15.E: Oscilações (exercícios)

Problemas

15.1 Movimento harmônico simples

21. Prove que usar x (t) = Asin (\(\omega\)t +\(\phi\)) produzirá os mesmos resultados para o período para as oscilações de uma massa e uma mola. Por que você acha que a função cosseno foi escolhida?
22. Qual é o período de 60,0 Hz de energia elétrica?
23. Se sua frequência cardíaca for de 150 batimentos por minuto durante exercícios extenuantes, qual é o tempo por batimento em unidades de segundos?
24. Encontre a frequência de um diapasão que leva 2,50 x 10 ⁻³ s para completar uma oscilação.
25. Um estroboscópio está configurado para piscar a cada 8,00 x 10 ⁻⁵ s. Qual é a frequência dos flashes?
26. Um pneu tem um padrão de piso com uma fenda a cada 2,00 cm. Cada fenda produz uma única vibração à medida que o pneu se move. Qual é a frequência dessas vibrações se o carro se mover a 30,0 m/s?
27. Cada pistão de um motor emite um som nítido a cada duas rotações do motor. (a) Qual a velocidade de um carro de corrida se seu motor de oito cilindros emite um som de frequência de 750 Hz, já que o motor faz 2000 rotações por quilômetro? (b) Em quantas rotações por minuto o motor está girando?
28. Um tipo de relógio cuco mantém o tempo com uma massa pulando em uma mola, geralmente algo fofo como um querubim em uma cadeira. Qual constante de força é necessária para produzir um período de 0,500 s para uma massa de 0,0150 kg?
29. Uma massa m ₀ é presa a uma mola e pendurada verticalmente. A massa é levantada a uma curta distância na direção vertical e liberada. A massa oscila com uma frequência de ₀. Se a massa fosse substituída por uma massa nove vezes maior e o experimento fosse repetido, qual seria a frequência das oscilações em termos de f ₀?
30. Uma massa de 0,500 kg suspensa de uma mola oscila com um período de 1,50 s. Quanta massa deve ser adicionada ao objeto para alterar o período para 2,00 s?
31. Quanta margem de manobra (porcentagem e massa) você teria na seleção da massa do objeto no problema anterior se não desejasse que o novo período fosse maior que 2,01 s ou menor que 1,99 s?

15.2 Energia em movimento harmônico simples

32. Os peixes são pendurados em uma escama de mola para determinar sua massa. (a) Qual é a força constante da mola em tal escala se a mola se estender 8,00 cm para uma carga de 10,0 kg? (b) Qual é a massa de um peixe que se estende pela primavera por 5,50 cm? (c) A que distância estão as marcas de meio quilograma na balança?
33. É hora de pesar a equipe local de rúgbi abaixo de 85 kg. A balança de banheiro usada para avaliar a elegibilidade pode ser descrita pela lei de Hooke e é deprimida em 0,75 cm por sua carga máxima de 120 kg. (a) Qual é a constante de força efetiva da mola? (b) Um jogador fica na balança e a pressiona em 0,48 cm. Ele é elegível para jogar nesta equipe com menos de 85 kg?
34. Um tipo de pistola BB usa um êmbolo acionado por mola para soprar o BB de seu cano. (a) Calcule a constante de força da mola do êmbolo se você precisar comprimi-la 0,150 m para acionar o êmbolo de 0,0500 kg a uma velocidade máxima de 20,0 m/s. (b) Que força deve ser exercida para comprimir a mola?
35. Quando um homem de 80,0 kg fica em cima de um pula-pula, a mola é comprimida 0,120 m. (a) Qual é a força constante da mola? (b) A mola ficará mais comprimida quando ele pular pela estrada?
36. Uma mola tem um comprimento de 0,200 m quando uma massa de 0,300 kg está pendurada nela e um comprimento de 0,750 m quando uma massa de 1,95 kg está pendurada nela. (a) Qual é a constante de força da mola? (b) Qual é o comprimento descarregado da mola?
37. O comprimento da corda de náilon da qual um alpinista é suspenso tem uma constante de força efetiva de 1,40 x 10 ⁴ N/m. (a) Qual é a frequência com que ele salta, considerando sua massa mais e a massa de seu equipamento são 90,0 kg? (b) Quanto essa corda se esticaria para quebrar a queda do alpinista se ele caísse livremente 2,00 m antes que a corda fique sem folga? (Dica: use a conservação de energia.) (c) Repita as duas partes desse problema na situação em que o dobro desse comprimento de corda de náilon é usado.

15.3 Comparando o movimento harmônico simples e o movimento circular

38. O movimento de uma massa em uma mola suspensa verticalmente, onde a massa oscila para cima e para baixo, também pode ser modelado usando o disco rotativo. Em vez de as luzes serem colocadas horizontalmente na parte superior e apontando para baixo, coloque-as na vertical e faça com que as luzes brilhem na lateral do disco giratório. Uma sombra será produzida em uma parede próxima e se moverá para cima e para baixo. Escreva as equações de movimento para a sombra assumindo a posição em t = 0,0 s como y = 0,0 m com a massa se movendo na direção y positiva.
39. (a) Um relógio inovador tem um objeto de massa de 0,0100 kg saltando sobre uma mola que tem uma força constante de 1,25 N/ m. Qual é a velocidade máxima do objeto se o objeto saltar 3,00 cm acima e abaixo de sua posição de equilíbrio? (b) Quantos joules de energia cinética o objeto tem em sua velocidade máxima?
40. O movimento recíproco usa a rotação de um motor para produzir movimento linear para cima e para baixo ou para frente e para trás. É assim que uma serra recíproca opera, conforme mostrado abaixo. Se o motor girar a 60 Hz e tiver um raio de 3,0 cm, estime a velocidade máxima da lâmina da serra à medida que ela se move para cima e para baixo. Esse design é conhecido como garfo escocês.

41. Um estudante fica à beira de um carrossel que gira cinco vezes por minuto e tem um raio de dois metros em uma noite, quando o sol se põe. O estudante produz uma sombra no prédio vizinho. (a) Escreva uma equação para a posição da sombra. (b) Escreva uma equação para a velocidade da sombra.

15.4 Pêndulos

42. Qual é o comprimento de um pêndulo que tem um período de 0,500 s?
43. Algumas pessoas pensam que um pêndulo com um período de 1,00 s pode ser acionado com “energia mental” ou psicocineticamente, porque seu período é o mesmo de um batimento cardíaco médio. Verdadeiro ou não, qual é o comprimento desse pêndulo?
44. Qual é o período de um pêndulo de 1,00 m de comprimento?
45. Quanto tempo uma criança leva para completar um balanço se seu centro de gravidade estiver 4,00 m abaixo do pivô?
46. O pêndulo de um relógio de cuco tem 5,00 cm de comprimento. Qual é sua frequência?
47. Dois periquitos se sentam em um balanço com seus CMs combinados 10,0 cm abaixo do pivô. Com que frequência eles balançam?
48. (a) Um pêndulo que tem um período de 3.00000 s e que está localizado onde a aceleração devido à gravidade é 9,79 m/s ² é movido para um local onde a aceleração devido à gravidade é 9,82 m/s ². Qual é seu novo período? (b) Explique por que tantos dígitos são necessários no valor do período, com base na relação entre o período e a aceleração devido à gravidade.
49. Um pêndulo com um período de 2.00000 s em um local (g = 9,80m/s ²) é movido para um novo local onde o período agora é de 1.99796 s. Qual é a aceleração devido à gravidade em seu novo local?
50. (a) Qual é o efeito no período de um pêndulo se você dobrar seu comprimento? (b) Qual é o efeito no período de um pêndulo se você diminuir seu comprimento em 5,00%?

15.5 Oscilações amortecidas

51. A amplitude de um oscilador levemente amortecido diminui em 3,0% durante cada ciclo. Qual porcentagem da energia mecânica do oscilador é perdida em cada ciclo?

15.6 Oscilações forçadas

52. Quanta energia os amortecedores de um carro de 1200 kg devem dissipar para amortecer um salto que inicialmente tem uma velocidade de 0,800 m/s na posição de equilíbrio? Suponha que o carro retorne à sua posição vertical original.
53. Se um carro tiver um sistema de suspensão com uma força constante de 5,00 x 10 ⁴ N/m, quanta energia os amortecedores do carro devem remover para amortecer uma oscilação começando com um deslocamento máximo de 0,0750 m?
54. (a) Quanto uma mola com uma constante de força de 40,0 N/m será esticada por um objeto com uma massa de 0,500 kg quando pendurada imóvel na mola? (b) Calcule a diminuição da energia potencial gravitacional do objeto de 0,500 kg quando ele desce essa distância. (c) Parte dessa energia gravitacional vai para a primavera. Calcule a energia armazenada na primavera nesse trecho e compare-a com a energia potencial gravitacional. Explique para onde o resto da energia pode ir.
55. Suponha que você tenha um objeto de 0,750 kg em uma superfície horizontal conectado a uma mola que tenha uma força constante de 150 N/m. Há atrito simples entre o objeto e a superfície com um coeficiente de atrito estático\(\mu_{s}\) = 0,100. (a) Até onde a mola pode ser esticada sem mover a massa? (b) Se o objeto for colocado em oscilação com uma amplitude duas vezes a distância encontrada na parte (a) e o coeficiente cinético de atrito for\(\mu_{k}\) = 0,0850, qual a distância total que ele percorre antes de parar? Suponha que ele comece na amplitude máxima.

Problemas adicionais

56. Suponha que você conecte um objeto com massa m a uma mola vertical originalmente em repouso e a deixe saltar para cima e para baixo. Você libera o objeto do repouso no comprimento de descanso original da mola, o comprimento da mola em equilíbrio, sem a massa presa. A amplitude do movimento é a distância entre a posição de equilíbrio da mola sem a massa fixada e a posição de equilíbrio da mola com a massa fixada. (a) Mostre que a mola exerce uma força ascendente de 2,00 mg sobre o objeto em seu ponto mais baixo. (b) Se a mola tiver uma força constante de 10,0 N/m, for suspensa horizontalmente e a posição da extremidade livre da mola estiver marcada como y = 0,00 m, onde está a nova posição de equilíbrio se um objeto de massa de 0,25 kg for pendurado na mola? (c) Se a mola tiver uma força constante de 10,0 M/m e um objeto de massa de 0,25 kg for acionado conforme descrito, determine a amplitude das oscilações. (d) Encontre a velocidade máxima.
57. Um mergulhador em uma prancha de mergulho está passando pelo SHM. Sua massa é de 55,0 kg e o período de seu movimento é de 0,800 s. O próximo mergulhador é um homem cujo período de oscilação harmônica simples é de 1,05 s. Qual é a massa dele se a massa da prancha for insignificante?
58. uma frequência de 4,00 Hz. A prancha tem uma massa efetiva de 10,0 kg. Qual é a frequência do SHM de um mergulhador de 75,0 kg na prancha?
59. O dispositivo ilustrado na figura a seguir entretém os bebês enquanto os impede de vagar. A criança pula em um arnês suspenso na moldura da porta por uma mola. (a) Se a mola se estender por 0,250 m enquanto sustenta uma criança de 8,0 kg, qual é sua força constante? (b) Qual é o tempo para um salto completo dessa criança? (c) Qual é a velocidade máxima da criança se a amplitude de seu salto for de 0,200 m?

Figura 15.E.34 (crédito: Lisa Doehnert)

60. Uma massa é colocada em uma mesa horizontal sem atrito. Uma mola (k = 100 N/m), que pode ser esticada ou comprimida, é colocada sobre a mesa. Uma massa de 5,00 kg é fixada em uma extremidade da mola e a outra extremidade é ancorada na parede. A posição de equilíbrio está marcada em zero. Um aluno move a massa para x = 4,0 cm e a libera do repouso. A massa oscila em SHM. (a) Determine as equações do movimento. (b) Encontre a posição, velocidade e aceleração da massa no tempo t = 3,00 s.
61. Encontre a razão entre os períodos novo/antigo de um pêndulo se o pêndulo foi transportado da Terra para a Lua, onde a aceleração devido à gravidade é de 1,63 m/s ².
62. Em que velocidade um relógio de pêndulo funcionará na Lua, onde a aceleração devido à gravidade é de 1,63 m/s ², se ela mantiver o tempo com precisão na Terra? Ou seja, encontre a hora (em horas) que o ponteiro das horas do relógio leva para fazer uma revolução na Lua.
63. Se um relógio acionado por pêndulo ganhar 5,00 s/dia, que mudança fracionária no comprimento do pêndulo deve ser feita para que ele mantenha a hora perfeita?
64. Um objeto de 2,00 kg está pendurado, em repouso, em uma corda de 1,00 m de comprimento presa ao teto. Uma massa de 100 g é queimada com uma velocidade de 20 m/s na massa de 2,00 kg, e a massa de 100,00 g colide perfeitamente elasticamente com a massa de 2,00 kg. Escreva uma equação para o movimento da massa suspensa após a colisão. Suponha que a resistência do ar seja insignificante.
65. Um objeto de 2,00 kg está pendurado, em repouso, em uma corda de 1,00 m de comprimento presa ao teto. Um objeto de 100 g é disparado com uma velocidade de 20 m/s contra um objeto de 2,00 kg, e os dois objetos colidem e se unem em uma colisão totalmente inelástica. Escreva uma equação para o movimento do sistema após a colisão. Suponha que a resistência do ar seja insignificante.
66. Suponha que um pêndulo usado para acionar um relógio avô tenha um comprimento L ₀ = 1,00 m e uma massa M à temperatura T = 20,00°C. Ele pode ser modelado como um pêndulo físico como uma haste oscilando em torno de uma extremidade. Em que porcentagem o período mudará se a temperatura aumentar em 10° C? Suponha que o comprimento da haste mude linearmente com a temperatura, onde L = L ₀ (1 +\(\alpha \Delta\) T) e a haste é feita de latão (\(\alpha\)= 18 x 10 ⁻⁶ °C ⁻¹).
67. Um bloco de 2,00 kg está em repouso em uma mesa sem atrito. Uma mola, com uma constante de mola de 100 N/m, é fixada na parede e no bloco. Um segundo bloco de 0,50 kg é colocado em cima do primeiro bloco. O bloco de 2,00 kg é puxado suavemente para a posição x = + A e liberado do repouso. Há um coeficiente de atrito de 0,45 entre os dois blocos. (a) Qual é o período das oscilações? (b) Qual é a maior amplitude de movimento que permitirá que os blocos oscilem sem que o bloco de 0,50 kg deslize?

Problemas de desafio

68. Uma ponte suspensa oscila com uma constante de força efetiva de 1,00 x 10 ⁸ N/m. (a) Quanta energia é necessária para fazê-la oscilar com uma amplitude de 0,100 m? (b) Se os soldados marcharem pela ponte com uma cadência igual à frequência natural da ponte e transmitirem 1,00 x 10 ⁴ J de energia a cada segundo, quanto tempo leva para que as oscilações da ponte passem de 0,100 m para 0,500 m de amplitude.
69. Perto do topo do prédio do Citigroup Center, na cidade de Nova York, há um objeto com massa de 4,00 x 10 ⁵ kg em molas que têm constantes de força ajustáveis. Sua função é atenuar as oscilações do edifício provocadas pelo vento, oscilando na mesma frequência em que o edifício está sendo acionado — a força motriz é transferida para o objeto, que oscila em vez de todo o edifício. (a) Qual constante de força efetiva as molas devem ter para fazer o objeto oscilar com um período de 2,00 s? (b) Que energia é armazenada nas molas para um deslocamento de 2,00 m do equilíbrio?
70. Parcelas de ar (pequenos volumes de ar) em uma atmosfera estável (onde a temperatura aumenta com a altura) podem oscilar para cima e para baixo, devido à força de restauração fornecida pela flutuabilidade da parcela de ar. A frequência das oscilações é uma medida da estabilidade da atmosfera. Supondo que a aceleração de uma parcela aérea possa ser modelada como\(\frac{\partial^{2} z}{\partial t^{2}} = \frac{g \partial \rho (z)}{\rho_{0} \partial z} z'\), prove que\(z' = z'_{0} e^{t \sqrt{-N^{2}}}\) é uma solução, onde N é conhecido como frequência Brunt-Väisälä. Observe que em uma atmosfera estável, a densidade diminui com a altura e a parcela oscila para cima e para baixo.
71. Considere o potencial de van der Waals U (r) = U ₀\(\Bigg[ \left(\dfrac{R_{0}}{r}\right)^{2} - 2 \left(\dfrac{R_{0}}{r}\right)^{6} \Bigg] \), usado para modelar a função de energia potencial de duas moléculas, onde o potencial mínimo está em r = R ₀. Encontre a força em função de r. Considere um pequeno deslocamento r = R ₀ + r′e use o teorema binomial: $$ (1 + x) ^ {n} = 1 + nx +\ frac {n (n-1)} {2!} x^ {2} +\ frac {n (n - 1) (n - 2)} {3!} x^ {3} +\ cdots$$, para mostrar que a força se aproxima da força da lei de Hooke.
72. Suponha que o comprimento do pêndulo de um relógio seja alterado em 1.000%, exatamente ao meio-dia de um dia. A que horas o relógio será lido 24,00 horas depois, supondo que o pêndulo tenha mantido a hora perfeita antes da mudança? Observe que há duas respostas e realize o cálculo com precisão de quatro dígitos.
73. (a) As molas de uma caminhonete agem como uma única mola com uma força constante de 1,30 x 10 ⁵ N/m. Até que ponto o caminhão ficará pressionado por sua carga máxima de 1000 kg? (b) Se a caminhonete tiver quatro molas idênticas, qual é a força constante de cada uma?