4.8E: Exercícios para a Seção 4.8
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Nos exercícios 1 a 6, avalie o limite.
1) Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\).
2) Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k}\).
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x^k} \quad = \quad ∞\)
3) Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{\ln x}{x^k}\).
4) Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2}\).
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^2−a^2} \quad = \quad \frac{1}{2a}\)
5. Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^3−a^3}\).
6. Avalie o limite\(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n}\).
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→a}\frac{x−a}{x^n−a^n} \quad = \quad \frac{1}{na^{n−1}}\)
Nos exercícios 7 a 11, determine se você pode aplicar a regra de L'Hôpital diretamente. Explique por que ou por que não. Em seguida, indique se há alguma maneira de alterar o limite para que você possa aplicar a regra de L'Hôpital.
7)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^2\ln x\)
8)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^{1/x}\)
- Responda
- Não é possível aplicar diretamente; use logaritmos
9)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{2/x}\)
10)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{x^2}{1/x}\)
- Responda
- Não é possível aplicar diretamente; reescrever como\(\displaystyle \lim_{x→0}x^3\)
11)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\frac{e^x}{x}\)
Nos exercícios 12 a 40, avalie os limites com a regra de L'Hôpital ou com métodos previamente aprendidos.
12)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x−3} \quad = \quad 6\)
13)\(\displaystyle \lim_{x→3}\frac{x^2−9}{x+3}\)
14)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^{−2}−1}{x} \quad = \quad -2\)
15)\(\displaystyle \lim_{x→π/2}\frac{\cos x}{\frac{π}{2}−x}\)
16)\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{x−π}{\sin x} \quad = \quad -1\)
17)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{\sin x}\)
18)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1}{x} \quad = \quad n\)
19)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{(1+x)^n−1−nx}{x^2}\)
20)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−\tan x}{x^3} \quad = \quad −\frac{1}{2}\)
21)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sqrt{1+x}−\sqrt{1−x}}{x}\)
22)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−x−1}{x^2} \quad = \quad \frac{1}{2}\)
23)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\tan x}{\sqrt{x}}\)
24)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x-1}{\ln x} \quad = \quad 1\)
25)\(\displaystyle \lim_{x→0}\,(x+1)^{1/x}\)
26)\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{\sqrt{x}−\sqrt[3]{x}}{x−1} \quad = \quad \frac{1}{6}\)
27)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x^{2x}\)
28)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→∞}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 1\)
29)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{\sin x−x}{x^2}\)
30)\(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right)\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0^+}x\ln\left(x^4\right) \quad = \quad 0\)
31)\(\displaystyle \lim_{x→∞}(x−e^x)\)
32)\(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→∞}x^2e^{−x} \quad = \quad 0\)
33)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{3^x−2^x}{x}\)
34)\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{1+1/x}{1−1/x} \quad = \quad -1\)
35)\(\displaystyle \lim_{x→π/4}(1−\tan x)\cot x\)
36)\(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→∞}xe^{1/x} \quad = \quad ∞\)
37)\(\displaystyle \lim_{x→0}x^{1/\cos x}\)
38)\(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0^{+} }x^{1/x} \quad = \quad 0\)
39)\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)
40)\(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→∞}\left(1−\frac{1}{x}\right)^x \quad = \quad \frac{1}{e}\)
Para os exercícios 41 a 50, use uma calculadora para representar graficamente a função e estimar o valor do limite e, em seguida, use a regra de L'Hôpital para encontrar o limite diretamente.
41) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−1}{x}\)
42) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right)\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}x\sin\left(\tfrac{1}{x}\right) \quad = \quad 0\)
43) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{x−1}{1−\cos(πx)}\)
44) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{e^{x−1}−1}{x−1} \quad = \quad 1\)
45) [T]\(\displaystyle \lim_{x→1}\frac{(x−1)^2}{\ln x}\)
46) [T]\(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→π}\frac{1+\cos x}{\sin x} \quad = \quad 0\)
47) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\left(\csc x−\frac{1}{x}\right)\)
48) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right)\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0^+}\tan\left(x^x\right) \quad = \quad \tan 1\)
49) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0^+}\frac{\ln x}{\sin x}\)
50) [T]\(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x}\)
- Responda
- \(\displaystyle \lim_{x→0}\frac{e^x−e^{−x}}{x} \quad = \quad 2\)