1.9: Os números reais
Ao final desta seção, você poderá:
- Simplifique expressões com raízes quadradas
- Identifique números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais
- Localize frações na reta numérica
- Localize números decimais na reta numérica
Uma introdução mais completa aos tópicos abordados nesta seção pode ser encontrada nos capítulos de Pré-álgebra, Decimais e Propriedades de Números Reais.
Simplifique expressões com raízes quadradas
Lembre-se de que quando um númeron é multiplicado por si mesmo, nós o escrevemosn2 e lemos “nao quadrado”. O resultado é chamado de quadrado den. Por exemplo,
82 read '8 squared' 6464 is called the square of 8 .
Da mesma forma, 121 é o quadrado de 11, porque112 é 121.
Sen2=m, entãom é o quadrado den.
Fazer a atividade de Matemática Manipulativa “Números Quadrados” ajudará você a desenvolver uma melhor compreensão dos números quadrados perfeitos.
Complete a tabela a seguir para mostrar os quadrados dos números de contagem de 1 a 15.

Os números na segunda linha são chamados de números quadrados perfeitos. Será útil aprender a reconhecer os números quadrados perfeitos.
Os quadrados dos números contados são números positivos. E quanto aos quadrados dos números negativos? Sabemos que quando os sinais de dois números são iguais, o produto deles é positivo. Portanto, o quadrado de qualquer número negativo também é positivo.
(−3)2=9(−8)2=64(−11)2=121(−15)2=225
Você notou que esses quadrados são iguais aos quadrados dos números positivos?
Às vezes, precisaremos observar a relação entre números e seus quadrados ao contrário. Porque102=100, dizemos que 100 é o quadrado de 10. Também dizemos que 10 é uma raiz quadrada de 100. Um número cujo quadrado é mm é chamado de raiz quadrada dem.
Sen2=m, entãon é uma raiz quadrada dem.
Observe(−10)2=100 também, então também−10 é uma raiz quadrada de100. Portanto, ambos10 e−10 são raízes quadradas de100.
Então, todo número positivo tem duas raízes quadradas — uma positiva e uma negativa. E se quiséssemos apenas a raiz quadrada positiva de um número positivo? O sinal radical,√m, indica a raiz quadrada positiva. A raiz quadrada positiva é chamada de raiz quadrada principal. Quando usamos o sinal radical, isso sempre significa que queremos a raiz quadrada principal.
Também usamos o sinal radical para a raiz quadrada de zero. Porque02=0,√0=0. Observe que zero tem apenas uma raiz quadrada.
√mé lido “a raiz quadrada dem”

Sem=n2, então√m=n, paran≥0.
A raiz quadrada dem√m,, é o número positivo cujo quadrado ém.
Como 10 é a raiz quadrada principal de 100, escrevemos√100=10. Talvez você queira preencher a tabela a seguir para ajudá-lo a reconhecer raízes quadradas.

Simplifique:
- √25
- √121
- Responda
-
- √25Since 52=255
- √121Since 112=12111
Simplifique:
- √36
- √169
- Responda
-
- 6
- 13
Simplifique:
- √16
- √196
- Responda
-
- 4
- 14
Sabemos que todo número positivo tem duas raízes quadradas e o sinal radical indica o positivo. Nós escrevemos\boldsymbol{\sqrt{100)=10}. Se quisermos encontrar a raiz quadrada negativa de um número, colocamos um negativo na frente do sinal radical. Por exemplo,\boldsymbol{-\sqrt{100)=-10}. Lemos\boldsymbol{-\sqrt{100)} como “o oposto da raiz quadrada de 10”.
Simplifique:
- −√9
- −√144
- Responda
-
- −√9The negative is in front of the radical sign.−3
- −√144The negative is in front of the radical sign.−12
Simplifique:
- √16
- √196
- Responda
-
- −2
- −15
Simplifique:
- √16
- √196
- Responda
-
- −9
- −10
Identifique números inteiros, números racionais, números irracionais e números reais
Já descrevemos números como números de contagem s, números inteiros s e números inteiros. Qual é a diferença entre esses tipos de números?
Counting numbers 1,2,3,4,… Whole numbers 0,1,2,3,4,… Integers ⋯−3,−2,−1,0,1,2,3,…
Que tipo de números obteríamos se começássemos com todos os inteiros e depois incluíssemos todas as frações? Os números que teríamos formam o conjunto de números racionais. Um número racional é um número que pode ser escrito como uma proporção de dois inteiros.
Um número racional é um número da formapq, onde p e q são números inteiros eq≠0
Um número racional pode ser escrito como a proporção de dois números inteiros.
Todas as frações assinadas, como45,,−78,134,−203 são números racionais. Cada numerador e cada denominador são um número inteiro.
Os números inteiros são números racionais? Para decidir se um número inteiro é um número racional, tentamos escrevê-lo como uma proporção de dois inteiros. Cada número inteiro pode ser escrito como uma proporção de números inteiros de várias maneiras. Por exemplo, 3 é equivalente a31,−62,93,124,−155…
Uma maneira fácil de escrever um número inteiro como uma proporção de números inteiros é escrevê-lo como uma fração com o denominador um.
3=31−8=−810=01
Como qualquer número inteiro pode ser escrito como a proporção de dois inteiros, todos os números inteiros são números racionais! Lembre-se de que os números contados e os números inteiros também são inteiros e, portanto, eles também são racionais.
E quanto aos decimais? Eles são racionais? Vamos dar uma olhada em alguns para ver se podemos escrever cada um deles como a proporção de dois números inteiros.
Já vimos que números inteiros são números racionais. O número inteiro−8 pode ser escrito como decimal−8.0. Então, claramente, alguns decimais são racionais.
Pense no decimal7.3. Podemos escrevê-lo como uma proporção de dois números inteiros? Porque7.3 significa que7310 podemos escrevê-lo como uma fração imprópria,7310. Então7.3 é a proporção dos números inteiros7310 e. É um número racional.
Em geral, qualquer decimal que termine após um número de dígitos (como7.3 ou−1.2684) é um número racional. Podemos usar o valor posicional do último dígito como denominador ao escrever o decimal como uma fração.
Escreva como a proporção de dois números inteiros:
- −27
- 7.31
- Responda
-
- −27Write it as a fraction with denominator 1.−271
- 7.31Write is as a mixed number. Remember.7 is the whole number and the decimal731100part, 0.31, indicates hundredths.Convert to an improper fraction.731100
Então, vemos que −27 e 7,31 são ambos números racionais, pois podem ser escritos como a proporção de dois inteiros.
Escreva como a proporção de dois números inteiros:
- −24
- 3,57
- Responda
-
- −241
- 357100
Escreva como a proporção de dois números inteiros:
- −19
- 8.41
- Responda
-
- −191
- 841100
Vimos que todo inteiro é um número racional, já quea=a1 para qualquer inteiro,\(a\). Também podemos transformar qualquer número inteiro em decimal adicionando um ponto decimal e um zero.
Integer −2−10123 Decimal form −2.0−1.00.01.02.03.0 These decimal numbers stop.
Também vimos que cada fração é um número racional. Veja a forma decimal das frações que consideramos acima.
Ratio of integers 45−78134−203 The decimal form 0.8−0.8753.25−6.666…−6.¯6 These decimal either stop or repeat.
O que esses exemplos nos dizem?
Cada número racional pode ser escrito como uma proporção de números inteirospq, (, onde p e q são números inteiros eq≠0) e como um decimal que para ou se repete.
Aqui estão os números que analisamos acima, expressos como uma proporção de números inteiros e como um decimal:
Frações | Números inteiros | |||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Número | 45 | 78 | 134 | −203 | −2 | −1 | 0 | 1 | 2 | 3 |
Proporção de números inteiros | 45 | 78 | 134 | −203 | −21 | −11 | 01 | 11 | 21 | 31 |
Forma decimal | 0,8 | −0,875 | 3,25 | −6.¯6 | −2,0 | −1,0 | 0,0 | 1,0 | 2.0 | 3,0 |
Um número racional é um número da formapq, onde p e q são números inteiros eq≠0
Sua forma decimal para ou se repete.
Existem números decimais que não param nem se repetem? Sim!
O númeroπ (a letra grega pi, pronunciada “torta”), que é muito importante na descrição de círculos, tem uma forma decimal que não para nem se repete.
π=3.141592654…
Podemos até criar um padrão decimal que não pare nem se repita, como
2.01001000100001…
Números cuja forma decimal não para ou se repete não podem ser escritos como uma fração de números inteiros. Chamamos esses números de irracionais.
Um número irracional é um número que não pode ser escrito como a proporção de dois inteiros.
Sua forma decimal não para e não se repete.
Vamos resumir um método que podemos usar para determinar se um número é racional ou irracional.
Se a forma decimal de um número
- repete ou para, o número é racional.
- não repete e não para, o número é irracional.
Dada a0.58¯3,0.47,3.605551275… lista de números
- números racionais
- números irracionais.
- Responda
-
- Look for decimals that repeat or stopThe 3 repeats in 0.58¯3.The decimal 0.47 stops after the 7.So 0.58¯3 and 0.47are rational
- Look for decimals that repeat or stop3.605551275…has no repeating block ofdigits and it does not stop.So 3.605551275… is irrational.
Para os números fornecidos, liste o
- números racionais
- números irracionais:0.29,0.81¯6,2.515115111….
- Responda
-
- 0.29,0.81¯6
- 2.515115111….
Para os números fornecidos, liste o
- números racionais
- números irracionais:2.6¯3,0.125,0.418302…
- Responda
-
- 2.6¯3,0.125
- 0.418302…
Para cada número fornecido, identifique se é racional ou irracional:
- √36
- √44
- Responda
-
- Reconheça que 36 é um quadrado perfeito, já que62=36. Então√36=6, portanto,√36 é racional.
- Lembre-se disso62=36 e72=49, portanto, não44 é um quadrado perfeito. Portanto, a forma decimal de nunca se√44 repetirá e nunca parará, então√44 é irracional.
Para cada número fornecido, identifique se é racional ou irracional:
- √81
- √17
- Responda
-
- racional
- irracional
Para cada número fornecido, identifique se é racional ou irracional:
- √116
- √121
- Responda
-
- irracional
- racional
Vimos que todos os números contados são números inteiros, todos os números inteiros são números inteiros e todos os números inteiros são números racionais. Os números irracionais são números cuja forma decimal não para e não se repete. Quando juntamos os números racionais e os números irracionais, obtemos o conjunto dos números reais s.
Um número real é um número que é racional ou irracional.
Todos os números que usamos na álgebra elementar são números reais. 1.9.3A figura ilustra como os conjuntos de números que discutimos nesta seção se encaixam.

Podemos simplificar√−25? Existe um número cujo quadrado é−25?
()2=−25?
Nenhum dos números com os quais lidamos até agora tem um quadrado que seja−25. Por quê? Qualquer número positivo ao quadrado é positivo. Qualquer número negativo ao quadrado é positivo. Então, dizemos que não há um número real igual√−25 a.
A raiz quadrada de um número negativo não é um número real.
Para cada número fornecido, identifique se é um número real ou não:
- √−169
- −√64
- Responda
-
- Não existe um número real cujo quadrado seja−169. Portanto, não√−169 é um número real.
- Como o negativo está na frente do radical,−√64 é−8, já que−8 é um número real,−√64 é um número real.
Para cada número fornecido, identifique se é um número real ou não:
- √−196
- −√81
- Responda
-
- não é um número real
- número real
Para cada número fornecido, identifique se é um número real ou não:
- −√49
- √−121
- Responda
-
- número real
- não é um número real
Dados os números−7,145,8,√5,5.9,√64, liste os
- números inteiros
- inteiros
- números racionais
- números irracionais
- números reais
- Responda
-
- Lembre-se de que os números inteiros são 0, 1, 2, 3,... e 8 é o único número inteiro fornecido.
- Os números inteiros são os números inteiros, seus opostos e 0. Portanto, o número inteiro 8 é um número inteiro e −7 é o oposto de um número inteiro, então também é um número inteiro. Além disso, observe que 64 é o quadrado de 8 então−√64=−8. Então, os números inteiros são−7,8,√64.
- Como todos os números inteiros são racionais, então−7,8,−√64 são racionais. Os números racionais também incluem frações e decimais que se repetem ou param, portanto145 e5.9 são racionais. Portanto, a lista de números racionais é−7,145,8,5.9,√64
- Lembre-se de que 5 não é um quadrado perfeito, então√5 é irracional.
- Todos os números listados são números reais.
Para os números fornecidos, liste os
- números inteiros
- inteiros
- números racionais
- números irracionais
- números reais:−3,−√2,0.¯3,95,4,√49
- Responda
-
- 4,√49.
- −3,4,√49
- −3,0.¯3,95,4,√49
- −√2
- −3,√2,0.¯3,95,4,√49
Para os números fornecidos, liste os
- números inteiros
- inteiros
- números racionais
- números irracionais
- números reais:−√25,−38,−1,6,√121,2.041975…
- Responda
-
- 6,√121.
- −√25,−1,6,√121
- −√25,−38,−1,6,√121
- 2.041975…
- −√25,−38,−1,6,√121,2.041975…
Localize frações na reta numérica
A última vez que olhamos para a reta numérica, ela tinha apenas números inteiros positivos e negativos. Agora queremos incluir a fração s e decimais nela.
Fazer a atividade de Matemática Manipulativa “Linha Numérica Parte 3” ajudará você a desenvolver uma melhor compreensão da localização das frações na reta numérica.
Vamos começar com frações e localizar15,−45,3,74,−92,−5 e83 na reta numérica.
Começaremos com os números inteiros 3 e −5. porque eles são os mais fáceis de traçar. Veja a Figura1.9.4.
As frações apropriadas listadas são15 and −45. Sabemos que a fração adequada15 tem valor menor que um e, portanto, estaria localizada entre 0 e 1. O denominador é 5, então dividimos a unidade de 0 a 1 em 5 partes iguais15,25,35,45. Nós planejamos15. Veja a Figura1.9.4.
Da mesma forma,−45 está entre 0 e −1. Depois de dividir a unidade em 5 partes iguais, traçamos−45. Veja a Figura1.9.4.
Finalmente, veja as frações impróprias74,−92,83. São frações nas quais o numerador é maior que o denominador. Localizar esses pontos pode ser mais fácil se você alterar cada um deles para um número misto. Veja a Figura1.9.4.
74=134−92=−41283=223A figura1.9.4 mostra a reta numérica com todos os pontos traçados.

Localize e rotule o seguinte em uma linha numérica:4,34,−14,−3,65,−5273 e.
- Responda
-
Localize e plote os números inteiros, 4, −3.
Localize34 primeiro a fração adequada. A fração34 está entre 0 e 1. Divida a distância entre 0 e 1 em quatro partes iguais e, em seguida, traçamos34. Trama semelhante−14.
Agora localize as frações impróprias65,−52,73. É mais fácil plotá-los se os convertermos em números mistos e depois plotá-los conforme descrito acima:65=115,−52=−212,73=213.
Localize e rotule o seguinte em uma linha numérica:−1,13,65,−74,92,5−83 e.
- Responda
-
Localize e rotule o seguinte em uma linha numérica:15,−45,3,74,−92,−583 e.
- Responda
-
No Exercício1.9.25, usaremos os símbolos de desigualdade para ordenar frações. Nos capítulos anteriores, usamos a linha numérica para ordenar números.
- a<b“a é menor que b” quando a está à esquerda de b na reta numérica
- a>b“a é maior que b” quando a está à direita de b na reta numérica
À medida que avançamos da esquerda para a direita em uma reta numérica, os valores aumentam.
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>. Pode ser útil consultar a Figura1.9.5.
- −23___−1
- −312___−3
- −34___−14
- −2___−83

- Responda
-
Tenha cuidado ao pedir números negativos.
- −23 ___ −1−23 is to the right of −1 on the number line. −23>−1
- −312 ___ −3−312 is to the right of −3 on the number line. −23>−1
- −34 ___ −14−34 is to the right of −14 on the number line. −34<−14
- −\-2 ___ −83−2 is to the right of −83 on the number line. −2>−83
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>.
- −13___−1
- −112___−2
- −23___−13
- −3___−73
- Responda
-
- >
- >
- <
- <
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>.
- −1___−23
- −214___−2
- −35___−45
- −4___−103
- Responda
-
- <
- <
- >
- <
Localize números decimais na reta numérica
Como decimais são formas de frações, localizar decimais na reta numérica é semelhante a localizar frações na reta numérica.
Localize 0,4 na linha numérica.
- Responda
-
Uma fração adequada tem valor menor que um. O número decimal0.4 é equivalente a410 uma fração própria, então0.4 está localizado entre 0 e 1. Em uma reta numérica, divida o intervalo entre 0 e 1 em 10 partes iguais. Agora rotule as peças0.1,0.2,0.3,0.4,0.5,0.6,0.7,0.8,0.9,1.0. Escrevemos 0 como 0,0 e 1 e 1,0, para que os números estejam consistentemente em décimos. Finalmente, marque0.4 na linha numérica. Veja a Figura1.9.6.
Figura1.9.6
Localize na linha numérica: 0,6.
- Responda
-
Localize na linha numérica: 0,9.
- Responda
-
Localize−0.74 na linha numérica.
- Responda
-
O decimal (−0,74\) é equivalente a−74100, então está localizado entre 0 e −1. Em uma reta numérica, marque e rotule os centésimos no intervalo entre 0 e −1. Veja a Figura1.9.7.
Figura1.9.7
Localize na reta numérica: −0,6.
- Responda
-
Localize na reta numérica: −0,7.
- Responda
-
Qual é maior, 0,04 ou 0,40? Se você pensa nisso como dinheiro, sabe que $0,40 (quarenta centavos) é maior que $0,04 (quatro centavos). Então,0.40>0.04
Novamente, podemos usar a linha numérica para ordenar números.
- a<b“a é menor que b” quando a está à esquerda de b na reta numérica
- a>b“a é maior que b” quando a está à direita de b na reta numérica
Onde estão 0,04 e 0,40 localizados na reta numérica? Veja a Figura1.9.8.

Vemos que 0,40 está à direita de 0,04 na reta numérica. Essa é outra forma de demonstrar isso0.40>0.04.
Como 0,31 se compara a 0,308? Isso não se traduz em dinheiro para facilitar a comparação. Mas se convertermos 0,31 e 0,308 em frações, podemos dizer qual é maior.
0,31 | 0,308 | |
Converta em frações. | 31100 | 3081000 |
Precisamos de um denominador comum para compará-los. | ![]() |
![]() |
3101000 | 3081000 |
Porque310>308, nós sabemos disso3101000>3081000. Portanto,0.31>0.308.
Observe o que fizemos na conversão0.31 para uma fração — começamos com a fração31100 e terminamos com a fração equivalente. A3101000 conversão de3101000 volta para um decimal dá 0,310. Portanto, 0,31 é equivalente a 0,310. Escrever zeros no final de um decimal não altera seu valor!
31100=3101000 and 0.31=0.310
Dizemos que 0,31 e 0,310 são decimais equivalentes.
Dois decimais são equivalentes se forem convertidos em frações equivalentes.
Usamos decimais equivalentes quando pedimos decimais.
As etapas que tomamos para ordenar os decimais estão resumidas aqui.
- Escreva os números um abaixo do outro, alinhando os pontos decimais.
- Verifique se os dois números têm o mesmo número de dígitos. Caso contrário, escreva zeros no final daquele com menos dígitos para fazer com que coincidam.
- Compare os números como se fossem números inteiros.
- Ordene os números usando o sinal de desigualdade apropriado.
Faça0.64 ___ 0.6 o pedido usando< ou>.
- Responda
-
Write the numbers one under the other, 0.64lining up the decimal points. 0.6Add a zero to 0.6 to make it a decimal 0.64with 2 decimal places.0.60Now they are both hundredths.64 is greater than 60.64>6064 hundredths is greater than 60 hundredths.0.64>0.600.64>0.6
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>:0.42 ___ 0.4.
- Responda
-
>
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>:0.18 ___ 0.1.
- Responda
-
>
Faça0.83 ___ 0.803 o pedido usando< ou>.
- Responda
-
0.83 ___ 0.803Write the numbers one under the other, 0.83lining up the decimal points. 0.803They do not have the same number of0.830digits.0.803Write one zero at the end of 0.83.Since 830 > 803, 830 hundredths is0.830>0.803greater than 803 thousandths.0.83>0.803
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>:0.76 ___ 0.706.
- Responda
-
>
Ordene cada um dos seguintes pares de números, usando< ou>:0.305 ___ 0.35.
- Responda
-
<
Quando ordenamos números decimais negativos, é importante lembrar como ordenar números inteiros negativos. Lembre-se de que números maiores estão à direita na reta numérica. Por exemplo, como −2 está à direita de -3 na reta numérica, sabemos disso−2>−3. Da mesma forma, números menores ficam à esquerda na linha numérica. Por exemplo, como −9 está à esquerda de −6 na reta numérica, sabemos disso−9<−6. Veja a Figura1.9.9.

Se ampliássemos o intervalo entre 0 e −1, conforme mostrado no Exercício1.9.40, veríamos da mesma forma que−0.2>−0.3−0.9<−0.6 e.
Use< ou> para fazer o pedido−0.1 ___ −0.8.
- Responda
-
−0.1 ___ −0.8 Write the numbers one under the other, lining up the −0.1 decimal points. −0.8 They have the same number of digits. since −1>−8,−1 tenth is greater than −8 tenths. −0.1>−0.8
Peça o seguinte par de números, usando< ou>:−0.3 ___ −0.5.
- Responda
-
>
Peça o seguinte par de números, usando< ou>:−0.6 ___ −0.7.
- Responda
-
>
Conceitos-chave
- A notação de raiz quadrada
√m é lida como “a raiz quadrada de”m. Sem=n2, então√m=n, paran≥0. - Ordenar decimais
- Escreva os números um abaixo do outro, alinhando os pontos decimais.
- Verifique se os dois números têm o mesmo número de dígitos. Caso contrário, escreva zeros no final daquele com menos dígitos para fazer com que coincidam.
- Compare os números como se fossem números inteiros.
- Ordene os números usando o sinal de desigualdade apropriado.
A prática leva à perfeição
Simplifique expressões com raízes quadradas
Nos exercícios a seguir, simplifique.