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12: Geometria Analítica

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    Neste capítulo, investigaremos as figuras bidimensionais que são formadas quando um cone circular reto é cruzado por um plano. Começaremos estudando cada uma das três figuras criadas dessa maneira. Desenvolveremos equações definidoras para cada figura e, em seguida, aprenderemos como usar essas equações para resolver uma variedade de problemas. As seções cônicas são formadas quando um plano cruza dois cones circulares retos alinhados de ponta a ponta e se estendem infinitamente em direções opostas, o que também chamamos de cone. A forma como cortamos o cone determinará o tipo de seção cônica formada na interseção. Um círculo é formado cortando um cone com um plano perpendicular ao eixo de simetria do cone. Uma elipse é formada cortando um único cone com um plano inclinado não perpendicular ao eixo de simetria.

    • 12.0: Prelúdio da geometria analítica
      Neste capítulo, investigaremos as figuras bidimensionais que são formadas quando um cone circular reto é cruzado por um plano. Começaremos estudando cada uma das três figuras criadas dessa maneira. Desenvolveremos equações definidoras para cada figura e, em seguida, aprenderemos como usar essas equações para resolver uma variedade de problemas.
    • 12.1: A elipse
      As principais características da elipse são seu centro, vértices, co-vértices, focos e comprimentos e posições dos eixos maior e menor. Assim como com outras equações, podemos identificar todas essas características apenas observando a forma padrão da equação. Há quatro variações da forma padrão da elipse. Essas variações são categorizadas primeiro pela localização do centro (a origem ou não a origem) e depois pela posição (horizontal ou vertical). Cada um é apresentado aqui.
    • 12.2: A hipérbole
      Em geometria analítica, uma hipérbole é uma seção cônica formada pela interseção de um cone circular reto com um plano em um ângulo de forma que ambas as metades do cone sejam cruzadas. Essa interseção produz duas curvas separadas e ilimitadas que são imagens espelhadas uma da outra.
    • 12.3: A parábola
      Como a elipse e a hipérbole, a parábola também pode ser definida por um conjunto de pontos no plano coordenado. Uma parábola é o conjunto de todos os pontos em um plano que estão à mesma distância de uma linha fixa, chamada diretriz, e um ponto fixo (o foco) que não está na diretriz.
    • 12.4: Rotação dos eixos
      Nesta seção, aprenderemos como definir qualquer cônica no sistema de coordenadas polares em termos de um ponto fixo, o foco no polo e uma linha, a diretriz, que é perpendicular ao eixo polar.
    • 12.5: Seções cônicas em coordenadas polares
      Nesta seção, aprenderemos como definir qualquer cônica no sistema de coordenadas polares em termos de um ponto fixo, o foco no polo e uma linha, a diretriz, que é perpendicular ao eixo polar.

    Miniatura: as seções cônicas também podem ser descritas por um conjunto de pontos no plano coordenado. Esta seção se concentra nas quatro variações da forma padrão da equação da elipse. Uma elipse é o conjunto de todos os pontos (x, y) (x, y) em um plano de forma que a soma de suas distâncias de dois pontos fixos seja uma constante. Cada ponto fixo é chamado de foco (plural: focos).