pessoas pensariam que$7+8$ é 15 e depois$15+2$ 17. Outros podem começar com$8+2$ marcas 10 e depois$7+10$ 17.

De qualquer forma, dá o mesmo resultado. Lembre-se de que usamos parênteses como símbolos de agrupamento para indicar qual operação deve ser feita primeiro.

$$\begin{array} { ll } { \text{ Add } 7 + 8 . } & { ( 7 + 8 ) + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 15 + 2 } \\ { \text { Add. } } & { 17 } \\ \\ { } & { 7 + ( 8 + 2 ) } \\ { \text { Add } 8 + 2 . } & { 7 + 10 } \\ { \text { Add. } } & { 77 } \\\\ { ( 7 + 8 ) + 2 = 7 + ( 8 + 2 ) } \end{array}$$

Ao adicionar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Isso também vale para a multiplicação.

$$\begin{array} { ll } { } & { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } 5\cdot \frac{1}{3} } & { \frac{5}{3}\cdot 3 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { } & { 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \\ { \text { Multiply. } \frac{1}{3}\cdot 3 } & { 5\cdot 1 } \\ { \text { Multiply. } } & { 5 } \\ \\ { (5\cdot \frac{1}{3})\cdot 3 = 5\cdot (\frac{1}{3}\cdot 3) } \end{array}$$

Ao multiplicar três números, alterar o agrupamento dos números dá o mesmo resultado.

Você provavelmente sabe disso, mas a terminologia pode ser nova para você. Esses exemplos ilustram a propriedade associativa.

PROPRIEDADE ASSOCIATIVA

$$\begin{array} { l l } { \textbf { of Addition } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a + b ) + c = a + ( b + c ) } \\ { \textbf { of Multiplication } } & { \text { If } a , b , c \text { are real numbers, then } ( a \cdot b ) \cdot c = a \cdot ( b \cdot c ) } \end{array}$$

Ao adicionar ou multiplicar, alterar o agrupamento dá o mesmo resultado.

Vamos pensar novamente sobre a multiplicação$5\cdot \frac{1}{3}\cdot 3$. Obtivemos o mesmo resultado nos dois sentidos, mas qual foi o mais fácil? Multiplicar$\frac{1}{3}$ e 3 primeiro, conforme mostrado acima no lado direito, elimina a fração na primeira etapa. Usar a propriedade associativa pode facilitar a matemática!

A propriedade associativa tem a ver com agrupamento. Se mudarmos a forma como os números são agrupados, o resultado será o mesmo. Observe que são os mesmos três números na mesma ordem — a única diferença é o agrupamento.

Vimos que a subtração e a divisão não eram comutativas. Eles também não são associativos.

Ao simplificar uma expressão, é sempre uma boa ideia planejar quais serão as etapas. Para combinar termos semelhantes no próximo exemplo, usaremos a propriedade comutativa da adição para escrever os termos semelhantes juntos.

Exercício$\PageIndex{1}$

Simplifique:$18p+6q+15p+5q$.

Responda

$$\begin{array} { l l} {} &{18p+6q+15p+5q}\\ \\{ \text { Use the commutative property of addition } } &{} \\ { \text {to re-order so that like terms are together.} } &{18p+15p+ 6q+5q} \\ \\ {\text{Add like terms.}} &{33p + 11q} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{2}$

Simplifique:$23r+14s+9r+15s$.

Responda

$32r+29s$

Exercício$\PageIndex{3}$

Simplifique:$37m+21n+4m−15n$.

Responda

$41m+6n$

Quando precisamos simplificar a expressão algébrica s, muitas vezes podemos facilitar o trabalho aplicando primeiro a propriedade comutativa ou associativa, em vez de seguir automaticamente a ordem das operações. Ao adicionar ou subtrair frações, combine-as primeiro com um denominador comum.

Exercício$\PageIndex{4}$

Simplifique:$(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}$

Responda

$$\begin{array} { l l } {} &{(\frac{5}{13} + \frac{3}{4}) + \frac{1}{4}} \\{ \text { Notice that the last } 2 \text { terms have a } } \\ { \text { common denominator, so change the } } &{\frac { 5 } { 13 } + \left( \frac { 3 } { 4 } + \frac { 1 } { 4 } \right)}\\ { \text { grouping. } } &{}\\ \\ {\text{Add in parentheses first.}} &{\frac{5}{13} + (\frac{4}{4})} \\ \\ {\text{Simplify the fraction.}} &{\frac{5}{13} + 1} \\ \\ {\text{Add.}} &{1\frac{5}{13}} \\ \\ {\text{Convert to an improper fraction.}} &{\frac{18}{13}} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{5}$

Simplifique:$(\frac{7}{15} + \frac{5}{8}) + \frac{3}{8}$

Responda

$1\frac{7}{15}$

Exercício$\PageIndex{6}$

Simplifique:$(\frac{2}{9} + \frac{7}{12}) + \frac{5}{12}$

Responda

$1\frac{2}{9}$

Exercício$\PageIndex{7}$

Use a propriedade associativa para simplificar$6(3x)$.

Responda

Use a propriedade associativa da multiplicação,$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$, para alterar o agrupamento.

$$\begin{array} { ll } {} &{ 6 ( 3 x ) } \\ { \text { Change the grouping. } } &{(6\cdot 3)x} \\ { \text { Multiply in the parentheses. } } &{18} \end{array}$$

Observe que podemos multiplicar$6\cdot 3$, mas não podemos multiplicar\(3x\) sem ter um valor para\(x\).

Exercício$\PageIndex{8}$

Use a propriedade associativa para simplificar$8(4x)$.

Responda

$32x$

Exercício$\PageIndex{9}$

Use a propriedade associativa para simplificar$-9(7y)$.

Responda

$-63y$

Use a identidade e as propriedades inversas de adição e multiplicação

O que acontece quando adicionamos 0 a qualquer número? Adicionar 0 não altera o valor. Por esse motivo, chamamos 0 de identidade aditiva.

Por exemplo,

$$\begin{array} { c c c } { 13 + 0 } & { - 14 + 0 } & { 0 + ( - 8 ) } \\ { 13 } & { - 14 } & { - 8 } \end{array}$$

Esses exemplos ilustram a propriedade de adição de identidade que afirma que, para qualquer número real$a$,$a+0=a$$0+a=a$ e.

O que acontece quando multiplicamos qualquer número por um? Multiplicar por 1 não altera o valor. Então, chamamos 1 de identidade multiplicativa.

Por exemplo, $$\begin{array} { r r r } { 43 \cdot 1 } & { - 27 \cdot 1 } & { 1 \cdot \frac { 3 } { 5 } } \\ { 43 } & { - 27 } & { \frac { 3 } { 5 } } \end{array}$$

Esses exemplos ilustram a propriedade de multiplicação de identidade que afirma que, para qualquer número real$a$,$a\cdot 1=a$$1\cdot a=a$ e.

Resumimos as propriedades de identidade abaixo.

PROPRIEDADE DE IDENTIDADE

$$\begin{array} { l l} { \textbf {of addition}\text{ For any real number } a : } &{ a + 0 = a \quad 0 + a = a } \\ { \textbf{0} \text { is the}\textbf{ additive identity } } \\ {\textbf {of multiplication}\text{ For any real number } a : } &{ a \cdot 1 = a \quad 1 \cdot a = a } \\ { \textbf{1}\text{ is the}\textbf{ multiplicative identity } } \end{array}$$

Figura$\PageIndex{1}$

Observe que, em cada caso, o número que faltava era o oposto do número!

Nós chamamos de$−a$. o inverso aditivo de a. O oposto de um número é seu inverso aditivo. Um número e seu oposto se somam a zero, que é a identidade aditiva. Isso leva à Propriedade Inversa de Adição, que indica para qualquer número real$a, a+(−a)=0$. Lembre-se de que um número e seu oposto se somam a zero.

Qual número multiplicado por$\frac{2}{3}$ dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras,$\frac{2}{3}$ vezes o que resulta em 1?

Figura$\PageIndex{2}$

Qual número multiplicado por 2 dá a identidade multiplicativa, 1? Em outras palavras, 2 vezes o que resulta em 1?

Figura$\PageIndex{3}$

Observe que, em cada caso, o número que faltava era o inverso do número!

Chamamos$\frac{1}{a}$ o inverso multiplicativo de a. O inverso de um número é seu inverso multiplicativo. Um número e seu recíproco se multiplicam por um, que é a identidade multiplicativa. Isso leva à Propriedade Inversa de Multiplicação, que afirma isso para qualquer número real$a, a\neq 0, a\cdot \frac{1}{a}=1$.

Declararemos formalmente as propriedades inversas aqui:

PROPRIEDADE INVERSA

$$\begin{array} { l l l } { \textbf { of addition } } &{ \text { For any real number } a,} &{a + (-a) = 0}\\{} &{-a \text{. is the}\textbf{ additive inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its opposite add to zero. } }&{}\\ \\{ \textbf { of multiplication } } &{ \text { For any real number } a, a\neq 0} &{a\cdot \frac{1}{a} = 1}\\{} &{\frac{1}{a} \text{. is the}\textbf{ multiplicative inverse} \text{ of }a} &{}\\ {} &{ \text { A number and its reciprocal multiply to zero. } }&{} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{10}$

Encontre o inverso aditivo de

1. $\frac{5}{8}$
2. $0.6$
3. $-8$
4. $-\frac{4}{3}$

Responda

Para encontrar o inverso do aditivo, encontramos o oposto.

1. O inverso aditivo de$\frac{5}{8}$ é o oposto de$\frac{5}{8}$. O inverso aditivo de$\frac{5}{8}$ é$-\frac{5}{8}$
2. O inverso aditivo de$0.6$ é o oposto de$0.6$. O inverso aditivo de$0.6$ é$-0.6$.
3. O inverso aditivo de$-8$ é o oposto de$-8$. Escrevemos o oposto de$-8$ as$-(-8)$ e depois simplificamos para$8$. Portanto, o inverso aditivo de$-8$ é$8$.
4. O inverso aditivo de$-\frac{4}{3}$ é o oposto de$-\frac{4}{3}$. Escrevemos isso como$-(-\frac{4}{3})$ e depois simplificamos para$\frac{4}{3}$. Assim, o inverso aditivo de$-\frac{4}{3}$ é$\frac{4}{3}$.

Exercício$\PageIndex{11}$

Encontre o inverso aditivo de

1. $\frac{7}{9}$
2. $1.2$
3. $-14$
4. $-\frac{9}{4}$

Resposta

1. $-\frac{7}{9}$
2. $-1.2$
3. $14$
4. $\frac{9}{4}$

Exercício$\PageIndex{12}$

Encontre o inverso aditivo de

1. $\frac{7}{13}$
2. $8.4$
3. $-46$
4. $-\frac{5}{2}$

Resposta

1. $-\frac{7}{13}$
2. $-8.4$
3. $46$
4. $\frac{5}{2}$

Exercício$\PageIndex{13}$

Encontre o inverso multiplicativo de

1. $9$
2. $-\frac{1}{9}$
3. $0.9$

Resposta

Para encontrar o inverso multiplicativo, encontramos o recíproco.

1. O inverso multiplicativo de$9$ é o inverso de$9$, que é$\frac{1}{9}$. Portanto, o inverso multiplicativo de$9$ é$\frac{1}{9}$.
2. O inverso multiplicativo de$-\frac{1}{9}$ é o inverso de$-\frac{1}{9}$, que é$−9$. Assim, o inverso multiplicativo de$-\frac{1}{9}$ é$-9$.
3. Para encontrar o inverso multiplicativo de$0.9$, primeiro$0.9$ convertemos em uma fração,$\frac{9}{10}$. Em seguida, encontramos o recíproco da fração. O recíproco de$\frac{9}{10}$ é$\frac{10}{9}$. Então, o inverso multiplicativo de$0.9$ é$\frac{10}{9}$.

Exercício$\PageIndex{14}$

Encontre o inverso multiplicativo de

1. $4$
2. $-\frac{1}{7}$
3. $0.3$

Resposta

1. $\frac{1}{4}$
2. $-7$
3. $\frac{10}{3}$

Exercício$\PageIndex{15}$

Encontre o inverso multiplicativo de

1. $18$
2. $-\frac{4}{5}$
3. $0.6$

Resposta

1. $\frac{1}{18}$
2. $-\frac{5}{4}$
3. $\frac{5}{3}$

Use as propriedades de Zero

A propriedade de adição de identidade diz que quando adicionamos 0 a qualquer número, o resultado é o mesmo número. O que acontece quando multiplicamos um número por 0? Multiplicar por 0 torna o produto igual a zero.

MULTIPLICAÇÃO POR ZERO

Para qualquer número real a.

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0$$

O produto de qualquer número real e 0 é 0.

E quanto à divisão envolvendo zero? O que é$0\div 3$? Pense em um exemplo real: se não houver biscoitos no pote de biscoitos e 3 pessoas quiserem compartilhá-los, quantos biscoitos cada pessoa recebe? Não há cookies para compartilhar, então cada pessoa recebe 0 cookies. Então,

$$0\div 3 = 0$$

Podemos verificar a divisão com o fato de multiplicação relacionado.

$$12 \div 6 = 2 \text { because } 2 \cdot 6 = 12$$

Então, sabemos$0\div 3=0$ porque$0\cdot 3=0$.

DIVISÃO DO ZERO

Para qualquer número real a, exceto$0, \frac{0}{a}=0$$0\div a=0$ e.

Zero dividido por qualquer número real, exceto zero é zero.

Agora pense em dividir por zero. Qual é o resultado da divisão de 4 por 0? Pense no fato relacionado à multiplicação:$4\div 0=?$ meios$?\cdot 0=4$. Existe um número que multiplicado por 0 dá 4? Como qualquer número real multiplicado por 0 dá 0, não há número real que possa ser multiplicado por 0 para obter 4.

Concluímos que não há resposta para$4\div 0$ e, portanto, dizemos que a divisão por 0 é indefinida.

DIVISÃO POR ZERO

Para qualquer número real a, exceto$0, \frac{a}{0}$ e$a\div 0$ são indefinidos.

A divisão por zero é indefinida.

Resumimos as propriedades de zero abaixo.

PROPRIEDADES DO ZERO

Multiplicação por Zero: Para qualquer número real a,

$$a \cdot 0 = 0 \quad 0 \cdot a = 0 \quad \text { The product of any number and } 0 \text { is } 0$$

Divisão de Zero, Divisão por Zero: Para qualquer número real$a, a\neq 0$

$$\begin{array} { l l } { \frac { 0 } { a } = 0 } & { \text { Zero divided by any real number, except itself is zero. } } \\ { \frac { a } { 0 } \text { is undefined } } & { \text { Division by zero is undefined. } } \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{16}$

Simplifique:

1. $-8\cdot 0$
2. $\frac{0}{-2}$
3. $\frac{-32}{0}$

Resposta

1. $$\begin{array} { cc } { } &{-8\cdot 0}\\{\text{The product of any real number and 0 is 0}} &{0}\end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{-2}}\\{\text{Zero divided by any real number, except}} &{} \\ {\text{itself, is 0}} &{0}\end{array}$$
3. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{-32}{0}}\\ {\text{Division by 0 is undefined.}} &{\text{undefined}} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{17}$

Simplifique:

1. $-14\cdot 0$
2. $\frac{0}{-6}$
3. $\frac{-2}{0}$

Resposta

1. $0$
2. $0$
3. indefinida

Exercício$\PageIndex{18}$

Simplifique:

1. $0(-17)$
2. $\frac{0}{-10}$
3. $\frac{-5}{0}$

Resposta

1. $0$
2. $0$
3. indefinida

Agora praticaremos o uso das propriedades de identidades, inversas e zero para simplificar expressões.

Exercício$\PageIndex{19}$

Simplifique:

1. $\frac{0}{n + 5}$, onde$n\neq −5$
2. $\frac{10 - 3p}{0}$onde$10 - 3p \neq 0$

Resposta

1. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{0}{n + 5}}\\ {\text { Zero divided by any real number except }} &{0} \\ { \text { itself is } 0.} &{} \end{array}$$
2. $$\begin{array} { ll } { } &{\frac{10 - 3p}{0}}\\ {\text { Division by 0 is undefined }} &{\text{undefined}} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{20}$

Simplifique:$−84n+(−73n)+84n$.

Resposta

$$\begin{array} { l l } { } &{−84n+(−73n)+84n} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { opposites; use the commutative property of } } &{- 84 n + 84 n + ( - 73 n ) } \\ { \text { addition to re-order the terms. } } &{} \\ \\ { \text { Add left to right. } } &{0 + (-73)}\\ \\{ \text { Add. } } &{-73n} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{21}$

Simplifique:$−27a+(−48a)+27a$.

Resposta

$−48a$

Exercício$\PageIndex{22}$

Simplifique:$39x+(−92x)+(−39x)$.

Resposta

$−92x$

Agora veremos como reconhecer os recíprocos é útil. Antes de multiplicar da esquerda para a direita, procure por recíprocos — o produto deles é 1.

Exercício$\PageIndex{23}$

Simplifique:$\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}$

Resposta

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{8}{23}\cdot\frac{15}{7}} \\ { \text { Notice that the first and third terms are } } &{}\\ { \text { reciprocals, so use the commutative } } &{\frac{7}{15}\cdot\frac{15}{7}\cdot\frac{8}{23}} \\ { \text { property of multiplication to re-order the } } &{} \\ { \text { factors. } } &{}\\ \\{ \text { Multiply left to right. } } &{1\cdot\frac{8}{23}} \\\\{\text{Multiply.}} &{\frac{8}{23}}\end{array}$$

Exercício$\PageIndex{24}$

Simplifique:$\frac{9}{16}\cdot\frac{5}{49}\cdot\frac{16}{9}$

Resposta

$\frac{5}{49}$

Exercício$\PageIndex{25}$

Simplifique:$\frac{6}{17}\cdot\frac{11}{25}\cdot\frac{17}{6}$

Resposta

$\frac{11}{25}$

Exercício$\PageIndex{26}$

Simplifique:

1. $\frac{0}{m + 7}$, onde$m \neq -7$
2. $\frac{18 - 6c}{0}$, onde$18 - 6c \neq 0$

Resposta

1. 0
2. indefinida

Exercício$\PageIndex{27}$

Simplifique:

1. $\frac{0}{d - 4}$, onde$d \neq 4$
2. $\frac{15 - 4q}{0}$, onde$15 - 4q \neq 0$

Resposta

1. 0
2. indefinida

Exercício$\PageIndex{28}$

Simplifique:$\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)$

Resposta

$$\begin{array} { l l } { } &{\frac{3}{4}\cdot\frac{4}{3}(6x + 12)} \\ { \text { There is nothing to do in the parentheses, } } &{}\\ { \text { so multiply the two fractions first—notice, } } &{1(6x + 12)} \\ { \text { they are reciprocals. } } &{} \\ \\{ \text { Simplify by recognizing the multiplicative } } &{} \\{\text{ identity.}} &{6x + 12} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{29}$

Simplifique:$\frac{2}{5}\cdot\frac{5}{2}(20y + 50)$

Resposta

$20y + 50$

Exercício$\PageIndex{30}$

Simplifique:$\frac{3}{8}\cdot\frac{8}{3}(12z + 16)$

Resposta

$12z + 16$

Simplifique as expressões usando a propriedade distributiva

Suponha que três amigos estejam indo ao cinema. Cada um deles precisa de $9,25, ou seja, 9 dólares e 1 quarto, para pagar seus ingressos. De quanto dinheiro eles precisam juntos?

Você pode pensar nos dólares separadamente dos trimestres. Eles precisam de 3 vezes $9, então $27, e 3 vezes 1 quarto, então 75 centavos. No total, eles precisam de $27,75. Se você pensar em fazer as contas dessa maneira, você está usando a propriedade distributiva.

PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA

$$\begin{array} { rr } {\text { If } a , b , c \text { are real numbers, then }} &{a ( b + c ) = a b + a c} \\ \\{ \text { Also,} } &{( b + c ) a = b a + c a} \\ {} &{a ( b - c ) = a b - a c } &{} \\{} &{( b - c ) a = b a - c a } \end{array}$$

Voltando aos nossos amigos do cinema, pudemos encontrar a quantia total de dinheiro que eles precisam assim:

$$\begin{array} { c } { 3 ( 9.25 ) } \\ { 3 ( 9 + 0.25 ) } \\ { 3 ( 9 ) + 3 ( 0.25 ) } \\ { 27 + 0.75 } \\ \\ { 27.75 } \end{array}$$

Em álgebra, usamos a propriedade distributiva para remover parênteses à medida que simplificamos as expressões.

Por exemplo, se formos solicitados a simplificar a expressão$3(x+4)$, a ordem das operações diz que devemos trabalhar primeiro entre parênteses. Mas não podemos adicionar x e 4, pois eles não são como termos. Então, usamos a propriedade distributiva, conforme mostrado no Exercício$\PageIndex{31}$.

Exercício$\PageIndex{31}$

Simplifique:$3(x+4)$.

Resposta

$$\begin{array} { l l } { } & { 3 ( x + 4 ) } \\ { \text { Distribute. } } & { 3 \cdot x + 3 \cdot 4 } \\ { \text { Multiply. } } & { 3 x + 12 } \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{32}$

Simplifique:$4(x+2)$.

Resposta

$4x + 8$

Exercício$\PageIndex{33}$

Simplifique:$6(x+7)$.

Resposta

$6x + 42$

Alguns estudantes acham útil desenhar setas para lembrá-los de como usar a propriedade distributiva. Então, a primeira etapa do Exercício$\PageIndex{31}$ ficaria assim:

Exercício$\PageIndex{34}$

Simplifique:$8(\frac{3}{8}x+\frac{1}{4})$.

Resposta

Distribuir.
Multiplique.

Exercício$\PageIndex{35}$

Simplifique:$6(\frac{5}{6}y+\frac{1}{2})$.

Resposta

$5y + 3$

Exercício$\PageIndex{36}$

Simplifique:$12(\frac{1}{3}n+\frac{3}{4})$.

Resposta

$4n + 9$

Usar a propriedade distributiva, conforme mostrado no Exercício,$\PageIndex{37}$ será muito útil quando resolvermos aplicações de dinheiro em capítulos posteriores.

Exercício$\PageIndex{37}$

Simplifique:$100(0.3+0.25q)$.

Resposta

Distribuir.
Multiplique.

Exercício$\PageIndex{38}$

Simplifique:$100(0.7+0.15p)$.

Resposta

$70 + 15p$

Exercício$\PageIndex{39}$

Simplifique:$100(0.04+0.35d)$.

Resposta

$4 + 35d$

Quando distribuímos um número negativo, precisamos ter muito cuidado para corrigir os sinais!

Exercício$\PageIndex{40}$

Simplifique:$−2(4y+1)$.

Resposta

Distribuir.
Multiplique.

Exercício$\PageIndex{41}$

Simplifique:$−3(6m+5)$.

Resposta

$−18m-15)$

Exercício$\PageIndex{42}$

Simplifique:$−6(8n+11)$.

Resposta

$−48n- 66)$

Exercício$\PageIndex{43}$

Simplifique:$−11(4-3a)$.

Resposta

Distribuir.
Multiplique.
Simplifique.

Observe que você também pode escrever o resultado como$33a−44$. Você sabe por quê?

Exercício$\PageIndex{44}$

Simplifique:$−5(2-3a)$.

Resposta

$10+ 15a$

Exercício$\PageIndex{45}$

Simplifique:$−7(8-15y)$.

Resposta

$-56 + 105y$

O exercício$\PageIndex{46}$ mostrará como usar a propriedade distributiva para encontrar o oposto de uma expressão.

Exercício$\PageIndex{46}$

Simplifique:$−(y+5)$.

Resposta

$$\begin{array} { ll } {} &{-(y + 5)} \\ \\{ \text {Multiplying by -1 results in the opposite.} } &{-1( y + 5 )} \\ \\ {\text{Distribute.}} &{-1\cdot y + (-1)\cdot 5}\\ \\{\text{Simplify.}} &{-y + (-5)} \\ \\ {} &{-y - 5} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{47}$

Simplifique:$−(z-11)$.

Resposta

$-z + 11$

Exercício$\PageIndex{48}$

Simplifique:$−(x -4)$.

Resposta

$-x + 4$

Haverá momentos em que precisaremos usar a propriedade distributiva como parte da ordem das operações. Comece examinando os parênteses. Se a expressão dentro dos parênteses não puder ser simplificada, a próxima etapa seria multiplicar usando a propriedade distributiva, que remove os parênteses. Os próximos dois exemplos ilustrarão isso.

Exercício$\PageIndex{49}$

Simplifique:$8−2(x + 3)$.

Certifique-se de seguir a ordem das operações. A multiplicação vem antes da subtração, então vamos distribuir o 2 primeiro e depois subtrair.

Resposta

$$\begin{array} { ll } {} &{8−2(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{8−2\cdot x -2\cdot 3} \\ \\ {\text{Multiply.}} &{8 - 2x - 6}\\ \\{\text{Combine like terms.}} &{-2x + 2} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{50}$

Simplifique:$9−3(x + 2)$.

Resposta

$3 - 3x$

Exercício$\PageIndex{51}$

Simplifique:$7x−5(x + 4)$.

Resposta

$2x - 20$

Exercício$\PageIndex{52}$

Simplifique:$4(x - 8)−(x + 3)$.

Resposta

$$\begin{array} { ll } {} &{4(x - 8)−(x + 3)} \\ \\{ \text {Distribute.} } &{4x - 32 - x - 3} \\ \\{\text{Combine like terms.}} &{3x - 35} \end{array}$$

Exercício$\PageIndex{1}$

Simplifique:$6(x - 9)−(x + 12)$.

Resposta

$5x - 66$

Exercício$\PageIndex{1}$

Simplifique:$8(x - 1)-(x + 5)$.

Resposta

$7x - 13$

Todas as propriedades dos números reais que usamos neste capítulo estão resumidas na Tabela$\PageIndex{1}$.

Tabela$\PageIndex{1}$

Propriedade comutativa
de adição Se a, b são números reais, então de multiplicação Se a, b são números reais, então	$a+b=b+a$ $a\cdot b=b\cdot a$
Propriedade associativa
de adição Se a, b, c são números reais, então de multiplicação Se a, b, c são números reais, então	$(a+b)+c=a+(b+c)$ $(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$
Propriedade distributiva
Se a, b, c são números reais, então	$a(b+c)=ab+ac$
Propriedade de identidade
de adição Para qualquer número real a: 0 é a identidade aditiva de multiplicação Para qualquer número real a: 1 é a identidade multiplicativa	$a+0=a$ $0+a=a$ $a·1=a$ $1·a=a$
Propriedade inversa
de adição Para qualquer número real a, $−a$ é o inverso aditivo de a da multiplicação Para qualquer número real$a,a\neq 0$ $\frac{1}{a}$ é o inverso multiplicativo de a	$a+(−a)=0$ $a\cdot\frac{1}{a}=1$
Propriedades do Zero
Para qualquer número real a, Para qualquer número real$a,a\neq 0$ Para qualquer número real$a,a\neq 0$	$a\cdot 0=0$ $0\cdot a=0$ $\frac{0}{a} = 0$ $\frac{a}{0}$é indefinido

Conceitos-chave

• Propriedade comutativa de
  • Adição: Se a, b são números reais, então$a+b=b+a$.
  • Multiplicação: Se a, b são números reais, então$a\cdot b=b\cdot a$. Ao adicionar ou multiplicar, alterar a ordem dá o mesmo resultado.
• Propriedade associativa de
  • Adição: Se a, b, c são números reais, então$(a+b)+c=a+(b+c)$.
  • Multiplicação: Se a, b, c são números reais, então$(a\cdot b)\cdot c=a\cdot (b\cdot c)$.
    Ao adicionar ou multiplicar, alterar o agrupamento dá o mesmo resultado.
• Propriedade distributiva: Se a, b, c são números reais, então
  • $a(b+c)=ab+ac$
  • $(b+c)a=ba+ca$
  • $a(b-c)=ab-ac$
  • $(b+c)a=ba-ca$
• Propriedade de identidade
  • de adição: Para qualquer número real a:$a+0=a$
    0 é a identidade aditiva
  • da multiplicação: Para qualquer número real a:$a\cdot 1=a \quad 1·a=a$
    1 1 é a identidade multiplicativa
• Propriedade inversa
  • de adição: Para qualquer número real$a, a+(−a)=0$. Um número e seu oposto se somam a zero. $−a$é o inverso aditivo de a.
  • de multiplicação: Para qualquer número real$a,(a\neq 0)a\cdot\frac{1}{a}=1$. Um número e seu recíproco se multiplicam por um. $\frac{1}{a}$é o inverso multiplicativo de a.
• Propriedades do Zero
  • Para qualquer número real a,
    $a\cdot 0=0 \quad 0·a=0$ — O produto de qualquer número real e 0 é 0.
  • $\frac{0}{a}=0$for$a\neq 0$ — Zero dividido por qualquer número real, exceto que zero é zero.
  • $\frac{a}{0}$é indefinido — A divisão por zero é indefinida.