15.S: Oscilações (resumo)
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Termos-chave
| amplitude (A) | deslocamento máximo da posição de equilíbrio de um objeto oscilando em torno da posição de equilíbrio |
| amortecido criticamente | condição na qual o amortecimento de um oscilador faz com que ele retorne o mais rápido possível à sua posição de equilíbrio sem oscilar para frente e para trás em torno dessa posição |
| energia potencial elástica | energia potencial armazenada como resultado da deformação de um objeto elástico, como o alongamento de uma mola |
| posição de equilíbrio | posição em que a mola não está esticada nem comprimida |
| constante de força (k) | característica de uma mola que é definida como a razão entre a força aplicada à mola e o deslocamento causado pela força |
| frequência (f) | número de eventos por unidade de tempo |
| frequência angular natural | frequência angular de um sistema oscilante em SHM |
| oscilação | flutuação única de uma quantidade, ou flutuações repetidas e regulares de uma quantidade, entre dois valores extremos em torno de um equilíbrio ou valor médio |
| sobreamortecido | condição na qual o amortecimento de um oscilador faz com que ele retorne ao equilíbrio sem oscilar; o oscilador se move mais lentamente em direção ao equilíbrio do que no sistema criticamente amortecido |
| período (T) | tempo necessário para completar uma oscilação |
| movimento periódico | movimento que se repete em intervalos de tempo regulares |
| mudança de fase | ângulo, em radianos, usado em uma função de cosseno ou seno para deslocar a função para a esquerda ou direita, usado para combinar a função com as condições iniciais dos dados |
| pêndulo físico | qualquer objeto estendido que oscile como um pêndulo |
| ressonância | oscilações de grande amplitude em um sistema produzido por uma força motriz de pequena amplitude, que tem uma frequência igual à frequência natural |
| força restauradora | força agindo em oposição à força causada por uma deformação |
| movimento harmônico simples (SHM) | movimento oscilatório em um sistema em que a força de restauração é proporcional ao deslocamento, que atua na direção oposta ao deslocamento |
| oscilador harmônico simples | um dispositivo que oscila em SHM, onde a força de restauração é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta ao deslocamento |
| pêndulo simples | massa pontual, chamada de pêndulo bob, presa a uma corda quase sem massa |
| ponto de equilíbrio estável | ponto onde a força líquida em um sistema é zero, mas um pequeno deslocamento da massa causará uma força restauradora que aponta para o ponto de equilíbrio |
| pêndulo torcional | qualquer objeto suspenso que oscile torcendo sua suspensão |
| pouco amortecido | condição na qual o amortecimento de um oscilador faz com que a amplitude das oscilações de um oscilador harmônico amortecido diminua com o tempo, chegando eventualmente a zero |
Equações-chave
| Relação entre frequência e período | $$f =\ frac {1} {T} $$ |
| Posição em SHM com\(\phi\) = 0,00 | $$x (t) = A\ cos (\ ômega t) $$ |
| Posição geral no SHM | $$x (t) = A\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Velocidade geral em SHM | $$v (t) = -A\ ômega\ sin (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Aceleração geral no SHM | $$a (t) = -A\ ômega^ {2}\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Deslocamento máximo (amplitude) do SHM | $$x_ {max} = A$$ |
| Velocidade máxima do SHM | $$|v_ {max} | = A\ ômega$$ |
| Aceleração máxima do SHM | $$|a_ {max} | = A\ ômega^ {2} $$ |
| Frequência angular de um sistema de mola de massa em SHM | $$\ ômega =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Período de um sistema de mola de massa no SHM | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {m} {k}} $$ |
| Frequência de um sistema de mola de massa no SHM | $$f =\ frac {1} {2\ pi}\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Energia em um sistema de mola de massa em SHM | $$E_ {Total} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} kA^ {2} $$ |
| A velocidade da massa em um sistema de massa de mola em SHM | $$v =\ pm\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})} $$ |
| O componente x do raio de um disco rotativo | $$x (t) = A\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| O componente x da velocidade da borda de um disco rotativo | $$v (t) = -v_ {max}\ sin (\ ômega t +\ phi) $$ |
| O componente x da aceleração da borda de um disco rotativo | $$a (t) = -a_ {max}\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Equação de força para um pêndulo simples | $$\ frac {d^ {2}\ theta} {dt^ {2}} = -\ frac {g} {L}\ theta$$ |
| Frequência angular para um pêndulo simples | $$\ ômega =\ sqrt {\ frac {g} {L}} $$ |
| Período de um pêndulo simples | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {L} {g}} $$ |
| Frequência angular de um pêndulo físico | $$\ omega =\ sqrt {\ frac {mGL} {I}} $$ |
| Período de um pêndulo físico | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {mGL}} $$ |
| Período de um pêndulo torcional | $$T = 2\ pi\ sqrt {\ frac {I} {\ kappa}} $$ |
| Segunda lei de Newton para movimento harmônico | $$m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} + b\ frac {dx} {dt} + kx = 0$$ |
| Solução para movimento harmônico sem amortecimento | $$x (t) = A_ {0} e^ {-\ frac {b} {2m} t}\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Freqüência angular natural de um sistema de mola de massa | $$\ omega_ {0} =\ sqrt {\ frac {k} {m}} $$ |
| Frequência angular de movimento harmônico pouco amortecido | $$\ omega =\ sqrt {\ omega_ {0} ^ {2} -\ left (\ dfrac {b} {2m}\ direita) ^ {2}} $$ |
| Segunda lei de Newton para oscilação forçada e amortecida | $$-kx -b\ frac {dx} {dt} + F_ {0}\ sin (\ ômega t) = m\ frac {d^ {2} x} {dt^ {2}} $$ |
| Solução para a segunda lei de Newton para oscilações forçadas e amortecidas | $$x (t) = A\ cos (\ ômega t +\ phi) $$ |
| Amplitude do sistema submetido a oscilações forçadas e amortecidas | $$A =\ frac {F_ {0}} {\ sqrt {m (\ omega^ {2} -\ omega_ {0} ^ {2}) ^ {2} + b^ {2}\ ômega^ {2}}} $$ |
Resumo
15.1 Movimento harmônico simples
- O movimento periódico é uma oscilação repetida. O tempo para uma oscilação é o período T e o número de oscilações por unidade de tempo é a frequência f. Essas quantidades estão relacionadas por\(f = \frac{1}{T}\).
- O movimento harmônico simples (SHM) é o movimento oscilatório de um sistema em que a força de restauração é proporcional ao deslocamento e atua na direção oposta ao deslocamento.
- O deslocamento máximo é a amplitude A. A frequência angular\(\omega\), o período T e a frequência f de um oscilador harmônico simples são dados por\(\omega = \sqrt{\frac{k}{m}}\), T = 2\(\pi \sqrt{\frac{m}{k}}\) e f =\(\frac{1}{2 \pi} \sqrt{\frac{k}{m}}\), onde m é a massa do sistema e k é a força constante.
- O deslocamento em função do tempo em SHM é dado por x (t) = Acos\(\left(\dfrac{2 \pi}{T} t + \phi \right)\) = Acos (\(\omega t + \phi\)).
- A velocidade é dada por v (t) = -A\(\omega\) sin (\(\omega t + \phi\)) = -v max sin (\(\omega t + \phi\)), onde v max = A\(\omega\) =\(\sqrt{\frac{k}{m}}\) A.
- A aceleração é dada por a (t) = -A\(\omega^{2}\) cos (\(\omega t + \phi\)) = -a max cos (\(\omega t + \phi\)), onde um máximo = A\(\omega^{2}\) =\(\frac{k}{m}\) A.
15.2 Energia em movimento harmônico simples
- O tipo mais simples de oscilações está relacionado a sistemas que podem ser descritos pela lei de Hooke, F = −kx, onde F é a força restauradora, x é o deslocamento do equilíbrio ou deformação e k é a força constante do sistema.
- A energia potencial elástica U armazenada na deformação de um sistema que pode ser descrita pela lei de Hooke é dada por U =\(\frac{1}{2}\) kx 2.
- A energia no oscilador harmônico simples é compartilhada entre a energia potencial elástica e a energia cinética, com o total sendo constante: $$E_ {Total} =\ frac {1} {2} kx^ {2} +\ frac {1} {2} mv^ {2} =\ frac {1} {2} kA^ {2} = constante\ ldotp$$
- A magnitude da velocidade em função da posição do oscilador harmônico simples pode ser encontrada usando $$v =\ sqrt {\ frac {k} {m} (A^ {2} - x^ {2})}\ ldotp$$
15.3 Comparando o movimento harmônico simples e o movimento circular
- Uma projeção de movimento circular uniforme sofre uma simples oscilação harmônica.
- Considere um círculo com um raio A, movendo-se a uma velocidade angular constante\(\omega\). Um ponto na borda do círculo se move a uma velocidade tangencial constante de v max =\(\omega\) A. A projeção do raio no eixo x é x (t) = Acos (\(\omega\)t +\(\phi\)), onde (\(\phi\)) é a mudança de fase. O componente x da velocidade tangencial é v (t) = −A\(\omega\) sin (\(\omega\)t +\(\phi\)).
15.4 Pêndulos
- Uma massa m suspensa por um fio de comprimento L e massa insignificante é um pêndulo simples e sofre SHM para amplitudes menores que cerca de 15°. O período de um pêndulo simples é T = 2\(\pi \sqrt{\frac{L}{g}}\), onde L é o comprimento da corda e g é a aceleração devido à gravidade.
- O período de um pêndulo físico T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{mgL}}\) pode ser encontrado se o momento de inércia for conhecido. O comprimento entre o ponto de rotação e o centro de massa é L.
- O período de um pêndulo torcional T = 2\(\pi \sqrt{\frac{I}{\kappa}}\) pode ser encontrado se o momento de inércia e a constante de torção forem conhecidos.
15.5 Oscilações amortecidas
- Os osciladores harmônicos amortecidos têm forças não conservadoras que dissipam sua energia.
- O amortecimento crítico devolve o sistema ao equilíbrio o mais rápido possível, sem ultrapassagem.
- Um sistema com amortecimento insuficiente oscilará na posição de equilíbrio.
- Um sistema com amortecimento excessivo se move mais lentamente em direção ao equilíbrio do que um sistema criticamente amortecido.
15.6 Oscilações forçadas
- A frequência natural de um sistema é a frequência na qual o sistema oscila se não for afetado pelas forças de acionamento ou amortecimento.
- Uma força periódica que aciona um oscilador harmônico em sua frequência natural produz ressonância. Diz-se que o sistema ressoa.
- Quanto menos amortecimento um sistema tiver, maior será a amplitude das oscilações forçadas próximas à ressonância. Quanto mais amortecimento um sistema tiver, mais ampla será a resposta a diferentes frequências de condução.