17.2: Equações lineares não homogêneas
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- Escreva a solução geral para uma equação diferencial não homogênea.
- Resolva uma equação diferencial não homogênea pelo método de coeficientes indeterminados.
- Resolva uma equação diferencial não homogênea pelo método de variação dos parâmetros.
Nesta seção, examinamos como resolver equações diferenciais não homogêneas. A terminologia e os métodos são diferentes daqueles que usamos para equações homogêneas, então vamos começar definindo alguns termos novos.
Solução geral para uma equação linear não homogênea
Considere a equação diferencial linear não homogênea
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber \]
A equação homogênea associada
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0 \nonumber \]
é chamada de equação complementar. Veremos que resolver a equação complementar é um passo importante na solução de uma equação diferencial não homogênea.
Uma solução\(y_p(x)\) de uma equação diferencial que não contém constantes arbitrárias é chamada de solução específica para a equação.
\(y_p(x)\)Seja qualquer solução específica para a equação diferencial linear não homogênea
\[a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x). \nonumber \]
Além disso, vamos\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) denotar a solução geral para a equação complementar. Então, a solução geral para a equação não homogênea é dada por
\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
Para provar que\(y(x)\) é a solução geral, devemos primeiro mostrar que ela resolve a equação diferencial e, segundo, que qualquer solução para a equação diferencial pode ser escrita dessa forma. \(y(x)\)Substituindo na equação diferencial, temos
\[\begin{align*}a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y &=a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p)′ \\ &\;\;\;\; +a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2+y_p) \\[4pt] &=[a_2(x)(c_1y_1+c_2y_2)″+a_1(x)(c_1y_1+c_2y_2)′+a_0(x)(c_1y_1+c_2y_2)] \\ &\;\;\;\; +a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p \\[4pt] &=0+r(x) \\[4pt] &=r(x). \end{align*}\]
Então,\(y(x)\) é uma solução.
Agora,\(z(x)\) seja qualquer solução para\(a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x).\) Then
\[\begin{align*}a_2(x)(z−y_p)″+a_1(x)(z−y_p)′+a_0(x)(z−y_p) &=(a_2(x)z″+a_1(x)z′+a_0(x)z) \\ &\;\;\;\;−(a_2(x)y_p″+a_1(x)y_p′+a_0(x)y_p) \\[4pt] &=r(x)−r(x) \\[4pt] &=0, \end{align*}\]
então\(z(x)−y_p(x)\) é uma solução para a equação complementar. Mas,\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) é a solução geral para a equação complementar, então existem constantes\(c_1\) e\(c_2\) tal que
\[z(x)−y_p(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber \]
Portanto, vemos que
\[z(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
Dado que essa\(y_p(x)=x\) é uma solução específica para a equação diferencial,\(y″+y=x,\) escreva a solução geral e verifique verificando se a solução satisfaz a equação.
Solução
A equação complementar é\(y″+y=0,\) que tem a solução geral\(c_1 \cos x+c_2 \sin x.\) Então, a solução geral para a equação não homogênea é
\[y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+x. \nonumber \]
Para verificar se essa é uma solução, substitua-a na equação diferencial. Nós temos
\[y′(x)=−c_1 \sin x+c_2 \cos x+1 \nonumber \]
e
\[y″(x)=−c_1 \cos x−c_2 \sin x. \nonumber \]
Então
\[\begin{align*} y″(x)+y(x) &=−c_1 \cos x−c_2 \sin x+c_1 \cos x+c_2 \sin x+x \\[4pt] &=x.\end{align*} \nonumber \]
Então,\(y(x)\) é uma solução para\(y″+y=x\).
Dado que\(y_p(x)=−2\) é uma solução específica para\(y″−3y′−4y=8,\) escrever a solução geral e verificar se a solução geral satisfaz a equação.
- Dica
-
Encontre a solução geral para a equação complementar.
- Resposta
-
\(y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{4x}−2\)
Na seção anterior, aprendemos como resolver equações homogêneas com coeficientes constantes. Portanto, para equações não homogêneas da forma\(ay″+by′+cy=r(x)\), já sabemos como resolver a equação complementar, e o problema se resume em encontrar uma solução específica para a equação não homogênea. Agora examinamos duas técnicas para isso: o método de coeficientes indeterminados e o método de variação de parâmetros.
Coeficientes indeterminados
O método de coeficientes indeterminados envolve fazer suposições fundamentadas sobre a forma da solução específica com base na forma de\(r(x)\). Quando tomamos derivadas de polinômios, funções exponenciais, senos e cossenos, obtemos polinômios, funções exponenciais, senos e cossenos. Então, quando\(r(x)\) tem uma dessas formas, é possível que a solução para a equação diferencial não homogênea assuma a mesma forma. Vamos dar uma olhada em alguns exemplos para ver como isso funciona.
Encontre a solução geral para\(y″+4y′+3y=3x\).
Solução
A equação complementar é\(y″+4y′+3y=0\), com solução geral\(c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}\). Desde então\(r(x)=3x\), a solução específica pode ter a forma\(y_p(x)=Ax+B\). Se for esse o caso, então temos\(y_p′(x)=A\)\(y_p″(x)=0\) e. \(y_p\)Para ser uma solução para a equação diferencial, devemos encontrar valores para\(A\) e\(B\) para que
\[\begin{align*} y″+4y′+3y &=3x \\[4pt] 0+4(A)+3(Ax+B) &=3x \\[4pt] 3Ax+(4A+3B) &=3x. \nonumber \end{align*} \nonumber \]
Definindo coeficientes de termos semelhantes iguais, temos
\[\begin{align*} 3A &=3 \\ 4A+3B &=0. \end{align*} \nonumber \]
Então,\(A=1\) e\(B=−\frac{4}{3}\), então\(y_p(x)=x−\frac{4}{3}\), a solução geral é
\[y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{−3x}+x−\frac{4}{3}. \nonumber \]
No exemplo\(\PageIndex{2}\), observe que, embora\(r(x)\) não incluíssemos um termo constante, era necessário que incluíssemos o termo constante em nossa suposição. Se tivéssemos assumido uma solução da forma\(y_p=Ax\) (sem termo constante), não teríamos sido capazes de encontrar uma solução. (Verifique isso!) Se a função\(r(x)\) for um polinômio, nossa suposição para a solução específica deve ser um polinômio do mesmo grau e incluir todos os termos de ordem inferior, independentemente de estarem presentes em\(r(x)\).
Encontre a solução geral para\(y″−y′−2y=2e^{3x}\).
Solução
A equação complementar é\(y″−y′−2y=0\), com a solução geral\(c_1e^{−x}+c_2e^{2x}\). Uma vez que\(r(x)=2e^{3x}\), a solução específica pode ter a forma\(y_p(x)=Ae^{3x}.\) Então, nós temos\(yp′(x)=3Ae^{3x}\)\(y_p″(x)=9Ae^{3x}\) e. \(y_p\)Para ser uma solução para a equação diferencial, devemos encontrar um valor para\(A\) tal que
\[\begin{align*} y″−y′−2y &=2e^{3x} \\[4pt] 9Ae^{3x}−3Ae^{3x}−2Ae^{3x} &=2e^{3x} \\[4pt] 4Ae^{3x} &=2e^{3x}. \end{align*} \nonumber \]
Então,\(4A=2\)\(A=1/2\) e. Então,\(y_p(x)=(\frac{1}{2})e^{3x}\), e a solução geral é
\[y(x)=c_1e^{−x}+c_2e^{2x}+\dfrac{1}{2}e^{3x}. \nonumber \]
Encontre a solução geral para\(y″−4y′+4y=7 \sin t− \cos t.\)
- Dica
-
Use\(y_p(t)=A \sin t+B \cos t \) como um palpite para a solução específica.
- Resposta
-
\(y(t)=c_1e^{2t}+c_2te^{2t}+ \sin t+ \cos t \)
No ponto de verificação anterior,\(r(x)\) incluiu termos de seno e cosseno. No entanto, mesmo que sejam\(r(x)\) incluídos apenas um termo senoidal ou apenas um termo de cosseno, ambos os termos devem estar presentes na suposição. O método de coeficientes indeterminados também funciona com produtos de polinômios, exponenciais, senos e cossenos. Algumas das principais formas\(r(x)\) e as suposições associadas\(y_p(x)\) estão resumidas na Tabela\(\PageIndex{1}\).
| \(r(x)\) | Estimativa inicial para\(y_p(x)\) |
|---|---|
| \ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(k\) (uma constante) | \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(A\) (uma constante) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(ax+b\) | \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(Ax+B\) (Nota: A suposição deve incluir os dois termos, mesmo que seja\(b=0\).) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(ax^2+bx+c\) | \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(Ax^2+Bx+C\) (Nota: A estimativa deve incluir todos os três termos, mesmo que\(b\) ou\(c\) sejam zero.) |
| \ (r (x)\)” style="vertical-align:middle; ">Polinômios de ordem superior | \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">Polinômio da mesma ordem que\(r(x)\) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(ae^{λx}\) | \ (y_p (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\(Ae^{λx}\) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(a \cos βx+b \sin βx\) | \ (y_p (x)\)” style="vertical-align:middle; ">\(A \cos βx+B \sin βx\) (Nota: A suposição deve incluir os dois termos, mesmo que um\(a=0\) ou\(b=0.\)) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\(ae^{αx} \cos βx+be^{αx} \sin βx\) | \ (y_p (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\(Ae^{αx} \cos βx+Be^{αx} \sin βx\) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((ax^2+bx+c)e^{λx}\) | \ (y_p (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((Ax^2+Bx+C)e^{λx}\) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((a_2x^2+a_1x+a0) \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0) \sin βx\) | \ (y_p (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((A_2x^2+A_1x+A_0) \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0) \sin βx \) |
| \ (r (x)\)” style="alinhamento vertical: meio; ">\((a_2x^2+a_1x+a_0)e^{αx} \cos βx \\ +(b_2x^2+b_1x+b_0)e^{αx} \sin βx \) | \ (y_p (x)\)” style="alinhamento vertical:meio; ">\((A_2x^2+A_1x+A_0)e^{αx} \cos βx \\ +(B_2x^2+B_1x+B_0)e^{αx} \sin βx \) |
Lembre-se de que há uma armadilha importante nesse método. Considere a equação diferencial\(y″+5y′+6y=3e^{−2x}\). Com base na forma de\(r(x)\), adivinhamos uma solução específica do formulário\(y_p(x)=Ae^{−2x}\). Mas quando substituímos essa expressão na equação diferencial para encontrar um valor para\(A\), nos deparamos com um problema. Nós temos
\[y_p′(x)=−2Ae^{−2x} \nonumber \]
e
\[y_p''=4Ae^{−2x}, \nonumber \]
então nós queremos
\[\begin{align*} y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}+5(−2Ae^{−2x})+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 4Ae^{−2x}−10Ae^{−2x}+6Ae^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] 0 &=3e^{−2x}, \end{align*}\]
o que não é possível.
Olhando de perto, vemos que, neste caso, a solução geral para a equação complementar é\(c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}.\) A função exponencial em\(r(x)\) é na verdade uma solução para a equação complementar, então, como acabamos de ver, todos os termos no lado esquerdo da equação são cancelados. Ainda podemos usar o método de coeficientes indeterminados nesse caso, mas temos que alterar nossa estimativa multiplicando-a por\(x\). Usando o novo palpite\(y_p(x)=Axe^{−2x}\), temos
\[y_p′(x)=A(e^{−2x}−2xe^{−2x} \nonumber \]
e
\[y_p''(x)=−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}. \nonumber \]
A substituição dá
\[\begin{align*}y″+5y′+6y &=3e^{−2x} \\[4pt] (−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x})+5(Ae^{−2x}−2Axe^{−2x})+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt]−4Ae^{−2x}+4Axe^{−2x}+5Ae^{−2x}−10Axe^{−2x}+6Axe^{−2x} &=3e^{−2x} \\[4pt] Ae^{−2x} &=3e^{−2x}.\end{align*}\]
Então,\(A=3\)\(y_p(x)=3xe^{−2x}\) e. Isso nos dá a seguinte solução geral
\[y(x)=c_1e^{−2x}+c_2e^{−3x}+3xe^{−2x}. \nonumber \]
Observe que, se também\(xe^{−2x}\) fosse uma solução para a equação complementar, teríamos que multiplicar por\(x\) novamente e tentaríamos\(y_p(x)=Ax^2e^{−2x}\).
- Resolva a equação complementar e anote a solução geral.
- Com base na forma de\(r(x)\), faça uma estimativa inicial para\(y_p(x)\).
- Verifique se algum termo na estimativa\(y_p(x)\) é uma solução para a equação complementar. Em caso afirmativo, multiplique a estimativa por\(x.\) Repita esta etapa até que não haja termos\(y_p(x)\) que resolvam a equação complementar.
- Substitua\(y_p(x)\) na equação diferencial e iguale termos semelhantes para encontrar valores para os coeficientes desconhecidos em\(y_p(x)\).
- Adicione a solução geral à equação complementar e a solução específica que você acabou de encontrar para obter a solução geral para a equação não homogênea.
Encontre as soluções gerais para as seguintes equações diferenciais.
- \(y''−9y=−6 \cos 3x\)
- \(x″+2x′+x=4e^{−t}\)
- \(y″−2y′+5y=10x^2−3x−3\)
- \(y''−3y′=−12t\)
Solução
- A equação complementar é\(y″−9y=0\), que tem a solução geral\(c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}\) (etapa 1). Com base na forma de\(r(x)=−6 \cos 3x,\) nossa estimativa inicial para a solução específica é\(y_p(x)=A \cos 3x+B \sin 3x\) (etapa 2). Nenhum dos termos em\(y_p(x)\) resolve a equação complementar, então essa é uma estimativa válida (etapa 3).
Agora, queremos encontrar valores para\(A\) e\(B,\), assim,\(y_p\) substituí-los na equação diferencial. Nós temos\[y_p′(x)=−3A \sin 3x+3B \cos 3x \text{ and } y_p″(x)=−9A \cos 3x−9B \sin 3x, \nonumber \]
então queremos encontrar valores de\(A\) e de\(B\) tal forma que\[\begin{align*}y″−9y &=−6 \cos 3x \\[4pt] −9A \cos 3x−9B \sin 3x−9(A \cos 3x+B \sin 3x) &=−6 \cos 3x \\[4pt] −18A \cos 3x−18B \sin 3x &=−6 \cos 3x. \end{align*}\]
Portanto,\[\begin{align*}−18A &=−6 \\[4pt] −18B &=0. \end{align*}\]
Isso dá\(A=\frac{1}{3}\) e\(B=0,\) assim por diante\(y_p(x)=(\frac{1}{3}) \cos 3x\) (etapa 4).
Juntando tudo, temos a solução geral\[y(x)=c_1e^{3x}+c_2e^{−3x}+\dfrac{1}{3} \cos 3x.\nonumber \]
- A equação complementar é a\(x''+2x′+x=0,\) que tem a solução geral\(c_1e^{−t}+c_2te^{−t}\) (etapa 1). Com base no formulário\(r(t)=4e^{−t}\), nossa estimativa inicial para a solução específica é\(x_p(t)=Ae^{−t}\) (etapa 2). No entanto, vemos que essa suposição resolve a equação complementar, então devemos multiplicar pela\(t,\) qual dá uma nova suposição:\(x_p(t)=Ate^{−t}\) (etapa 3). Verificando essa nova suposição, vemos que ela também resolve a equação complementar, então devemos multiplicar por t novamente, o que dá\(x_p(t)=At^2e^{−t}\) (etapa 3 novamente). Agora, verificando essa suposição, vemos que não\(x_p(t)\) resolve a equação complementar, então essa é uma suposição válida (etapa 3 mais uma vez).
Agora queremos encontrar um valor para\(A\), então substituímos\(x_p\) na equação diferencial. Nós temos\[\begin{align*}x_p(t) &=At^2e^{−t}, \text{ so} \\[4pt] x_p′(t) &=2Ate^{−t}−At^2e^{−t} \end{align*}\]
e\[x_p″(t)=2Ae^{−t}−2Ate^{−t}−(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})=2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}. \nonumber \]
substituindo na equação diferencial, queremos encontrar um valor de\(A\) para que\[\begin{align*} x″+2x′+x &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}−4Ate^{−t}+At^2e^{−t}+2(2Ate^{−t}−At^2e^{−t})+At^2e^{−t} &=4e^{−t} \\[4pt] 2Ae^{−t}&=4e^{−t}. \end{align*} \nonumber \]
Isso dá\(A=2\), então\(x_p(t)=2t^2e^{−t}\) (etapa 4). Juntando tudo, temos a solução geral\[x(t)=c_1e^{−t}+c_2te^{−t}+2t^2e^{−t}.\nonumber \]
- A equação complementar é\(y″−2y′+5y=0\), que tem a solução geral\(c_1e^x \cos 2x+c_2 e^x \sin 2x\) (etapa 1). Com base no formulário\(r(x)=10x^2−3x−3\), nossa estimativa inicial para a solução específica é\(y_p(x)=Ax^2+Bx+C\) (etapa 2). Nenhum dos termos em\(y_p(x)\) resolve a equação complementar, então essa é uma estimativa válida (etapa 3). Agora queremos encontrar valores para\(A\)\(B\), e\(C\), então substituímos\(y_p\) na equação diferencial. Nós temos\(y_p′(x)=2Ax+B\) e\(y_p″(x)=2A\), por isso, queremos encontrar valores de\(A\)\(B\), e de\(C\) tal forma que
\[\begin{align*}y″−2y′+5y &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 2A−2(2Ax+B)+5(Ax^2+Bx+C) &=10x^2−3x−3 \\[4pt] 5Ax^2+(5B−4A)x+(5C−2B+2A) &=10x^2−3x−3. \end{align*}\]
Portanto,\[\begin{align*} 5A &=10 \\[4pt] 5B−4A &=−3 \\[4pt] 5C−2B+2A &=−3. \end{align*}\]
Isso dá\(A=2\)\(B=1\), e\(C=−1\), então\(y_p(x)=2x^2+x−1\) (etapa 4). Juntando tudo, temos a solução geral\[y(x)=c_1e^x \cos 2x+c_2e^x \sin 2x+2x^2+x−1.\nonumber \]
- A equação complementar é\(y″−3y′=0\), que tem a solução geral\(c_1e^{3t}+c_2\) (etapa 1). Com base na forma r (t) =−12t, r (t) =−12t, nossa estimativa inicial para a solução específica é\(y_p(t)=At+B\) (etapa 2). No entanto, vemos que o termo constante nessa suposição resolve a equação complementar, então devemos multiplicar por\(t\), o que dá uma nova suposição:\(y_p(t)=At^2+Bt\) (etapa 3). Verificando essa nova suposição, vemos que nenhum dos termos\(y_p(t)\) resolve a equação complementar, então essa é uma suposição válida (etapa 3 novamente). Agora queremos encontrar valores para\(A\) e\(B,\), portanto, substituímos\(y_p\) na equação diferencial. Nós temos\(y_p′(t)=2At+B\) e\(y_p″(t)=2A\), então, queremos encontrar valores de AA e BB de forma que
\[\begin{align*}y″−3y′ &=−12t \\[4pt] 2A−3(2At+B) &=−12t \\[4pt] −6At+(2A−3B) &=−12t. \end{align*}\]
Portanto,\[\begin{align*}−6A &=−12 \\[4pt] 2A−3B &=0. \end{align*}\]
Isso dá\(A=2\) e\(B=4/3\), então\(y_p(t)=2t^2+(4/3)t\) (etapa 4). Juntando tudo, temos a solução geral\[y(t)=c_1e^{3t}+c_2+2t^2+\dfrac{4}{3}t.\nonumber \]
Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais.
- \(y″−5y′+4y=3e^x\)
- \(y″+y′−6y=52 \cos 2t \)
- Dica
-
Use a estratégia de resolução de problemas.
- Responda a um
-
\(y(x)=c_1e^{4x}+c_2e^x−xe^x\)
- Resposta b
-
\(y(t)=c_1e^{−3t}+c_2e^{2t}−5 \cos 2t+ \sin 2t\)
Variação de parâmetros
Às vezes, não\(r(x)\) é uma combinação de polinômios, exponenciais ou senos e cossenos. Quando esse é o caso, o método de coeficientes indeterminados não funciona e temos que usar outra abordagem para encontrar uma solução específica para a equação diferencial. Usamos uma abordagem chamada método de variação de parâmetros.
Para simplificar um pouco nossos cálculos, dividiremos a equação diferencial por\(a,\), para que tenhamos um coeficiente inicial de 1. Então, a equação diferencial tem a forma
\[y″+py′+qy=r(x), \nonumber \]
onde\(p\) e\(q\) são constantes.
Se a solução geral para a equação complementar for dada por\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\), vamos procurar uma solução específica da forma
\[y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x). \nonumber \]
Nesse caso, usamos as duas soluções linearmente independentes da equação complementar para formar nossa solução específica. No entanto, estamos assumindo que os coeficientes são funções de\(x\), em vez de constantes. Queremos encontrar funções\(u(x)\) que\(y_p(x)\) satisfaçam a equação diferencial.\(v(x)\) Nós temos
\[\begin{align*}y_p &=uy_1+vy_2 \\[4pt] y_p′ &=u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′ \\[4pt] y_p″ &=(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″. \end{align*}\]
Substituindo na equação diferencial, obtemos
\[\begin{align*}y_p″+py_p′+qy_p &=[(u′y_1+v′y_2)′+u′y_1′+uy_1″+v′y_2′+vy_2″] \\ &\;\;\;\;+p[u′y_1+uy_1′+v′y_2+vy_2′]+q[uy_1+vy_2] \\[4pt] &=u[y_1″+p_y1′+qy_1]+v[y_2″+py_2′+qy_2] \\ &\;\;\;\; +(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′). \end{align*}\]
Observe que\(y_1\) e\(y_2\) são soluções para a equação complementar, então os dois primeiros termos são zero. Assim, temos
\[(u′y_1+v′y_2)′+p(u′y_1+v′y_2)+(u′y_1′+v′y_2′)=r(x). \nonumber \]
Se simplificarmos essa equação impondo a condição adicional\(u′y_1+v′y_2=0\), os dois primeiros termos serão zero, e isso se reduz para\(u′y_1′+v′y_2′=r(x)\). Então, com essa condição adicional, temos um sistema de duas equações em duas incógnitas:
\[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &= 0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\]
Resolver esse sistema nos dá\(u′\) e\(v′\), que podemos integrar para encontrar\(u\)\(v\) e.
Então,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) é uma solução específica para a equação diferencial. Resolver esse sistema de equações às vezes é um desafio, então vamos aproveitar esta oportunidade para revisar a regra de Cramer, que nos permite resolver o sistema de equações usando determinantes.
O sistema de equações
\[\begin{align*} a_1z_1+b_1z_2 &=r_1 \\[4pt] a_2z_1+b_2z_2 &=r_2 \end{align*}\]
tem uma solução única se e somente se o determinante dos coeficientes não for zero. Nesse caso, a solução é dada por
\[z_1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}} \; \; \; \; \; \text{and} \; \; \; \; \; z_2= \dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}. \label{cramer} \]
Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema de equações.
\[\begin{align*}x^2z_1+2xz_2 &=0 \\[4pt] z_1−3x^2z_2 &=2x \end{align*}\]
Solução
Nós temos
\[\begin{align*} a_1(x) &=x^2 \\[4pt] a_2(x) &=1 \\[4pt] b_1(x) &=2x \\[4pt] b_2(x) &=−3x^2 \\[4pt] r_1(x) &=0 \\[4pt] r_2(x) &=2x. \end{align*}\]
Então,\[\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}x^2 2x \\ 1 −3x^2 \end{array}=−3x^4−2x \nonumber \]
e
\[\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|}0 2x \\ 2x -3x^2 \end{array}=0−4x^2=−4x^2. \nonumber \]
Assim,
\[z1=\dfrac{\begin{array}{|ll|}r_1 b_1 \\ r_2 b_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{−4x^2}{−3x^4−2x}=\dfrac{4x}{3x^3+2}. \nonumber \]
Além disso,
\[\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}=\begin{array}{|ll|} x^2 0 \\ 1 2x \end{array}=2x^3−0=2x^3. \nonumber \]
Assim,
\[z2=\dfrac{\begin{array}{|ll|}a_1 r_1 \\ a_2 r_2 \end{array}}{\begin{array}{|ll|}a_1 b_1 \\ a_2 b_2 \end{array}}=\dfrac{2x^3}{−3x^4−2x}=\dfrac{−2x^2}{3x^3+2}.\nonumber \]
Use a regra de Cramer para resolver o seguinte sistema de equações.
\[\begin{align*} 2xz_1−3z_2 &=0 \\[4pt] x^2z_1+4xz_2 &=x+1 \end{align*}\]
- Dica
-
Use o processo do exemplo anterior.
- Resposta
-
\(z_1=\frac{3x+3}{11x^2}\),\( z_2=\frac{2x+2}{11x}\)
- Resolva a equação complementar e anote a solução geral\[c_1y_1(x)+c_2y_2(x). \nonumber \]
- Use a regra de Cramer ou outra técnica adequada para encontrar funções\(u′(x)\) e\(v′(x)\) satisfazer\[\begin{align*} u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\]
- Integre\(u′\)\(u(x)\) e\(v′\) encontre\(v(x)\) e. Então,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) é uma solução específica para a equação.
- Adicione a solução geral à equação complementar e a solução específica encontrada na etapa 3 para obter a solução geral para a equação não homogênea.
Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais.
- \(y″−2y′+y=\dfrac{e^t}{t^2}\)
- \(y″+y=3 \sin ^2 x\)
Solução
- A equação complementar está\(y″−2y′+y=0\) com a solução geral associada\(c_1e^t+c_2te^t\). Portanto,\(y_1(t)=e^t\)\(y_2(t)=te^t\) e. Calculando as derivadas, obtemos\(y_1′(t)=e^t\) e\(y_2′(t)=e^t+te^t\) (etapa 1). Em seguida, queremos encontrar funções\(u′(t)\) e\(v′(t)\) para que
\[\begin{align*} u′e^t+v′te^t &=0 \\[4pt] u′e^t+v′(e^t+te^t) &= \dfrac{e^t}{t^2}. \end{align*}\]
Aplicando a regra de Cramer (Equação\ ref {cramer}), temos
\[u′=\dfrac{\begin{array}{|lc|}0 te^t \\ \frac{e^t}{t^2} e^t+te^t \end{array}}{ \begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array}} =\dfrac{0−te^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^t(e^t+te^t)−e^tte^t}=\dfrac{−\frac{e^{2t}}{t}}{e^{2t}}=−\dfrac{1}{t} \nonumber \]
e
\[v′= \dfrac{\begin{array}{|ll|}e^t 0 \\ e^t \frac{e^t}{t^2} \end{array} }{\begin{array}{|lc|}e^t te^t \\ e^t e^t+te^t \end{array} } =\dfrac{e^t(\frac{e^t}{t^2})}{e^{2t}}=\dfrac{1}{t^2}\quad(\text{step 2}). \nonumber \]
Integrando, obtemos
\[\begin{align*} u &=−\int \dfrac{1}{t}dt=− \ln|t| \\[4pt] v &=\int \dfrac{1}{t^2}dt=−\dfrac{1}{t} \tag{step 3} \end{align*} \]
Então nós temos
\[\begin{align*}y_p &=−e^t \ln|t|−\frac{1}{t}te^t \\[4pt] &=−e^t \ln |t|−e^t \tag{step 4}.\end{align*} \]
O\(e^t\) termo é uma solução para a equação complementar, então não precisamos inserir esse termo em nossa solução geral de forma explícita. A solução geral é
\[y(t)=c_1e^t+c_2te^t−e^t \ln |t| \tag{step 5} \]
- A equação complementar está\(y″+y=0\) com a solução geral associada\(c_1 \cos x+c_2 \sin x\). Então,\(y_1(x)= \cos x\) e\(y_2(x)= \sin x\) (etapa 1). Então, queremos encontrar funções\(u′(x)\) e\(v′(x)\) tais que
\[\begin{align*} u′ \cos x+v′ \sin x &=0 \\[4pt] −u′ \sin x+v′ \cos x &=3 \sin _2 x \end{align*}. \nonumber \]
Aplicando a regra de Cramer, temos
\[u′= \dfrac{\begin{array}{|cc|}0 \sin x \\ 3 \sin ^2 x \cos x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{0−3 \sin^3 x}{ \cos ^2 x+ \sin ^2 x}=−3 \sin^3 x \nonumber \]
e
\[v′=\dfrac{\begin{array}{|cc|} \cos x 0 \\ - \sin x 3 \sin^2 x \end{array}}{ \begin{array}{|cc|} \cos x \sin x \\ − \sin x \cos x \end{array}}=\dfrac{ 3 \sin^2x \cos x}{ 1}=3 \sin^2 x \cos x( \text{step 2}). \nonumber \]
Integrando primeiro para descobrir,\(u,\) obtemos
\[u=\int −3 \sin^3 x dx=−3 \bigg[ −\dfrac{1}{3} \sin ^2 x \cos x+\dfrac{2}{3} \int \sin x dx \bigg]= \sin^2 x \cos x+2 \cos x. \nonumber \]
Agora, integramos para encontrar\(v.\) Usando substituição (com\(w= \sin x\)), obtemos
\[v= \int 3 \sin ^2 x \cos x dx=\int 3w^2dw=w^3=sin^3x.\nonumber \]
Então,
\[\begin{align*}y_p &=(\sin^2 x \cos x+2 \cos x) \cos x+(\sin^3 x)\sin x \\[4pt] &=\sin_2 x \cos _2 x+2 \cos _2 x+ \sin _4x \\[4pt] &=2 \cos_2 x+ \sin_2 x(\cos^2 x+\sin ^2 x) & & (\text{step 4}). \\[4pt] &=2 \cos _2 x+\sin_2x \\[4pt] &= \cos _2 x+1 \end{align*}\]
A solução geral é
\[y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+1+ \cos^2 x(\text{step 5}).\nonumber \]
Encontre a solução geral para as seguintes equações diferenciais.
- \(y″+y= \sec x\)
- \(x″−2x′+x=\dfrac{e^t}{t}\)
- Dica
-
Siga a estratégia de resolução de problemas.
- Responda a um
-
\(y(x)=c_1 \cos x+c_2 \sin x+ \cos x \ln| \cos x|+x \sin x\)
- Resposta b
-
\(x(t)=c_1e^t+c_2te^t+te^t \ln|t| \)
Conceitos chave
- Para resolver uma equação diferencial linear de segunda ordem não homogênea, primeiro encontre a solução geral para a equação complementar e, em seguida, encontre uma solução específica para a equação não homogênea.
- \(y_p(x)\)Seja qualquer solução específica para a equação diferencial linear não homogênea\[a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x), \nonumber \] e\(c_1y_1(x)+c_2y_2(x)\) denote a solução geral para a equação complementar. Então, a solução geral para a equação não homogênea é dada por\[y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x). \nonumber \]
- Quando\(r(x)\) é uma combinação de polinômios, funções exponenciais, senos e cossenos, use o método de coeficientes indeterminados para encontrar a solução específica. Para usar esse método, assuma uma solução na mesma forma que\(r(x)\), multiplicando por x conforme necessário até que a solução assumida seja linearmente independente da solução geral para a equação complementar. Em seguida, substitua a solução assumida na equação diferencial para encontrar valores para os coeficientes.
- Quando não\(r(x)\) é uma combinação de polinômios, funções exponenciais ou senos e cossenos, use o método de variação dos parâmetros para encontrar a solução específica. Esse método envolve o uso da regra de Cramer ou outra técnica adequada para encontrar funções e\(v′(x)\) satisfazer.\[\begin{align*}u′y_1+v′y_2 &=0 \\[4pt] u′y_1′+v′y_2′ &=r(x). \end{align*}\] Então,\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\) é uma solução específica para a equação diferencial.
Equações chave
- Equação complementar
\(a_2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=0\) - Solução geral para uma equação diferencial linear não homogênea
\(y(x)=c_1y_1(x)+c_2y_2(x)+y_p(x)\)
Glossário
- equação complementar
- para a equação diferencial linear não homogênea,\(a+2(x)y″+a_1(x)y′+a_0(x)y=r(x),\) a equação homogênea associada, chamada de equação complementar, é\(a_2(x)y''+a_1(x)y′+a_0(x)y=0\)
- método de coeficientes indeterminados
- um método que envolve fazer uma suposição sobre a forma da solução específica e, em seguida, resolver os coeficientes na suposição
- método de variação dos parâmetros
- um método que envolve procurar soluções específicas na forma\(y_p(x)=u(x)y_1(x)+v(x)y_2(x)\), onde\(y_1\) e\(y_2\) são soluções linearmente independentes para as equações complementares e, em seguida, resolver um sistema de equações para encontrar\(u(x)\) e\(v(x)\)
- solução específica
- uma solução\(y_p(x)\) de uma equação diferencial que não contém constantes arbitrárias